Skip to content
Read PDF Question Answers
Riyazee-001


باب 2

معکوس ٹرگنومیٹریائی تفاعلات (فنکشن)

(INVERSE TRIGONOMETRIC FUNCTIONS)

v’ریاضی عموماً بنیادی طور پر خوددکھائی دینے والی اشیاء کی سائنس ہے۔  فیلکس کلینv

2.1  تعارف

باب’1‘ میں ، ہم پڑھ چکے ہیں کہ فنکشن  F کامعکوس جو کہ 26  سے ، ظاہر کیا جاتا ہے ، وجود پزیر ہوتا ہے اگرfیک ۔ یک اور اون ٹو (onto)ہے۔ کچھ ایسے تفاعلات ہیں جو یک۔ یک نہیں ہیں ، پر یا پھر دونوں خصوصیات نہیں ہیں اس لیے ہم ان کے معکوس کے بارے میں بات نہیں کرتے ۔ گیارویں جماعت میں ہم پڑھ چکے ہیں کہ ٹرگنو میٹریائی تفاعلات یک۔ یک اور اون ٹو نہیں ہیں۔ اپنے طبعی علاقہ اور وسعت میں اور اس لیے ان کے معکوس وجود پذیر نہیں ہیں۔ اس باب میں ہمٹرگنومیٹریائی تفاعلات کے علاقوں اوروسعت کی بندشوں کے بارے میں مطالعہ کریں گے جو ان کے معکوس  کے وجود میں ہونے کی یقین دہانی کرتے ہیں ا ور ان کے کردار کا مشاہدہ گراف کے ذریعے ہوتا ہے۔
27

آریہ بھٹہ

53

(476-550A.D.)

معکوس ٹرگنومیٹریائی تفاعلات احصا (Calculus) میں ایک اہم رول ادا کرتے ہیں جس کے لیے وہ بہت سے تکملہ (Integrals) کی تعریف بیان کرنے  ہیں۔

2.2 بنیادی تصور

گیارہویں جماعت میں ہم نے ٹرگنومیٹریائی تفاعلات کا مطالعہ کی ہے۔ جنہیں ذیل طریقے سے بیان کیا گیا ہے۔
سائن تفاعل  (فنکشن )54

55
ہم نے باب ’1‘ میں بھی پڑھا ہے کہ اگر56یک یک ’اون ٹو‘ ہے تب ہم ایک یکتا تفاعل 57کو بیان کر سکتے ہیں تاکہ
58

کی وسعت اور g کی وسعت =f کا علاقہ ،تفاعل g کو f کا معکوس کہا جاتا ہے اور 59ظاہر کیا جاتا ہے اس کی علاوہ gیک،یک اور اون ٹو بھی ہے ،اور g کا معکوس fہے اس طرح 

60ہمارے پاس اور بھی ہے 
61
کیونکہ سائن فنکشن کا علاقہ تمام حقیقی اعداد کا سیٹ ہے اور وسعت بند وقفہ62
اگر ہم اس کے علاقہ کو63تک محدود رکھیں ، تب یہ یک یک اور اون ٹوہو جاتا ہے جس کی وسعت64
اصلیت میں ، سائن فنکشن کسی بھی وقفہ65وغیرہ یک ۔یک تک محدود ہے۔ اور اس کی وسعت66
ہے۔اور وسعت کوئی بھی قفہ67شاخ حاصل ہوتی ہے ۔ وہ شاخ جس کی وسعت 68ہے۔اصل قیمت شاخ کہلاتی ہے، جب کہ دوسرے وقفے سمت کی طرح 69کی مختلف شاخیں دیتی ہے۔ جب ہم فنکشن70کا حوالہ دیتے ہیں، ہم اسے ایکتفاعل کے طور پر لیتے ہیں جس کا حلقہ
71
72
معکوس فنکشن کی تعریف سے یہ نکلتا ہے کہ اگر73
74

ریمارک

(i) ہم باب ’ا‘سے جانتے ہیں کہ ، اگر75ایک قابلِ تعکیس فنکشن ہے، تب76ہے۔ اس لئے 77فنکشن کا گراف اصلی فنکشن سے xاورy محور کو پلٹ کر حاصل کیا جاسکتا ہے، i.e..، اگر (a,b)سائن فنکشن کے گراف پر ایک نقطہ ہے، تب (b,a) سائن فکشن کے گراف کے معکوس کے مطابق نقطہ بن جاتا ہے۔ اس طرح 
78کا گراف79کے گرافxاورy محور کو آپس میں بدلنے سے حاصل ہوسکتا ہے
80

81 کا گراف کا گہر ا حصہ شاخ کی اصل قیمتprincipal value branch) (کو دکھاتا ہے۔
(ii) یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ معکوس فنکشن کا گراف اصل فنکشن کے گراف کے مطابق حاصل کیا جا سکتا ہے۔ ایک شیشے کی  طرح (یعنی انعکاس ) خطx=x کے ساتھ اسے گراف

82پر غور کرکے دیکھا جاسکتا ہے۔ جس طرح اسی محور میں دیا گیا ہے۔ (شکل 2.1)(iii))
سائن فنکشن کی طرح کوسائیس فنکشن وہ فنکشن ہے جس کا علاقہ تمام حقیقی اعداد کا سیٹ ہے اور وسعت83سیٹ ہے اگر ہم کو سائن فنکشن کے علاوہ پر84

تک بندش لگائیں، تب یہ سمت85کے ساتھ یک۔ یک اور اون ٹو (onto) ہو جاتا ہے۔ دراصل میں، کو سائس فنکشن کسی بھی وقفہ86

تک بندش میںرہتا ہے۔ ، ایک دو قسمی ہے۔ جس کی وسعت 87ہے۔ اس لیے ہم کو سائس فنکشن کے معکوس کوان میں سے کسی بھی وقفہ پر بیان کرسکتے ہیں۔ ہم کو سائس فنکشن کے معکوس کو88(جس کو سائین فنکشن) سے ظاہر کرتے ہیں۔ اس طرح89 ایک فنکشن ہے جس کا علاقہ90ہے اور وسعت کوئی بھی وقفہ
91
 وغیرہ ہوسکتا ہے۔ ہر ایک وقفہ کے مطابق ہمیں92تفاعل کی شاخ حاصل ہوتی ہے۔ وہ شاخ جس کی وسعت 93تفاعل کی اصل قیمت شاخ کہلاتی ہے۔ ہم لکھتے ہیں94
95کے گراف کی طرح کھینچا جا سکتا ہے جس طرح اوپر بحث و مباحثہ کیا گیا ہے
96کے گراف شکل 2.2 (i) اور (ii) میں دیئے گئے ہیں۔
اب ہمیں97پر ذیل کی طرح بحث و مباحثہ کرنا چاہئے۔

98
99

100
کا سیٹ ہے اوروسعت101کا سیٹ ہے یعنی سیٹ102ہے۔ اس کا مطلب ہے کہ
103تمام حقیقی قدریں104کے اختیار کرتا ہے اور جو105کے تکملہ ضریب کے لیے بیان نہیں کیا جاسکتا ۔ اگر ہمcosec فنکشن کے علاقہ 
106 پر بندش لگادیں تب یہ اپنی وسعت جیسا کہ سیٹ107 کے ساتھ یک ۔ یک اور اون ٹو ہے۔ اصلیت میںCosec فنکشن کسی بھی وقفہ
108
وغیرہ تک کے لیے محدود ہے۔ دو قسمی ہے اور ا س کی وسعت تمام حقیقی اعداد109کا سیٹ ہے۔ اس طرح110کو ایک فنکشن کی طرح بیان کیا جاسکتا ہے۔ جس کا علاقہ111ہے اور وسعت کو ئی بھی وقفہ 
112
قدر کی شاخ کہلاتا ہے۔ اس طرح ہمارے پاس اصل شاخ اس طرح ہے۔
113

ساتھ ہی کیوںکہ114ہے۔ اور وسعت115 ہےاس کا مطلب ہے Sec(سیکنٹ فنکشن تمام حقیقی قدروں کا تصور کرتا ہے، –1<y<1کی بجائے اور �کے طاق ضریب کے لئے معرف نہیں کیا گیا ہے ۔اگر ہم سیکنٹ فنکشن کے حلقہ کو101تک محدود کردیں، تب یہ یک ، یک اور پر ہے جس کی سمت سیٹR–(–1,1)ہے۔ اصلیت میں سیکنٹ فنکشن کسی بھی وقفہ
102و103وغیرہ تک کے لیے محدود ہے دوقسمی ہے اور اس کی وسعت 1
 ہے اس طرح 2کو ایک فنکشن کی طرح  معرف کیا جا سکتا ہے جس کاحلقہ 3 اور کوئی بھی وقفہ

67
وغیرہ میں ہو سکتا ہے ہر ایک وقفہ کے مطابق ہمیں 8فنکشن کی مختلف شاخیں ملتی ہیں وہ شاخ جس کی وسعت 9 فنکشن کی اصل قیمت کی شاخ کہلاتی ہے اس صرح ہمارے پاس ہے 

11


12

وسعتRہے اس کا مطلب ہے کا tanفنکشن 13کے طاق ضریب کے لیے معرف نہیں کیا گیا ہےاگرہم tangent فنکشن کے علاقہ کو 14تک محدود رکھیں ،تب یہ یک

یک اور پر ہے اپنی وسعتRکے ساتھ دراصل،ٹینجینٹ فنکشن کسی بھی وقفہ 
15
وغیرہ تک بندش میں دو ربطی ہےاور اس کی وسعت Rہےاس طرح 16جس کا حلقہRہے اور وسعت کوئی بھی وقفہ 
17
اور اس کے آگے ہے ایک فنکشن کی طرح بیان کیا جا سکتا ہے ۔ یہ وقفہ فنکشن 18کی مختلف شاخیں دیتا ہے ، وہ شاخ جس کی وسعت 19ہے
20فنکشن کی اصل قیمت کی شاخ کہلاتی ہے
اس طرح ہمارے پاس ہے 
21
22
ہم جانتے ہیں کہ cotفنکشن(cotangentفنکشن) کا حلقہ سیٹ23ہے اور وسعتRہے ۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ cotangentفنکشن24کے ضریبی تکملہ کے لئے بیان نہیں کیا گیا ہے۔ اگر ہم cotangentفنکشن کے علاقہ کو25تک محدود کریں، تب یہ دوقسمیں ہیں اوراس کی وسعتRہے ۔ حقیقت میں، اگر cotangentفنکشن کسی بھی حلقہ26وغیرہ کے لئے محدود ہے تو یہ دوقسمی ہے اوراس کی وسعت Rہے۔ اس طرح27ایک فنکشن کی طرح بیان کیا جا سکتا ہے جس کا حلقہ Rہے اور اس کی وسعت کوئی بھی وقفہ2829وغیرہ ہے۔ یہ وقفہ فنکشن30کی مختلف شاخیں دیتے ہیں۔ وہ فنکشن جس کی وسعت 
31فنکشن کی بنیادی قدر شاخ کہلاتا ہے۔ اس طرح ہمارے پاس ہے 
32
ذیل جدول معکوس ترگنومیٹریائی فنکشن (بنیادی قدر شاخیں) حلقوں اور سمت کے ساتھ دیتی ہے۔
116
117

نوٹ 

 118 کے ساتھ جوڑا نہیں جا سکتا ،دراصل 119اوراسی طرح ٹریگنو میٹریائی فنکشن کے لیے

.2 جب بھی معکوس ٹرگنومیٹریائی فنکشن کی شاخ کوئی ذکر نہ ہو۔ ہمارا مطلب اس فنکشن کی بنیادی قدر کی شاخ سے ہے ۔ ہوتاہے

.3 ایک معکوس ٹرگنومیٹریائی فنکشن کی قدر جو کہ بنیادی شاخ کی وسعت میں موجود ہے معکوس ترگنومیتریائی کی بنیادی قدر کہلاتا ہے۔

اب ہم ذیل مثالوں پر غور کرتے ہیں۔


120

121

مشق 2.1

ذیل کی اصل قیمتیں معلوم کیجیے۔

122
ذیل کی قدریں معلوم کیجیے:
123

2.3معکوس ٹرگنومیٹریائی تفاعلات کی خصوصیات

اس حصہ میں ہم کچھ معکوس ٹرگنومیٹر یائی فنکشن کی خصوصیات ثابت کریں گے۔ یہاں یہ بتایا جا سکتا ہے کہ یہ نتائج معکوس ٹرگنومیٹریائی فنکشن کی اصل قیمت والی شاخوں کے اندر معتبر نہیں اور جب کبھی بھی ان کی تعریف بیان کی جائے۔ ممکن ہے کہ کچھ نتائج معلوم ٹرگنومیٹریائی فنکشن کی تمام قدروں کے لئے معتبر نہ ہو۔ ہم وقفہ میں xوقفہ کی ان قدروں کے تفصیل میں نہیں جائیں گے کیونکہ یہ بحث و مباحثہ اس کتاب کی حد سے باہر ہے۔ اصلیت میں وہ xکی کچھ قدروں کے لئے معتبرہوں جن کے لئے معکوس ٹرگنومیٹریائی فنکشن کے لئے بیان کیا گیاہو۔
دراصل وہ xکی کچھ قدروں کے لئے معترب ہوں جن کے لئے معکوس ٹرگنو میٹریائی فنکشن کے لئے معرف کیا گیا ہو۔
ذرا ہم یہ دہراتے ہیں کہ اگر114یہ مندرجہ ذیل کے معادل ہیں
124
اس طرح دوسرے پانچ معکوس ٹرگنومیٹریا ئی فنکشن کے لئے بھی یہی صحیح ہے۔
125

اسی طرح، ہم دوسرے حصے بھی ثابت کر سکتے ہیں ۔

126
128
اسی طرح سے ہم دوسرے حصے ثابت کر سکتے ہیں۔
129
اسی طرح سے ہم دوسرے حصے ثابت کر سکتے ہیں۔
130
اسی طرح سے ہم دوسرے حصے ثابت کر سکتے ہیں۔
131
132

اوپر کے نتیجے میں اگر ہم yکو –yسے تبدیل کر دیں، تو یہیں دوسرا نتیجہ ملتا ہے اور اگر yکو xسے تبدیل کر دیا جائے تو ہمیں تیسرا نتیجہ ملتا ہے۔

133

مثال 3 دکھا ئے کہ

134
127
135
136
137

33

مشق 22

ذیل کو ثابت کیجیے

34

ذیل فنکشن کو آسان ترین شکل میں لکھیے

35

ذیل میں ہرایک کی قدر معلوم کیجیے

36

37

مشق 16تا18ہر ایک عبارت میں قدر معلوم کیجیے

38

متفرق مثالیں

39

40

41
42
43
باب 2 پر متفرق مثالیں
ذیل کی قدر معلوم کیجیے 
44
ثابت کیجیے کہ
45
ثابت کیجیے کہ

46
ذیل مساواتوں کوحل کیجیے


47
48

خلاصہ (SUMMARY)

• معکوس ٹریگنویائی فنکشن کے علاقے اور وسعتیں (اصل قیمت شا خیں) ذیل جدول میں دی گئی ہیں

49

    50   کے ساتھ نہ الجھا‎‎ئین،حقیقت میںاور اسی طرح دوسرےٹریگنویائی فنکشن کے لیے۔

• ایک معکوس ٹریگنو میٹر یا ئی فنکشن کی قدر جوکہ اپنی اصل قیمت  شاخ میں واقع ہے ۔اس معکوس میں ٹرگنو میٹر یائی فنکشن کی اصل قیمت کہلاتی ہے

علاقہ کی مناسب قدروں کے لیے ہمارے پاس ہے

51
52

تاریخ کے اوراق

ٹرگنومیٹری کا مطالعہ پہلے ہندوستان میں شرو ع ہواتھا۔ پرانے زمانے کے ہندوستانی ریاضی داں آریہ بھٹ (476A.D.)، برہم گپتا (598 A.D.)، بھاسکر (600 A.D.)Iاور بھاسکر (1114A.D.)IIترگنومیٹری کے اہم نتائج حاصل ہوئے۔ یہ تمام معلومات ہندوستان سے عرب تک گئی اور پھر اس کے بعد وہاں سے یورپ تک۔ گریک کے لوگوں نے بھی ٹرگنومیٹری کا مطالعہ شروع کر دیا تھا، لیکن ان کے کام کرنے کاطریقہ بہت آہستہ تھا کہ جب ہندوستانی کام کو جانا گیا، یہ فوراً پوری دنیا میں اپنا لیا گیا۔

ہندوستان میں،جدیدٹرگنومیٹریائی فنکشن سے پہلے، اسے ایک زاویہ کا سائن (sine)کہا جاتا تھا، اور سائن فنکشن کا تعارف ریاضی میں سیدھا نت (سنسکرت کا اجرام فلکی کا کام) اصل دین تھا۔

بھاسکر I(600A.D.کے لگ بھگ) نے 90° سے زیادہ سائن فنکشن کی قدرمعلوم کرنے کے لئے، فارمولہ دیا تھا۔ سولہویں صدی کے ملیالم کے کام یوکتی بھاسا(Yuktibhasa)میں sin(A+B)کے پھیلاؤ کا ثبوت ہے۔ 18°, 36°, 54°, 72°  وغیرہ کے سائن یا کوسائن کا بالکل ایک خیال بھاسکر IIنے دیا تھا۔

 وغیرہ کی علامتیں، قوس sin xقوس cos xوغیرہ اجرام فلکی کے ماہر سر جون ایف۔ ڈبلیو۔ہرسیجل(Sir John F.W. Hersehel)(1813)نے بتائی تھیں۔ تھیلس (Thales)کا نام اونچائی اور فاصلوں کے مسئلہ کے ساتھ بغیر مشتق پنج کے ساتھ جڑا ہے۔ اس کو عزت سے مصر میں موجود عظیم ہرم (Pyramid)کی اونچائی معلوم کرنے کے ساتھ جڑا ہواہے۔یہ اونچائی ہرم کی پرچھائی کو ناپنے سے معلوم ہوتی ہے اور ایک معاون اسٹاف (یا گنومون مانی ہوئی اور اونچائی کے ساتھ، اور نسبت کا مقابلہ کرنے پر۔

(سورج کا ارتقا)

یہ بھی کہا جاتا ہے کہ تھیلس نے ایک کشتی کا فاصلہ سمندر پر یکساں مثلثوں کے ضلع کی نسبت سے معلوم کیا تھا۔ پرانے ہندوستانی کام میں اونچائی اور فاصلے پر مبنی مسئلہ یکسانی خصوصیت کا استعمال کر کے کیا جاتا تھا۔