باب 6

بکھراؤ کی پیمائش ( Measures of Dispersion )

اس باب کا مطالعہ کرنے کے بعد آپ اس قابل ہوجائیں گے کہ :

اوسطوں کے حدود سے واقف ہوں ؛
بکھراؤ کی پیمائش کی ضرورت کی قدر شناسی کرسکیں؛
بکھراؤکی مختلف پیمائشوں کا شمار کرسکیں؛
پیمائشوں کاحساب اور ان کا موازنہ کرسکیں؛
مطلق اور انسانی پیمائشوں کے درمیان امتیاز کرسکیں؛

1. تعارف:

پچھلے باب میں،آپ نے مطالعہ کیا کہ دیٹا کو ایک نمائندہ قدر میں کس طرح مجتمع کیا جاتا ہے۔ تاہم وہ قدر ڈیٹامیں موجود تغیر پذیری کا اظہار نہیں کرتی۔ ا س باب میں آپ ان پیمائشوں کا مطالعہ کریں گے جو ڈیٹا کی تغیر پذیری کی مقدار کے تعین کرنے میں معاون ہوتی ہیں۔

تین دوست رام، رحیم اور ماریہ چائے کی چسکیاں لیتے ہوئے گپ شپ کررہے تھے اپنی بات چیت کے دوران انہوں نے اپنی فیملی کی آمدنیوں کے بارے میں بات شروع کردی رام انہیں بتاتا ہے کہ اس کی فیملی میں چار ممبر ہیں اور ہر ممبر کی اوسط آمدنی 15,000روپے ہے۔ رحیم کہتا ہے کہ اس کی فیملی میں اوسط آمدنی یہی ہے حالانکہ ممبروں کی تعداد 6 ہے۔ ماریہ52 بتاتی ہے کہ اس کی فیملی میں پانچ ممبر ہیں جن میں ایک کام نہیں کررہا ہے۔ وہ بھی حساب لگاتی ہے کہ ا س کی فیملی کی بھی اوسط آمدنی 15,000 روپے ہے۔ ان کو تھوڑی حیرت ہوئی کیونکہ وہ جانتے تھے کہ ماریہ کے والد بہت زیادہ تنخواہ پارہے ہیں۔ وہ اس کی تفصیلات میں گئے اور انہوں نے درج ذیل ڈیٹا اکٹھا کیا۔

فیملی کی آمدنیاں:

—————————————————

نمبر شمار رام رحیم ماریہ

—————————————————

1 12,000 7,000 0

2 14,000 10,000 7,000

3 16,000 14,000 8,000

4 18,000 17,000 10,000

5 ----- 20,000 50,000

6 ----- 22,000 =----

—————————————————

کل آمدنی 60,000 90,000 75,000

اوسط آمدنی 15,000 15,000 15,000

—————————————————

کیا آپ غور کرتے ہیں کہ اگر چہ اوسط ایک ہے پھر بھی انفرادی آمدنیوں میں خاصا فرق ہے؟

یہ بالکل واضح ہے کہ اوسط، تقسیم کا صرف ایک پہلو یعنی قدروں کی ایک نمائندہ سائز بتانے کی کوشش کرتا ہے۔ اسے بہتر طور پر سمجھنے کے لئے آپ قدروں کے پھیلاؤ کے بھی جاننے کی ضرورت ہوگی۔

آپ دیکھ سکتے ہیں کہ رام کی فیملی میں آمدنیوں کے فرق نسبتاً کم ترین ہیں۔ رحیم کی فیملی میں یہ فرق زیادہ ہے اور ماریہ کی فیملی میں بہت ہی زیادہ۔ اس طرح صرف اوسط کی واقفیت ہونا کافی نہیں ہے۔ اگر آپ کے پاس ایسی کوئی دوسری قدر ہے جو قدروں میں تغیر کی مقدار ظاہر کرتی ہے تب آپ کی تقسیم کی فہم زیادہ بہتر ہوگی۔ مثال کے لیے فی کس آمدنی صرف اوسط آمدنی ظاہر کرتی ہے۔ انتشار کی پیمائش آپ کو آمدنی کی نامساوات بتاسکتی ہے اس سے آپ کو سماج کے مختلف طبقات کی نسبتی یا اضافی معیار زندگی کو سمجھنے میں بہتری پیدا ہوگی۔ بکھراؤ ( Dispersian) تقسیم کی قدروں میں وہ حد ہے جو تقسیم کی اوسط سے متفرق ہوتی ہے۔

تغیر کی حد کی مقدار کے تعین کے لئے کچھ مخصوص پیمائش ہیں جو کہ درج ذیل ہیں:

(1) وسعت(Range)

(2) کوارٹائل انحراف (Quartile Deviation)

(3)وسطی انحراف (Mean Deviation)

(Standard Deviation) (4)معیاری انحراف

ان پیمائشوں کو جو کہ عددی قدر دیتی ہیں ،کہ علاوہ بکھراؤ کا تخمینہ کرنے کے لئے گرافی طریقہ بھی ہوتا ہے۔

رینج اور کوار ٹائل انحراف بکھراؤ کی پیمائش اس پھیلاؤ کو شمار کرنے کے ذریعہ جو کہ قدروں میں وا قع ہوتی ہے ،کرتے ہیں، وسط انحراف اور معیاری انحراف ان قدروں کی حد کا شمار رکھتے ہیں جو اوسط مختلف ہوتی ہے۔

.2قدروں کے پھیلاؤپر مبنی پیمائش:

رینج (R) تقسیم میں سب سے بڑی قدر (L) اور سب سے چھوٹی قدر (S)کے درمیان فرق ہے۔

اس طرح ، R = L - S

سرگرمیاں:

درج ذیل قدروں پر ایک نظر ڈالیں:

200 50 40 30 20

= رینج کا شمار کیجئے

= اگر ڈیٹا سیٹ میں قدر 200 موجود نہیں ہے تب رینج کیا ہے

= اگر 50کو 150کے عوض رکھا جاتا ہے تب رینج کیا ہوگی؟

رینج : توضیحات

منتہائی قدروں سے رینج ضرورت سے زیادہ متاثر ہوتی ہے۔ یہ سبھی قدروں پر نہیں مبنی ہوتی، جب تک کم ترین اور بیش ترین قدریں تبدیل نہیں ہوتیں۔، دیگر قدریں کسی بھی تبدیلی رینج پر اثر انداز نہیں ہوتی۔ اس کا شمار غیر محدود (Open ended)تواتری تقسیم کے لئے نہیں کیا جاسکتا۔

رینج کی سب سے اونچی قدر اونچے کی دلالت کرتی ہے اور رینج کی سب سے نیچی قدر کم بکھراؤکی دلالت کرتی ہے۔

بعض حدو ں کے باوجود ،رینج کو اس کے سہل ہونے کے سبب اکثر سمجھا اور استعمال کیا جاتا ہے۔ مثال کے لئے ہم اپنے ٹی وی اسکرین پر تقریباً روزمختلف شہروں کے زیادہ سے زیادہ اور کم سے کم درجہ حرارت دیکھتے ہیں اور ان میں بدلتے ہوئے درجہ حرارت کے بارے میں اندازہ قائم کرتے ہیں۔

غیر محدود تقسیم وہ ہے جس میں سب سے نچلی کلاس کی نہ تو نچلی حد نہ ہی سب سے اونچی کلاس کی اوپری حد یا دونوں کی صراحت نہیں ہوتی۔

سرگرمی

اخبار سے تقریباً 52ہفتے کے اونچے؍ نیچے 10کمپنیوں کے ڈیٹا جمع کیجئے ۔ شیئر قیمتوں کی رینج شمار کیجئے ۔ کون سے اسٹاک پر زیادہ تلون اور کون سے پر زیادہ مستحکم ہے۔

کوار ٹائل انحراف:

تقسیم میں انتہائی طور پر اونچی یا نیچی قدر کی موجودگی بھی بکھراؤ کی پیمائش کے طور پر رینج کی افادیت کو کم کرسکتی ہے۔ اس طرح آپ کو ایک ایسی پیمائش کی ضرورت ہوگی جو منفصل (Out lier)کے ذریعہ ضرورت سے زیادہ یا بے جا طور پر نہ متاثر ہو۔

ایسی صورتحال میں اگر پورے ڈیٹا کو چار مساوی حصوں میں تقسیم کیا جاتا ہے تب ہر ایک 25%قدروں پر مشتمل ہوگا۔ ہم کوارٹائل اور وسطانیہ کی قدریں حاصل کرتے ہیں۔ (آپ ان کے بارے میں پہلے ہی باب5میں پڑھ چکے ہیں)۔

اوپری اور نچلے کوارٹائل (علی الترتیب Q3اور Q1) کا استعمال بین کوارٹائل رینج کا شمار کرنے کے لئے کیا جاتا ہے جو کہ Q3 - Q1ہے۔

بین کوارٹائل رینج تقسیم میں قدروں کی وسط%50پر مبنی ہے اور اس لیے منتہائی قدروں کا اثر نہیں پڑتا۔ بین کوارٹائل رینج کے نصف کو کوارٹائل کل انحراف کہا جاتا ہے۔

Q.Dکو اس لیے نصف بین کوارٹائل کی رینج کہا جاتا ہے۔

غیر گروپ بند ڈیٹا کے لیے رینج اور Q.D.کا شمار کیجئے۔

مثال1

درج ذیل مشاہدات کا رینج اور Q.D.شمار کیجئے

20, 25, 29, 30, 35, 39, 41,

48, 51, 60, 70

واضح طور پر رینج ہے

70–20 = 50

Q.Dکے لئے ہمیں Q3اور Q,کی قدروں کے شمار کی ضرورت ہے۔

ویں قدر کی سائز ہے

11n ہونے سے

Q1 nتیسری قدر کی سائز ہے

چونکہ قدر یں پہلے ہی صعودی ترتیب میں مرتب ہوتی ہیں، یہ دیکھا جاسکتاہے کہ Q1تیسری قدر 29(اگر یہ قدریں مرتب نہیں ہیں تو پھر آگے کیا کریں گے؟)

اس طرح ، Q3 یہ

ویں قدرکی سائز ہے

یعنی ۹ویں قدر جو کہ 51ہے۔

کیا آپ غور کرتے ہیں کہ Q-Dوسطانیہ سے کوارٹائل کا اوسط فر ق ہے۔

سرگرمی:

وسطانیہ معلوم کیجیے

کیا درج بالا بیان صحیح ہے؟ تصدیق کیجئے

مثا ل 2

40طلباء کی کلاس کے ذریعہ حاصل کیے گئے مارکس کی درج ذیل کی تقسیم کے لئے رینج اور1 Q.کا شمار کیجئے۔

جدول6.1

————————————

کلاس وقفے طلباء کی تعداد

C1۔ (f)

———————————

10–0 5

20–10 8

40–20 16

60–40 7

90–60 4

——————————

رینج محض اونچی کلاس کی اوپری اور نچلی کلاس کی حد کے درمیان فرق ہے۔

لہذا رینج Q.D–90–0=90(کوارٹائل انحراف) کے لیے پہلے مجموعی تواترات درج ذیل کے مطابق شمار کیجئے۔

کلاس وقفے تواترات مجموعی تواترات

——————————————

C1۔ f۔ c.f

——————————————

0-10 5 05

10-20 8 13

20-40 16 29

40-60 7 36

60-90 4 40

——————————————

n=40

مسلسل سیریز میں

قدر کی سائز Q1 ہے

اس طرح یہ 10ویں قدر کی سائز ہے۔ 10ویں قدر پر مشتمل کلاس 20 –10ہے لہذا Q.کلاس 20 –10میں واقع ہے اب Q,کی بالکل درست قدر کا شمار کیجئے ،درج ذیل فارمولے کا استعمال کیا جاتا ہے۔

یہاں L = 10(متعلقہ کوارٹائل کلاس کی نچلی حد ہے۔

C.f. = 5(کوارٹائل کلاس کی پیش رو کلاس کے لئے کی قدر)

i=10(کوارٹائل کلاس کا وقفہ)

f=8 (کوارٹائل کلاس کا تواتر)

اس طرح

Q=10+

x10=16.25

اسی طرح

قدر کی سائزQ3ہے۔

قدر یعنی 30ویں قدر جو کلاس 60 – 40کلاس میں واقع ہیں۔ اب Q3کے لئے فارمولے کا استعمال کرتے ہوئے اسے درج ذیل طو رپر شمار کیا جاسکتا ہے۔

اگر پورے گروپ کو دو مساوی نصف میں تقسیم کیا جاتا ہے اور ہر نصف کے لئے وسطانیہ کا شمار کیاجاتا ہے تو آپ کے پاس بہت اچھے طلباء کا وسطانیہ اور کمزور طلباء کا وسطانیہ ہوگا۔ یہ وسطانیے کسی اوسط 13.31.5کے ذریعہ پورے گروپ کے وسطانیہ سے مختلف ہوں گے۔ اسی طرح مان لیں کہ آپ کے پاس کسی شہر کے لوگوں کی آمدنیوں کے بارے میں ڈیٹا موجود ہے تب بھی لوگوں کی وسطانیہ آمدنی کا شمار کیا جاسکتا ہے۔ اگر سبھی لوگوں کو امیر اور غریب کے دو مساوی گروپوں میں تقسیم کیا جاتا ہے تب دونوں گروپوں کے وسطانیوں کا شمار کیا جاسکتا ہے کوارٹائل انحراف میں آپ کو پورے گروپ کے وسطانیے سے امیر سے متعلق گروپ اور غریب سے متعلق گروپ کے وسطانیوں کے درمیان اوسط فرق بتائے گا۔

thاور مجرد/امتیازی انفرادی

ویں, قد رکی سائز Q1ہے۔ لیکن مسلسل تقسیم میں یہ

قدر کی سائز ہے اسی طرح Q3 اور وسطانیہ کے لئے بھی nکا استعمال (n+1)کی جگہ پر کیا جاتا ہے۔

کوارٹائل انحراف کو عام طور پر غیر مقررہ تقسیم کے لئے شمار کیا جاتا ہے۔ اور یہ منتہائی قدروں کے ذریعہ بیجا متاثر نہیں ہوتا۔

.3اوسط سے بکھراؤکی پیمائش:

یادکریں کہ بکھراؤ کی تعریف ان قدروں کی حد کے طور پر کی گئی تھی جو ان کی اوسط سے متفرق ہوتی ہے۔ رینج اور کوارٹائل انحراف یہ شمار کرنے میں سودمند انہیں ہی کہ انکی اوسط سے قدریں کتنی متفرق ہیں۔ تاہم قدروں کے پھیلاؤکو شمار کرنے کے ذریعے یہ انتشار کے بارے میں اچھا تصور عطا کرتی ہیں۔ دو پیمائشیں جو قدروں کے ان کے اوسط سے انحراف پر مبنی ہوتی ہیں وہ وسط انحراف اورمعیاری انحراف ہیں۔

چونکہ اوسط ایک مرکزی قدرہے ،بعض انحرافات مثبت ہوتے ہیں اور بعض منفی ۔

اگر انہیں ایسے ہی شامل کرلیا جائے جیسے کہ یہ ہیں تب جمع سے کچھ پتہ نہیں چلے گا۔ درحقیقت حسابی وسط سے انحرافات کی جمع ہمیشہ صفرہوتی ہے ۔قدروں کے دو سیٹ پر ایک نظر ڈالیں۔

سیٹA:۔ 5 9 16

سیٹB:۔ 1 9 20

آپ دیکھ سکتے ہیں کہ سیٹ Bمیں قدریں اوسط سے زیادہ دور ہیں اور اس بنا پر سیٹ Aمیں قدروں کی نسبت زیادہ منتشر ہوں گی ۔ حسابی وسط سے انحرافات کا شمار کیجئے ۔ اور ان کا خلاصہ کیجئے۔

آپ کیاغور کرتے ہیں؟ اسے وسطانیہ کے ساتھ دہرائیے کیا آپ شمار کی گئی قدروں سے تغیر کی مقدار پر تبصرہ کرسکتے ہیں۔

وسط انحراف، انحرافات کی علامتوں کو نظر انداز کرنے کے ذریعہ اس مسئلے کو حل کرنے کی کوشش کرتا ہے۔ یعنی سبھی انحرافات مثبت پر غور کرتا ہے۔ معیاری انحراف کے لئے، انحرافات کو پہلے مربع کیا جاتا ہے اور اوسط نکالی جاتی ہے او راس کے بعد اوسط کا جد مربع (Square root)دریافت کیا جاتا ہے اب ہم انہیں الگ الگ بیان کریں گے۔

اوسط انحراف

فرض کیجئے پانچ شہروں D,C,B,Aاور Eکے طلباء کے لئے ایک کالج قائم کرنے کی تجویز رکھی گئی اور جو کہ سڑک کے ساتھ واقع۔شہر سے دیگرشہروں کی دوری کلومیٹر میں اور ان شہروں کے طلباء کی تعداد درج ذیل ہے۔

————————————————

شہر شہر Aسے دوری طلباء کی تعداد

————————————————

A۔ 0 90

B۔ 2 150

C۔ 6 100

D۔ 14 200

E۔ 18 80

————————————————

620

————————————————

اب اگر کالج شہر Aمیں واقع ہے۔ کالج پہونچنے کے لئے ہر ایک کو 2کلو میٹر سفر کرنا ہوگا۔ (کل 300کلو میٹر) ۔ مقصد یہ ہے کہ ایسے وقوع کو دریافت کیا جائے کہ طلباء کے ذریعہ سفر کی جانے والی اوسط دوری کم ترین ہو۔ (چونکہ آپ مشاہدہ کرسکتے ہیں کہ طلباء کو اوسطاً زیادہ سفر کرنا ہوگا اگر کالج شہر Aیا Eمیں واقع ہو جب کہ دوسری طرف اگر یہ کہیں وسط میں ہو تب اسے ممکن ہے کم سفر کرنا پڑے۔ وسط انحراف طلبا کے ذریعے طے کی گئی اوسط دوری کا شمار کرنے کے لیے بہتر شماریاتی طریقہ ہے۔

جو کہ بلا شبہ قدروں کا ان کی اوسط سے فرق کا حسابی اوسط ہوگا۔

سرگرمیاں

اگر کالج شہر A، شہر Eمیں واقع ہو اور اگر یہ Aاور E کے درمیان بالکل آدھے راستے پر واقع ہو تو طلباء کے ذریعہ سفر میں طے کی گئی کل دوری شمار کیجئے۔
فیصلہ کیجئے کہ آپ کے خیال میں کالج کہاں قائم کیا جانا چاہئے اگر ہر قصبے میں صرف ایک طالب علم ہو تو کیا آپ کے جو اب میں تبدیلی آتی ہے؟

غیر گروپ بند ڈیٹا کے لئے حسابی اوسط سے اوسط انحراف (Mean Deviation)کا شمار کیجئے۔

راست طریقہ:

مرحلے:

(i) قدروں کے حساب اوسط کاشمار کیا جاتا ہے۔

(ii) ہر قدر اور حسابی اوسط (A.M.)کے درمیان فرق کو شمار کیا جاتا ہے۔

(iii) ان فرق کے حساب وسط (انحرافات کہا جاتا ہے) وسط انحراف ہے۔

یعنی

مثال 3

درج ذیل قدروں 8.7.4,2 Cاور 9کے وسط انحراف کا شمار کیجئے۔

———————————————

2 4

4 2

7 1

8 2

9 3

———————————————

مفروضہ اوسط طریقہ:

ایک مفروضہ اوسط سے انحرافات کو شمارکرنے کے ذریعہ بھی وسط انحراف کوشمار کیا جاسکتا ہے۔ یہ طریقہ خاص طور پر اس وقت اپنا یا جاتا ہے جب حقیقی وسط ایک کسری عدد ہو۔ (خیال رکھیں کہ مفروضہ اوسط حقیقی اوسط کے قریب تر ہو)۔

مثال: 4

2 5

4 3

7 0

8 1

9 2

ایسے معاملے میں درج ذیل فارمولے کا استعمال کیاجاتا ہے۔

یہاں

مفروضہ اوسط سے لیے گئے مطلق انحرافات کی جمع ہے

کیاوسط ہے

مفروضہ اوسط ہے انحرافات شمار کرنے کے لئے استعمال کیا جاتا ہے۔

حقیقی اوسط کے نیچے کی قدروں بشمول حقیقی وسط کی تعداد ہے۔

حقیقی وسط کے اوپر کی قدروں کی تعداد ہے۔

غیر گروپ بند ڈیٹا کے لئے وسطانیہ سے وسط انحراف راست طریقہ:

مثال 3میں قدروں کا استعمال کرتے ہو وسطانیہ سے وسط انحراف (M.P.)کا شمار درج ذیل طور پر کیا جاسکتا ہے۔

(i) وسطانیہ کا شمار کیجئے جو کہ ۷ہے۔

(ii) وسطانیہ سے مطلق انحرافات شمار کیجئے ۔انہیں Idlکے طور پر ظاہر کیجئے۔

(iii) ان مطلق انحرافات کی اوسط دریافت کیجئے۔ یہ وسط انحراف ہے۔

مثال5

———————————————

X- وسطانیہX

——————————————

2 5

4 3

7 0

8 1

9 2

——————————————

وسطانیہ سے اس طرح M.D(وسطانیہ انحراف) ہے۔

مختصر طریقہ:

وسط انحراف مختصر یا فوری طریقے کے ذریعے شمار کرنے کے لئے قدر (A)کا استعمال انحرافات شمار کرنے کے لئے استعمال کیا جاتا ہے۔ اور درج ذیل فارمولے کا اطلاق ہوتا ہے۔

جہاں A=مستقلہ جس سے انحرافات کا شمار کیا جاتا ہے (دیگر علامتی اظہار یا ترقی میں ہیں جو مفروضہ وسط طریقے میں دیئے گئے ہیں)

مسلسل تقسیم کے لئے وسط سے وسط انحراف:

جدول 6.2

کمپنیوں کے منافع(لاکھ روپیوں میں) کمپنیوں کی تعداد

کلاس وقفے تواترات

20–10 5

30–20 8

50–30 16

70–50 8

80–70 3

مرحلے:

(i) تقسیم کا وسط شمار کیجئے۔

(ii)وسط سے کلاس کے وسطی نقاط کے مطلق انحرافات کا

شمار کیجئے۔

(iii) ہر

قدر کو اس کے مطابق تواتر کے ساتھ ضرب کریں تاکہ

fقدریں حاصل کرسکیں۔

حاصل کرنے کے لئے مختصر کریں۔

(iv) درج ذیل فارمولے کا اطلاق کریں۔

جدول 6.2میں تقسیم کے وسط انحراف کو درج ذیل طور پر شمار کیاجاسکتا ہے۔

مثال 6

———————————————————————

ـC.I۔ f۔ m.p.

10-20 5 15 25.5 127.5

20-30 8 25 15.5 124.0

30-50 16 40 0.5 8.0

50-70 8 60 19.5 156.0

70-80 3 75 34.5 103.5

———————————————————————

40 519.0

———————————————————————

جدول 6.2میں قدروں کے لے

لیتے ہوئے M.D(وسط انحراف ) کو درج ذیل طور پر شمار کیا جاسکتا ہے۔

وسطانیہ سے وسط انحراف

جدول 6.3

———————————

کلاس وقفے تواترات

————————————

20-30 5

30-40 10

40-60 20

60-80 9

80-90 6

————————————

وسطانیہ سے وسط انحراف شمار کرنے کا طریقہ وہی ہے و سط سے M.Dکے معاملے میں ہے سوائے ان انحرافات کے جو وسطانیہ سے لیے جاتے ہیں جیسا کہ نیچے دیا گیا ہے۔

مثال 7

———————————————————————

ـC.I۔ f۔ m.p.۔

20-30 5 25 25 125

30-40 10 35 15 150

40-60 20 50 0 0

60-80 9 70 20 180

80-90 6 85 35 210

———————————————————————

50 665

———————————————————————

وسط انحراف: توضیحات( Standard Deviation)

وسط انحراف سبھی قدرو پر مبنی ہے ۔ ایک قدر میں بھی تبدیلی اس پر اثر کرے گی۔ یہ کم ترین (اقل) ہے جب وسطانیہ سے شمار کیا جاتا ہے یعنی یہ اعظم ہوگا اگر وسط سے شمار کیا جاتا ہے۔ تاہم یہ انحرافات کی علامتوں کو نظر انداز کرتا ہے اور غیر مقررہ تقسیم کے لئے شمار نہیں کیاجاسکتا ہے۔

معیاری انحراف(Standard Deviation)

درمیانہ (Mean)سے مربعی انحراف کے درمیانہ کا مثبت جذر

درمیانہ (Mean)سے مربعی انحراف کے درمیانہ کا مثبت جذر المربع معیاری انحراف ہوتا ہے۔ لہذا اگر پانچ قدریں X1,X2,X3,X4اورX5ہیں تب پہلے انکے وسط (درمیانیہ) کو شمار کیا جاتا ہے اس کے بعد وسط سے قدروں کے انحرافات کا شمار کیا جاتا ہے۔ ان انحرافات کو تب مربع بنایا جاتا ہے ۔ ان مربع انحرافات کی وسط تغیری ہے تغیرکا مثبت جذر المربع معیاری انحراف ہے۔

(نوٹ کیجئے کہ معیاری انحراف کا شمار صرف وسط کی بنیاد پر کیا جاتاہے)

غیر گروپ بند ڈیٹا کے معیاری انحراف کا شمار:

انفرادی قدرں کے لئے معیاری انحراف کے شمار کے لئے چار متبادل طریقے دستیاب ہیں ۔یہ سبھی طریقے معیاری انحراف کی وہی قدر دیتے ہیں۔ یہ ہیں:

(i) حقیقی وسط طریقہ

(ii) مفروضہ وسط طریقہ

(iii) راست طریقہ

(iv) زینہ دار انحراف طریقہ

حقیقی وسط کے بجائے دیگر قدر سے انحرافات کی جمع صفر کے مساوی نہیں ہے۔

حقیقی وسط طریقہ:

بالفرض آپ کو درج ذیل قدروں کے معیاری انحراف کا شمار کرنا ہے۔

5, 10, 25, 30, 50

مثال8

x۔ d

5 19– 361

10 14– 196

25 1+ 1

30 6+ 36

50 26+ 676

0 1270

درج ذیل فارمولے کا استعمال کیا جاتا ہے۔

اس قدر پر کیا آپ غور کرتے ہیں جس سے انحرافات کا شمار درج بالا مثال میں کیا گیا ہے؟

کیا یہ حقیقی وسط ہے؟

مفروضہ وسط طریقہ

اسی قدر کے لئے انحرافات کا شمار کسی اختیاری قدرجیسے

سے کیا جاسکتا ہے۔

لیتے ہو۔ معیاری انحراف کا شمار نیچے دکھایا گیا ہے۔

مثال9

x۔ d۔

5 20– 400

10 15– 225

25 0 0

30 5+ 25

50 25+ 625

5– 1275

معیاری انحراف کے لئے فارمولا

حقیقی اوسط کے سوا قدر سے لی گئی انحراف کی جمع صفر کے مساوی ہوتی ہے۔

راست طریقہ:

معیاری انحراف کو سیدھے طور پر قدروں سے بھی شمار کیا جاسکتا

معیاری انحراف کو سیدھے طور پر قدروں سے بھی شمار کیا جاسکتا ہے۔ یعنی مشاہدات لئے بغیر، جیسا کہ نیچے دکھا یا گیاہے۔

مثال10

—————————————

5 25

10 100

25 625

30 900

50 2500

—————————————

120 4150

—————————————

یہ صفر سے انحرافات لینے کی یہ مقدار ہے۔

درج ذیل فارمولے کا استعمال کیا جاتا ہے۔

معیاری انحراف مستقلہ (Constant)جس سے انحراف کا شمار کیا جاتا ہے اس کے ذریعہ نہیں متاثر ہوتا۔ مستقلہ کی قدر معیاری انحراف فارمولے میں نہیں ظاہر ہوتی ہے اس طرح معیاری انحراف مبدا (Origin)سے آزاد ہوتا ہے۔

اگر قدریں مشترک جزوضربی کے ذریعے قابل تقسیم ہوں ،تب انہیں اس طرح تقسیم کیا جاسکتا ہے۔ اور معیاری انحراف کا شمار حاصل قدروں سے درج ذیل طور پر کیا جاسکتا ہے۔

مثال11

چونکہ جزوضربی 5کے ذریعہ سبھی پانچ قدریں قابل تقسیم ہیں، اس لئے ہم تقسیم کرتے ہیں اورد رج ذیل قدریں حاصل کرتے ہیں۔

————————————————

x۔

d۔

5 1 3.8- 14.44

10 2 2.8- 7.84

25 5 0.2+ 0.04

30 6 1.2+ 1.44

50 10 5.2+ 27.04

————————————————

0 50.80

————————————————

(شمار میں مراحل ویسے ہی ہیں جیسا کہ حقیقی وسط طریقے میں ہے)

درج ذیل فارمولے کا استعمال معیاری انحراف کا شمار کرنے کے لئے کیا جاتا ہے۔

قدروں کابدل رکھنے پر

متبادل طور پر، جزوضربی کے ذریعہ قدروں کو تقسیم کرنے کے بجائے انحرافات کو جزوضربی کے ذریعہ تقسیم کیا جاسکتا ہے معیاری انحراف کاشمار درج ذیل طور پر کیا جاسکتا ہے۔

مثال 12

——————————————————

x۔ d۔ 'd

5 20- 4- 16

10 15- 3- 9

25 0 0 0

30 5+ 1+ 1

50 25+ 5+ 25

—————————————————

1- 51

—————————————————

انحرافات کا شمار ایک اختیاری قدر 25سے کیا جاتا ہے ۔ 5کے مشترک جزوضربی کا استعمال انحرافات کو تقسیم کرنے کے لئے استعمال کیا جاتا ہے۔

معیاری انحراف پیمانے سے آزاد نہیں ہوتا۔ اس طرح اگر قدریں یا انحرافات ایک مشترک جزوضربی کے ذریعہ تقسیم کیے جاتے ہیں تب جزوضربی کی قدر کا استعمال معیاری انحراف کی قدر حاصل کرنے میں کیا جاتا ہے۔

مسلسل تواتری تقسیم میں معیاری انحراف:

غیر گروپ بندڈیٹا کی طرح معیاری انحراف (S.D)کا شمار درج ذیل طریقوں میں کسی کے ذریعہ گروپ بندڈیٹا کے لئے کیا جاسکتا ہے۔

(i) حقیقی طریقہ وسط

(ii) مفروصہ طریقہ وسط

(iii) مرحلہ وار طریقہ انحراف

حقیقی طریقہ وسط:

جدول 6.2میں قدروں کے لئے ،معیاری انحراف کا شمار درج ذیل طور پر کیا جاسکتا ہے۔

( 7 ) fd2	( 6 ) fd	( 5 ) d	( 4 ) fm	( 3 ) m	( 2 ) fm	( 1 )
3251.25 1922.00 4.00 3042.00 570.75	127.5- 124.0- 8.o- 156.0+ 103.5+	25.5- 15.5- 0.5- 19.5+ 34.5+	75 200 640 480 225	15 25 40 60 75	5 8 16 8 3	10-20 20-30 30-50 50 70 70 80
		011790.00		1620		40

درج ذیل مرحلے مطلوبہ ہیں:

.1تقسیم کی وسط شمار کیجئے

.2وسط سے وسطی قدروں کے انحرافات کا شمار کیجئے۔

۔3۔ Fdقدریں (کالم6)حاصل کرنے کے لئے انحرافات کو ان کے مطابق تواترات کے ساتھ ضرب دیں۔ (نوٹ کریں کہ

d .4قدروں (کالم7) کے ساتھ ’fd2‘قدروں کو ضرب دینے کے ذریعہ 'fd'قدروں کو شمار کیجئے ۔ان دونوں کی جمع کرکے

حاصل کیجیے۔

.5درج ذیل فارمولے کا اطلاق کریں۔

مفروضہ وسط طریقہ:

مثال 13میں قدروں کے لئے معیاری انحراف کا شمار باالفرض 40)انحرافات لینے کے ذریعہ کیا جاسکتا ہے۔

6 fd	5 fd	4 d	3 m	2 f	1 c1
3125 1800 0 200 3675	125- 120- 0 160 105	25- 15- 0 20+ 35+	15 25 40 60 75	5 8 16 8 3	10-20 20-30 30-50 50-70 70-80
11800	20+			40

درج ذیل مرحلے مطلوبہ ہیں:

.1کلاس کے وسطی نقاط کا شمار کیجئے ( کالم 3)

.2کسی مفروضہ وسط سے وسطی نقاط کا انحراف شمار کیجئے

(کالم 4) مفروضہ وسط = 40

۔fd' .3قدریں (کالم5)حاصل کرنے کے لئے مطابق تواترات کے ساتھ 'fd'کی قدروں کو ضرب دیں۔ (نوٹ کریں کہ اس کالم کی کل جمع صفر نہیں ہے کیونکہ انحرافات مفروضہ اوسط سے لئے گئے ہیں)

۔d' .4قدروں (کالم 4)کے ساتھ کالم 5میں 'fd'قدروں کو ضرب دیں تاکہ fd2قدریں (کالم 6)حاصل کرسکیں

دریافت کریں۔

.5دریافت کریں

اور

6معیاری انحراف کا شمار درج ذیل ضابطہ) (Formulaکے ذریعہ کیا جاسکتا ہے۔

زینہ واریا مرحلہ وار انحراف طریقہ:

اگر انحرافات کے قدریں کسی مشترکہ جزو ضربی سے قابل تقسیم ہو تب زینہ وار یا مرحلہ وار انحراف طریقہ سے شمار آسان ہوجاتا ہے جیسا کہ درجہ ذیل مثال میں دکھایا گیا ہے۔

مثال 15

( 7 ) fd2	( 6 ) fd	( 5 ) d	( 4 ) d	( 3 ) m	( 2 ) f	( 1 ) c1
125 72 0 128 147	25- 24- 0 32+ 21+	5- 3- 0 4+ 7+	25- 15- 0 20+ 35+	15 25 40 60 75	5 8 16 8 3	10-20 20-30 30-50 50-70 70-80
472	4+				40

ضروری مرحلے

1.کلاس کے وسطی نقاط (کالم 3)اور اختیاری طور پرچنی ہوئی قدر سے انحرافات کاشمار کریں۔ بالکل اسی طرح جیسا کہ مفروضہ طریقہ وسط میں ہے۔ اس مثال میں انحرافات قدر 40سے لیے گئے ہیں (کالم 4)

۔2۔'O'کے طور پر ظاہر کیے گئے مشترک جزو ضربی کے ذریعہ انحرافات کو تقسیم کریں۔ درج بالا مثال میں 5=Cاس طرح جو قدریں حاصل کی جاتی ہیں وہ 'd'قدریں ہیں (کالم5)

۔d' .3قدروں کو اس کے نظیری (Corresponding) 'f'قدروں (کالم2) کے ساتھ ضرب کریں اس 'fd'قدریں (کالم6)حاصل کریں۔

۔fd' .4قدریں (کالم7)حاصل کرنے کے لئے 'd'قدروں کے ساتھ 'fd'قدروں کو ضرب کریں۔

5۔کالم6اور کالم 7میں دی گئی قدروں کی جمع

اور

قدروں کو حاصل کرنے کے لئے کریں۔

.6 درج ذیل فارمولے کااطلاق کریں۔

معیاری انحراف: توضیحات

معیاری انحراف، بکھراؤ کی سب سے زیادہ استعمال کی جانے والی پیمائش ہے، جو کہ سبھی قدروں پر مبنی ہے اس لئے ایک بھی قدر میں تبدیلی معیاری انحراف کی قدر پر اثر انداز ہوتی ہے۔ یہ مبدا (Origin)سے آزاد ہے لیکن پیمانے سے نہیں۔ یہ بعض جدید شماریاتی مسائل میں بھی کار آمد ہے۔

4. بکھراؤ کی مطلق او راضافی پیمائش:

تمام پیمائش جو ابھی تک اوپر بیان کئے گئے ہیں وہ بکھراؤ کی مطلق پیمائش ہیں وہ قدر کا شمار کرتی ہیں جس کی تشریح کبھی کبھی مشکل ہوتی ہے۔ مثال کے لئے درج ذیل دو ڈیٹا سیٹ پر غور کریں۔

سیٹ A۔ 500 700 1000

سیٹB۔ 100000 120000 130000

مان لیجئے سیٹ Aمیں جو قدریں ہیں وہ آئس کریم بیچنے والے کے ذریعہ درج کی گئی یومیہ فروخت ہیں جبکہ سیٹ Bمیں ایک بڑے ڈپارٹمنٹل اسٹور کی یومیہ فروخت دکھائی گئی ہے سیٹ Aکے لئے رینج500ہے جب کہ سیٹ Bکے لئے یہ 30,000ہے ۔سیٹ Bمیں رینج کی قدر کہیں زیادہ ہے۔ کیا آپ کہہ سکتے ہیں کہ فروخت میں تغیر ڈپارٹمنٹل اسٹور کے لیے بہت زیادہ ہے ؟ یہ آسانی سے مشاہدہ کیا جاسکتا ہے کہ سیٹ Aمیں سب سے اونچی قدر سب سے چھوٹی قدر سے دو گنی ہے جب کہ سیٹ Bکے لئے یہ صرف 30%زیادہ ہے اس طرح مطلق پیمائشیں تغیر کی حد کے بارے میں گمراہ کن تصور پیش کرسکتی ہیں خاص طور پر اس وقت جب اوسطیں نمایاں طور پر متفرق ہوں۔

مطلق پیمائشوں کی دوسری کمزوری یہ ہے کہ یہ اکائیوں میں جواب دیتی ہیں جس میں اصل قدریں ظاہر کی جاتی ہیں تب انتشار بھی کلومیٹر میں ہوگا۔ تاہم اگر یہی قدریں میٹروں میں ظاہر کی جاتی ہیں تب مطلق پیمائش کا جواب میٹروں میں ہوگا اور انتشار کی قدر 1000گنا ظاہر ہوںگی۔ ان مسائل پر قابو پانے کے لئے انتشار کی اضافی پیمائشیں استعمال کی جاسکتی ہیں ۔ہر مطلق پیمائش کا اضافی مثیل (Counterpart)ہوتا ہے اس طرح رینج کے لئے ضریب(Coefficient)ہے جو درج ذیل طور پر شمار کیا جاسکتا ہے۔

رینج کا ضریب

یہاں L =سب سے بڑی قدر ۔

S= سب سے چھوٹی قدر

اسی طرح کوارٹائل انحراف کے یہ کوارٹائل انحراف کا ضریب ہے جو کہ درج ذیل طور پر شمار کیا جاسکتا ہے۔

جہاں Q3= تیسرا کوارٹائل

Q1 =پہلا کوارٹائل

انحراف کے لئے یہ وسط انحراف کاضریب ہے۔

وسط انحراف کا ضریب=

تا

اس طرح اگر وسطی انحراف کا شمار وسط کی بنیاد پر کیا جاتا ہے ،تب اس کی تقسیم وسطانیہ کے ذریعہ کی جاتی ہے۔

معیاری انحراف کے لئے اضافی پیمائش کو تغیرکا ضریب کہا جاتا ہے جس کا شمار درج ذیل طور پر کیا جاتا ہے۔

معیاری انحراف

یہ عام طور پر فی صد اصطلاح میں ظاہر کیا جاتا ہے کہ اور انتشار کی اضافی پیمائش کے لئے اکثر استعمال کیا جاتا ہے چونکہ اضافی پیمائش اکائیوں میں جن میں قدروں کا اظہار ہوتا ہے ، سے آزاد ہوتی ہیں اس لئے ان کا موازانہ محتلف گروپوں جن میں پیمائش کی مختلف اکائیاں ہوتی ہیں ،ان سے الگ ہٹ کر بھی کیا جاسکتا ہے۔

5.لورینز منحنی(Lornez Curve)

بکھراؤ کی پیمائشیں جو اب تک بیان کی گئی ہیں وہ بکھراؤ کی عدد قدر فراہم کرتی ہیں ۔ ایک گرافی پیمائش جسے لورینزمنحنی کہا جاتا ہے وہ بکھراؤ کے تخمینے کے لئے دستیاب ہے۔ آپ نے اس طرح کے بیانات سنے ہونگے:

کسی ملک کے 10%اونچے لوگ قومی آمدنی کا50% کماتے ہیں جب کہ 20%بڑے لوگوں کا حصہ 80%ہے اس طرح کے اعداد وشمار کے ذریعہ آمدنی کی نامساوات کے بارے میں پتہ ملتا ہے لورینز منحنی کے ذریعہ تغیر پذیری کے درج کو ظاہر کرنے کے لئے مجموعی انداز میں ظاہر کی گئی معلومات کا استعمال کیا جاتا ہے یہ دویا زیادہ تقسیم کی تغیر پذیری کے موازنے میں خاص طور پر مفید ہے۔

کمپنی کے ملازمین کی ماہانہ آمدنیاں ذیل میں دی گئی ہیں۔

جدول6.4

کل آمدنی 6	تواتر کا فیصد 5	کل آمدنی 4	کلاس کا تواتر 3	وسطی 2 نقطہ	متوسط آمدنی 1
1.29 7.71 27.76 30.85 32.39	10 20 36 20 14	12500 75000 270000 300000 315000 100	5 10 18 10 7 972500	2500 7500 15000 30000 45000 50	0-5000 5000-10000 10000-20000 20000-40000 40000-50000

جدول 6.5

مجموعی تواتر اور آمدنی سے کم

تواتر سے کم	مجموعی	مجموعی
5,000 10,000 20,000 40,000 50,000	10 3 66 86 100	1.29 9.00 36.76 67.61 100.0

لورینز منحنی ہمیں ، آبادی کے فیصد اور اس کے حصہ کے درمیان تعلق کومیزانی شکل میں فراہم کرتاہے۔ پہلے ہم ہر آمدنی کے گروہ میں آبادی کا فی صد اور اس کی میزان کا شمار کریں گے اور بعد میں آبادی کی میزان اور اس کے (آبادی کے) حصہ کے میزان کا فی صد ہمیں لارینز منحنی دیتا ہے

لورینز منحنی تیار کرنا (Construction of Lorenze Curve)

درج مرحلے مطلوب ہیں ۔

کا شمار کیجیے۔ جیسا کالم 3میں دیا گیا ہے۔

2۔ کالم نمبر (4)کے مطابق

اجتماعی تعددی فی صد شمار کیجیے۔

3۔ کلاس وسطیٰ نقطہ معلوم کریں کالم نمبر داری کے مطابق کالم 5کے مطابق کلاس وسطیٰ نقد آمدنی کے گروہ میں ہر شخص کو اوسط آمدنی کا کس طرح انداز ا لگایا جا سکتا ہے۔ کالم 5کے مطابق کلاس وسطیٰ نقطوں کو معلوم کیجیے۔

4۔ اب آمدنی کے ہر گروہ کے حصہ(Share)کا شمار کیجیے۔ہمیں ہر گروہ کی مجموعی اور تمام گروہ کی مجموعی آمدنی ۔ ہر جماعت کی مجموعی آمدنی کی ضرورت ہے ۔کالم نمبر 2کو کالم نمبر 5سے ضرب کرکے حاصل ہو گی جیسا کہ کالم نمبر 6میں دیا گیا ہے۔

5۔ کالم 7میں دئیے گئے

فارمولہ کی مدد سے فی صد حصہ (percentage share)

شمار کیجیے۔

6۔ کالم 8کے مطابق اجتماعی فی صد حصہ شمار کیجیے۔

7۔ ایک ترسیمی کاغذ( Graph Paper) لیجیے۔ شکل 6.1 کے ز مطابق xمحور پر تعدد کا اجتماعی فی صد ]ملازمین کی تعداد[(یعنی کالم نمبر 4) اور Yمحور پر متغیر کا اجتماعی فی صد لیجیے اس طرح مبدا (0,0)،% 0آبادی %0آمدنی کے حصہ کو ظاہر کرے گا۔ جو کہ واضح ہے۔

8۔ ایک خط 100، 100کے ساتھ (0,0) مختطت (Coordinates) کو ملائیے ۔حاصل شدہ خط مساوی تقسیم کا خط کہا جاتا ہے۔

شکل ’OC‘ خط کے طور پر اسے دکھایا گیا ہے۔

9۔ تواترکے مطابق مجموعی فی صد کے ساتھ متغیر کے مجموعی فی صدوںکی ترمیم کیجیے ۔ منحنی OAC حاصل کرنے کے لئے ان نقاط کو ملائیے۔

لورینز منحنی کا مطالعہ:

OCکو مساوی تقسیم کا خط کہا جاتا ہے چونکہ یہ ایک ایسی صورت حال کی دلالت کرتا ہے جیسے اوپری اوپری سطح کے %20لوگ کل آمدنی کا %20کماتے ہیں اور اوپری سطح کے %60لوگ کل آمدنی کا %60کماتے ہیں ۔ اس خط سے منحنیOAC جتنا دور ہوگا اتنا ہی تقسیم کی غیر مساویت میں اضافہ ہوگا۔ اگر یکساں محوروں پر دو یا دو سے زیادہ منحنیاں ہیں تب جو COخط سے زیادہ دور ہے تب وہاں سب سے زیادہ غیر مساویت (Inequality)رہے گی۔ تاہم، اگر دو یورینز منحنی ایک دوسرے کو قطع کرتے ہوں تو کوئی نتیجہ برآمد نہیں ہوگا۔

.7اختتام:

اگر چہ رینج کو شمار کرنا اور سمجھنا زیادہ آسان ہے تاہم اس پر انتہائی قدروں کا بے جا اثر پڑتا ہے ۔ QD(کوارٹائل انحراف) انتہائی قدروں کے ذریعہ متاثر نہیں ہوتا کیونکہ یہ ڈیٹا کے صرف وسطی 50%پر مبنی ہے تاہم MD اور S.Dکی تشریح کرنا زیادہ مشکل ہے۔دونوں اپنی اوسط سے قدرں کے انحراف پر مبنی ہیں۔ MDیہ اوسط کے ذریعہ انحرافات کی اوسط کا شمار کرتا ہے۔ لیکن انحرافات کی علامتو ںکو نظر انداز کرتا ہے اور اسی لیے یہ غیر ریاضیاتی دکھائی دیتا ہے۔ معیاری انحراف وسط سے اوسط انحراف شمار کرنے کی سعی کرتا ہے ۔ MDکی طرح یہ سبھی قدروں پر مبنی ہے اور اس کا طلاق زیادہ جدید شمار یاتی مسائل میں بھی کیا جاتا ہے ۔ بکھراؤ کی پیمائش کے لئے اسے بڑے پیمانے پر استعمال کا جاتا ہے۔

خلاصہ

بکھراؤ کی پیمائش کسی معاشی متغیر کے کیفیت کے بارے میں ہماری فہم کو بہتر بناتی ہے۔
رینج او رکوارٹائل انحراف قدروں کے پھیلاؤ پر مبنی ہیں۔

MD. (وسط انحراف) اور SD(معیاری انحراف) اوسط کی قدروں کے انحرافات پر مبنی ہیں۔

بکھراؤ کی پیمائش مطلق یا اضافی ہوسکتی ہے۔
مطلق پیمائشیں اکائیوں میںجواب فراہم کرتی ہیں جن میں ڈیٹا کا اظہار کیا جاتا ہے۔
اگر مطلق قدر کا موازانہ کیا جائے تو اس کے مقابلے میں اضافی پیمائشیں ان اکائیوں سے آزادہوتی ہیں۔
اضافی متعلقہ پیمائش اکائیوں سے آزاد ہوتی ہیں اس لئے مختلف متغیروں کے تقابل کے لئے استعمال کیا جا سکتا ہے۔
ایک ترسیمی طریقہ جو منحنی کے انحراف کا اندازہ قائم کرتا ہے، لورینز منحنی کہلاتا ہے۔

مشقیں

.1ایک تعددی تقسیم کو سمجھنے میں بکھراؤ کی پیمائش مرکزی قدر کا ایک بہتر تکملہ ہے ۔ تبصرہ کیجئے۔

.2 بکھراؤ کی کون سی پیمائش بہتر ہے اور کس طرح؟

3۔ انحراف کی چند پیمائشیں قیمتوں کے پھیلاؤ پر منحصر ہوتی ہے جبکہ چند مرکزی قیمت سے قیمتوں کی تبدیلی پر منحصر ہے۔ کیاآپ متفق ہیں؟

.4 ایک قصبے میں %25افراد 45,000روپے سے زیادہ کماتے ہیں جب کہ %75افراد و18,000روپے سے زیادہ کماتے ہیں۔

بکھراؤ کی مطلق اور اضافی قدروں کا شمار کیجئے۔

.5 ریاست کے 10اضلاع کے لئے گیہوں کی فی ایکڑ پیداوار درج ذیل ہے:

ضلع 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

گیہوں 12 10 15 19 21 16 18 9 25 10

چاول 22 29 12 23 18 15 12 34 18 12

شمار کیجئے

(i)رینج

(ii)کوارٹائل انحراف (Q.D)

(iii)وسط کے بارے میں وسط انحراف

(iv)وسطانیہ کے بارے میں وسط انحراف

(v)وسط انحراف

(vi)کسی فصل میں زیادہ تغیر ہے۔

(vii)ہر فصل کے لئے مختلف پیمائشوں کی قدروں کا موازنہ کیجئے۔

.6پچھلے سوال میں تغیر کی اضافی پیمائشوں کا شمار کیجئے اور قدر ظاہر کیجئے جو کہ آپ کی رائے میں زیادہ معتبر ہے۔

.7ایک بلے باز کو ایک کرکٹ ٹیم کے لئے منتخب کیا جاتا ہے ان کے پچھلے اسکورپانچ ٹسٹ میچوں کے بنیاد پر Xاور Yکے درمیان انتخاب کیا جاتا ہے یہ اسکور درج ذیل ہیں:

اگر ہم چاہتے ہیں تو کون سے بلے باز کو منتخب کیا جانا چاہئے۔

X۔ 25 85 40 80 120

y۔ 50 70 65 45 80

(a)زیادہ رن حاصل کرنے والے کو

(b) ٹیم میں ایک زیادہ معتبر بلے باز

.8 روشنی کے بلبوں دو برانڈوں کی کوالٹی کی جانچ کرنے کے لئے ان کے جلنے کے گھنٹوں کی مدت کا تخمینہ ہر برانڈ کے 100بلبوں کے لئے درج ذیل طور پر لگایا گیا تھا۔

مدت بلبو کی تعداد

گھنٹوں میں برانڈ A۔ برانڈ B

0-50 15 2

50-100 20 8

100-150 18 60

150-200 25 25

200-250 22 5

100 100

(i)کون سا برانڈزیادہ مدت چلتا ہے؟

(ii)کون سا برانڈ ایسا ہے جو بھروسے کے قابل ہے۔

.9 ایک فیکٹری میں 50ورکرس کی اوسط یومیہ مزدوری 40روپے کے معیاری انحراف کے ساتھ 200روپے تھی۔ ہر ور کر کی مزدوری میں 20روپے کا اضافہ ہوتا ہے ۔ نئی اوسط یومیہ مزدوری اورمعیاری انحراف کیا ہوگا؟ کیا مزدوریوں میں زیادہ یا کم یکسانیت ہوجائے گی۔

.10 اگر پچھلے سوال میں ہر ورکر کی اجرتوں میں 10%کا اضافہ کیا جاتا ہے وسط اور معیاری انحراف قدریں کس طرح متاثر ہوںگی۔

11 . درج ذیل تقسیم کے لئے وسط اور معیاری انحراف کے استعمال سے وسط انحراف کا شمار کیجئے۔

کلاس تواترات

20-40 3

40-80 6

80-100 20

100-120 12

120-140 9

10 .12قدروں کی جمع 100ہے اور ان کے مربع کی جمع 1090ہے تغیر کا ضریب دریافت کیجئے۔