Skip to content
Read PDF Question Answers
Shumariyatbara-e-mashiyat

باب 7

ہم رشتگی ( Correlation )

1

اس باب کے مطالعہ کے بعد اتنی استعداد ہونی چاہئے کہ آپ :

  • ہم رشتگی (Correlation)  اصطلاح کے معنی سمجھ سکیں؛ 
  • دو متغیرات کے درمیان رشتوں کی نوعیت سمجھ سکیں؛
  • ہم رشتگی کی مختلف پیمائشوں کا شمار کر سکیں؛ 
  • رشتوں کے درجے اور سمت کا تجزیہ کر سکیں۔ 

.1تعارف

پچھلے ابواب میں آپ نے سیکھا کہ ڈیٹا کے اتبداء میں خلاصہ پیمائشوں کی تخلیق کیسے کرنی ہوتی ہے اور یکساں متغیرات کے درمیان تبدیلیاں کیسے واقع ہوتی ہیں ۔ اب آپ مطالعہ کریں گے کہ دو متغیرات کے درمیان باہم تعلق کا جائزہ کیسے لیا جاتا ہے ۔ 

جب گرمی کے موسم میں گرمی بڑھتی ہے ، پہاڑ ی مقامات پرزیادہ سے زیادہ سیاحوں کی بھیڑ بڑھنے لگتی ہے ۔ آئس کریم کی فروخت میں زبر دست اضافہ ہوتا ہے ۔ اس درجہ حرارت کا تعلق سیاحوں کی تعداد اور آئس کریم کی فروخت سے ہے۔ اسی طرح ٹماٹر کی فراہمی آپ کی مقای منڈی میں بڑھ جاتی ہے ، اس کی قیمتیں گھٹ جاتی ہیں ۔ جب مقامی فصل بازار میں پہونچنی شروع ہو جاتی ہے ٹماٹر کی قیمت انتہائی اونچی قیمت 40 روپے کلو سے گھٹ کر 4 روپے یا اس سے بھی کم ہو جاتی ہیں ۔ اسی طرح فراہمی کا تعلق قیمت سے ہے ۔ ہم رشتگی کا تجزیہ اس طرح رشتوں کا نظامی طور پر جائزہ لینے کا یک وسیلہ ہے ۔ اس میں درج ذیل طرح کے سوالات برتے جاتے ہیں:

  • کیا دو متغیرات کے درمیان کوئی رشتہ ہے ؟
2
  • اگر ایک متغیرہ کی قدر میں تبدیلی ہوتی ہے ، تو کیا دوسرے کی قدر میں بھی تبدیلی ہوتی ہے؟ 
3
  • کیا دونوں متغیرات ایک ہی سمت میں حرکت کرتے ہیں؟
4
  • رشتے میں کتنی مضبوطی ہوتی ہے؟

.2رشتوں کی اقسام 

آئیے ہم مختلف قسم کے رشتوں پر ایک نظر ڈالیں۔ مانگ کی گئی مقدار اور شے قیمت میں حرکات کے درمیان رشتہ مانگ یا طلب کے نظریے کا ایک لازمی جزو ہے ، جس کے بارے میں آپ کلاس XII  میں پڑھیں گے۔ کم زراعتی پیداوار یت کا تعلق کم بارش سے ہے ۔ رشتوں کی یہ مثالیںاس اثر کی توضیح پیش کر سکتی ہیں ۔ دیگر محض اور اتفاقی ہو سکتی ہیں۔ موسمی کوچ کرنے والے پرندوں کا مخصوص محفوظ علاقوں (Sanctuary)   میں آنا اور آپ کے علاقے میں شرح پیدائش کے درمیان رشتہ سبب واثر کی توضیح نہیں پیش کر سکتا۔ یہ رشتے محض اتفاق ہیں ۔ آپ کے جوتے کی ناپ اور آپ کی جیب میں موجود رقم کے درمیان رشتہ اسی طرح کی ایک اور مثال ہے ۔ حتی کہ اگر رشتہ موجود بھی ہے تو اس کی وضاحت کرنا مشکل ہے ۔ 
ایک دوسری مثال میں دو متغیروں پر ایک تیسرے متغیر کا اثر دو متغیرات کے درمیان رشتے کا گمان کر ا سکتا ہے ۔ آئس کریم کی زبردست فروخت کا تعلق، ڈوبنے کے سبب ہونے والی اموات کی اونچی تعداد نہیں ہو سکتا ہے ۔ اس کے شکار آئس کریم کھانے کے سبب نہیں ڈوبتے ہیں۔ درجہ حرارت میں اضافہ آئس کریم کی اچھی فروخت کی وجہ ہے ۔ مزید برآں ، لوگوں کی ایک بڑی تعداد گرمی سے بچنے کے لیے تیراکی کرنے سوئمنگ پول جانا شروع کرتی ہے ۔ یہ ڈوبنے سے اموات کی تعداد میں اضافے کا سبب ہو سکتی ہے ۔ اس طرح آئس کریم کی فروخت اور ڈوبنے کے سبب ہونے والی اموات کے درمیان اعلیٰ ہم رشتگی کے پس پردہ درجئہ حرارت ہے ۔ 

ہم رشتگی کیا پیمائش کرتی ہے ؟ 

ہم رشتگی متغیرات کے رشتوں کی سمت اور شدت کا مطالعہ اور پیمائش کرتی ہے۔ہم رشتگی باہمی فرق کی پیمائش کرتی ہے نہ کہ اسباب کی۔ ہم رشتگی سبب و اثر رشتے کی دلالت کے طور پر توضیح نہیں کرتی۔دو متغیروںy،x کے درمیان ہم رشتگی باہمی فرق کی پیمائش کرتی ہے نہ کہ اسباب کی۔ہم رشتگی کے وجود کا عام مفہوم یہ ہے کہ جب ایک متغیر کی قیمت میں ایک سمت میں تبدیلی ہوتی ہے،تب دوسرے متغیر کی قیمت میں اُسی سمت میں (یعنی مثبت تبدیلی) یا مخالف سمت میں(منفی تبدیلی) لیکن متعین انداز میں تبدیلی ہوتی ہے۔ سہولت کے لئے ہم فرض کرتے ہیں کہ یہاں ہم رشتگی اگر ہے تو یہ خطی ہے یعنی دو متغیروں کی نسبتی حرکت کا اظہار خط مستقیم بنا کر کیا جا سکتا ہے۔

ہم رشتگی کی اقسام 

ہم رشتگی کو عام طور پر منفی اور مثبت ہم رشتگی میں درجہ بند کیا جاتا ہے ۔ ہم رشتگی کو مثبت اس وقت کہا جاتا ہے جب متغیرات ایک ہی سمت میں حرکت کرتے ہیں ۔ جب آمدنی بڑھتی ہے تب خرچ میں بھی اضافہ ہوتا ہے ۔ جب آمدنی میں کمی پیدا ہوتی ہے تب خرچ میں بھی کمی آتی ہے ۔ آئس کریم کی فروخت اور درجۂ حرارت ایک ہی سمت میں جنبش کرتے ہیں۔ ہم رشتگی اسی وقت منفی ہوتی ہے جب وہ مخالف سمت میں حرکت کرتے ہیں۔ جب سیب کی قیمت گرتی ہے اس کی مانگ میں اضافہ ہوتا ہے ۔ جب قیمتیں بڑھتی ہیں تو مانگ میں کمی پیدا ہوتی ہے ۔ جب آپ مطالعہ میں زیادہ وقت لگاتے ہیں تب آپ کے نا کام ہونے کا اتفاق کم ہوتا ہے ۔ جب آپ مطالعہ میں کم گھنٹے لگاتے ہیں تب آپ کے کم نمبر یا گریڈ حاصل فیل ہونے کا اتفاق زیادہ ہو جاتا ہے یہ منفی ہم رشتگی کی مثالیں ہیں ۔ متغیرات مخالف سمت میں حرکت کرتے ہیں۔ 

.3ہم رشتگی کی پیمائش کے لیے تکنیکیں

ہم رشتگی کی پیمائش کے تین اہم وسائل کا استعمال کیا جاتا ہے۔
(1) ڈائیگرام (Scatter Diagram)
(2) کارل پیئرسن(Karl Pearson)کا ہم رشتگی کا ضریب
(3) اسپئیرمین کا ہم رشتگی رینک
(Scatterdiagram) بغیر کوئی عددی قدر دکھلائے تعلق کی نوعیت کو ظاہر کرتاہے۔ دو متغیرات کے درمیان خطی تعلق کی عدد ی پیمائش کار ول پیرسن کے ہم رشتگی کے ضریب کے ذریعہ پیش کی جاتی ہے ۔ کسی رشتے کو خطی تب کہا جاتا ہے جب اسے خط مستقیم کے ذریعہ پیش کیا جائے ۔ اسپیئر مین کے ہم رشتگی ضریب جو انفردی مدوں کو ان کی خصوصیتوں کے لحاظ سے تفویض کیے گئے رینکوں (مرتبوں) کے درمیان خطی تعلق کی پیمائش کرتا ہے ۔ خصوصیات وہ متغیرات ہیں جن کی پیمائش عددی طور پر نہیں کی جا سکتی مثلاً لوگون کی ذہانت ، جسمانی بناوٹ، ایمانداری وغیرہ ۔

انتشاری ڈائیگرام(Scatter Diagram)

انتشاری ،ڈائیگرام ، بغیر کسی عددی قدر کو شمار کیے ہوئے رشتوں کی شکل کا بصری طور پر جائزہ لینے کی ایک مفید تکنیک ہے ۔ اس تکنیک میں دو متغیرات قیمتوں کا تعین گراف کاغذ پر نقاط کے طور پر کیا جاتا ہے.......ڈائیگرام سے ہم تعلقات کی نوعیت کا بہتر تصور لے سکتے ہیں۔انتشاری ڈائیگرام سے کوئی بھی رشتوں کی نوعیت کا کافی اچھا اندازہ حاصل کر سکتا ہے۔ انتشاری ڈائیگرام میں انتشاری نقطوں کی قربت کا درجہ اور ان کی مجموعی سمت ہمیں رشتوں کا جائزہ لینے کا اہل بناتی ہے ۔ اگر سبھی نقاط ایک خط پر واقع ہیں تب ہم رشتگی کا مل ہے اور یہ کہا  جا سکتا ہے کہ ہم آہنگی (Unity) ہے ۔ 
انتشاری ڈائیگرام شکل 7.1  تا 7.5  محیط ہے جو ہمیں دو متغیرات کے درمیان رشتوں کا تصور فراہم کرتی ہے ۔ شکل 7.1  ایک فرازی (اوپری جانب) بڑھتے خط کے گرد انتشار دکھاتی ہے جس سے اشارہ ملتاہے کہ متغیرات کی حرکت ایک ہی سمت میں ہے ۔جبX بڑھتا ہے تب Y بھی بڑھے گا۔ یہ ایک مثبت ہم رشتگی ہے ۔ شکل 7.2  میں نقاط نشیبی ڈھلواں خط کے گرد بکھرے ہیں۔ اس وقت متغیرات مخالف سمتوں میں حرکت کرتے ہیں جب x بڑھتا ہے تب Y نیچے آتا ہے اور Y بڑھتا ہے تب X نیچے آتا ہے ۔ یہ ایک منفی ہم رشتگی ہے ۔ شکل7.3  میں فرازی بڑھتا یا نشیبی ڈھلواں ہوتا ہوا خط نہیں ہے جس کے گرد نقاط منتشر ہوں ۔ یہ ہم رشتگی نہ ہونے کی ایک مثال ہے ۔ شکل 7.4 اور شکل 7.5 میں نقاط فرازی بڑھتے یا نشیبی گرتے خط کے گرد دور بکھرے نہیں ہیں بلکہ وہ خطوط پر ہی موجود ہیں۔ اسے   کامل مثبت ہم رشتگی اور کامل منفی ہم رشتگی کے طور پر جانا جاتا ہے۔ انتشارہ ڈائیگرام کامشاہدہ رشتوں کی نوعیت اور شدت کے بارے میں ایک اندازہ پیش کرنا ہے ۔ 

سر گرمیاں

کلاس X میں اونچائی ، وزن اور کوئی دو مضامین میں اپنی کلاس میں طلباکے ذریعہ حاصل کیے گئے مارکس کے ڈیٹا اکٹھا کیجئے۔ ایک وقت میں دو دو اختیار کرتے ہوئے ان متغیرات کا انتشاری ڈائیگرام بنا ئیے ۔ آپ کس طرح کا رشتہ دریافت کرتے ہیں؟

کارل پیرسن کا ہم رشتگی ضریب 

اسے حاصل ضرب گردشیہ ہم رشتگی اور سادہ ہم رشتگی ضریب کے طور پر بھی جانا جاتا ہے ۔ یہ دو متغیرات X اور Y کے درمیان خطی رشتوں کی جامع عددی قدر فراہم کرتا ہے ۔ خطی رشتہ درج ذیل طور پر ہو سکتا ہے۔
5
 اس طرح کے رشتے کو خط مستقیم کے ذریعہ بیان کیا جا سکتا ہے ۔ مقطوعہ (Intercept) جو خط Y محور پر بنتا اسے a کے ذریعہ ظاہر کیا جاتا ہے اور خط کی ڈھال (Slope)کوما کے ذریعہ بیان کیا جاتاہے ۔ یہ قدر X میں بہت معمولی تبدیلی کے لیے Y  میں تبدیلی فراہم کرتا ہے ۔ جب کہ دوسری طرف اگر رشتہ خط مستقیم کے ذریعہ نہیں پیش کیا جا سکتا جیسا کہ درج ذیل میں ہے 
7
6
شکل 7.1: مثبت ہم رشتگی
شکل 7.2: منفی ہم رشتگی
شکل 7.3: کوئی ہم رشتگی نہیں
شکل 7.4: کامل مثبت ہم رشتگی
شکل 7.5: کامل منفی ہم رشتگی
شکل 7.6: مثبت غیر خطی رشتہ
شکل 7.7: منفی غیر خطی رشتہ

تب ضریب کی قدر صفر ہوگی ۔ یہ صاف طور پر ظاہر کرتا ہے کہ صفر ہم رشتگی کا مطلب یہ نہیں کہ دو متغیرات کے درمیان کسی قسم کے رشتے کی غیر موجودگی ہے ۔ 
فرض کیجیے 8کی N قدریں ہیں اور9کی مطابق قدریں ہیں ۔ بعدکی پیشکشوں میں زیر نوشتے(Subscripts)اکائی ظاہر کرتے ہوئے تسہیل کی خاطر چھوڑ دیے جاتے ہیں X اورYکی حسابی وسط کو درج ذیل طور پر متعین کیا جاتا ہے ۔ 
10
     
 X اور Y کے معیاری انحرافات (Covariance) کو درج ذیل طور پر بیان کیا جا سکتا ہے۔ 
11
X اورY کی علی الترتیب ان کی وسط قدروں سے انحرافات ہیں۔ 
X اورYکے درمیان ہم انحراف ہم رشتگی ضریب کی علامت کا تعین کرتے ہیں ۔ معیاری انحرافات ہمیشہ مثبت ہوتے ہیں۔ ہم رشتگی ضریب ہمیشہ صفر ہوتے ہیں۔ پروڈکٹ مومنٹ ہم رشتگی یا ہم رشتگی کی کارل یارسن کی پیمائش درج ذیل طور پر بیان کی جاتی ہے
12

ہم رشتگی ضریب کی خصوصیات :

آئینے اب ہم رشتگی ضریب کی خصوصیات کا بیان کریں۔ 

  • rکی کوئی ا کائی نہیں ہے ۔ یہ ایک خالص عدد ہے ۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ پیمائش کی اکائیاں کا حصہ نہیں ہیں۔ اونچائی کے درمیان فٹ میں اور وزن کلو گرام میں ہے۔ مثال کے لئے 0.7۔
  • rکی منفی قدر معکوس رشتہ ظاہر کرتی ہے ایک متغیرہ میں تبدیلی مخالف سمت میں دیگر متغیرہ میں تبدیلی کے ساتھ وابستہ ہوتی ہے ۔ جب کسی شے کی قیمت میں اضافہ ہوتا ہے تب اس کی مانگ میں کمی ہو جاتی ہے ۔ جب سود کی شرح بڑھتی ہے تب فنڈوں (رقم مہیا کرنا) کی مانگ میں بھی کمی آجاتی ہے۔ ایسا اس لیے ہوتا ہے کہ اب فنڈ گراں بن چکے ہیں۔ 
13
میں کافی لمبا ہوں جب کہ تم کافی چھوٹے ہو
ہم میں منفی ہم رشتگی ہے
  • اگر  مثبت ہے تب دو متغیرات ایک ہی سمت میں حرکت کرتے ہیں جب کافی کی قیمت ، (چائے کا ایک بدل) بڑھتی ہے تب چائے کی مانگ میں بھی اضافہ ہو جاتا ہے ۔ آبپاشی کی سہولتوں میں بہتری کا تعلق زیادہ، پیداوار سے ہے۔جب درجہ حرارت بڑھتا ہے تب آئس کریم کی فروخت میں زبردست اضافہ ہوتا ہے۔ 
  • اگرr=0تب دو متغیرات میں ہم رشتگی نہیں ہوئی ۔ ان کے درمیان کوئی خطی رشتہ نہیں ہوتا۔ تا ہم دیگر قسم کے رشتے واقع ہو سکتے ہیں ۔ 
  • اگر r = 1 یا r = –1تب ہم رشتگی کامل ہوتی ہے۔ ان کے درمیان رشتہ بالکل صحیح ہوتا ہے۔ 
  • r  کی اونچی قدر مضبوط خطی رشتہ ظاہر کرتی ہے ۔ اس کی قدر کو اس وقت اونچا کہا جاتا ہے جب یہ +1 یا–1سے قریب ہو۔ 
  • r کی نچلی قدر کمزور خطی رشتے کی نشاندہی کرنی ہے ۔ اس کی قدر کو کم تر اس وقت کہا جاتا ہے جب یہ صفر کے قریب ہو۔ 
  • ہم رشتگی کے ضریب کی قدرمنفی اور جمع کے درمیان واقع ہوتی ہے14اگر کسی مشق میں،r کی قدر اس رینج سے باہر ہے تب یہ حساب میں خطا کا اظہار کرتی ہے۔
  • rکی قدر مبدا کی تبدیلی اور پیمانے کے تبدیلی کا اثر نہیں ہونا۔ دو متغیرات X اور Y بیان کیے گئے ہیں۔آپ ہم دو نئے متغیرات کی تعریف کریں۔ 
15
جہاں A اور C علی الترتیب X اور Y مفروضہ وسط ہیں۔ B  اور D  مشترک جزو ضربی ہیں تب

17
اس خاصیت کا استعمال ہم رشتگی ضریب کا شمار نہایت سہل طریقے میں کرنے کے لیے کیا جاتا ہے جیسا کہ مرحلہ انحراف طریقے میں ہوتا ۔ جیسا کہ آپ باب 1میں پڑھ چکے ہیں کہ شماریاتی طریقے فہم عامہ کابدل نہیں ہیں۔ یہ ایک دوری مثال ہے جو ہم رشتگی کو شمار کرنے سے قبل ڈیٹاکو اچھی طرح سمجھنے کی ضرورت پر روشنی ڈالتی ہے ۔ کچھ گاؤں میں وبائی مرض پھوٹ پڑا اور حکومت نے متاثرہ گاؤں میں ڈاکٹروں کی ایک ٹیم بھیجی ۔ گاؤں میں اموات کی تعداد اور بھیجے گئے ڈاکٹروں کی تعداد کے درمیان ہم رشتگی مثبت دی جاتی ہے ۔ عام طور پر ڈاکٹروں کے ذریعہ فراہم کی گئی صحت کی دیکھ بھال سے متعلق سہولتوں سے اموات کی تعداد میں کمی کی توقع کی جاتی ہے جس سے منفی ہم رشتگی ظاہر ہوتی ہے۔ ایسا دیگر اسباب کی بنا پر واقع ہوتا ہے ۔ ڈیٹا مخصوص عرصے سے متعلق ہوتا ہے ۔ مطلع کی گئی بہت سی اموات یک وقتی معاملہ ہو سکتی ہے جہاں ڈاکٹر کچھ نہیں کر سکتے۔ مزید برآں داکٹروں کی موجودگی کا فائدہ کچھ وقت کے بعد دکھائی دے سکتا ہے ۔ یہ بھی ممکن ہے کہ مطلع کی گئی اموات کا تعلق وبائی مرض کے سبب نہ ہو۔ سنامی ، ملک میں اچانک تباہی مچاتی ہے اور مرنے والوں کی تعداد کافی بڑھ جاتی ہے ۔ 
آئیے ہم rکا حساب کسانوں کی تربیت کے سالوں اور فی ایکٹرسالانہ پیداوار کے درمیان رشتے کا جائزہ لینے کے ذریعہ سمجھائیں گے۔  

مثال  1 

—————————————————————————
کسانوں کی تربیت کے سالوں کی تعداد 1.000 روپے میں فی ایکڑسالانہ 
 تعداد                                                        پیداوار 
—————————————————————————
0 4
2 4
4 6
6 10
8 10
10 8
12 7 
—————————————————————————
فارمولانمبر1میں18کی قدرکی ضرورت ہے۔ 
جدول 7.1  سے ہم حاصل کرتے ہیں ؛
19
ان قدروں کو فارمولا 1  میں رکھنے پر
  20
یہی قدر فارمولا (2)  سے بھی حاصل ہو سکتی ہے ۔ 
22
اسی طرح کسانوں کے تعلیم کے سالوں اور فی ایکڑ سالانہ پیداوار میں مثبت ہم رشتگی ہے ۔ اس کی قدر بھی بڑی ہے ۔ اس سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ سالوں کی زیادہ سے زیادہ تعداد جو تعلیم میں لگائی جاتی ہے اس سے اتنا ہی زیادہ فی ایکڑ پیداوار ہوگی۔ اس سے کسانوں کی تعلیم کی اہمیت نمایاں ہوتی ہے۔ 
فارمولا (3) کا استعمال کرنے کے لیے۔ 
23
درج ذیل عبارتوں کی قدر یعنی 24کاشمار کرنا ہوتا ہے ۔ 
r کی قدر حاصل کرنے کے لیے اب فارمولا (3) کا طلاق کریں۔ 
آئیے ہم r کی مختلف قدروں کی توضیح کریں۔ انگریزی اورشمار یات میں حاصل کیے گئے نمبروں کے درمیان ہم رشتگی مزید بالفرضی، 0.1ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ اگر چہ دو مضامین میں حاصل کیے گئے مارکس مثبت طور پر ہم رشتہ ہیں لیکن رشتوں کا استحکام کمزور ہے ۔ انگریزی میں زیادہ مارکس والے طلبا ممکن ہے شماریات میں نسبتاً کم مارکس حاصل کر رہے ہوں۔ اگر کی قدر بالفرض 0.9 ہوتی تب انگریزی میں زیادہ مارکس پانے والے طلبا۔ ہمیشہ شماریات میں زیادہ مارکس حاصل کریں گے ۔ 
منفی ہم رشتگی کی ایک مثال مقامی منڈی میں سبزیوں کی آمد اور سبزیوں کی قیمت کے درمیان رشتہ ہے ۔ اگر 0.9 ہے تب مقامی منڈی میں سبزی کی فراہمی سبزیوں کی کم قیمت سے وابستہ ہوگی ۔ اگر یہ 0.1 ہوتی تب سبزیوں کی زیادہ فراہمی کم قیمت سے وابستہ ہوگی اتنی کم نہیں جتنی کہ اس وقت جب 0.9  ہے ۔ کس حد تک قیمت گرتی ہے یہ کی مطلق قدر پر مبنی ہے ۔ اگر یہ صفر ہوتی تب قیمت میں کوئی گراوٹ نہیں ہوتی ۔ بھلے ہی بازار میں فراہمی کافی زیادہ ہو۔ اس بات کا بھی امکان ہے کہ فراہمی میں اضافہ اچھے ٹرانسپورٹ کی وجہ سے دوسرے بازاروں سے مال منتقل ہو جا ئے۔ 

جدول 7.1


کسانوں کی تعلیم و تربیت کے سالوں اور سالانہ پیداوار کے درمیان rکا شمار



( x - x ) ( y-p ) ( y-p ) ( v-p ) سالانہ پیداوار فی ایکٹر ( x-x ) x-x کسانوں کی ترتیب کے سال
18
12
2
0
6
4
0		 9
9
1
9
9
1
0		 -3
-3
-1
3
3
1
0		 4
4
6
10
10
8
7		 36
16
4
0
4
16
36		 -6
-
-2
0
2

6		 0
2

6
8
10
12
 math10

سرگرمی 

l درج ذیل جدول پر نظر دالیں موجودہ قیمت اور بطور GDP  فی صد مجموعی گھریلو بچت پر قوی آمدنی کے سالانہ نموکے درمیان ہ  کا شمار کیجیے۔ 

ہم رشتگی ضریب کا شمار کرنے کے لیے مرحلہ وار انحراف طریقہ ۔

جب متغیرات کی قدر یں بڑی ہوں تب شمار کا بوجھ کی ایک خاصیت کا استعمال کرتے ہوئے نمایاں طور پر کم کیا جا سکتا ہے ۔ وہ یہ ہے کہ صدا اور پیمانے میں تبدیلی سے آزاد ہے ۔ اسے مرحلہ وارانحراف کے طور پر بھی جانا جاتا ہے ۔ اس متغیرات X  اور Y  کی تحویل شامل ہے جیسا کہ نیچے دکھایا گیا ہے :
          جدول 7.2
——————————————————————————
سال قومی آمدنی سالانہ اضافہ GDPکےفی صد کے طورپر مجموعی گھریلو بچت
——————————————————————————
1992-93 14 24
1993-94 17 23
1994-95 18 26
1995-96 17 27
1996-97 16 25
1997-98 12 25
1998-99 16 23
1999-00 11 25
2000-01 8 24
2001-02 10 23
——————————————————————————
ماخذ: معاشی سروے ( 05-2004 ) صفحہ 8,9

26
جہاں A اور B مفروضہ وسط ہیں ، H اور K مشترک جزو ضربی ہیں۔ 
27
اسے قیمت اشاریہ اور رقم فراہمی کے درمیان ہم رشتگی کا تجزیہ کرنے کی مشق کے ساتھ سمجھاجا سکتا ہے۔ 

مثال 2  

قیمت 230 220 190 150 120
اشاریہ(x)
رقم فراہمی 3000 2700 2500 2000 1800
کروڑ روپے میں(X)
فرض کیجئے 
100= k:1700=B;10=h100-k

28
تحویل شدہ متغیرات کا جدول درج ذیل ہے :
اشاریہ قیمت اور رقم فراہمی کے درمیان کا شمار مرحلہ وار انحراف طریقے کا شمار

جدول 7.3
29
 فارمولے میں ان قدروں کا بدل رکھنے پر (3)
30
قیمت اشاریہ اورپیسے کی فراہمی کے درمیان مضبوط مثبت ہم رشتگی زری پالیسی کی اہم بنیاد ہے ۔ جب پیسے کی فراہمی بڑھتی ہے قیمت اشاریہ بھی بڑھتا ہے ۔ 

سرگرمی

  • ہندوستان کی آبادی اور قومی آمدنی کی بعض مثالیں بھیجیں۔  مرحلہ اور انحراف کا طریقہ استعمال کرتے ہوئے ان کے درمیان ہم رشتگی کا شمار کیجیے اور تسہیل کیجیے ۔ 

 اسپیئر مین کی ہم رشتگی رینک

اسپیئر مین کی رینک ہم اشتگی کو برٹش ماہر نفسیات سی۔ای۔اسپیئر مین نے فروغ دیا تھا ۔ اس کا استعمال اس وقت کیا جاتا ہے جب متغیرات کی پیمائش بامعنی طور پر نہیں کی جا سکتی جیسا کہ قیمت ، وزن وغیرہ کے معاملے میں ہے ، رینکنگ زیادہ بامعنی ہو سکتی ہے جب متغیرات کی پیمائش مشتبہ ہوں۔ ایسی صورتحال پر غور کریں جہاں ہمیں کسی دور دراز کے گاؤں میں طلبا کی لمبائی اور وزن کے درمیان ہم رشتگی کا شمار کرنے کی ضرورت پڑتی ہے ہمارے پاس نہ تو لمبائی ناپنے کا الم ہے نہ وزن کرنے کی مشین دستیاب ہے۔ طلبا کو بغیر پیمائش اور وزن کرنے والے پیمانوں کے طباتی اور وزن کی اصطلاح میں آسانی سے رینک دی جاسکتی ہے ۔ 
ایسے بھی حالات ہوتے ہیںجب آپ کو کوالٹی کی مقدار کا تعین کرنے کی ضرورت ہوتی ہے جیسے انصاف، ایمانداری وغیرہ کی مقدار کا تعین ۔ رینکنگ یا درجہ بند خوبیوں (کوالٹی) کے درجے کے مقدار کے تعین کا بہتر متبادل ہو سکتا ہے ۔ مزید برآں کبھی کبھی انتہا ئی قدروں کے ساتھ دو متغیرات کے درمیان ہم رشتگی ضریب بغیر انتہائی قدروں کے ضریب سے بالکل مختلف ہو سکتا ہے ۔ ایسی صورتحال میں رینک ہم رشتگی ایک سادی ہم رشتگی کا بہتر متبادل فراہم کرتی ہے ۔ 
رینک ہم رشتگی ضریب اور سادہ ہم رشتگی ضریب کی یکساں توضیح ہوتی ہے ۔ اس کا فارمولا سادے ہم رشتگی ضریب سے اخذ کیا گیا ہے جہاں انفرادی قدروں کو رینکوں یا درجوں کے ذریعہ منتقل کیا گیا ہے ۔ ان درجوں کا استعمال ہم رشتگی کے شمارکے لیے کیا جاتا ہے ۔ یہ ضریب، خطی تعلق کی پیمائش ان اکائیوں کو تفویض کیے گیے رینکوں کے درمیان فراہم کرتے ہیں، نہ کہ ان کی قدروں کے درمیان ۔ یہ رینکوں کے درمیان حاصل گردشہ ہم رشتگی ہے۔ اس کا فارمولا ہے۔ 
31
جہاں n مشاہدات فی تعداد ہے اور رینک تفویض کیے گئے ان دیگر متغیرہ سے رینک تفویض کیے گئے کسی متغیرہ کا انحراف ہے ۔ جب درجات (Ranks) فارمولا دہراتے ہیں۔ تب 
32
جہاں33 رینکوں کے دہراؤ کی تعداد ہے اور34ان کے موافق تصحیح اجزائے ضربی ہیں۔ اس تصحیح کی ضرورت دونوں متغیرات کی ہر دہرائی گئی قدر کے لیے ہوتی ہے۔ اگر متین قدریں دہرائی جاتی ہیں تب تو قدر کے لیے تصحیح ہوگی۔ ہر بارm1وقت کی تعداد ظاہر کرناہے جو قدر دہراتی ہے۔ 
سادہ ہم رشتگی ضریب کی تمام خصوصیات یہاں قابل اطلاق ہیں۔ ہیرسن کے ہم رشتگی ضریب کی طرح یہ 1 اور-1  کے درمیان واقع ہوتا ہے ۔ تاہم ، بالعموم یہ اتنا درست نہیں ہو تا جتنا کہ عام طریقہ ۔ یہ اس حقیقت کی وجہ سے ہے کہ ڈیٹا سے متعلق ساری معلومات سے استفادہ نہیں کیا جاتا۔ سیریز میں مدوں کی قدروں کا پہلے فرق مقدار کی ترتیب میں منظم کیے جاتے ہیں ، جو تقریباً کبھی مستقل نہیں ہو۔ عام طور پر صف کے درمیان میں چھوٹے فرق کے ساتھ ڈیٹا مرکزی قدروں کے گرد جمع ہوتے ہیں۔ اگر پہلے فرق ہوتے تب r اور rkمماثل نتائج دے سکتے تھے۔ پہلا فرق سلسلے وار قدروں کا فرق ہے ۔ جب انتہائی قدریں موجود ہوں تب رینک ہم رشتگی کو ضریب میں ترجیح دی جاتی ہے ۔ بالعموم r سے کم یا مساوی ہوتا ہے ۔

رینک ہم رشتگی کا شمار

 رینک ہم رشتگی کے شمار کو تین صورتحال کے تحت سمجھایا جا ئے گا۔ 
1 ۔ رینک دیے گئے ہیں۔ 
2 ۔ رینک نہیں دیے گئے ہیں۔ انہیں ڈیٹا سے حل کیا جانا ہوتا ہے۔ 
3 ۔ رینک دہرائے جاتے ہیں۔ 
 1.      رینک دیے گئے ہیں.

مثال 3

مقابلہ حسن میں تین ججوں کے ذریعہ پانچ افراد کا جائزہ لیا جاتا ہے ۔ ہمیں دریافت کرنا ہے کہ ججوں سے کون سے جوڑے کی خوبصورتی کے مشترک مشاہدے میں قریب تر ین رسائی ہے ۔ 

مقابلے میں حصہ لینے والے 

————————————
جج 1 2 3   5
————————————
A۔ 1 2 3   5
B۔ 2       1      5          3           
C۔ 1 3 5 2  
————————————
ججوں کے 3 جوڑے ایسے ہیں جو رینک ہم رشتگی کا تین با شمار ضروری بنا رہے ہیں۔ فارمولا(4) کا استعمال کیا جائے گا۔ 
35
A  اور B  کے درمیان ہم رشتگی کا شمار درج ذیل طور پر کیا جاتا ہے ۔ 
————————————————

A۔ B۔ D۔ D2
————————————————
1 2 1- 1
2 4 2- 4
3 1 2 4
4 5 1- 1
5 3 2 4
———————————————
کل 14
———————————————
ان قدروں کا جدول (4)  میں رکھنے پر

37
A اور C کے درمیان رینک ہم رشتگی کا شمار درج ذیل طور پر کیا جاتا ہے۔ 
——————————————
A۔ C۔ D۔ D2
——————————————
1 1 0 0
2 3 1- 1
3 5 2- 4
4 2 2 4
5 4 4 1
—————————————
کل 10
—————————————
فارمولا(4) میںان قدروں کو بدلنے سے ہم رشتگی 0.5  ہے ۔ اسی طرح جج B اور Cکی رینکنگ کے درمیان رینک ہم رشتگی 0.9ہے ۔ اس طرح ججوں A اور Cکے مشاہدے کافی قریب قریب ہیں۔ جج B اور جج C کافی مختلف پسند ہیں ۔ 

مسئلہ 2:رینک نہیں دئیے گئے ہیں
مثال 4
ہمیں مارکس کے فی صد دیے گئے ہیں جو کہ معاشیات اور شماریات میں 5 طلباء کے ذریعہ حاصل کیے گئے مارکس سے متعلق ہے ۔ اس کے بعد رینکنگ پر کام کیا جانا ہے او ررینک ہم رشتگی کا شمار کرنا ہے ۔ 
————————————————————————————
 طالب علم شماریات میں حاصل مارکس(X) معاشیات میں حاصل مارکس(Y)
————————————————————————————
A۔ 85 60
B۔ 60 48
C۔ 55 49
D۔ 65 50
E۔ 75 55
————————————————————————————
————————————————————————————

 طالب علم شماریات میں حاصل مارکس(R) معاشیات میں حاصل مارکس(R)
—————————————————————————————
A۔ 1 1
B۔ 4 5
C۔ 5 4
D۔ 3 3
E۔ 2 2
—————————————————————————————
 جب ایک بار رینکنگ پوری ہو جاتی ہے تب فارمولا (4)  کا استعمال رینک ہم رشتگی کے لیے کیا جاتا ہے۔ 
مسلہ 3 :جب رینکوں کو دہرایا جاتا ہے ۔ 
مثال5 
X  اور Y  کی قدریں ذیل میں دہرائی گئی ہیں۔ 

x y
1200
1150
1000
990
800
780
760
750
730
700
620
600		 75
65
50
100
90
85
90
40
50
60
50
75
 
 
رینک ہم رشتگی کو حل کرنے کے سلسلے میں ، قدروںکی رینکوں کو حل کیا جاتا ہے ۔ دہرائی گئی مدوں کو مشترکہ رینک دیے جاتے ہیں۔ مشترکہ رینک ان رینکوں کی وسط ہے جو ان مدوں کے بارے میں فرض کی جاتی ہوں جن میں ایک دوسرے سے معمولی سافرق ہو۔ جو رینک پہلے سے ہی مفروضہ ہے اس سے اگلی رینک اگلی مدکو تفویض ہوگی ۔ جب رینکوں کو دہرایا جاتا ہے تب اسپیر میں ہم رشتگی ضریب کا فارمولا درج ذیل ہوگا۔
38
جہاں 39 رینکوں کے دہراؤ کے اعداد یہی اور40ان کے موافق تصحیح اجزائے ضربی ہیں۔ 
X۔ Y۔ 'XR کی رینکنگ میں  D2 


 D2  رینکنگ میں انحراف  رینک
X		  رینک
Y
 25.00
49.00
9.00
6.25
4.00
20.25
16.00
1.00
4.00
1.00
42.25		  -5
-7
3
2.5
2
4.5
-4
-1
2
1
6.5		  7
10
1
2.5
4
2.5
12
10
8
10
5.5		 2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12 
198.00


 
 
کل 41

X کی قدر چوتھے اور پانچویں رینک دونوں پر 35 ہے۔ لہٰذا دونوں کو اوسط رینک یعنی 42 رینک دیا جاتا ہے۔
اسی طرح ضروری تصحیح ہے ۔ 
43
اس مساوات کا استعمال کرتے ہوئے۔ 
44
ان اظہار کی قدروں کو بدلنے سے 
45

اس طرح X اور Y  کے درمیان مثبت رینک ہم رشتگی ہے ۔ x  اور Y  دونوں ایک ہی سمت میںحرکت کرتے ہیں ۔ تاہم رشتہ اتنی مضبوطی کے ساتھ بیان نہیں کیا جا سکتا ۔

سرگرمی 

  • کلاسIX  اور X کے امتحانوں میں اپنے 10 ساتھیوں کے ذریعہ حاصل کیے مارکس پر ڈیٹا اکٹھا کیجئے۔ ان کے درمیان ہم رشتگی ضریب شمار کیجیے۔ اگر آپ کے ڈیٹا میں کسی طرح کا دہراؤ نہیں ہے تب ایسا ڈیٹا سیٹ لیجیے جس میں دہرائے گئے رینک ہوں ان کے ذریعہ شق دہراہے۔ وہ کون سی صورتحال ہے جس میں رینک ہم رشتگی ضریب کو سادہ ہم رشتگی ضریب پر فوقیت دی جاتی ہے ۔ اگر ڈیٹا کی پیمائش جامع طورپر کی گئی ہے کیا تب بھی آپ سادہ ہم رشتگی سے مقابلے رینک ہم رشتگی ضریب کو ترجیح دیں گے؟ آپ ان کا انتخاب کرنے میں کب بے تعلق ہو سکتے ہیں ؟ کلاس میں اس سلسلے میں بحث کیجیے۔ 

   .4اختتام  

ہم نے دو متغیرات کے درمیان رشتوں خاص طور پر خطی رشتے کا مطالعہ کرنے کے لیے بعض تکنیکوں پر بحث کی ہے ۔ انتشاری ڈائیگرام رشتے کی بصری پیشکش کرتا ہے اور یہ خطی رشتوں تک محدود نہیں ہے ۔ کاولی پیرسن کا ہم رشتگی ضریب اور سپیرسن کا رینک ہم رشتگی خطی رشتوں کی ضمنی پیمائشیں ہیں۔ جب متغیرات کی پیمائش جامع طور پر نہیں کی جا سکتی تب رینک ہم رشتگی کواستعمال کیا جا سکتا ہے ۔ یہ پیمائشیں بہر حال سبب و اثر کی دلالت نہیں کرتیں ۔ ہم رشتگی کے علم سے ہمیں، جب ہم رشتہ متغیرہ تبدیل ہوئے ہیں تب متغیرہ میں تبدیلی کی سمت اور شدت کے بارے میں ایک اندازہ فراہم ہوتا ہے ۔ 


خلاصہ 

l ہم رشتگی دو متغیرات کے درمیان رشتے کا مطالعہ کرتی ہے ۔ 
l انتشاری ڈائیگرام دو متغیرات کے درمیان رشتوں کی نوعیت کی بصری پیش کش عطا کرتی ہے ۔ 
l کارل پیرسن کے ہم رشتگی کا ضریب عدد ی طور پر صرف دو متغیرات کے درمیان خطی رشتے کی پیمائش کرتاہے ۔ اور–1r کے درمیان واقع ہوتا ہے۔ 
l جب متغیرات کی پیمائش دقیق طور پر نہیں کی جا سکتی تب اسپیر مین کی رینک ہم رشتگی کو عددی طور پر خطی رشتے کی پیمائش کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے ۔ 
l دہرائی گئی رینکوں تصحیحی اجزائے ضرب کی ضرورت ہوتی ہے ۔ 
l ہم رشتہ کا مطلب سبب و اثر(Causation)  نہیں ہے ۔ اس کا مطلب صرف ہم انحراف (Covariation) سے ہے ۔ 


مشقیں 

1۔ ہم رشتگی ضریب کی اکائی اونچائی اور کلوگرام میں وزن کے درمیان ہے ۔
(i) کلو گرام /فٹ
(ii) فی صد
(iii) غیر موجود
2 ۔  سادہ ہم رشتگی ضریب کی رینج ہے۔ 
(i)۔ Oتالا متنا ہی 
(ii) نفی ایک تا جمع ایک 
(iii) نفی لا متنا ہی تالا متنا ہی 
3 ۔ اگر مثبت ہے تب X اور Y کے درمیان رشتہ کس قسم کا ہے جب 
(i)۔ Y  بڑھتا ہے X  بھی بڑھتا ہے 
(ii)۔ Y گھٹتا ہے x  بھی گھٹتا ہے 
(iii)۔ Y  بڑھتا ہے X  میں کوئی تبدیلی نہیں ہوتی
4۔  اگر = 0تب X اور Y ہیں 
(i) خطی طور پر متعلق
(ii) خطی طور پر متعلق نہیں 
(iii) آزاد یا غیر تابع
5۔ درج ذیل تین پیمائشوں میں کون سی رشتوں کی کسی قسم کی پیمائش کر سکتی ہیں۔ 
(i)  کارل پیرسن کا ہم رشتگی ضریب
(ii)  سپیرسن کا رینک ہم رشتگی
(iii)  انتشاری ڈائیگرام 
6 ۔  اگر جامع طور پر (دقیق) پیمائش کیا گیا ڈیٹا دستیاب ہے تب سادہ ہم رشتگی ضریب ہے ۔ 
(i) رینک ہم رشتگی ضریب سے زیادہ صحیح
(ii) رینک ہم رشتگی ضریب سے کم صحیح
(iii) اتنا ہی صحیح جتنا کہ رینک ہم رشتگی ضریب 
7 ۔  تلازمہ (Association) کی پیمائش کے طور پر کو ہم انحراف (Covariance) کے لیے کیوں ترجیح دی جاتی ہے۔ ؟
8۔  کیا  ڈیٹا کی قسم پر مبنی 1-اور 1کی رینج کے باہر واقع ہو سکتا ہے ۔
9۔  کیا ہم رشتگی ، سبب و اثر (Causation)  کی دلالت کرتا ہے ؟
10 ۔  کیا رینک ہم رشتگی سادہ ہم رشتگی ضریب کی نسبت زیادہ جامع و دقیق ہے ؟
11 ۔ کیا صفر ہم رشتگی کا مطلب غیر تابع یا آزاد ہونا ہے ۔ 
12 ۔ کیا سادہ ہم رشتگی ضریب کسی بھی قسم کے رشتے کی پیمائش کر سکتا ہے ؟
13 ۔  ایک ہفتے کے لیے ہر روز اپنے مقامی بازار سے پانچ سبزیوں کی قیمت اکٹھا کیجیے۔ ان ہم رشتگی ضریبوں کا شمار کیجئے۔ نتیجے کی توضیح کیجیے۔ 
14 ۔ اپنے ساتھیوں کے قد کی پیمائش کیجیے۔ ان کے پانچ ساتھیوں کے قد معلوم کیجیے ۔ ان دو متغیرات کے ہم رشتگی ضریب کا شمار کیجیے۔ نتیجے کی توضیح کیجیے۔ 
15 ۔ بعض متغیرات کو درج فہرست کیجیے جہاں درست پیمائش شکل ہو۔ 
  16- 0,1-,1اور r کے طور پرکی قدروں کی توضیح کیجیے۔ 
17 ۔ رینک ہم رشتگی ضریب، پیرسنی ہم رشتگی ضریب سے مختلف کیوں ہوتاہے ۔ 
18 ۔ انچوں میں والدوں کی لمبائی X  اور ان کے بیٹوں کی لمبائی کے درمیان ہم رشتگی مرتب شمار کیجیے۔ 
X  65  66 57  67  68  69  70  72
Y  67  56  65  68  72  72  69  71 
(جواب  :  r = 0.63  )
19 ۔  X  اور  Y  کے درمیان ہم رشتگی ضریب شمار کیجیے۔ اور ان کے رشتوں پر تبصرہ کیجیے۔ 
X  –3  –2  –1  1  2  3
9  4  1  1  4  9 Y
(جواب0  = r)
20 ۔ X  اور Y   کے درمیان ہم رشتگی ضریب شمار کیجیے اور ان کے رشتوں پر تبصرہ کیجیے۔ 
X  1  3  4  5  7  8
2  6  8  10  14  16
(جواب    1 =r )

سرگرمی

  • یہاں بیان کیے گیے سبھی فارمولوں کا استعمال ہندوستان کی قومی آمدنی اور برآمد کے درمیان r کا شمار کرنے کے لیے لیجیے کم سے کم دس مشاہدات کیجیے۔