باب1

رشتے اور تفاعلات

 (RELATIONS AND FUNCTIONS) 

دنیا میں بد صورت ریاضی کے لیے کوئی مستقل جگہ نہیں ہے۔ ریاضی کی خوبصورت کو بیان کرنا بہت مشکل ہے لیکن یہ اتنا ہی سمجھ ہے جتنا کہ کسی بھی خوبصورت کو بیان کرنا، ہم بالکل صحیح نہیں جانتے کہ ایک خوبصورت نظم کا کیا مطلب ، لیکن وہ ہمیں کسی کو بھی پہچاننے سے نہیں روکتا جب ہم اسے پڑھتے ہیں جی۔ایچ۔ہارڈی

1.1  تعارف

اسے یاد کیجیے کہ رشتے اور تفاعلات، علاقہ، ہم علاقہ اور وسعت کے تصّور سے گیارہویں جماعت میں ہی متعارف کرادیا گیا ہے جس میں مختلف قسم کے حقیقی قدر والے تفاعلات اور ان کے گراف بھی شامل ہیں۔ ریاضی میں اصطلاح ’رشتہ‘ کامطلب وہی ہے جو انگریزی زبان ہے، جس کے مطابق دو اشیا یا چیزوں کا ایک دوسرے سے موازنہ کیا جاتا ہے اگر دونوں اشیایا مقادیر کے درمیان ایک تعلق ہوتا ہے اگر دونوں کے درمیان ایک ربط ہو۔ مان لیجیے اگر ایک اسکول کے بارہویں جماعت کے طلباء کا ایک سیٹA ہے اور اسی اسکول کے گیارہویں جماعت کے طلباء کا سیٹ Bہے۔ تب Aسے Bکے رشتہ کی کچھ مثالیں اس طرح ہیں۔ 

لیجیونے ڈیرچلیٹ

 (1805-1859)

(v)۔ {a کے ذریعے حاصل کیے گیے سالانہ امتحان میں کل نمبر bکے ذریعے حاصل کیے گیے سالانہ امتحان میں کل نمبر سے کم ہیں

(v)۔ {a اسی علاقہ میں رہتا ہے جہاں b رہتا ہےلیکن اس سے نتیجہ اخذ کرتے ہوئے ہم Aسے Bکا رشتہ Rکو ریاضیاتی طور پر ایک A×B کا اختیاری ذیلی سیٹ کے طور پر بیان کرتے ہیں۔ 

اگر ، ہم کہتے ہیں کہ aکا bسے رشتہ Rکے ماتحت ایک تعلق ہے اور اسے a R bلکھتے ہیں۔ عام طور پر، ہم اس کی قطعی فکر نہیں کرتے کہ کیا aاور b کے درمیان کوئی قابل پہچان کوئی ربط یا تعلق ہے۔ جیسا کہ گیارہویں جماعت میں دیکھا گیا ہے کہ، تفاعلات خاص قسم کے رشتہ ہوتے ہیں ۔

اس باب میں ہم مختلف قسم کے رشتوں اور تفاعلات کے بارے میں مطالعہ کریں گے، تفاعلات کی ترکیب، قابل تعکیس تفاعل  فنکشن اور دو عنصری عمل ۔

1.2  رشتوں کی قسمیں(Types of Relations)  

اس سیکشن میں ہم مختلف قسم کے رشتوں کا مطالعہ کریں کے۔ ہم جانتے ہیں کہ ایک سیٹ Aمیں رشتہ A × A کا ذیلی سیٹ ہے۔ اس طرح، خالی سیٹ دو طرفین رشتہ ہیں۔ سمجھانے کے لیے سیٹ A={1,2,3,4) میں رشتہ Rپر غور کیجیے جو کہ R={(a,b): a–b = 10} سے دیاگیا ہے۔ یہ ایک خالی سیٹ ہے، کیونکہ کوئی بھی جوڑا (a,b) شرط، a–b = 10 کو مطمئن نہیں کرتا۔ اسی طرح،مکمل سیٹA×A ہے کیونکہA×A میں تمام جوڑے(a,b)، کو مطمئن کرتے ہیں۔ ان دو مثالوں سے ہم ذیل میں دی گئی تعریفوں کو بیان کر سکتے ہیں ۔

تعریف1  

سیٹ Aمیں ایک رشتہ R خالی رشتہ کہلاتا ہے، اگر Aکا کوئی بھی عنصر کا تعلق Aکے کسی بھی عنصر سے نہیں ہے، یعنی ، 

تعریف 2

سیٹAمیں ایک رشتہ Rآفاقی رشتہ کہلاتا ہے، اگرAکا ہر عنصر، Aکے ہر ایک عنصر سے تعلق رکھتا ہے، یعنی،R = A × A ۔ 

دونوں خالی رشتہ اور آفاقی رشتہ اکثر ادنیٰ رشتے کہلاتے ہیں۔ 

مثال 1 

مان لیجیے ایک لڑکوں کے اسکول کے تمام طلباء کا سیٹAہے۔ دکھائیے کہ رشتہ A، Rمیں جو کہ a,b}کی بہن ہے R = {(a,b) سے دکھایا گیا ہے ایک خالی رشتہ ہے اور } a اور b کے قدوں کا فرق 3میٹر سے کم ہےآفاقی رشتہ ہے۔ 

حل کیونکہ اسکول ایک لڑکوں کا اسکول ہے، اسکول کا کوئی بھی طالب علم اسکول کے کسی طالب علم کی بہن نہیں ہوسکتی۔ اس لیے،  جو دکھاتا ہے کہ Rایک خالی رشتہ ہے۔ اور یہ بھی صاف ہے کہ اسکول کے دو طلباء کے قدوں کا فرق 3میٹر سے کم ہونا چاہئے۔ یہ دکھاتا ہے کہ ایک آفاقی رشتہ ہے۔ 

ریمارک

گیارہویں جماعت میں ہم نے رشتہ کو ظاہر کرنے کے دو طریقے دیکھے تھے جن کے نام ہیں روسٹر طریقہ اور سیٹ ساز طریقہ ۔ حالانکہ سیٹ {1,2,3,4} میں ایک رشتہ جو کہ R={(a,b): b=a+1} سے بیان کیا گیا ہے a R b سے بہت سے مصنفوں نے بھی دکھا یا ہے اگر اور صرف اگر b=a+ 1 ۔ ہم اس علامت کا استعمال جہاں موزوں ہو کرسکتے ہیں۔ 

 اگر ، ہم کہتے ہیں کہ a کا تعلق bسے ہے اور ہم اسے a R bسے ظاہر کرتے ہیں۔ 

ایک بہت ہی اہم رشتہ، جو کہ ریاضی میں بہت اہم کردار ادا کرتا ہے معادلتی رشتہ ہے۔ معادلت کے رشتہ کا مطالعہ کرنے کے لیے، ہم پہلے تین قسم کے رشتوں پر غور کرتے ہیں، جن کے نام ہیں رجوعی، متشاکل اور انتقالی۔

تعریف 3

 ایک رشتہ R ایک سیٹ Aمیں کہلاتا ہے

تعریف 4

 ایک رشتہ R ایک سیٹ A میں ایک معادلتی رشتہ کہلاتا ہے اگر R رجوعی، متشاکل اور انتقالی ہو۔

مثال  2

 مان لیجیے ایک مستوی ہیں Tتمام مثلثوں کا سیٹ ہے رشتہ R کے ساتھ T میں جو کہ دیاگیا ہے  کے متماثل ہے۔ دکھائیے کہ Rایک معادلتی رشتہ ہے۔ 

حل R رجوعی ہے، کیونکہ ہر مثلث اپنے آپ کے متماثل ہوتا ہے۔ مزید کا مطلب ہےکے متماثل ہے اسی سے ملتا ہے کہ کے متماثل ہے۔اس لیے، Rمتشاکل ہے۔ اس کے علاوہ  کا مطلب ہے T1 متماثل ہے T2 کے اور T2 متماثل ہے T3 کے اس لیے T1 متماثل ہے T3 کے اس لیے R ایک معادلتی رشتہ ہے۔

مثال 3

 مان لیجیے مستوی L ، تمام خطوط کا سیٹ ہے اور L,Rمیں ایک رشتہ ہے جو اس طرح بیان کیا گیا ہے پر عمود ہے۔ دکھائیے کہ Rمتشاکل ہے لیکن نہ تو رجوعی اور نہ ہی انتقالی ہے۔ 

حل

Rرجوعی نہیں ہے، کیونکہ خط L1اپنے آپ پر عمود نہیں ہوسکتا، یعنی متشاکل ہے کیونکہ 

شکل 1.1 

Rانتقالی نہیں ہے۔ کیونکہ،اگر،  L2 L1 پر عمود ہے اور L3L2 پر عمود ہے، تب L3L1 پر کبھی بھی عمود نہیں ہوسکتا۔ حقیقت میں، L3L1پر متوازی ہے، یعنی۔،

مثال 4

 دکھائیے کہ رشتہ Rسیٹ{1,2,3} میں دیئے گئے میں رجوعی ہے لیکن نہ تو متشاکل اور نہ ہی انتقالی ہے۔

حل

Rرجوعی ہے، کیونکہمیں واقع ہیں۔ ساتھ ہی، Rمتشاکل نہیں ہے، کیونکہ لیکن۔ اسی طرح، Rانتقالی نہیں ہے، کیونکہ

مثال  5

 دکھائیے کہ رشتہ R صحیح اعداد کے سیٹ Z میں جو کہ دیا گیا ہے۔

{ a–b,2 کو تقسیم کرتا ہے:R = {(a,b) 

ایک معادلتی کا رشتہ ہے۔

حل

Rرجوعی ہے، کیونکہ 2تمام کے لیے (a–a)کو تقسیم کرتا ہے۔مزید اگر، جو دکھاتا ہے کہ 2، a-b کو تقسیم کرتاہے اس لیے b-a,2 کو بھی تقسیم کرے گا اس لیے Rمتشاکل ہے ۔ اسی طرح، اگر، تب a–bاور 2,b–c سے تقسم ہوسکتا ہے۔ اب ایک جفت ہے(کیوں؟)۔ اس طرح ،سے تقسیم ہوسکتا ہے۔ یہ دکھاتا ہے کہ Rانتقالی ہے۔ اس لیے Z,R میں ایک معادلتی کا رشتہ ہے۔ 

مثال 5

میں یہ بات نوٹ کرلیجیے ، کہ تمام جفت صحیح اعداد کا تعلق صفر سے ہے، کیونکہ وغیرہ۔، Rمیں واقع ہیں اور کسی بھی طاق صحیح عدد کا تعلق صفر سے نہیں ہے، کیونکہ وغیرہ وغیرہ Rمیں واقع نہیں ہے۔ اسی طرح ، تمام طاق صحیح اعداد کا تعلق 1، سے ہے اورکسی بھی جفت صحیح اعداد کا تعلق 1، سے نہیں ہے۔ اس لیے تمام جفت صحیح اعداد کا سیٹ Eاور تمام طاق صحیح اعداد کا سیٹ O، Zکے ذیلی سیٹ ہیں جو ذیل شرائط کو مطمئن کرتا ہے: 

(i) ۔  Eکے تمام عناصر کا تعلق ایک دوسرے سے ہے اور O، کے تمام عناصر کا تعلق ایک دوسرے سے ہے۔

(ii) ۔  Eکے کسی بھی عنصر کا O کے کسی بھی عنصر سے تعلق نہیں ہے اور اس کے برعکس۔

(iii)۔   Eاور O غیر شریک ہیں اور ۔

ذیلی سیٹ Eمعادلت کلاس کہلاتا ہے جس میں صفر شامل ہے اور اسے [0] سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ اسی طرح، Oمعادلتی کلاس ہے جس میں، 1،  شامل ہے اور [1]سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ یہ بات نوٹ کر لیجئے کہ اور ، جہاں ۔ حقیقت میں جو ہم نے اوپر ایک اختیاری معادلت رشتہ Rایک اختیاری سیٹ X میں، X,R کو باہمی غیر مشترک ذیلی سیٹ A1 میں تقسیم کرتا ہے جسے ہم Xکے حصے یا ذیلی تقسیم کہتے ہیں جو ذیل کو مطمئن کرتا ہے۔ 

(i)  تمام i، کے لئے کے تمام عناصر ایک دوسرے سے تعلق رکھتے ہیں۔ 

(ii)  کے لئے، کا کوئی بھی عنصر  کے کسی بھی عنصر سے تعلق نہیں رکھتا۔

(iii)  

ذیلی سیٹمعادلتی کلاس کہلاتے ہیں۔ اس معاملہ کا دلچسپ حصہ یہ ہے کہ ہم اس کے برعکس بھی جاسکتے ہیں۔ مثال کے طور پر، سیٹ Zکے تحت تقسیم میں باہمی غیر شریک ماتحت سیٹّA2A1 اور A3سے دی گئی ہے جس کا اجماع Zہے ذیل کے ساتھ 

ایک رشتہ R، Zمیں بیان کیجیے جو کہ a–b,3}جس کو تقسیم کرتا ہے: (R={(a,b سے دیاگیا ہے۔ جیسا کہ مثال 5میں استعمال کیا گیا ہے، اسی طرح کی دلیل دے کر ، ہم دکھاسکتے ہیں کہ Rایک معادلتی رشتہ ہے۔ ساتھ ہی A1 تمام صحیح اعداد  Zکے ساتھ میں ملتا ہے جن کا تعلق صفر سے ہے، A2تمام صحیح اعداد کے سیٹ کے ساتھ ملتا ہے جن کا تعلق 1، ہے اور A3تمام صحیح اعداد کے سیٹ کے ساتھ ملتا ہے جن کا تعلق2سے ہے ۔ اس طرح  ہے۔ حقیقت میں، ہے، تمام  کے لئے۔

مثال 6

مان لیجئے Rایک رشتہ ہے جو کہ سیٹ {A = {1,2,3,4,5,6,7 میں { دونوں aاور b یا تو طاق ہیں یا جفت: سے بیان کیا گیا ہے۔ دکھائیے کہ Rایک معادلتی رشتہ ہے۔ اس کے آگے دکھائیے کہ ما تحت سیٹ {1,3,5,7}کے تمام عناصر  کا تعلق ایک دوسرے سے ہے اور ماتحت سیٹ {2,4,6} کے تمام عناصر کا تعلق ایک دوسرے سے ہے، لیکن ماتحت سیٹ {1,3,5,7} کے کسی بھی عنصر کا تعلق ماتحت سیٹ {2,4,6} کے کسی عنصر سے نہیں ہے۔ 

حل

 A میں کوئی بھی عنصر a دیا گیا ہے، دونوںa اور a یا تو طاق ہوں گے یا جفت ہوں گے، تاکہ ۔ اس کے آگے دونوں aاور bیا تو طاق ہوں گے یا جفت ہوں گے۔ اسی طرح اور تمام عناصر C,b,aیا تو جفت ہوں گے یا طاق ہمہ وقتیاس لئے R ایک معادلتی رشتہ ہے۔  اس کے آگے، {1,3,5,7,} کے تمام عناصر کا تعلق ایک دوسرے سے ہے، کیونکہ اس ماتحت سیٹ کے تمام عناصر طاق ہیں۔ اسی طرح، ماتحت سیٹ کے {2,4,6} کے تمام عناصر کا تعلق ایک دوسرے سے ہے، کیوں کہ وہ تمام جفت ہیں۔ ساتھ ہی ماتحت سیٹ {1,3,5,7} کا کوئی بھی عنصر {2,4,6} کے کسی بھی عنصر سے تعلق نہیں رکھتا ، کیونکہ {1,3,5,7} کا کوئی بھی عنصر {2,4,6} کے کسی بھی عنصر سے تعلق نہیں رکھتا ، کیونکہ {1,3,5,7}کے عناصر طاق ہیں، جب کہ {2,4,6} کے عناصر جفت ہیں۔

مشق1 1.

1۔   دریافت کیجئے کہ کیا ہر ایک ذیل مثبت رجوعی ہے، متشاکل اور انتقالی ہیں:

 (i)  رشتہ Rسیٹ {A = {1, 2, 3, ..., 13, 14میں { R = {(x, y) : 3x – y = 0کی طرح بیان کیا گیا ہے۔ 

 (ii)  رشتہ Rطبعی اعداد کے سیٹ میں اس طرح بیان کیا گیا ہے

 {x < 4 اورR = {(x, y) : y = x + 5

(iii)  رشتہ Rسیٹ {A = {1, 2, 3, 4, 5, 6میں اس طرح بیان کیا گیا ہے

{ x,yسے تقسیم ہوجاتا ہے:  (R = {(x, y 

 (iv)  رشتہ Rصحیح اعداد کے سیٹ Zمیں اس طرح بیان کیا گیا ہے

{x–y ایک صحیح عدد ہے : (R = {(x, y

 (v)  رشتہ Rانسانوں کے سیٹ Aمیں ایک شہر میں ایک خاص وقت پر اس طرح دیا گیا ہے

(a) ۔ {xاور y ایک ہی جگہ کام کرتے ہیں:  (R = {(x, y

(b) ۔ {x اور y ایک ہی محلے میں رہتے ہیں:  (R = {(x, y

(c)۔     {x, yسے صحیح 7 سینٹی میٹر لمبا ہے:  (R = {(x, y 

(d)۔ {y,xکی بیوی ہے :   (R = {(x, y

(e)۔  {y,x کا والد ہے:   (R = {(x, y 

2۔   دکھائیے کہ رشتہ Rجوکہ حقیقی اعداد کے سیٹ Rمیں اس طرح بیان کیا گیا ہےنہ تو رجوعی ہے نہ ہی متشاکل اور نہ ہی انتقالی ہے۔

3۔   جانچ کیجئے کہ کیا رشتہ Rجو کہ سیٹ {1,2,3,4,5,6} میں اس طرح بیان کیا گیا ہے{R = {(a, b) : b= a + 1 رجوعی ہے، متشاکل یا انتقالی ہے۔

4۔   جانچئے کہ رشتہ R، Rمیں سے بیان کیا گیا ہے رجوعی ہے اور انتقالی ہے مگر متشاکل نہیں۔

5۔   جانچ کیجئے کہ کیا رشتہ R، R میں جو کہ  سے بیان کیا گیا ہے رجوعی ہے، متشاکل ہے یا انتقالی ۔

6۔ دکھائیے کہ رشتہ R سیٹ{1,2,3}میں جو کہ {(R = {(1, 2), (2, 1سے دیا گیا ہے متشاکل ہے لیکن نہ تو رجوعی ہے اور نہ ہی انتقالی ہے۔ 

7۔ دکھائیے کہ رشتہ Rسیٹ Aمیں جو کہ ایک کالج کی لائبریری کی کتابوں کا سیٹ ہے اور دیا گیا ہے x}اور yمیں اوراق کی تعداد برابر ہے:  (R = {(x,y سے ایک معادلت رشتہ ہے۔ 

8۔ دکھائیے کہ رشتہ Rسیٹ{ A={1, 2, 3, 4, 5میں جو کہ دیا گیا ہے (|a–b|)}جفت ہے: (R={(a,bسے ایک  معادلتی رشتہ ہے۔ دکھائیے کہ {1,3,5} کے تمام عناصر کا تعلق ایک دوسرے سے ہے اور {2,4} کے تمام عناصر کا تعلق ایک دوسرے سے ہے۔ لیکن {1,3,5} کے کسی بھی عنصر کا تعلق {2,4} کے عنصر سے نہیں ہے۔

9۔ دکھائیے کہ ہر ایک رشتہ Rسیٹ  میں جو کہ دیا گیا ہے

(i)۔  کاضعف ہے : ( R = {(a,b

(ii)۔ {R = {(a, b) : a = b

ایک معادلتی رشتہ ہے۔ ہر ایک کیس میں 1، سے تعلق رکھنے والے تمام عناصر کا سیٹ معلوم کیجیے۔ 

10۔ ایک رشتہ  کی ایک مثال دیجئے۔ جو کہ ہے

(i) متشاکل ہے لیکن نہ تو رجوعی ہے اور نہ ہی انتقالی۔

(ii) انتقالی ہے لیکن نہ تو رجوعی ہے اور نہ ہی متشاکل ہے۔

(iii)  رجوعی اور متشاکل ہے لیکن انتقالی نہیں۔

(vi)  رجوعی اور انتقالی ہے لیکن متشاکل نہیں ہے۔

(v) متشاکل اور انتقالی ہے لیکن رجوعی نہیں۔

11۔   دکھائیے کہ رشتہ Rجو کہ مستوی میں نقاط کے ایک سیٹ میں دیا گیا ہے{ نقطہ Pکا فاصلہ مبدا سے یکساں ہے جیسا کہ نقطہ Qکا فاصلہ مبدا سے :(R = {(P, Q  سے ایک معادلتی رشتہ ہے۔ اس کے آگے، دکھائیے کہ تمام نقاط کا سیٹ نقطہجو کہ ایک دائرہ ہے اور Pسے گزرہا ہے مبدا اس کا مرکز ہے۔

12۔   دکھائیے کہ رشتہ Rجو کہ تمام مثلثوں کے سیٹ Aمیں اس طرح بیان کیا گیا ہےمشابہ ہیں:معادلتی رشتہ ہے۔ تین قائم زاوی مثلث T1جس میں اضلاع 3,4,5,ہیں، T2جس میں اضلاع 5,12,13ہیں اور  T3جس میں اضلاع 6,8,10 ہیں پر غور کیجیے۔T1,T2 اور T3 مثلث ہم رشتہ ہیں۔

13۔   دکھائیے کہ رشتہ Rجو کہ تمام کثیر ضلعی کے سیٹ Aمیں P1اور P2 میں اضلاع کی تعداد برابر ہےسے ظاہر کیا گیا ہے ایک معادلت رشتہ ہے۔ تمام عناصر کا سیٹ Aمیں، جو کہ قائم زاوی مثلث Tجس کے اضلاع  3,4اور 5 ہے کا کیا تعلق ہے؟

14۔   مان لیجئے XYمستوی میں L،خطوط کا سیٹ ہے اور L,Rمیں ایک رشتہ ہے جو اس طرح بیان کیا گیا ہے کے متوازی ہے:۔ دکھائیے کہ Rایک معادلت رشتہ ہے۔ ان تمام خطوط کا سیٹ معلوم کیجیے جن کا تعلق خط y = 2x + 4 سے ہے۔

15۔  مان لیجئے Rسیٹ {1,2,3,4} میں ایک رشتہ ہے جو کہ (R = (1,2), (2,2), (1,1), (4,4), (1,3), (3,3)}, {(3,2 سے دیا گیا ہے۔ صحیح جواب چنئے۔

(A)۔  R رجوعی اور متشاکل ہے لیکن انتقالی نہیں ہے۔

(B)۔  R رجوعی اور انتقالی ہے لیکن متشاکل نہیں۔

(C)۔  R متشاکل اور انتقالی ہے لیکن رجوعی نہیں۔

(D)۔  R ایک معادلت رشتہ ہے۔

16۔ مان لیجئے سیٹ Nمیں Rایک رشتہ ہے جو کہ {R = {(a, b) : a = b–2, b>6سے دیا گیا ہے۔صحیح جواب چنئے۔

1.3  تفاعلات کی قسمیں (Types of Functions)  

ایک تفاعلات کی علامت کچھ اہم تفاعلات کے ساتھ مثال کے طور پر اکائی تفاعلات، مستقل تفاعلات کثیررکنی تفاعلات، ناطق تفاعلات، مقیاس تفاعلات، سنگم تفاعلات وغیرہ وغیرہ ان کے گرافوں کے ساتھ گیارہویں جماعت میں بتائے جاچکے ہیں۔

دوتفاعلات کا مجموعہ، تفریق، حاصل ضرب اور تقسیم کے بارے میں پڑھاجاچکا ہے۔ کیونکہ تفاعلات کا تصور ریاضی میں ایک عظیم اور خاص سوچ رکھتا ہے اور دوسرے مضامین میں بھی، ہم تفاعلات کے مطالعہ کو اس سے آکے بڑھانا چاہیں گے جہاں چھوڑا تھا۔ اس سیکشن میں ہم تفاعلات کی مختلف قسموں کا مطالعہ کریں گے۔ 

تفاعلات اور پر غور کیجئے جو کہ ذیل تصاویر میں دیئے گئے ہیں۔ 

شکل 1.2 میں ہم مشاہدہ کرتے ہیں کہ X1کے مختلف عناصر کی پرچھائیاں تفاعلاتf1 کے زیرِ سائے مختلف ہیں، لیکنf2 کے زیرِ سائے X1 کے دو عناصر کی پرچھائیاں یکساں ہیں، جن کا نام bہے اس کے آگے، کچھ عناصر X2 میں مثال کے طور پر e اور f ہیں جو کہ f1 کے زیرِ سائےX1 کے کسی بھی عناصر کی پرچھائی نہیں ہے جب کہ f3کے زیرِ سایہ X1 کے کچھ عناصر کی پرچھائیاں ہیں۔ اوپر کا مشاہدہ ذیل کی تعریفوں کی طرف رہنمائی کرتا ہے۔

تعریف 5  

تفاعلاتیک ۔یک (یاداخلی) کہا جاتا ہے، اگر xکے مختلف عناصر کی شیبی جو کہ f کے زیرِ سایہ مختلف ہیں، یعنی ہر ایککے لئےکا مطلب ہےورنہfبہت سے ایک (Many-one) کہلاتا ہے۔

شکل(i)۔  1.2 اور (ii) میں تفاعلاوریک–یک اورتفاعلاور شکل (iii)۔1.2 اور (iii) میں بہت سے– ایک ہیں۔

تعریف 6

   ایک تفاعلکو اون ٹو کہا جاتا ہے، اگر yکا ہر عنصر کی پرچھائی xکا کوئی عنصر ہے f کے ماتحت ، یعنی ہر ایک کے لئے xمیں ایک عنصرX  اس طرح موجودہے کہ f (x)=y ہو ۔ 

شکل (iii)۔1.2،     (iv)میں تفاعل اوراون ٹو ہیں اور فنکشنشکل  (i)۔ 1.2میں اون ٹو نہیں ہے کیونکہ عناصر e، کے زیرِ سایہ  کے عناصر کی پرچھائی نہیں ہے۔

ریمارک  تفاعل اون ٹو ہے اگر اور صرف اگر  fکی وسعت  =Y ہے

مثال 7

 مان لیجئے ایک اسکول کی دسویں جماعت کے 50 طلباء کی تعداد کا سیٹ Aہے۔ مان لیجئےایک تفاعل ہے جو کہطلباء کے رول نمبر ہیں۔ دکھائیے کہ fایک –ایک ہے نہ کہ بر۔ 

حل

 کلاس کے دوطلباء کا رول نمبر ایک نہیں ہوسکتا۔ اس لیے f،کو ایک – ایک ہونا ہی ہے۔ ہم بغیر وقت برباد کئے یہ مان سکتے ہیں کہ طلباء کے رول نمبر 1تا 50 ہیں۔ اس کا مطلب ہے Nمیں 51کلاس کے کسی بھی طلباء کا رول نمبر نہیں ہے، اس لئے f کے ماتحت X,51 کے کسی بھی عنصر کی پرچھائی نہیں ہے۔ اس کا مطلب ہے  f، اون ٹو نہیں ہے۔ 

مثال  8

  دکھائیے کہ تفاعل جو کہہے، یک –یک ہے لیکناون ٹو نہیں ہے۔

حل

 تفاعل f،یک –یک ہے، کے لئے۔ اس کے آگے، f اون ٹو نہیں ہے، کیونکہ کے لئے Nمیں کوئی بھی ایسا  xنہیں ہے تاکہ  f (x) = 2x = 1ہو۔

مثال 9

 ثابت کیجیے کہ تفاعلجو کہ f (x) = 2x   ہے، یک –یک اوراون ٹوہے۔ 

حل

 f ایک –ایک ہے، کیونکہہے ساتھ ہی، اگر کوئی حقیقی عدد R,yمیں دیا گیا ہے،  اس لئے ، f اون ٹو ہے۔

شکل 1.3

مثال 10

دکھائیے کہ تفاعل   جو کہ f (1)=f (2)=1 اور f (x)=x–1ہر ایک x > 2کے لئے، سے دیا گیا ہے اون ٹو ہے لیکن یک  –یک نہیں ہے۔

حل

 f،یک –یک نہیں ہے ، کیونکہ f (1) = f (2) = 1ہے۔ لیکن f   اون ٹو ہے،کیونکہ دیا گیا ہے، ہم ایک x چن سکتے ہیں y+1کی جگہ تاکہ f (y+1)=y+1 – 1 = yہے ساتھ ہی کے لیے، ہمارے پاس ہے f (1)=1۔

مثال 11 

دکھائیے کہ تفاعل جو کہ سے بیان کیا گیا ہے نہ تو یک –یک ہے اور نہ ہی بر ۔

مثال 11

 دکھائیے کہ تفاعل  سے بیان کیا گیا ہے نہ تو یک –یک ہے اور نہ ہی بر ۔

حل

کیونکہ (f (– 1) = 1 = f (1، اس لیے fیک–یک نہیں ہے۔ ساتھ ہی ، عنصر 2–ہم علاقہ Rمیں علاقہ Rکے کی بھی عنصر کا عکس نہیں ہے (کیوں؟)

اس لیے کہ f اون ٹو نہیں ہے۔

مثال 12 

دکھائیے کہ ، جو کہ دیا گیا ہے۔اگر xطاق ہے 

اگر x  جفت ہےدونوں یک –یک اور اون ٹو ہے 

حل

  مان لیجیے کہ ہے۔ یہ نوٹ کر لیجئے کہ اگر طاق ہے اور  مثبت ہے، تب ہمارے پاس ہوگا یعنی جو کہ ناممکن ہے۔ اسی طرح کا جفت ہونا اور  کا طاق ہونے کی ممکنات کو بھی نظر انداز کیا جاسکتا ہے، اسی طرح کی دلیل کا استعمال کرکے – اس لئے دونوں اور یا تو جفت یا طاق ہونے چاہئیں۔ 

مان لیجئے دونوںاور  طاق ہیں۔ تباسی طرح، اگر دونوں  اور  جفت ہیں، تب بھی 

اس طرح  f،ایک –ایک ہے۔ ساتھ ہی، کوئی بھی طاق 2r+1 ہم علاقہ Nمیں 2r+2 کا عکس ہے اور کسی بھی مثبت عدد 2r کا ہم علاقہ Nمیں علاقہ Nمیں 2r–1 کا عکس ہے اس طرح  f،اون ٹو ہے ۔

مثال 13 

 دکھائیے کہ ایک اون ٹو تفاعل  ہمیشہ یک– یک ہے۔

حل

  مان لیجے  f، یک –یک نہیں ہے تب علاقہ میں دو عناصر مثال کے طور پر 1، اور 2، موجود ہیں جس کا عکس ہم علاقہ میں وہی ہے۔ ساتھ ہی f،کے زیر سایہ 3 کا عکس صرف ایک عنصر ہوسکتا ہے۔ اس لیے وسعت سیٹ کے زیادہ سے زیادہ ہم علاقہ {1,2,3} میں دو عناصر ہوسکتے ہیں، جو یہ دکھا رہا ہے کہ f، اون ٹو نہیں ہے، ایک تعاد ہے۔ اس لئے، fیک –یک ہونا ہی چاہئے۔

مثال 14   

دکھائیے کہ یک یک –یک تفاعل  بر ہونا ہی چاہئے۔

حل

کیونکہ f، یک –یک ہے، اس لئے fکے زیرِ سایہ ہم علاقہ {1,2,3} میں 3مختلف عناصر ایک ساتھ لینے چاہئے ۔ اس لئے، f، کو اون ٹو ہونا ہی ہے۔

ریمارک

 مثال 13اور 14میں دکھائے گئے اختیار محدود سیٹ کے نتائج بھی صحیح ہیں، یعنی۔، ایک یک–یک تفاعل ضروری ہے کہ اون ٹو ہو اور ایک اون ٹونقشہضروری ہے کہ یک –یک ہو، کسی بھی محدودسیٹ کے لئے – اس کے برعکس، مثالیں 8اور 10دکھاتی ہیں کہ لا محدود سیٹ کے لئے، یہ صحیح نہیں ہوسکتا۔ حقیقت میں، یہ محدود سیٹ اور لامحدود سیٹ کے بیچ میں ایک کرداری فرق ہے۔ 

مشق 1.2 

1۔ دکھائیے کہ فنکشن سے بیان کیا گیا ہے یک –یک اور بر ہے، جہاں Rغیر صفر حقیقی اعداد کا سیٹ ہے۔ کیا نتیجہ صحیح ہے، اگر علاقہ کو Nسے بدلا گیا ہو اور ہم علاقہ وہی ہو جو میں ہے؟

2۔   ذیل فنکشن کی داخلی اور اون ٹو کی جانچ کیجئے:

3۔ ثابت کیجئے کہ عظیم صحیح عدد فنکشن جو کہ[f(x)=[x سے دیا گیا ہے نہ تو یک –یک ہے اور نہ ہی اون ٹو، جہاں [x] عظیم صحیح عدد کو ظاہر کرتا ہے جو کہ xکے چھوٹا ہے یا برابر ہے ۔

4۔ دکھائیے کہ مقیاس فنکشنجو کہدیا گیا ہے، نہ تو یک –یک ہے اور نہ ہی اون ٹو جہاں |x| ہے،اگر x مثبت یا 0 ہے اورx,|x| – ہے ، اگر xمنفی ہے۔

5۔ دکھائیے کہ سگنم تفاعل جو کہ 

سے دیاگیا ہے نہ تو یک– یک ہے اور نہ ہی بر

6۔ مان لیجئے {A={1, 2, 3}, B = {4, 5, 6, 7اور {(f={(1, 4), (2, 5), (3, 6۔ Aسے B کی طرف ایک تفاعل ہے۔ دکھائیے کہ fیک –یک ہے۔ 

7۔ مندرجہ ذیل ہر ایک کیس میں، بیان کیجئے کہ کیا تفاعل یک –یک ہے، اون ٹو ہے یا دوقسمی ۔ اپنے جو اب کی دلیل دیجیے۔

8۔ مان لیجئے Aاور Bدو سیٹ ہیں۔ دکھائیے کہ ایک دوقسمی تفاعل ہے۔ 

9۔ مان لیجئے جو کہ  

بیان کیجیے کہ کیاتفاعل f  دوقسمی ہے۔ اپنے جواب کی وضاحت دیجئے۔ 

10 ۔ مان لیجئے {A=R–{3 اور {B=R–{1 ہے تفاعل پر غور کیجیے جو کہ سے بیان کیا گیا ہے۔ کیا  fیک –یک ہے ؟اپنے جواب کی وضاحت کیجیے۔

11۔ مان لیجئے جو کہ سے بیان کیا گیا ہے۔ صحیح جواب چنیے۔

(A)۔   fیک –یک اون ٹوہے (B)۔  f بہت سے – ایک  اون ٹوہے

(C)۔   f یک –یک ہے نہ کہ اون ٹو (D)۔   fنہ تو یک –یک ہے اور نہ ہی اون ٹو

12۔ مان لیجئے جو کہ f (x) = 3xسے بیان کیا گیا ہے صحیح جواب چنیے۔

(A)۔  f یک –یک اون ٹوہے (B)۔   fبہت سے –ایک اون ٹو ہے

(C)۔   f یک –یک ہے نہ کہ اون ٹو (D) ۔  f نہ تو یک –یک ہے اور نہ ہی اون ٹو

1.4تفاعل کی ترکیب اورقابلِ تعکیس تفاعل

اس حصہ میں ہم تفاعل کی بناوٹ اور دو قسمی تفاعلکے معکوس کا مطالعہ کریں گے۔ ان تمام طلباء کے سیٹ Aپر غور کیجیے جو دسویں جماعت میں2006میں بورڈ کے امتحان میں بیٹھے تھے۔ ہرطالب علم جو بورڈ کے امتحان میں بیٹھ رہا ہے اسے بورڈ نے ایک رول نمبر دیا ہے جو کہ ہر ایک طالب علم نے اپنی جواب کی کاپی میں امتحان کے وقت لکھا ہے ۔ راز داری کے لئے بورڈ نے طلباء کے رول نمبروں کی شکل بدل کر انہیں ازسر نو ان کی جواب کی کاپی میں ایک فرضی کوڈ نمبر ایک رول نمبر کے لیے لکھ دیا۔ مان لیجیے تمام رول نمبروں کا سیٹ ہے اورتمام کوڈ نمبروں کا سیٹ ہے یہ دو فنکشناورکو وجود دیتا ہے جو کہ f (a)وہ رول نمبر ہے جو طالب علم aکو فراہم کیا گیا ہے اور (g(b وہ کوڈ نمبر ہے جو رول نمبر bکو فراہم کیا گیا ہے۔ اس طرح تفاعل fکے ذریعے ہرطالب علم کو ایک رول نمبر فراہم کیا گیا ہے اور ہر رول نمبر کو تفاعل gکے ذریعہ ایک کوڈ فراہم کیا گیا ہے۔ اس طرح، ان دونوں تفاعل کے مجموعہ سے ہر ایک طالب علم ایک کوڈ نمبر کے ساتھ جڑ گیا ہے۔ 

تعریف 8

 مان لیجیےاور دو تفاعل ہیں۔ تب fاور gکی بناوٹ، جو کہ gofسے ظاہر کی گئی ہے ایک تفاعل کی طرح بیان کی گئی ہے  جو کہ دیا گیا ہے۔

شکل 1.5

مثال 15

مان لیجیے دریافت کیجیے۔

حلہمارے پاس ہے

مثال 16

حل ہمارے پاس ہے

اسی طرح نوٹ کرلیجئے  کے لیے اس طرح 

مثال 17دکھائیے کہ اگر 

 بالترتیب سیٹ Aاور Bپر تماثلی تفاعل کہلاتے ہیں۔ 

حل  ہمارے پاس ہے 

اسی طرح جس کا مطلب ہے ۔

مثال 18 کھائیے کی اگربھی یک-یک ہے

حلمان لیجئے

مثال 19 دکھائیے کہ اگر  اون ٹو ہیں ، تب بھی اون ٹو ہے۔ 

حل ایک اختیاری عنصر دیا گیا ہے gکے زیرِ سایہ Zکا پہلے کا عکس yموجود ہے تاکہ g(y) = Z ، کیونکہ gبر ہے۔ اس کے آگے،کے لئے Aمیں xایک عنصر موجود ہے f (x) = y کے ساتھ، کیونکہ fبر ہے ۔ اس لئے gof (x) = g(f (x)) = g(y) = Zہے، جو کہ دکھا تا ہے کہ gofاون ٹو ہے۔

مثال 20 فنکشنf اور gپر غور کیجیے تاکہ gof کی بناوٹ بیان کی جاسکے اور یک– یک ہو۔ کیا f اور gدونوں لازمی طور پر یک – یک ہیں؟

حل پر غور کیجیے جو کہ کے لئے بیان کیا گیا ہے اورکیونکہ g(x)=xہے تمام x=1,2,3,4 کے لئے اور g(5)=g(6)=5 تب  ہے جو دکھاتا ہے کہ gof، یک – یک ہے۔ لیکن صاف طور پر g، یک – یک نہیں ہے؟ 

مثال 21 کیا دونوں فنکشن  fاور gلازمی طور پر اون ٹو ہیں، اگر gof، اون ٹو ہے ؟ 

حلپر غور کیجئے جو کہ

سے بیان کئے گئے ہیں۔ یہ دیکھا جاسکتا ہے کہ gofاون ٹو ہے لیکن fاون ٹونہیں ہے۔ 

ریمارک  عام طور پر یہ جانچ کی جاسکتی ہے کہ gof، یک –یک ہونے کا مطلب ہے f، یک –یک ہے اسی طرح، gof، اون ٹو ہے کا مطلب ہے gاون ٹو ہے۔ 

اب ہم، بورڈ امتحانات کے حوالے سے اس سیکشن (حصہ) کے آغاز میں جو تفاعل fاور gبیان کئے گئے ہیں ان پر نظر رکھیں گے۔ بورڈ کے دسویں جماعت کے امتحان پر بیٹھنے والے طلباء کا فنکشن fکے زیرِ سایہ ایک رول نمبر دیاگیا ہے gتفاعل کے زیرِ سایہ ہر رول نمبر کو ایک کوڈ دیاگیا ہے جوبات کی کابیوں کے جانچنے کے بعد نمبروں کی لسٹ میں جانچنے والا ہر کوڈ نمبر کے سامنے نمبر چڑھاتا ہے اور اسے بورڈ کے دفتر میں جمع کردیتا ہے۔ بورڈ کے افسران اسے ڈی– کوڈ کرتے ہیں ہر ایک کوڈ نمبر کو ایک رول نمبر فراہم کرتے ہیں ایک طریقے سے جو اسے الٹا gکی طرف لے جاتا ہے اور اس طرح کوڈ نمبر کی بجائے نمبر، رول نمبروں کے ساتھ جڑ جاتے ہیں۔ اس کے آگے، طریقہ دوبارہ fکی طرف پلٹ جاتا ہے جو کہ رول نمبر کو اس رول نمبر سے ملاتا ہے۔ یہ ہماری مدد طلباء کو وہ نمبر دلانے میں کرتا ہے جو انھوں نے حاصل کئے ہیں۔ ہم اس بات کا مشاہدہ کرتے ہیں کہ gofکو حاصل کرنے کے لئے جب ہم fاور gکے ترکیب اجزائی کرتے ہیں، پہلے  fاور پھر gکو لئے ہیں، جب کہ الٹے طریقے میں gofترکیب اجزائی کرنے کے لئے پہلے ہم gکا الٹا لیتے ہیں اور پھر   f، کا الٹا طریقہ۔

مثال 22مان لیجئے یک –یک اور اون ٹو تفاعل ہے جو کہ f (1)=a, f(2)=bاور  f (3)=cسے دیا گیا ہے۔ دکھائیے کہ ایک ایسا تفاعل موجود ہےتاکہ جہاں، {X =  {1, 2, 3 اور {Y = {a, b, cہے۔ 

حل پر غور کیجیے کیونکہ g(a) = 1, g(b) = 2اور g(c) = 3ہے۔ یہ جانچ کرنا آسان ہے کہ غیر مفرد ، تماثلی تفاعل Xپر ہے اور غیر مفردتماثلی تفاعلYپر ہے۔ 

ریمارک دلچسپ حقیقت یہ ہے کہ او پر مثال میں دیا گیا نتیجہ اختیاری یک –یک اور اون ٹو تفاعلکے لیے درست ہے۔ صرف یہ ہی نہیں اس کا برعکس بھی صحیح ہے، یعنی۔، اگر  ایک تفاعل ہے تاکہ ایک تفاعل  موجود ہے، تاکہ  ہے، تب fیک –یک اور اون ٹو ہوگا ہی۔

 اوپر کا بحث ومباحثہ ، مثال نمبر 22اور ریمارک ذیل تعریف کی طرف لے جاتے ہیں: 

تعریف 9   ایک تفاعلاس وقت قابلِ تعکیس بیان کیا جاسکتا ہے، اگر ایک تفاعلموجود ہے تاکہ  ہے تفاعل  g,f کا معکوس کہلاتا ہے اور اس  سے ظاہر کیا جاتا ہے۔

اس طرح اگر fتقلیبی ہے ، تب fیک –یک اور بر ہونا چاہئے،۔ اور اس کے برعکس اگریک –یک اور بر ہے، تب fتقلیبی ہونا چاہئے۔ یہ حقیقت ہماری صاف طور پر مدد کرتی ہے یہ ثابت کرنے میں کہ فنکشن fقابلِ تعکیس ہوگا یہ دکھانے سے کہ f، یک –یک اور اون ٹوہے، خاص طور پر اس وقت جب f، کا اصل معکوس نہیں نکالنا ہو۔ 

مثال 23 مان لیجئے ایک فنکشن ہے جو کہ f (x) = 4x + 3سے بیان کیا گیا ہے، جہاں }کسی کے لئے۔ دکھائیے کہ fقابلِ تعکیس ہے۔ اس کا معکوس معلوم کیجئے۔ 

حل   ایک اختیاری عنصر Yکے yپر غور کیجئے۔ Yکی تعریف سے، y = 4x + 3 ہے کسی بھی xکے لئے جو کہ علاقہ Nمیں ہے یہ دکھاتا ہے کہ ہے۔  سے بیان کیجئے ۔ اب 

ہے۔ یہ دکھاتا ہے کہ  ہے، جس کا مطلب ہے کہ f،تقابلِ تعکیس ہے اور f,gکا معکوس ہے۔ 

مثال24 مان لیجئے پر غور کیجیے کیونکہ ہے۔ دکھائیے کہ fتقلیبی ہے۔ fکا معکوس دریافت کیجیے۔ 

حل Yمیں ایک اختیاری عنصر yہے جو کہ  کی شکل کا ہے، کسی کے لئے ۔ اس کا مطلب ہے کہ ، یہ ایک تفاعل دیتا ہے جو کہ  سے بیان کیا گیا ہے۔ اب 

 ہے، جو دکھاتا ہے کہ 

 ۔ اس کا مطلب ہے۔ fقابلِ تعکیس ہے  کے ساتھ۔ 

مثال 25  مان لیجئے ایک فنکشن ہے جو کہ سے بیان کیا گیا ہے۔ دکھائیے کہ جہاں f,Sکی وسعت ہے، قابلِ تعکیس ہے۔ fکا معکوس دریافت کیجیے۔

حل مان لیجئےf کی وسعت کا yایک اختیاری عنصر ہے۔ تبہے کسی بھی xکے لئے جو کہ Nمیں موجود ہے، اس کا مطلب یہ ہے کہ ۔ یہ دیتا ہے ، کیونکہسے۔ 

مثال 26  پر غور کیجئے، جو کہ f (x)=2x,g(y)=3y+4اوراور Zجو کہ Nمیں موجود ہیں کے لئے بیان کیا گیا ہے۔ دکھائیے کہہے ۔

حل ہمارے پاس ہے

یہ دکھاتا ہے کہ ho (gof) = (hog) of

یہ نتیجہ عام حالات کے لئے بھی صحیح ہے۔ 

مسئلہ 1  

ثبوت ہمارے پاس ہے

مثال 27  اور {سیب، گیند بلی{  پر غور کیجئے جو کہ  سیب=(g(a گیند=(g(b) ، بلی=(g(c) ,میں دکھائیے کہ f, g، اور gof قابلِ تعکیس ہیں۔  اور دریافت کیجئے اور دکھائیے کہ ہے۔

حلتعریف سے یہ نوٹ کرلیجیے کہ fاور g دو قسمی تفاعل ہیں۔ مان لیجئے کہ 

اوپر دیا ہوا نتیجہ عام حالات میں بھی درست ہے۔

مسئلہ7 مان لیجئے  دوقابلِ تعکیس تفاعل ہیں۔ تب  gofبھی قابلِ تعکیس تفاعل ہے 

کے ساتھ ۔

ثبوتیہ دکھانے کے لئے کہ gofقابلِ تعکیس ہے کے ساتھ، یہ دکھانا کافی ہے کہ 

مثال28  مان لیجیے {S = {1, 2, 3ہے یہ نکالئے کہ کیا تفاعل جو ذیل طرح سے بیان کیا گیا ہے کے معکوس موجود ہیں۔ دریافت کیجئے ، گر یہ موجود ہے۔ 

(a) f = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}

(b) f = {(1, 2), (2, 1), (3, 1)}

(c) f = {(1, 3), (3, 2), (2, 1)}

حل

(a) یہ دیکھنا آسان ہے کہ f، یک –یک اور بر ہے، تاکہ fکے دئے ہوئے معکوس کے ساتھ f،قابلِ تعکیس ہے جو کہ دیا گیا ہے ۔

 (b)   کیونکہ جو  f (2) = f (3) =1,f، یک –یک نہیں ہے، اس لئے کہ fتقابلِ تعکیس نہیں ہے۔ 

(c) یہ دیکھنا آسان ہے کہ f، یک –یک اور بر ہے ، اس طرح کہ کے ساتھ قابلِ تعکیس ہو۔

مشق  1.3

1۔ مان لیجئے  دیئے گئے ہیں 

{(f = {(1, 2), (3, 5), (4, 1 اور {(g = {(1, 3), (2, 3), (5, 1سے –gofلکھیے

2۔ مان لیجئے f,g اور h، Rسے Rمیں تفاعلات کے ہیں۔ دکھائیے کہ 

3۔ gofاور fogدریافت کیجئے، اگر

4۔ اگر، دکھائیے کہہے، تمام کے لئے fکا معکوس کیا ہے؟

5۔ وجوہات کے ساتھ بیان کیجئے کہ کیا ذیل تفاعلات کے معکوس ہیں۔

6۔ دکھائیے کہ جو کہ سے دیا گیا ہے یک –یک ہے۔ فنکشن 

سمت  fکا معکوس دریافت کیجیے۔

(اشارہ–کسی بھی  f، کی وسعتکے لئے کسی بھی xکے لئے جو کہ [1,1–] میں موجود ہے، یعنی۔، 

7۔ تفاعلپر غور کیجئے جو کہ f(x)=4x+3سے دیا گیا ہے۔ دکھائیے کہ f قابلِ تعکیس ہے۔fکا معکوس دریافت کیجیے۔

8۔ تفاعلپر غور کیجئے جو کہسے دیا گیا ہے۔ دکھائیے کہfقابلِ تعکیس ہے اپنے معکوس  کے ساتھ جو کہ دیا گیا ہے سے، جہاں تمام غیر منفی حقیقی اعداد کا سیٹ ہے۔

9۔ تفاعل پر غور کیجئے جو کہسے دیا گیا ہے۔ دکھائیے کہ کے ساتھ قابلِ تعکیس ہے۔ 

10۔ مان لیجئے  ایک قابلِ تعکیس تفاعل ہے۔ دکھائیے کہ fکا معکوس اکلوتا ہے۔  

(اشارہ –مان لیجئے  ،کے دو معکوس ہیں۔ تب 

کی یک –یک خصوصیت کا استعمال کرکے)

11۔ پر غور کیجئے جو کہ  f (1) = a, f (2) = bاور  f (3) = cسے دیئے گئے ہیںدریافت کیجئے اور دکھائیے کہ  ہے۔

12۔ مان لیجئے ایک قابلِ تعکیس ہے۔ دکھائیے کہ معکوس fہے ، یعنی۔،۔

13۔ اگر دیا گیا ہے سے ، تبہے۔

14۔ مان لیجئےایک تفاعل ہے جو کہ بیان کیا گیا ہےسے fکا معکوس میپ gہے:سمت  دیا گیا ہے۔

1.5  دو عنصری عمل

اسکولی زندگی میں آپ کے سامنے چار بنیادی عمل جمع، تفریق ضرب اور تقسیم آئے ہیں ان عملوں کا اصل مقصد ہے کہ دیئے ہوئے کن ہی دونمبروں aاور bکے لیے ۔ ہم ایک دوسرا نمبر a+b یا a–b یا abیا رفیق بنالیتے ہیں۔ اس بات کو نوٹ کرلیجیے کہ صرف دو اعداد بیک وقت جوڑے یا ضرب کئے جاسکتے ہیں۔ جب ہمیں تین اعداد کا مجموعہ معلوم کرنے کی ضرورت ہوگی، پہلے ہم دو اعداد کو جوڑیں گے اور تب ان کے مجموعہ کو تیسرے عدد کے ساتھ جوڑیں گے۔ اس طرح مجموعہ ، ضرب، تفریق اور تقسیم دو عنصری عملیات کی مثالیں ہیں، کیونکہ (Binary) کا مطلب ہے دو اگر ہم ایک عام تعریف بیان کرنا چاہتے ہیں جو یہ چاروں عملیات کو ایک ساتھ لے، تب اعداد کے سیٹ کو ایک اختیاری سیٹ Xسے بدلنا ہوگا اور تب عام دو عنصری عملیات اور کچھ نہیں ہیں بلکہ ضرب a,b اعداد کے کسی بھی جوڑے کے رفیق Xکے ایک عنصر سے دوسرے Xکے عنصر میں ہوں گے۔ یہ ایک عام تعریف بیان کرتا ہے جو اس طرح دی گئی ہے۔ 

تعریف 10  ایک دو عنصری عمل * ایک سیٹ Aپر ایک تفاعل ہے ۔ ہم * (a, b) کو a * b سے ظاہر کرتے ہیں۔ 

مثال 29  دکھائیے کہ Rپر جوڑ تفریق اور ضرب دو عنصری عملیات ہیں، لیکن Rپر تقسیم ایک دو عنصری عمل نہیں ہے۔ مزید ، دکھائیے کہ سیٹ غیر صفر حقیقی اعداد پر تقسیم دو عنصری عمل ہے۔

حل کے ذریعے دیا گیا ہے۔

کیونکہ '+', '–'اور '+'تفاعل ہیں، وہ Rپر دو عنصری عمل ہیں۔ 

لیکن  کے ذریعے دیا گیا، ایک تفاعل نہیں ہے اور اس لئے دو عنصری عمل نہیں ہے کیونکہ b = aکے لئے بیان نہیں کیا گیا ہے۔

حالانکہکے ذریعے دیا گیا ایک تفاعل ہے اور اس لئے  پر دو عنصری عمل ہے۔ 

مثال 30  دکھائیے کہ تفریق اور تقسیم Nپر دو عنصری عمل نہیں ہے۔ 

حل   سے دیا گیا ہے ، ایک دو عنصری عمل نہیں ہے ، کیونکہ (3,5) کا عکس ‘–’کے زیرِ سایہہے ۔ اسی طرح ایک دو عنصری عمل نہیں ہے، کیونکہ (3,5) کا عکس  ¸ کے زیرِ سایہ ہے۔

مثال 31   دکھائیے کہ سے دکھایا گیا ہے ایک دو عنصری عمل ہے ۔

حل کیونکہ *ہر جوڑے (a,b) کو واحد عنصرکو Rمیں لے جاتا ہے،*R,میں ایک دو عنصری عمل ہے R پر۔

مثال 32   مان لیجئے P ایک دیئے ہوئے سیٹ Xکے تمام ماتحت سیٹ کا سیٹ ہے۔ دکھائیے کہ 

جو کہ دیا گیا ہے۔ جو کہ دیا گیا ہے 

سے سیٹ Pپر دو عنصری عملیات ہیں۔

حل کیونکہ اجماع عمل کے ہر جوڑے (A,B) کو P × P میں ایک واحد عنصر  میں لے جاتا ہے۔  پر ایک دو عنصری عمل ہے۔ اسی طرح تقاطع عمل ہر جوڑے کے واحد عنصرکو Pمیں لے جاتا ہے، پر ایک دو عنصری عمل ہے۔ 

مثال 33 دکھائیے کہ  عظیم {a,b} سے دیا گیا ہے اور 

صغیر سے دیا گیا ہے دو عنصری عمل ہے۔ 

حل کیونکہ ہر جوڑے (a,b) کو R×R میں واحد عنصر بنامaاور bکے عظیم کی طرف لے جاتا ہے جو کہ Rمیں موجود ہے، ایک دو عنصری عمل ہے۔ اسی طرح کی دلیل کا استعمال کرے ، کوئی بھی یہ کہہ سکتا ہے کہ ایک دو عنصری عمل ہے۔ 

ریمارک   ہے۔

جب ایک سیٹ میں عناصر کی تعداد کم ہے، ہم ایک دو عنصری عمل *کو سیٹ Aپر ایک جدول کے ذریعے عمل * کے لئے دکھا سکتے ہیں۔ مثال کے طور پر A = {1,2,3}پر غور کیجئے۔ تب ، عملکو مثال 33میں Aپر ذیل عمل جدول (جدول 1.1) پر بیان کیا گیا ہے۔ یہاں ۔

جدول 1.1

v 1 2 3

1 1 2 3

2 2 2 3

3 3 3 3

ہمارے پاس یہاںعملی جدول میں (i,j) کے ساتھ 3قطاریں اور 3کالم ہیں، جدول میں سیٹ Aکے عناصر کا اندراج عظیم ہے۔ اسے عام عملوں  کے لئے عام کیا جاسکتا ہے۔ اگر 

 تب عملی جدول میں nقطاریں اور mکالم اندراج کے ہوں گے کیونکہہے۔ اس کے برعکس کوئی بھی عملی جدول جس میں nقطاریں اورmکالم دیئے ہوئے ہیں جس میں ہر ایک اندراج کے ایک عنصر کا ہے، ہم ایک دو عنصری عمل کو بیان کرتے ہیں جو کہ عملی جدول کی کالم کا اندراج سے دیا گیا ہے۔ 

کوئی بھی یہ نوٹ کرسکتا ہے کہ 3اور 4کسی بھی ترتیب میں جوڑے جاسکتے ہیں اور نتیجہ وہی رہے گا، یعنی۔، 3 + 4 = 4 + 3، 

لیکن 3اور 4کی تفریق مختلف ترتیب میں مختلف نتیجہ دے گی، یعنی۔،اسی طرح 3اور 4کی ضرب میں، ترتیب کی کوئی اہمیت نہیں ہے، لیکن 3اور 4کی تفریق اور تقسیم بے معنیٰ ہے تفریق اور تقسیم کے لئے ہمیں لکھنا پڑے کا، 3کی 4 سے تفریق کیجئے ، 4کی 3سے تفریق کیجئے، ’3کو 4سے تقسیم کیجئے‘یا ’4 کو 3سے تقسیم کیجئے۔‘

یہ ذیل تعریف کی طرف لے جاتی ہے۔ 

تعریف 11 ایک سیٹ Xمیں ایک دو عنصری عمل تقلیبی کہلاتا ہے، اگر a * b=b * aہو، ہر ایک کے لئے ۔ 

مثال 34  دکھائیے کہتقلیبی دوعنصری عمل ہیں، لیکن ، تقلیبی نہیں ہے۔ 

حلکیونکہ a + b = b + aاورتقلیبی دو عنصری عمل ہیں۔ حالانکہ، '–' تقلیبی نہیں ہے، کیونکہتقلیبی نہیں ہے۔ 

مثال  35  دکھائیے کہ سے بیان کیا گیا ہے تقلیبی نہیں ہے۔

حل کیونکہ ، جو دکھاتا ہے کہ عمل * تقلیبی ہے۔ 

اگر ہم سیٹ Xکو تین عناصر کا رفیق بنانا چاہیں، Xپر دو عنصری عمل کے ذریعے، تو ہم ایک اصل مسئلہ پر زور دے رہے ہیں۔ عبارت a * b * cکو اس طرح بھی دکھایا جاسکتا ہے (a * (b * c یا  a * (b * c)کے ذریعے اور یہ دونوں عبارتیں ایک جیسی نہیں ہوں کی۔ مثال کے طور پر۔ اس لئے ، تین نمبروں 5,8اور 3کا اجتماع، ایک دو عنصری عمل ’تفریق‘ کے ذریعے بے معنی ہے، جب تک کہ بریکٹ کا استعمال نہ کیا جائے۔ لیکن جوڑے کے کیس میں 8 + 5 + 2 کی برابر قدر ہے چاہے ہم اسے 8 + 5 + 2 یا ( 8 + 5) + 2 طرح سے دیکھیں۔ اس لئے 3یا 3سے زیادہ نمبروں کا اجتماع جوڑ کے ذریعے بمعنی ہے بغیر بریکٹ کا استعمال کئے ہوئے۔

یہ ذیل کی طرف لے جاتا ہے:

تعریف 12   ایک دو عنصری عمل ایک تلازمی عمل کہلاتا ہے اگر 

مثال 36   دکھائیے کہ Rپر جمع اور ضرب تلازمی دوعنصری عمل ہیں۔ لیکن تفریق Rپر تلازمی نہیں ہے۔ تقسیم Rپر تلازمی نہیں ہے۔

حلجوڑ اور ضرب تلازمی ہیں، کیونکہ تمام کے لئے ۔ حالانکہ ، تفریق اور تقسیم تلازمی نہیں ہیں، کیونکہ

مثال 37   دکھائیے کہ سے دیا گیا ہے تلازمی نہیں ہے ۔

حل  عمل *تلازمی نہیں ہے، کیونکہ

ریمارک دو عنصری عمل کی تلازمی خصوصیت اس سوچ میں بہت اہم ہے کہ یہ دو عنصری عمل کی خصوصیت ہے، ہم لکھ سکتے ہیں جو کہ صاف نہیں ہے۔ لیکن اس خصوصیت کی غیرموجودگی میں، عبارت بے معنی ہے اگر ہم بریکٹ کا استعمال نہ کریں ۔ اسے یاد کیجئے کہ پچھلی جماعتوں میں بریکٹوں کا استعمال اس وقت ہوتا تھا جب تفریق یا تقسیم کے عملیات ہوتے تھے یا ایک سے زیادہ عمل موجود ہوتے تھے۔ 

R پر دو عنصری عمل ’+‘کے لئے، صفر عدد کا دلچسپ منظر یہ ہے کہ a+0=a=0+a, ، یعنی۔، کوئی بھی نمبر میں صفر جوڑنے پر نمبر نہیں بدلتا۔ لیکن ضرب کے کیس میں ، عدد1، یہ کردار ادا کرتا ہے، کیونکہ تمام R میں یہ ذیل کی تعریف کی طرف لے جاتا ہے۔

تعریف 13 ایک دو عنصری عملدیا ہوا ہے، ایک عنصر ، اگر یہ موجود ہے عمل *کے لئے تماثلہ کہلاتا ہے، اگر 

مثال 38دکھائیے کہ Rپر جمع کے لئے صفر تماثلہ ہے اور R,1پر ضرب کاہے۔ لیکن عمل

 

کے لئے کوئی تماثلی عنصر نہیں ہے ۔

حل کامطلب ہے کہ Oاور 1بالترتیب عمل ’+‘اور ’בکے لیے تماثلی عناصر ہیں۔ اس کے آگے ، Rمیںکے لئے کوئی بھی عنصر eنہیں ہے۔

اسی طرح ، Rمیں ہمیں کوئی بھی عنصر eنہیں ملتا ، تاکہ میں کے لئے ۔ اس طرح ’–‘اور ’¸‘کے لئے کوئی بھی تماثلی عنصر نہیں ہے۔

ریمارک R پر جمع کے عمل کے لئے صفرتماثلہ ہے لیکن یہ Nپر جمع کے عمل کے لئے تماثلہ نہیں ہے ، کیونکہ ۔ حقیقت میں جمع کے عمل کا Nکے لیے کو ئی تماثلہ نہیں ہے۔

آگے یہ دھیان دیا جاتا ہے کہ جمع کے عمل کے لئےکسی بھی دیئے ہوئے کے لئے R میں a–موجودہے تاکہ a + (– a) = 0(+جمع کے لئے تماثلہ)

 اسی طرح، Rپر ضرب کے عمل کے لیے، دیئے ہوئے میں، ہم Rمیںچن سکتے ہیں تاکہ(’בکے لئے تماثلی) ۔ یہ ذیل تعریف کی طرف لے جاتا ہے۔

تعریف 14ایک عنصری ، تماثلی عنصر A,eمیں کے لئے ایک عنصر کو تقلیبی کہاجاتا ہے عمل *کے ساتھ ، اگر کوئی عنصر b،Aمیں موجود ہے تاکہ اورb، aکا معکوس کہلاتا ہے اور اسے سے ظاہر کیا جاتا ہے۔

مثال 39 دکھائیے کہ Rپر جمع کے عمل کے لئے کا معکوس ہے اور کے لئے Rپر ضرب کے عمل کے لئے معکوس ہے۔

حل  کیونکہجمع کے لئے معکوس ہے۔ 

 اسی طرح، ا مطلب ہے کہضرب کے لئے aکا معکوس ہے ۔ 

مثال 40دکھائیے کہ کا معکوس نہیں ہے جمع کے عمل کے لئےکا عمل معکوس نہیں ہے ضربی عملکے لئے ۔

حل کیونکہ،جمع کے عمل کے لئے ، Nپر–a، aکامعکوس نہیں ہو سکتا ، جب کہ کو مطمئن کرتا ہے ۔

اسی طرح،کے لئے Nمیں ، جس کا مطلب ہے کہ ’1‘کے علاوہ Nمیں کسی بھی عنصر کا Nپر ضربی عمل کے لئے معکوس نہیں ہوتا۔

مثالیں 34, 36, 38اور 39دکھاتی ہیں کہ Rپر جمع تقلیبی اور تلازمی دو عنصری عمل ہے جس میں Oتماثلی عنصر ہے اور –a، Rمیں aکا معکوس ہے تمام aکے لئے

مشق 1.4

1۔ معلوم کیجیے کہ کیا کسی ہر ایک تعریف جو کہ نیچے دی گئی ہے دو عنصری عمل دیتی ہے یا نہیں۔ جس میں ایک دو عنصری عمل نہیں ہے ، اس کا جواز پیش کیجیے۔

(i) پر، *بیان کیجیے a * b = a – bکے ذریعے

(ii) پر، *بیان کیجیے، a * b = abکے ذریعے 

(iii)۔       Rپر، *بیان کیجیے کے ذریعے 

(iv) پر ،*بیان کیجیے |a*b=|a–bکے ذریعے

(v) پر ،*بیان کیجیے، a*b=aکے ذریعے 

2۔ ہر ایک دو عنصری عمل *کے لیے جو کہ نیچے بیان کیا گیا ہے ، معلوم کیجیے کہ کیا *تقلیبی ہے تلازمی ۔

3۔ سیٹصغیر سے بیان کیا گیا ہے۔ عمل کے لئے عملی جدول لکھیے۔

4۔ سیٹ پر ایک دو عنصری عمل *پر غور کیجیے جو کہ ذیل ضربی جدول (جدول 1.2) سے دیا گیا ہے ۔ 

(i)   کا حساب لگائیے۔

(ii) کیا *تقلیبی ہے ؟

(iii) کا حساب لگائیے۔

(اشارہ: ذیل جدول استعمال کیجیے)

جدول 1.2

* 1 2 3 4 5

1 1 1 1 1 1

2 1 2 1 2 1

3 1 1 3 1 1

4 1 2 1 4 1

5 1 1 1 1 5

5۔ مان لیجیےپر دو عنصری عمل ہے جو کہ  اور bکا عاد اعظم مشترک (HCF)سے بیان کیاگیا ہے۔ کیا عمل عمل *کے جیسا ہے جو کہ اوپر ش 4میں دیا گیا ہے ؟اپنے جواب کی وضاحت کیجیے۔

6۔ کیا N*پر دو عنصری عمل ہے جو کہa=a * b اور bکے دو اضعاف اقل(LCM) سے دیا گیا ہے۔معلوم کیجیے۔

(iii) کیا *تلازمی ہے ؟                 (vi) *کا تماثلہ Nمیں دریافت کیجیے۔

(v)کا کون سے عنصر عمل *کے لیے تقلیبی ہیں۔

7۔ کیا *سیٹ {5, 4, 3, 2, 1}پر بیان کیا گیا ہے۔ a=a * bاورbکا عاد اعظم مشترک (HCF)ایک دو عنصری عمل ہے کے ذریعہ ؟ اپنے جواب کی وضاحت کیجیے۔

8۔ مان لیجیے *ایک دو عنصری عمل Nپر ہے جو کہ بیان کیا گیا ہے a=a*bاور bکے عاد اعظم مشترک ہے ۔ کیا *تقلیبی ہے ؟ کیا *تلازمی ہے ؟ کیا اس دو عنصری عمل جو کہNکے اوپر ہے کے لئے تماثلہ موجود ہے ؟

9۔ مان لیجیے ناطق اعداد کے سیٹ Qپر ایک دو عنصری عمل ہے جیسا کہ نیچے دیا گیا ہے ۔

وہ دو عنصری عمل دریافت کیجیے جو تقلیبی ہیں اور جو تلازمی ہیں۔

10۔ دکھائیے کہ اوپر دیئے ہوئے کسی بھی عمل کی متماثلی نہیں ہے۔

11۔ مان لیجئےN×N=Aاور دو عنصری عمل Aپر اس طرح بیان کیا گیا ہے ۔ 

(a, b) * (c, d)=(a+c, b+d) 

دکھائے کہ تقلیبی اور تلازمی ہے۔*کے لئےAپر متماثلی عنصر معلوم کیجیے، اگر کوئی ہے ۔

12۔ دکھائے کہ کیا ذیل بیانات درست ہیں یا غلط ۔ وضاحت کیجیے۔

(i) سیٹ Nپر ایک دو عنصری عمل *کے لئے a*a=aتمام کیجیے ۔

(ii) اگر *،Nپر دو عنصری عمل ہے، تب a * (b * c) = (c * b) * a

13۔ ایک دو عنصری عمل *پر Nپر غور کیجئے جو کہ سے بیان کیا گیا ہے ۔ صحیح جواب چنیے۔

(A) کیا *دونوں تلازمی اور تقلیبی ہے ؟

(B) کیا * تقلیبی ہے لیکن تلازمی نہیں ؟

(C) کیا *تلازمی ہے لیکن تقلیبی نہیں ؟

(D) کیا *ناتو تقلیبی ہے اور نہ تلازمی ؟

متفرق مثالیں 

مثال 41

اگرسیٹ Aمیں معادلتی رشتے ہیں، دکھائے کہ بھی ایک معادلتی رشتہ ہے۔

حل

 کیونکہ معادلتی رشتے ہیں،کے لیے۔ اس سے نہ نکلتا 

 معاولت رشتہ ہے۔

مثال 42مان لیجیے مثبت صحیح اعداد کے مرتب جوڑوں کے سیٹ Aپر Rایک رشتہ ہے جو کہ (x, y) R (u, v)سے بیان کیا گیا ہے اگر اور صرف xv = yuہے۔ دکھائیے کہ Rایک معادلتی رشتہ ہے۔

حلصاف طور پرہے کیونکہ xy = yxہے۔ یہ دکھاتا ہے کہ Rرجوعی ہے ۔ اس کے آگےاوراس طرح  (u, v) R (x, y)یہ دکھاتا ہے کہ Rمتشاکل ہے ۔ اسی طرح ، (x,y) R (u, v)اوراور اس لئے (x, y) R (a, b)۔ اس طرح Rانتقالی ہے۔ اس طرح ، Rایک معادلتی رشتہ ہے۔

مثال 43مان لیجئےX = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}مان لیجیے میں ایک رشتہ ہے جو کہ دیا گیا ہے سے تقسیم ہوتا ہے :پر ایک دوسرا رشتہ ہے جو دیا گیا ہے۔

حل یہ نوٹ کر لیجیے کہ سیٹوں {1, 4, 7}، {2, 5, 8}اور {3, 6, 9}کی خصوصیات ہیں کہ ان کا فرق وہ ہے جو ان سیٹس کے دو عناصر کے درمیان میں 3کا صغف ہے۔ اس

مثال 44مان لیجیےایک تفاعل ہے۔ Xمیں رشتہ Rبیان کیجیے ۔ جو کہ دیا گیا ہےجانچ کیجیے کہ کیا Rایک معادلتی رشتہ ہے۔

حل ہر ایک، کیونکہ (f(a)=f(aہے، جو دکھاتا ہے کہRرجوعی ہے۔ اسی اطرح (۔

مثال 45

دریافت کیجئے کہ ذیل میں کون سے دو عنصری عمل سیٹNپر تلازمی ہیں اور کون سے تقلیبی ہیں۔

حل(a)صاف طورپر تعریف ہے

اس لئے *تلازمی نہیں ہے۔

مثال 46سیٹ{A = {1, 2, 3سے اپنے آپ میں تمام یک۔ یک تفاعل کی تعداد دریافت کیجیے۔

حلیک ۔ یک تفاعل {1, 2, 3}سے اپنے آپ میں آسانی سے ایک مبادلہ ہے تین علامتوں 3, 2, 1پر۔ اس لئے یک۔ یک۔ نقشوں کی کل تعداد {3, 2, 1}سے اپنے آپ میں بالکل ایسی ہے جیسا کہ تینوں علامتوں 3, 2, 1پر مبادلہ کی کل تعداد جو کہ

 6 = !3ہے۔

مثال 47مان لیجئے {A = {1, 2, 3ہے۔ تب دکھائیے کہ رشتوں کی تعداد جن میں (1, 2)اور(2, 3) موجود ہیں جو کہ رجوعی اور انتقالی ہیں لیکن متشاکل نہیں 3 ہے۔

حل سب سے چھوٹا رشتہ جس میں (2, 1)اور (3, 2)موجود ہیں جو کہ رجوعی اور انتقالی ہیں لیکن متشاکل نہیں {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (2, 1), (3, 2), (3, 1)}یہ ہے۔ اب ، اگر ہم جوڑے (2, 1)کو میں جوڑیں حاصل کرنے کے لئے ، تب رشتہرجوعی ہوگا لیکن متشاکل نہیں۔ اسی طرح ، ہماور بالترتیب (2, 3)اور(1, 3)کو جوڑ کر حاصل کرسکتے ہیںمیں مطلوبہ رشتے حاصل کرنے کے لئے۔ حالانکہ ہم (2,1)،(3,2)اور(3,1)میں جوڑوں کو کے کبھی بھی نہیں جوڑ سکتے ، کیونکہ اس طرح کرنے سے، ہمیں جیراً تیسرے جوڑے کو جوڑنا پڑے گاایک ترتیب میں انتقالیت کو برقرار رکھنے کے لئے اور اس سلسلہ میں رشتہ متشاکل ہو جائے گا۔ ساتھ ہی جو درکار نہیں ہے اس طرح مطلوبہ رشتہ کی کل تعداد تین ہے۔

مثال 48دکھائیے کہ سیٹ{3, 2, 1}میں معادلتی رشتوں کی تعداد جس میں (2, 1)اور (1, 1)شامل ہے 2ہے۔

حل سب سے چھوٹی معاولت رشتہہے جس میں (1,2)اور (2,1)شامل ہے ہے۔ اب ہمارے پاس صرف 4جوڑے باقی ہیں جن کے نام ہیں (3, 1), (2, 3), (3, 2)اور(3, 1)۔ اگر ہم ان میں سے کسی ایک کو جوڑتے ہیں۔مثال کے طور پر (3, 2)کومیں ، تب متشاکلت کے لئے ہمیں (2, 3)بھی جوڑنا ہوگا ۔ اور اب انتقالیت کے لئے جبراًہمیں (3, 1)اور(1, 3)کو جوڑنا ہوگا ۔ اس طرح معادلت رشتہ سے بڑا صرف آفاقی رشتہ ہے۔ یہ دکھاتا ہے کہ معاولت رشتوں کی تعداد جن میں (2, 1)اور(1, 2)شامل 2ہے۔

مثال 49دکھائیے کہ {2, 1}پر دو عنصری عملوں کی تعداد جس کا تماثلہ 1ہے اور اس میں 2کا معکوس 2موجود ہے بالکل ایک ہے ۔

حل دو عنصری عمل *{2, 1}پر ایک تفاعل ہے {1,2}×{1,2}سے{1,2}کو، یعنی ، ایک تفاعل{(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)} ۔ کیونکہ مطلوبہ دو عنصری عمل *کے لئے’1‘متماثلی اس لئے *, *(1,1)=1,* (1, 2)=2, * (2, 1)=2 ہے اور چننے کے لئے (2, 2)برابر ہونا چاہئے؛’1‘کے۔ اس طرح، مطلوبہ دو عنصری عمل کی تعداد صرف ایک ہے۔

مثال 50تماثلی تفاعل پر غور کیجئے جو کہ سے بیان کی گئی ہو۔ دکھائیے کہ ساتھ

حلصاف طور پر بر نہیں ہے، کیونکہ عنصر 3کو ہم علاقہ Nمیں دریافت کر سکتے ہیں تاکہ کوئی بھی علاقہ xعلاقہ Nموجود نہیں ہے کے ساتھ ۔

باب 1پر مبنی متفرق مشق

1۔ مان لیجئےجوکہتفاعل دریافت کیجیے تاکہ 

2۔ مان لیجئے f : W ® Wجو کہ f(n) = n – 1سے بیان کیا گیا ہے ، اگر nطاق ہے اور f(n)=n+1، ہے اگر nجفت ہے۔ دکھائیے کہ fتقلیبی ہے۔ fکا معکوس معلوم کیجیے۔ Wتمام مکمل اعداد کا سیٹ ہے ۔

8۔ ایک غیر خالی سیٹXدیا گیا ہے، (P(X)پر غور کیجیے جو کہ Xکے تمام ماتحت سیٹ کا پیٹ ہے۔ رشتہ Rکو (P(X)میں اس طرح سے بیان کیا گیا ہے۔ماتحت سیٹ A, Bکے لیے P(X), ARBاگر اور صرف اگر کیا P(X),Rپر ایک معادلتی رشتہ ہے ؟ اپنے جواب کی وضاحت کیجیے۔

9۔ ایک غیر خالی سیٹ Xدیا گیا ہے ۔ دو عنصری عمل  میں موجود ہیں کے لیے دیا گیا ہے ، جہاں (X,P(Xکا پاور سیٹ ہے۔ دکھائیے کہ Xایک تماثلی عنصر ہے اس عمل کے لیے اور صرف Xقابلِ تعکیس عنصر ہے (P(Xمیں عمل *کو مد نظر رکھتے ہوئے۔

10۔ سیٹ سے خود میں تمام اون ٹو تفاعلات کی تعداد دریافت کیجیے۔

12۔ دو عنصری عمل  کے لیے بیان کیا گیا ہے۔ دکھائیے کہ *تقلیبی ہے لیکن تلازمی نہیں، oتلازمی ہے لیکن تقلیبی نہیں۔ اس کے آگے ، دکھائیے کہ تمام [اگر یہ ایسا ہی ہے، ہم کہتے ہیں کہ عملo عمل o,*کے اوپر تقسیم کرتا ہے]۔ کیا o، *کے اوپر تقسیم کرتا ہے ؟ اپنے جواب کی وضاحت کیجیے۔

دکھائے کہ اس عمل کے لیے صفر تماثلہ ہے اور سیٹ کا ہر عنصر aقابلِ تعکیس ہے اور 6–aیہ aکا معکوس ہے ۔

خلاصہ (Summary)

اس باب میں ہم نے مختلف قسم کے رشتوں کے بارے میں پڑھا ہے اور معادلتی کے رشتے کے بارے میں ،تفاعلات کے ترکیب اجزائی معکوس تفاعل اور دو عنصری عمل۔ اس باب کی اہم مختلف حصہ ا س طرح دیئے ہوئے ہیں۔

• Xمیں خالی رشتہ ، رشتہ Rہے جو کہ دیا گیا ہے 
• آفاقی رشتہ Xمیں رشتہ Rہے جو کہ دیا گیا ہے R = X × X۔
• رجوعی rشتہ R،Xمیں ایک رشتہ ہے 
• متشاکل رشتہ R،Xمیں ایک رشتہ ہے جو 
• انتقالی رشتہ R،Xمیں ایک رشتہ ہے جو کہ
• معادلتی کا رشتہ R،Xمیں ایک رشتہ ہے جو کہ رجوعی ، متشاکل اور انتقالی ہے۔
• معاولتی کلاس [a]جس میں موجود ہے ایک معاولت کا رشتہ Rکے لئے Xمیں Xکا ماتحت سیٹ ہے تمام عناصر a,bسے تعلق رکھنے والے موجود ہیں۔
• 

تاریخ کے اوراق 

فنکشن کی سوچ بہت لمبے عرصے سے موجود ہے جو کہ –Rڈیس کارٹس(1596-1650) کے زمانے سے شروع ہوتی ہے، جس نے اپنی ہاتھ سے لکھی کتاب ’’جیومیتریائی‘‘ 1637میں جس کا مطلب ہے کچھ مثبت صحیح طاقتیںایک متغیر xکی جب وہ جیومیتریائی منحنیوں کا مطالعہ کر رہا تھا مثال کے طور پر زائد ، مکافی اور ناقص۔ جیمس گری گوری (1636-1675)نے اپنے کام “Vera Circuliet Hyperbolae Quadratura” (1667)میں غور کیا ہے کہ فنکشن ایک تعداد ہے جو کہ دوسری تعداد سے حاصل ہوتا ہے طریقہ الجبری عملیات یا کسی بھی دوسرے عملیات سے ۔ بعد میں جی۔ ڈبلو۔ لینٹس (1646-1716)اپنی کتاب“Methodus tangentium inversa, seu de functionibus”جو کہ (1673)میں لکھی گئی ہے لفظ ’فنکشن‘ کا مطلب ہے ایک اشیاء جو منحنی پر ایک نقطہ سے دوسرے نقطہ پر تبدیل ہو رہی ہے جیسے کہ منحنی پر ایک نقطہ کے مختص ’منحنی کا سلوپ‘ ایک نقطہ پر مماس اور نارمل۔ حالانکہ، اپنی کتاب ’Historia‘(1714)میں لینٹس نے لفظ ’’فنکشن‘‘کا مطلب نکالا ہے وہ اشیاء جو متغیر پر منحصر ہیں۔ وہ پہلا آدمی تھا جس نےxکا فنکشن کا استعمال کیا ہے۔ جون برنولی (1667-1748)نے علامت f(x)کا استعمال پہلی بار 1718میں xکے فنکش کو ظاہر کرتی ہیں۔ کولیون ہارڈ(1707-1783)نے عام طو ر پر گلے لگایا اپنی کتاب “Theorie des functions analytiques” 1793میں چھاپی ، جہاں اس نے تخلیلی فنکشن پر بحث و مباحثہ کیا اور علامات  وغیرہ وغیرہ کا استعمال xکے مختلف فنکشنوں کے لئے کیا۔ اس کے بعد Lejeunne Dirichlet (1805-1859)نے فکشن کی تعریف بیان کی جو اس وقت تک استعمال ہوتی رہی جب تک کہ حال میں استعمال ہونے والی فنکشن کا نظریہ نہ آگیا، یہ اس وقت تک دی گئی جب تک سیٹ کا نظریہ جو کہ رج کینٹر (1845-1916)نے پیدا کیا ۔ فنکشن کی سیٹ نظریہ آئی اور یقین جنہیں آج جانا جاتا ہے صرف ایک نچوڑ ہے Dirichletکے ذریعہ دی گئی تعریف کا ایک بہت ہی بے ترتیب انداز ہیں۔