باب 3

3.1  تعارف

ریاضی کی مختلف شاخوں میں ماترس کی جانکاری ضروری ہے ۔ریاضی میں ماترس ایک بہت طاقتور آلہ ہے۔ریاضی کا یہ آلہ ہمارا کام بہت زیادہ آسان کر دیتا ہے جب ہم اس کا دوسرے سیدھے طریقوں سے موازنہ کرتے ہیں۔ماترس کی سوچ کا پیداہونا ایک نتیجہ ہے ،بندھے ہوئے اور سادہ طریقے سے خطی مساواتوں کے نظام کو حل کرنے کے طریقے کا ۔ماترس نہ صرف خطی مساواتوں کے نظام میں ضریب کو ظاہر کرنے کے لئے استعمال ہوتا ہے ،بلکہ ماترس کا استعمال اس سے کہیں زیادہ ہے۔ ماترس نشانی اور عمل کا استعمال الیکٹرانک، پھیلی ہوئی شیٹ پروگرام میں ذاتی کمپیوٹر کے لئے ہوتا ہے، جو کہ بعد میں کاروبار و سائنس کے مختلف شعبوں میں استعمال ہوتا ہے مثال کے طور پر بجٹ بنانے میں ،بکری کو بڑھاوادینے میں،قیمت کا اندازہ لگانے میں ،ایک تجربے کے نتیجہ نکالنے میں وغیرہ وغیرہ ۔ساتھ ہی ،بہت سے طبعی آپریشن مثال کے طور پر بڑاکرنا ،ایک مستوی سے گھمانا اور انعاطف ریاضیاتی کے طور پر ماترس سے دکھائے جا سکتے ہیں ماترس کا استعمال کرپٹوگر افی (Cryptography)میں بھی ہوتا ہے ۔یہ ریاضی کا آلہ کہ صرف سائنس کی کچھ شاخوں میں استعمال ہوتا ہے ،بلکہ جینیات،معاشیات،سماجیات ، جدید نفسیات اور صنعتی انتظامیہ (Management)میں بھی اس کااستعمال کیا جاتا ہے ۔

اس باب میں ہم بنیادی ماترس اور ماترس الجبرا سے روشناسی کو بہت دلچسپ پائیں گے۔

3.2 ماترس 

مان لیجیے ہم اس بات کا خلاصہ کرنے کے خواہش مند ہیں کہ رادھا کے پاس 15کاپیاں ہیں ۔ہم اسے [15]سے ظاہر کرسکتے ہیں اس سمجھ کے ساتھ کہ []کے اندروہ نمبر ہے جو رادھا کے پاس کاپیاں ہیں ۔اب اگر ہمیں یہ دکھانا ہو کہ رادھا کے پاس 15کاپیاں اور6پین ہیں ۔ہم اسے [15 , 6]سے ظاہر کر سکتے ہیں یہ سمجھتے ہوئے کہ []کے اندر پہلا عدد کاپیوں کی تعداد جب کہ دوسرا عدد پینوں کی تعداد ہے جو رادھا کے پاس موجود ہیں ۔اب ہمیں یہ ماننا چاہیے کہ ہماری خواہش ہے کہ یہ معمولات کاپیوں اور پینوں کی جو کہ رادھا اور اس کی دو سہیلیوں فوزیہ اور سمرن کے پاس موجود ہیں یہ اس طرح سے دی گئی ہیں ۔

رادھا کے پاس 15 کاپیاں اور 6پین ہیں ،

فوزیہ کے پاس 10 کاپیاں اور 2پین ہیں،

سمرن کے پاس 13 کاپیاں اور 5پین ہیں ۔

اب یہ جدول کی شکل میں جیسا کہ نیچے دیا گیا ہے رکھا جا سکتاہے : 

کاپیاں پین 

رادھا 15 6

فوزیہ 10 2

سمرن 13 5

یا 

رادھا فوزیہ سمرن 

کاپیاں 15 10 13

پین 6 2 5

جسے اس طرح بھی دکھایا جا سکتاہے :

پہلے طریقے میں پہلے کالم میں موجود درج اعداد وشمار باالترتیب رادھا ،فوزیہ اور سمرن کے پاس موجود کتابوں کو دکھاتی ہے اور دوسرے کالم میں موجود درج اعداد وشمار باالترتیب رادھا ،فوزیہ اور سمرن کے پاس موجود پینوں کو دکھاتے ہیں ،اسی طرح دوسرے طریقے میں پہلی قطار میں درج اعداد وشمار باالترتیب رادھا،فوزیہ اور سمرن کے پاس موجود کاپیوں کی تعداد کا بتاتے ہیں دوسری قطار میں درج اعداد وشمار باالترتیب رادھا،فوزیہ اور سمرن کے پاس موجود پینوں کی تعداد ہے ۔اوپر کی طرح کے طریقے یا پھیلاؤ کو ماترس کہتے ہیں ۔صحیح طریقے سے ہم ماترس کی تعریف اس طرح بیان کرتے ہیں ۔

تعریف 1   ماترس ایک اعدادیا فنکشن کی مرتب مستطیل نما ترتیب ہے ۔اعداد یا فنکشن ماترس کے عناصر کہلاتے ہیں ۔

ہم ماترس کو انگریزی کے بڑے حروف سے ظاہر کرتے ہیں ۔ذیل ماترس کی کچھ مثالیں ہیں ۔

اوپر کی مثالوں میں عناصر کے افقی خطوط ماترس کی قطاریں بناتے ہیں ،اور عناصر کے راسی خطوط ماترس کے کالم بناتے ہیں ۔ اس طرح Aمیں 3قطاریں اور2کالم ہیں ،Bمیں 3قطاریں اور3کالم ہیں جب کہ C میں 2قطاریں اور3کالم ہیں ۔

3.2.1   ایک ماترس کا رتبہ

ایک ماترس جس میں mقطاریں اورnکالم ہیں m × n رتبہ کی ماترس کہلاتی ہے یا آسان ترین طریقے میں m × n ماترس 

(جسے mبائی nماترس پڑھا جا سکتا ہے ) اس طرح اوپر کی ماترس کی مثالوں کے حوالے سے ہمارے پاس Aایک 3 × 2 ماترس ہے ،Bایک3 × 3ماترس ہے اورCایک 2 × 3ماترس ہے ۔ہم مشاہدہ کرتے ہیں کہ بالترتیب Aمیں 3 × 2 = 6 عناصر ہیں  BاورCمیں 9اور6عناصر ہیں ۔

عام طور پر ایک m × nماترس ذیل مستطیل نما ترتیب ہے ۔

اس طرح قطار عناصر پر مبنی ہے ،جب کہکالمعناصر پر مبنی ہے ۔

عام طور پر  ایک عنصر ہے جو قطار اور کالم میںواقع ہے ۔ہم اسے Aکا  عنصر بھی کہہ سکتے ہیں۔ m × nماترس میں عناصر کی تعداد mnکے برابر ہوگی ۔

ہم ایک ماترس سے (قطار یا کالم ) کے ذریعہ ایک مستوی میں نقطہ (x ,y) کو  (یا[x,y]) کے ذریعہ دکھا سکتے ہیں۔ مثال کے طور پر نقطہ P (0, 1)کو ماترس کے طور پر اس طرح دکھایا جا سکتا ہے ۔

[0 1]یا 

مشاہدہ کیجئے کہ اس طرح ہم ایک بند تخلیط نما شکل کے راسوں کو ماترس کی طرح ظاہرکر سکتے ہیں ۔مثال کے طور پر ،ایک چار ضلعی ABCDپر غور کیجئے جس کے راس A (1, 0), B (3, 2), C (1, 3), D (–1, 2)ہیں ۔

اب چار ضلعی ABCDایک ماترس کی شکل میں اس طرح دکھایا جا سکتا ہے ۔

اس طرح ماترس کا استعمال مستوی میں جیومیٹریائی اشکال کے راسوں کو دکھانے کے لئے کیا جا سکتا ہے ۔

اب ہمیں ذیل مثالوں پر غور کرنا چاہیے ۔

مثال 1  تین صنعتوں II, IاورIIIمیں کام کرنے والے مزدور عورتوں اور مردوں کی تعداد کے بارے میں ذیل معلومات پر غور کیجئے ۔

مرد مزدور عورتیں مزدور

I    30       25

II    25      31

III    27       26

اوپر دی ہوئی معلومات کو 3 × 2ماترس میں دکھائیے ہے ۔تیسری قطار اور دوسرے کالم میں درج اعداد وشمار کس چیز کو دکھاتے ہیں ؟

حل  یہ معلومات 3 × 2ماترس کی شکل میں ذیل طریقے سے دکھائی گئی ہے ۔

تیسری قطار اور دوسرے کالم میں درج  اعداد وشمار صنعت (فیکٹری) IIIمیں کام کرنے والی مزدور عورتوں کی تعداد بتاتا ہے۔ 

مثال2 اگر ایک ماترس میں 8عناصر ہیں ،تو معلوم کیجئے اس میں کتنے ممکن مرتبہ موجود ہیں ؟ 

حلہم جانتے ہیں کہ اگر ماترس m × nترتیب کی ہے ،تواس میںm n  عناصر ہیں ۔اسطرح 8عناصر کے ساتھ ماترس کے تمام ممکن ترتیب معلوم کرنے کے لئے ہم وہ تمام طبعی اعداد کے مرتب جوڑے معلوم کریں گے جن کا حاصل ضرب 8ہے ۔

اس طرح تمام ممکن مرتب جوڑے (1, 8), (8, 1), (4, 2), (2, 4)ہیں 

اس طرح ممکنہ ترتیب 1 × 8, 8 ×1, 4 × 2, 2 × 4ہیں ۔

مثال3 ایک 3 × 2ماترس بنائیے جس کے عناصر سے دئے گیے ہیں ۔

حل عام طور پر ایک 3 × 2ماترس سے دی جاتی ہے ۔

3.3ماترس کی قسمیں 

اس حصے میں ہم ماترس کی مختلف قسموں پر بحث ومباحثہ کریں گے ۔

(i) کالم ماترس 

ایک ماترس کو اس وقت کالم ماترس کہا جاتا ہے اگر اس میں صرف ایک کالم ہو ۔

مثال کے طور پر ایک 4 × 1ترتیب کی کالم ماترس ہے ۔

عام طور پر  ایک m × 1ترتیب کی کالم ماترس ہے ۔

(ii) قطار ماترس 

ایک ماترس کو اس وقت قطار ماترس کہا جاتا ہے اگر اس میں صرف ایک قطار ہو 

مثال کے طور پر  ایک قطار ماترس ہے ۔

عام طور پر  ایک 1 × nترتیب کی قطار ماترس ہے ۔

(iii) مربع ماترس 

ایک ماترس جس میں قطاروں اور کالموں کی تعداد برابر ہو مربع ماترس کہلاتی ہے ۔اس طرح m × nماترس ایک مربع ماتر س کہلاتی ہے اگر m = nہو اور nترتیب مربع ماترس کہلاتی ہے ۔

مثال کے طور پر  ایک رتبہ 3 کی مربع ماترس ہے ۔

نوٹ  اگر  ایک ترتیب nکی مربع ماترس ہے ،تب عناصر (درج آنکڑے )  ایک ماترس Aکا وتر بناتے ہیں ۔اس طرح اگر  تب Aکے وتری عناصر6،4،1ہیں۔

(iv) وتری ماترس Diagonal matrix

ایک مربع ماترس  اس وقت وتری ماترس کہلائے گی اگر اس کے تمام غیر وتری عناصر صفر ہیں ،اس کا مطلب ہے ایک وتری ماترس ہے 

 

مثال کے طور پر

3،2،1رتبہ کی ماترس ہیں ۔

(v) عددیہ ماترس Scalar matrix

ایک وتری ماترس کو عددیہ ماترس کہا جاتا ہے اگر اس کے وتری عناصر مساوی ہیں ،اس کا مطلب ہے ،ایک مربع ماترس  ایک عددیہ ماترس کہلاتی ہے اگر

مثا ل کے طور پر 

باالترتیب عددیہ ماترس ہیں 1,2اور3ترتیب کی ۔

(vi) اکائی ماترس (Identity matrix)

ایک مربع ماترس جس کے تمام وتری عناصر 1ہیں دوسرے تمام عنصر صفر ہیں ایک اکائی ماترس کہلاتی ہے ۔دوسرے الفاظ میں،مربع ماترس ایک اکائی ماترس ہے ۔اگر ہم n رتبہ والی اکائی ماترس کوسے ظاہر کرتے ہیں ۔جب الفاظ کے پھیر بدل سے ترتیب صاف ہوجائے ۔ہم اسے سادہ طریقے Iلکھتے ہیں ۔

مثال کے طور پر باالترتیب 1,2اور3 رتبہ والی اکائی ماترس ہیں ۔

اس بات کا مشاہد کیجئے کہ جب k = 1ہو تو یہ عددیہ ماترس ایک اکائی ماترس ہے ۔لیکن ہر ایک اکائی ماترس صاف طور پر ایک عددیہ ماترس ہے ۔

(vii) صفر ماترس Zero matrix 

ایک ماترس صفر ماترس یا عدیم (null)ماترس کہلاتی ہے اگر اس کے تمام عنصر ہوں صفر ہوں۔

مثال کے طور پر  تمام صفر ماترس ہیں ہم صفر ماترس کو Oسے ظاہر کرتے ہیں۔ اس کا کارتبہ اس کے سیاق سے صاف ہو جائے گا۔

3.3.1 ماترس کی برابری (Equality of matrices)

تعریف 2 دو ماترس  اس وقت برابر کہلاتی ہیں اگر 

(i) وہ یکساں درجہ کی ہوں 

(ii) Aکا ہر عنصر Bکے نظیری عنصر کے برابر ہو ،اس کا مطلب تمام iاورjکے لئے ۔

مثا ل کے طور پربرابر ماترس ہیں لیکن برابر ماترس نہیں ہیں۔ علامتی طور پر ،اگر دو ماترس AاورBبرابر ہیں ،ہم لکھتے A = B۔

اگر 

مثال4 اگر  

a,b,c,x,yاور zکی قدریں معلوم کیجیے۔

حل جیسا کہ دی ہوئی ماترس برابر ہیں ،اس لئے ان کے مطابق عناصر بھی برابر ہوں گے مطابق عناصر کا موازنہ کرنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے ۔

x + 3= 0, z + 4 =  6, 2y – 7 = 3y – 2

a – 1= – 3,      0 =2c + 2   b – 3= 2b + 4,

آسان کرنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے ،

a = – 2, b = – 7, c = – 1, x = – 3, y = –5, z = 2

مثال5 ذیل مساوات سے a, b, cاورdکی قدریں معلوم کیجیے۔

حل دو ماترس کی برابری سے ،نظیری عناصر کی برابری کرنے پر ،ہمیں حاصل ہوتا ہے ۔

2a + b = 4 5c – d = 11        

a – 2b = – 3 4c + 3d =24

ان مساوات کو حل کرنے پر ،ہمیں حاصل ہوتا ہے ۔

a = 1, b = 2, c = 3اورd = 4

مشق3.1

   1۔ ماترس 

(i)  ماترس کی ترتیب (ii)  عناصر کی تعداد 

(iii)کے عناصر لکھیے ۔

   2۔ اگر ایک ماترس میں 24عنصر ہیں ،اس میں کتنی مناسب رتبہ ہوں گے ؟ اور اگر 13عنصر ہیں ،تو کتنے ؟

   3۔ اگر ایک ماترس میں 18عناصر ہیں ،کتنی ممکن رتبہاس میں موجود ہیں ؟ اور اگر 5عنصر ہیں تو کتنی ؟

   4۔ ایک ماترس2 × 2کی بنائیے ۔جن کے عناصر اس طرح دئے گیے ہیں ۔

5۔ ایک ماترس 3×4کی بنائیے ،جس کے عناصر اس طرح دئے گئے ہیں ۔

(i)  

.6 ذیل مساوات سے x,yاورzکی قدریں معلوم کیجیے ۔

7۔ a, b, cاورdکی قدریں ذیل مساوات سے معلوم کیجیے۔

ایک مربع ماترس ہے ،اگر 

(A)   m < n (B)  m > n (C)  m = n (D)  ان میں سے کوئی بھی نہیں 

   9۔ دی ہوئی xاورyکی کن قدروں سے ذیل ماترس کاجوڑا برابر ہے ۔

10۔ تمام ممکن ماترس کی 3×3ترتیب والی تعداد جس میں ہر اندراج 0یا 1نظر آتا ہے ۔

(A)  27 (B)   18 (C)  81 (D)  512

3.4ماترس پر عمل

اس شعبہ میں ،ہم ماترس پر کچھ عمائل کا تعارف کرائیں گے،جس کے نام ہیں ،ماترس کا جوڑ ،ماترس کی ایک عددیہ سے ضرب ماترس کے فرق اور ضرب۔

3.4.1ماترس کی جمع

مان لیجیے فاطمہ کے پاس دو جگہوں AاورBپر کارخانے ہیں ۔ہرایک کارخانہ میں تین مختلف قیمتوں والے لڑکے اور لڑکیوں کے لیے کھیل کے جوتے جنہیں 1,2اور3قسموں میں رکھا گیا ہے ،تیار کرتی ہے ۔تینوں کارخانوں میں تیار شدہ جوتوں کی تعداد ایک ماترس کے ذریعے نیچے دکھائی گئی ہے : 

        Aپر فیکٹری         Bپر فیکٹری 

مان لیجیے فاطمہ یہ جاننا چاہتی ہے کہ ہر ایک قیمت والے زمرے میں کل کتنے کھیل کے جوتے تیار ہوتے ہیں ۔تب کل تیار ہونے والے جوتے

قسم 1میں :  لڑکوں کے لئے ( 80 + 90)،لڑکیوں کے لئے (60 + 50)

قسم 2میں :  لڑکوں کے لئے (75 + 70)  لڑکیوں کے لئے (65 + 55)

قسم3میں :  لڑکو ں کے لئے (90 + 75) ،لڑکیوں کے لئے (85 + 75)

اسے ماترس کی شکل میں اس طرح دکھایا جا سکتا ہے

یہ نئی ماترس اوپر کی دو ماترس کا حاصل جمع ہے ۔ہم یہ مشاہدہ کرتے ہیں کہ دو ماترس کاحاصل جمع ایک ماترس ہے جو کہ دی ہوئی ماترس کے مطابق عناصر کو جمع کر کے حاصل ہوتا ہے ۔مزید ،دونوں ماترس اسی درجہ کی ہوں گی ۔

اس طرح اگریک 2 × 3ماترس ہے اوریک دوسری 2 × 3  ماترس ہے تب ہم بیان کرتے ہیں

عام طور پر اگراور یکساں ترتیب ،مان لیجئے m × nدائمی دو ماترس ہیں تب ،دو ماترس AاورB کا حاصل جمع ماترس سے دکھایا جا سکتا ہے ،جہاں سے دکھایا جا سکتا ہے ،جہاں  تمام قدروں iاورjکی ممکن قدروں کے لیے۔ 

مثال6 دیا ہوا ہے ،A + Bمعلوم کیجیے۔

کیوں کہAاورBیکساں ترتیب 2 × 3کے ہیں ۔اس لئےAاورBکاحاصل جمع ہے ۔

نوٹ :

      .1 ہم اس بات پر زور دیتے ہیں کہ اگر AاورBیکساںرتبہ کے نہیں ہیں ،تبA+Bمعرف نہیں کیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر اگرتب A+Bمعرف نہیں کیا جا سکتا ہے ۔

.2  ہم اس بات کا مشاہدہ کر سکتے ہیں کہ ماترس کا حاصل جمع دورکنی عمل کی ایک مثال ہے ماترس کے یکساں درجہ والے سیٹ پر 

3.4.2ایک ماترس کی عددیہ سے ضرب  

(Multiplication of a matrix by a scalar)

مان لیجئے کہ فاطمہ نے فیکٹری Aمیں تمام طرح کے جوتوں کا بنانا دوگنا کردیا (3.4.1کے حوالے سے ) 

پہلے فیکٹری Aکے ذریعہ بنائی گئی تعداد معیاری اکائی میں مندرجہ ذیل تھیں ۔

فیکٹری Aمیں دہرائی گئی تعداد ذیل میں دی گئی ہے ۔

   لڑکیاں    لڑکے

اسے ماترس کی شکل میں اس طرحدکھایا جا سکتا ہے ۔

ہم یہ مشاہدہ کر تے ہیں کہ نئی ماترس پچھلی ماترس کے ہر عنصر کو2سے ضرب کرنے پر حاصل کی گئی ہے ۔

عام طور پر ،ہم ایک ماترس کی ضرب عددیہ سے اس طرح بیان کرتے ہیں :اگرایک ماترس ہے اورk ایک عددیہ ہے ،تب kAایک دوسری ماترس ہے جو کہ Aکے ہر عنصر کو عددیہ kسے ضرب کرنے پر حاصل ہوا ہے ۔

دوسرے الفاظ میںاس کا مطلب ہے kAکا ہے تمام ممکن قدروں iاورjکے لئے 

مثال کے طور پر اگر

ایک ماترس کا منفی (Negative of a matrix)ماترس Aکے منفی کو–Aسے ظاہر کیا جاتا ہے ہم بیان کرتے ہیں –A=(–1)A 

مثال کے طور پر ،مان لیجیے        

ماترس کی تفریق (Difference of matrices)اگر یکساں رتبہ کی ماترس ہیں ،مان  لیجیے m×nتب فرق A – Bکو ماترس سے ظاہر کرتے ہیں ،جہاںاورjکی تمام قدروں کے لیے۔ دوسرے الفاظ میں D = A – B = A + (–1) Bکہ یہ ماترس Aاورماترس –Bکا حاصل جمعہے ۔

مثال7اگر ہو تب 2A – Bدریافت کیجیے ۔

حل ہمارے پاس ہے 

3.4.3 ماترس کے حاصل جمع کی خصوصیات 

ماترس کا حاصل جمع ذیل خصوصیات کو مطمئن کرتا ہے ۔

     (i)  تقلیبی قانون Commutative Law  اگر یکساںرتبہ کی ماترس ہیں ،مان لیجیے m ×n  تب A + B = B + A

(اعداد کا مجموعہ تقلیبی ہوتا ہے ) 

(ii) تلازمی قانون Associative Law) ( کن ہی تین ماترس یکساں رتبہ کی ماترس ہیں ، مان لیجیے m × nتب (A + B) + C = A + (B + C)

(iii) جمعی تماثلہ کا وجود (Existence of additive identity)مان لیجئے ایک m × nماترس اورOایک m×n،صفر ماترس ہے تب A+O=O+A=Aدوسرے الفاظ میں Oماترس کی جمع کے لیے جمعی تماثلہ ہے ۔

   (iv) جمعی معکوس کا وجود (The existence of additive inverse) مان لیجئے کوئی بھی ایک ماترس ہے ،تم ہمارے پاس ایک دوسری ماترسہے تاکہ A+(–A)=(–A)+A=Oاس طرح (–A)، A کا جمعی معکوس ہے یاAکا منفی ۔

3.4.4 ایک ماترس کی عددیہ ضرب کی خصوصیات

 (Properties of scalar multiplication of a matrix)

اگریکساںرتبہ کے دو ماترس ہیں ،کہنے کے لیے m × nاورkاورlعددیہ ہیں ،تب 

مثال8 اگرہو تب ماترس xمعلوم کیجیے ،تاکہ 2A + 3X = 5Bہو ۔

حل ہمارے پاس ہے 2A + 3X = 5B

یا 2A + 3X – 2A = 5B – 2A

یا 2A – 2A + 3X = 5B – 2A (ماترس جمعی تقلیبی ہے ) 

یا O + 3X = 5B – 2A (–2A،2Aکا جمعی معکوس ہے ) 

یا 3X = 5B – 2A (Oجمعی تماثلہ ہے ) 

یا             

مثالX 9اورYکی قدر معلوم کیجیے اگر      

مثال10ذیل مساوات سےxاورyکی قدریں معلوم کیجیے ۔

حل ہمارے پاس ہے 

(i) ہر ایک کسان کی ہر ایک قسم کی مجموعہ فروخت ستمبر اور اکتوبر میںمعلوم کیجیے ۔

  (ii) ستمبر سے اکتوبر میں فروخت میں کمی دریافت کیجیے ۔

  (iii) اگر ہر ایک کسان کی مجموعی فروخت پر 2%کا منافع حاصل کرتا ہے تو ہر ایک کسان کا ہر ایک قسم کے لیے اکتوبر کے مہینے کا منافع معلوم کیجیے ۔

حل

(i) ہر ایک کسان کی مجموعی فروخت ہر ایک قسم میں ستمبر اور اکتوبر کے مہینے میں اس طرح دی گئی ہے ۔

اس طرح رام کشن کو اکتوبر کے مہینے میں بطور منافع کے 100روپے باالترتیب 200روپے اور120روپے چاول کی ہر ایک قسم کے بیچنے میں ملتے ہیں ،اور گرچرن سنگھ کو اس مہینے میں بطور منافع کے بالترتیب 400روپے ،200روپے اور200روپے چاول کی ہر ایک قسم کے بیچنے میں ملتے ہیں ۔

3.4.5ماترس کی ضرب

مان لیجیے میرا اور ندیم دو دوست ہیں ،میرا دوپین اور تین کہانیوں کی کتابیں خریدنا چاہتی ہے ،جب کہ ندیم کو 8 پینوں اور 10کہانیوں کی کتابوں کی ضرورت ہے ۔دونوں ایک دکان پر قیمتیں پتہ کرنے کے لیے گئے جو ذیل میں دی گئی ہیں۔

ایک پین –پانچ روپے کا ،کہانی کی ایک کتاب – 40روپے ۔

ہر ایک کوکتنا پیسہ خرچ کرنے کی ضرورت ہے ؟صاف طور پر میرا کو ضرورت ہے روپیہ (5 × 2 + 50 × 5)وہ ہے 260 روپے ،جب کہ ندیم کو ضرورت ہے (8 × 5 + 50 × 10)روپے ،وہ ہے 540روپے ۔ماترس ظاہر کرنے کے لئے ہم اوپر دی ہوئی معلومات کو ذیل طریقے سے لکھ سکتے ہیں ۔

پیسہ کی ضرورت (روپیوں میں ) ہر اشیاء کی قیمت (روپیوں میں ) ضروریات  ۔

مان لیجئے کہ ایک دوسری دکان سے وہ قیمتیں دریافت کرتے ہیں ،جوکہ ذیل ہیں ۔

پین –ہر ایک پانچ روپے کا ،کہانی کی کتاب –ہر ایک 40روپے کی 

اب میرا اور ندیم کو خریداری کرنے کے لئے باالترتیب (4×2+40×5)روپے= 208روپے اور(8×4+10×40) = 432روپے کی ضرورت ہوگی ۔

اس کے آگے اوپر دی ہوئی معلومات کو ذیل طریقے سے دکھایا جا سکتا ہے ۔

   پیسہ کی ضرورت (روپیوں میں) ہر اشیاء کی قیمت(روپیوں میں ) ضرورتیں 

اب دونوں حالات میں دی گئی معلومات کا مجموعہ کر کے ماترس کے طریقے سے ذیل میں ظاہر کیا جا سکتا ہے۔

پیسہ کی ضرورت(روپیوں میں ) فی اشیاء کی قیمت (روپیوں میں ) ضرورتیں

اوپر ماترس کی ضرب کی ایک مثال ہے ۔ہم اس بات کا مشاہدہ کرتے ہیں کہ ،دو ماترس AاورBکو ضرب کرنے کے لئے ، ماترسAمیں کالموں کی تعداد ماترسBمیں قطاروں کی تعداد کے برابر ہونی چاہیے ۔اس کے آگے حاصل ضرب ماترس کے اعداد نکالنے کے لئے ،ہم Aکی قطاریں اورBکے کالم لیتے ہیں ۔ہر عنصر کی ضرب کرتے ہیں اور مجموعہ لیتے ہیں ۔قانون کے حساب سے ،ہم ماترس کے ضرب کی تعریف آگے دیے گیے طریقے کی طرح بیان کرتے ہیں ۔

دوماترس کا حاصل ضرب بیان کیا جا سکتا ہے اگرAمیں موجود کالم کی تعدادBمیں موجود قطاروں کی تعداد کے برابر ہے ۔ مان لیجئےایک n × pماترس ہے ۔تبAاورBماترس کا حاصل ضرب ماترس Cہے جب کی ترتیب m × pہے ۔ماترس Cکا معلوم کرنے کے لئے ہم Aکیقطار لیتے ہیں اورBکا کالم ،انہیں عنصر کے حساب سے ضرب کرتے ہیں اور پھر تمام ضریب کا مجموعہ لیتے ہیں ۔دوسرے الفاظ میں ،اگراورBکالم برابر ہے

ماترسAاورBکا حاصل ضرب ہے ۔

مثال کے طور پر اگرہے تب CDحاصل ضرب اس طرح معرف کیا جاتا ہے

یہ ایک 2 × 2ماترس ہے جس میں ہر اندراج Cکی کچھ قطار اور کچھ کالم Dکے نیچے کے مطابق حاصل ضرب کا جمع ہے ۔یہ چارتحسیبات ہیں ۔

مثال12 ABمعلوم کیجیے،اگر

حل  ماترسAمیں 2کالم ہیں جو کہ ماترس Bکی قطاروں کے برابر ہیں۔

اس طرحABاس طرح معرف کیا جاتا ہے ۔اب 

ریمارک اگر ABکو معرف کیا گیا ہے ،تب BAکا معرف ہونا ضروری نہیں ہے ۔اوپر کی مثال میں ABمعرف کیا گیا ہے (صحیح ہے) لیکن ABمعرف نہیں کیا جا سکتا کیونکہ Bمیں 3کالم ہیں جب کہ Aمیں صرف2قطاریں ہیں (اور3نہیں ہیں)۔ اگرAاورB بالترتیب m×n،k×lماترس ہیں ،تب ABاورBAبیان کئے گئے ہیں اگر اورصرف اگر n=kاورl=mہیں۔ خاص طور پر اگر دونوں AاورBیکساں ترتیب والے مربع ماترس ہیں ،تب دونوں ABاورBAمعرف کئے گیے ہیں ۔

ماترس کی ضرب کی منفی تقلیبی خصوصیت Non-commutativity of multiplication of matrices

اب ہم ایک مثال کے ذریعے دیکھیں گے کہ اگرABاورBAمعرف کئے جا سکتے ہیں ،تب بھی یہ ضروری نہیں ہے کہ AB=BA 

مثال13 اگرہیں تب ABاورBAکو معلوم کیجئے ۔دکھائیے کہ AB ¹ BA

حل کیونکہ Aایک 2×3ماترس ہے اورBایک 3×2ماترس ہے ۔اس لیے ABاورBAدونوں معرف کئے گئے ہیں اور یہ باالترتیب 2 × 2اور3 × 3ترتیب کی ماترس ہیں ۔غور کیجیے کہ 

صاف طور پر AB ¹ BA

اوپر کی مثالوں میں دونوں ABاورBAمختلف ترتیب کے ہیں اور اس لیے AB¹BA۔لیکن کوئی بھی یہ سوچ سکتا ہے کہ ہو سکتا ہے ABاورBAیکساں ہوتے اگر وہ یکساں ترتیب کے ہوتے ۔لیکن ایسا نہیں ہے، یہاں ہم نے ایک مثال دی ہے یہ دکھانے کے لیے کہ اگرABاور BAیکساںرتبہ کے بھی ہوں تو ضروری نہیں کہ وہ برابر ہوں گے۔

مثال14 اگر

اور       

صاف طور پر AB ¹ BA

اس طرح ماترس کی ضرب تقلیبی نہیں ہے

نوٹ : اس کا مطلب یہ نہیں کہ AB ¹ BA،B,Aکے ماترس کے ہرجوڑ ے کے لیے جس کے لیے ABاور BAدونوں کو معرف کیا گیا ہے ۔ایک لمحہ کے لیے 

اگر

مشاہدہ کیجیے کہ یکساں رتبہ والی وتری ماترس تقلیبی ہوںگی ۔

صفر ماترس دو غیر صفر والی ماترس کے حاصل ضرب کے طور پر 

ہم جانتے ہیں کہ ،حقیقی اعداد aاورbکے لیے اگر ab = 0،تب یا تو a = 0یا b = 0ہوگا ۔یہ ماترس کے لیے صحیح نہیں ہے ، ہم اس کا مشاہدہ ایک مثال کے ذریعے کریں گے ۔

مثال15 ABدریافت کیجیے،اگرہوں 

حل ہمارے پاس ہے  

اس طرح اگردو ماترس کا حاصل ضرب صفر ماترس ہے ،تویہ ضروری نہیں ہے کہ ایک ماترس صفر ماترس ہے ۔

3.4.6ماترس کی ضرب کی خصوصیات 

Properties of multiplication of matrices

    .1 تلازمی اصول :کوئی بھی تین ماترس A,BاورCکے لیے ۔ہمارے پاس ہے 

    (AB) C=A (BC)،جب کہ برابری کے دونوں طرف معرف کئے گئے ہوں ۔

    .2 تقسیمی قانون : تین ماترس A,BاورCکے لیے 

     (i)  A (B+C) = AB + AC

     (i)  (A+B) C = AC + BC،جب کہ برابری کی دونوں طرف معرف کی گئی ہوں ۔

    .3 ضربی تماثلہ کا وجود :کسی بھی مربع ماترس Aکے لیے ،ایک تماثلی ماترس یکساں رتبہ کی موجود ہے تاکہ IA = AI = A

اب ہم ان خصوصیات کو مثالوں کے ذریعے جانچ کریں گے

مثال16 اگر

A(BC)،(AB)Cمعلوم کیجئے اور دکھائیے کہ (AB)C = A(BC)ہے ۔

نکالئے BC, ACاور(A + B)Cساتھ ہی دکھائیے کہ (A + B)C = AC + BC

مثال19 ایک اسمبلی الیکشن میں ،ایک سیاسی گروپ نے ایک عوامی تعلقاتی ادارہ کو اپنے امیدوارکی مقبولیت کو تین طریقے سے بڑھانے یعنی، ٹیلیفون گھر کی ٹیلیفون کال اور خطوط کے لیے کرایہ پر لیاایک رابطہ کی قیمت (پیسوں میں ) ایک ماترس میں اس طرح دی گئی ہیں ۔ 

XاورYشہروں میں ہر طرح کے ملنے کے نمبر اس طرح دئے گئے ہیں ۔

خطوط  گھر کی کال   ٹیلیفون

شہرXاورYمیں اس گروپ کے ذریعے خر چ کیا گیا کل پیسہ معلوم کیجیے ۔

حل ہمارے پاس ہے ۔

اس طرح دو شہروں میں اس گروپ کے ذریعہ کل خرچ کیا گیا پیسہ بالترتیب 340,000پیسے اور720,000پیسے ہے یعنی 3400روپے اور7200روپے ۔

مشق3.2

 1۔ مان لیجیے    

 ذیل میں ہر ایک کو معلوم کیجیے ۔

(i) A + B (ii)  A – B (iii)  3A – C

(iv)   AB (v)   BA

2۔ ذیل کی تحسیب کیجیے۔

 ۔3 دکھائے گئے حاصل ضرب کی تحسیب کیجیے۔

4۔ اگر         ہوں تب (A+B)اور(B–C)کا تحسیب کیجیے ۔ساتھ ہی یہ دکھایے کہ A + (B – C) = (A + B) – C

5۔   اگر ہو تب 3A – 5Bکا حساب لگائیے ۔

کو آسان کیجیے۔

 7  ۔ XاورYمعلوم کیجیے اگر 

19۔ ایک ٹرسٹ فنڈ کے پاس 30,000روپے ہیں جن کی سرمایہ کاری دو مختلف قسم کے بانڈس میں کرنی ہے۔پہلا بانڈ سالانہ 5%شرح کی سود اداکرتا ہے اور دوسرا بانڈ 7%کی شرح سالانہ کے حساب سے سود دیتا ہے ،ماترس ضرب کا استعمال کر کے،معلوم کیجیے 30,000روپے دو طرح کے بانڈ میں کس طرح بانٹے جائیں گے ۔اگر ٹرسٹ فنڈ کی سود کی سالانہ آمدنی ہے ۔

(a)  1800روپے (b)  2000روپے 

  20۔ ایک خاص اسکول کی کتابوں کی دکان میں 10درجن کیمسٹری (علم کیمیائی ) کی کتابیں ہیں ،8درجن فزکس کی ، 10درجن معاشیات کی کتابیں ہیں ،ان کی باالترتیب قیمت فروخت 80روپے، 60روپے اور40روپے ہے ۔ماترس الجبرا کا استعمال کر کے معلوم کیجئے کہ ان سب کتابوں کو فروخت کر کے کتابوں کی دکان کو کل کتنی رقم حاصل ہوگی ۔

مان لیجیے X , Y, Z،W اورPباالترتیب 2 × n, 3 × k, 2 × p, n × 3اورp × kترتیب کی ماترس ہیں ۔شق 21اور22میں صحیح جواب کو چنیے

21۔ n, kاورp  پر پابندی تاکہ PY + WY  معرف ہوجائیں، ہے ۔ 

(A)  k = 3, p = n (B)  kاختیاری ہے ،p = 2

(C) pاختیاری ہے ،k = 3 (D)  k = 2،p = 3

  22۔ اگرn = pہے ،تب ماترس 7X – 5Zکادرجہ ہے ۔

(A)  p × 2 (B)  2 × n (C)  n × 3 (D)  0 × n

3.5ایک ماترس کا پلٹاؤ Transpose of a Matrix

اس حصہ میں ہم ماترس کے پلٹاؤ کے بارے میںپڑھیں گے اور ماترس کی خاص قسمیں جیسا کہ متشاکل اور اسکیومتشاکل ماترس 

تعریف3: اگر ایک m × nماترس ہے ،تب ایک ماترس قطاروں اور کالموں کو Aماترس کے آپس میں بدلنے سے حاصل ہوتی ہے اسے پلٹاؤ ماترس کہتے ہیں ۔ماترسAکا پلٹاؤ A' یا  سے ظاہر کیا جاتا ہے ۔دوسرے الفاظ میں،اگر مثال کے طورپر ،

اگر  

3.5.1ماترس کے پلٹاؤ کی خصوصیات 

اب ہم ماترس کے پلٹاؤ کی ذیل خصوصیات بغیر ثبوت کے بیان کریں گے ۔ان سب کو مناسب مثالوں کے ذریعے ثابت کیا جا سکتا ہے ۔

کن ہی مناسب رتبہ والے AاورBماترس کے لئے ،ہمارے پاس ہے ۔

    (i)  (A')' = A (ii)  (KA)' = KA'(جہاں kکوئی بھی مقرر ہے ) 

  (iii)  (A+B)' = A' + B' (iv)  (AB)' = B' A'

مثال20 اگر  ہو تب دکھائیے کہ

   (i) (A')' = A (ii)  (A + B)' = A' + B'

  (iii) (KB)' = KB'،جہاں kکوئی بھی مقرر ہے ۔

حل

(i) ہمارے پاس ہے ۔

اس طرح (A')' = A

(ii) ہمار ے پاس ہے

تاکہ          (kB)' = kB'

3.6متشاکل اورعوجی متشاکل ماترس(Symmetric and Skew Symmetric Matrices)

تعریف4 ایک مربع ماترس کو ایک متشاکل کہا جاتا ہے اگر A' = Aاس کا مطلب ہے  اورjکی تمام ممکن قدروں کے لیے ۔اب ،اگر ہم i = jرکھیں ،ہمارے پاس ہے  اس لیے  تمام iکے لیے ۔

اس کا مطلب ہے عوجی متشاکل ماترس کے تمام وتری عناصر ’صفر ‘ ہیں ۔

مثال کے طورپر ،ماترس   ایکعوجی متشاکل ماترس ہے چونکہ B' = – B

اب ہم کچھ متشاکل اور عوجی متشاکل ماترس کے کچھ نتیجے ثابت کرنے جارہے ہیں ۔

مسئلہ 1 کسی بھی مربع ماترس Aکے لیے حقیقی اعداد کے اندراج کے ساتھ ،A + A'ایک متشاکل ماترس ہے اورA – A' ایک عوجی متشاکل ماترس ہے ۔

ثبوت مان لیجیے B = A + A' ،تب 

B¢ = (A + A¢)¢ 

= A¢ + (A¢)¢(کیونکہ (A + B)¢ = A¢ + B¢)

    =A¢ + A(کیونکہ(A¢)¢ = A)

    =A + A¢(کیونکہ  A + B = B + A))

         = B

اس لیے    B = A + A¢ایک متشاکل ماترس ہے 

اب معلوم کیجیے    C = A – A¢

        C¢ = (A – A¢)¢ = A¢ – (A¢)¢ (کیوں؟)

    =A¢ – A (کیوں؟)

   = – (A – A¢) = – C

اس لیے     C = A – A¢ ایک اسکیو متشاکل ماترس ہے ۔

مسئلہ 2ـکسی بھی مربع ماترس کو متشاکل اور عوجی متشاکل ماترس کے مجموعے کے طور پر دکھایا جا سکتا ہے ۔

ثبوت مان لیجیے Aایک مربع ماترس ہے ،تب ہم لکھ سکتے ہیں ۔

مسئلہ 1سے ہم جانتے ہیں کہ (A + A')ایک متشاکل ماترس ہے اور(A – A')ایک عوجی متشاکل ماترس ہے ۔کیونکہ کسی بھی ماترس Aکے لیے (kA)]' = kA'اس سے یہ نکلتا ہے کہ   متشاکل ماترس ہے اورعوجی متشاکل ماترس ہے۔ اس طرح ،کسی بھی مربع ماترس کو متشاکل ماترس اورعوجی متشاکل ماترس کے مجموعہ کے طور پر دکھایا جا سکتا ہے ۔

مثال22 ماترس    کو متشاکل اورعوجی متشاکل ماترس کے مجموعہ سے کے طور پر دکھائیے ۔

اس طرح Bایک متشاکل اورعوجی متشاکل ماترس کے مجموعہ کے طور پر دکھائی گئی ہے ۔

مشق3.3

    1۔ ذیل میں ہر ایک ماترس کا پلٹاؤ معلوم کیجیے ۔

(i)  (A + A')ایک متشاکل ماترس ہے ۔

(ii)  (A – A')ایک عوجی متشاکل ماترس ہے ۔

مشق11سے12تک میں صحیح جواب کو چنیے ۔

   .11 اگرA,Bیکساں ترتیب والے ماترس ہیں،تب AB – BAایک 

(A)  عوجی متشاکل ماترس ہے (B)  متشاکل ماترس ہے ۔

(C)  صفر ماترس ہے (D)  اکائی ماترس ہے ۔

3.7ایک ماترس کے ابتدائی عمل (استحالہ ) 

Elementary Operation (Transformation) of a matrix

ایک ماترس پر 6عاملی (تحویل میں) جس میں سے 3قطاروں کی وجہ سے ہیں اورتین3کالم کی وجہ سے ہیں ،جو بنیادی عمل یا استحالہ کہلاتے ہیں ۔

     (i) کنہیں دو قطاروں یا کالموں کا آپس میں بد لاؤ ۔علامتی طور پر  قطاروں کا آپس میں بدلاؤ  سے دکھایا جاتا ہے اور  کالم کا آپسی بدلاؤ

  سے دکھایا جا سکتا ہے ۔

مثال کے طور پر    عمل میں لانے پر ،ہمیں حاصل ہوتا ہے  (ii) کسی بھی قطار یا کالم کے عناصر کی ضرب ایک غیر صفر عدد سے ۔علامتی طور پر  قطار کے ہر عنصر کو kسے ضرب کرنے پر جہاں  k ¹ 0 کو سے دکھایا جاتا ہے ۔

اس کے مطابق کالم کے عمل  سے دکھایا جاتا ہے ۔

مثال کے طورپر  کو عمل میں لانے پر  کو ،ہمیں حاصل ہوتا ہے 

(iii) کسی بھی قطار یا کالم کے عناصر میں جمع،اس کے مطابق کوئی بھی دوسری قطار کے عناصر میں جوکہ ایک غیر صفر عدد سے ضرب کیا جائے ۔علامتی طور پر  قطار کے عنصر میں جوڑ اس کے مطابق قطار کے عناصر کی kسے ضرب سے ظاہر کی جاتی ہے ۔

اس کے مطابق کالم کا عملسے ظاہر کیاجاتا ہے ۔

مثا ل کے طور پرپر ہمیں حاصل ہوتا ہے

3.8قابلِ تعکیس ماترس

تعریف 6اگر Aایک m  رتبہ کی مربع ماترس ہے، اور اگر ایک دوسری مربع ماترس ہے ،Bیکساں ترتیب کی وجود میں آتی ہے ،تاکہ AB = BA = Iہے ،تب Bماترس Aکا تقلیب کہلاتا ہے اور اسے سے ظاہر کیا جاتا ہے ۔اس حالت میں Aکو تقلیبی کہا جاتا ہے ۔

ساتھ ہی    اس طرحB،Aکامعکوس ہے ۔دوسرے الفاظ  میں اور A،Bکا معکوس ہے ۔یعنی 

نوٹ

      .1 ایک مستطیل ماترس معکوس ماترس نہیں ہوتی ،کیونکہ BAاورABکا حاصل ضرب معرف ہو اور برابر ہو،یہ ضروری ہے کہ ماترس AاورBیکساں رتبہ کی مربع ماترس ہوں ۔

      .2 اگر B،Aکا معکوس ہے ،تب A،Bکابھی معکوس ہے ۔

مسئلہ 3 معکوس کومنفردیت (Uniqueness of inverse)

ثبوت مان لیجئے  ایک ترتیب mکی مربع ماترس ہے ۔اگر ممکن ہے ،مان لیجئے BاورC،Aکے دومعکوس ہیں ۔ہم دکھا ئیں گے ہیں کہ B = C

کیونکہ B،Aکامعکوس ہے ۔

AB = BA = I (i)...

کیونکہ C،Aکا معکوس ہے ۔

AC = CA = I (2)...

اس طرح B = BI = B (AC) = (BA) C = IC = C

مسئلہ 4 اگرAاورBیکساں رتبہ والی تقلیبی ماترس ہیں ،تب  ہے ۔

ثبوت ایک ماترس کے معکوس کی تعریف سے ،ہمارے پاس ہے ۔

3.8.1ایک ماترس کا معکوس ابتدائی عمل کے ذریعے

 Inverse of a matrix by elementary operations

مان لیجیے X،AاورBیکساں رتبہ والی ماترس ہیں ۔ماترس مساوات X=ABپر ایک قطار عمل کے ایک سلسلہ کو لاگو کرنے کے لیے ،ہم یہ قطار عمل پرABکے حاصل ضرب میں پہلی ماترس Aکے RHSپر ایک کے بعد ایک پر لاگو کریں گے۔

اسی طرح ،ماترس مساوات X = ABپرکالم عمل کے ایک سلسلہ کو لاگو کرنے کے لیے ہم یہ کالم عمل دوسری ماترس Bپر AB کے حاصل ضرب کی RHS پرایک کے بعد ایک لاگو کریں گے ۔

اوپر کے بحث ومباحثہ کو مد نظر رکھتے ہوئے ہم اس نتیجہ پر پہنچے ہیں کہ اگر Aایک ماترس ہے تاکہوجود میں آئے ، تب  دریافت کرنے کے لیے ابتدائی قطار عمل استعمال کر کے A = IAلکھئے اورA = IAپر قطار عمل کے سلسلہ کو لاگو کیجیے جب تک ہمیں I = BAنہ حاصل ہوجائے ۔ماترس B،Aکا معکوس ہوگا ۔اسی طرح اگر ہماری یہ خواہش ہے کہ ہم کالم عمل کا استعمال کر کے دریافت کریں ،تب ہم لکھتے ہیں اور A = AIپر ایک سلسلہ کو لاگو کریں جب تک ہمیں I = ABنہ حاصل ہوجائے ۔

ریمارک : اس حالت میں ،ایک یا زیادہ ابتدائی قطار (کالم) کا عمل A = IA (A = IA)پر لاگو کرنے پر اگر ہمیں تمام صفر حاصل ہوتے ہیں ماترس Aکے L.H.Sپر ایک زیادہ قطاروں میں ،تب وجود میں نہیں آتا ۔

مثال23 ابتدائی عمل کا استعمال کرکے ،ماترس کا معکوس معلوم کیجیے۔

حل ابتدائی قطار عمل کا استعمال ترتیب میں کرنے پر ہم لکھ سکتے ہیں A = IA

اس طرح    

اس کے متبادل Alternatively،ابتدائی کالم عمل کا استعمال کرنے میں ہم لکھتے ہیں A = AIیعنی

مثال24 ابتدائی عمل کا استعمال کر کے ذیل ماترس کا معکوس معلوم کیجیے 

حل لکھنے کے لئے A = IAیعنی  

متبادل کے طورپر ،A=AIلکھتے ہیں یعنی 

مثال25   دریافت کیجئے اگر یہ وجود میں ہے دیا ہوا ہے ۔

حل ہمارے پاس ہے P = IPیعنی p 

ہمارے پاس اوپر دی ہوئی مساوات کے ماترس کے بائیں ہاتھ کی طرف دوسری قطار میں تمام صفر ہیں اس لئے �وجود میں نہیں ہے ۔

مشق3.4

ابتدائی استحالہ کا استعمال کر کے مشق1تا7ماترس کے معکوس معلوم کیجیے ،اگر موجود ہیں ۔

.18 ماترسAاورBایک دوسرے کی معکوس ہوں گی اگر صرف 

(A)  AB = BA (B)  AB = BA = 0

(C)  AB = 0, BA = I (D)  AB = BA = I

مثال26 اگر ہو تو ثابت کیجئے کہ

حل ہم اس نتیجہ کو ریاضی کے امالہ کا اصول استعمال کر کے ثابت کریں گے ۔

ہمارے پا س ہے ۔

اس لئے n = 1کے لئے نتیجہ واضح ہے ۔

مان لیجئے نتیجہ n = kکے لئے صحیح ہے تاکہ 

اب ،ہم یہ ثابت کرتے ہیں کہ نتیجہ n = k + lکے لئے صحیح ہے ۔

اس لیے ،نتجہ n = k + 1کے لیے صحیح ہے ۔اس طرح ریاضی کے امالہ کے اصول سے 

ہمارے پاس ہےسبھی طبعی اعداد کے لیے صحیح ہے ۔

مثال27

اگرAاورBیکساںرتبہ  والی متشاکل ماترس ہیں ،تب دکھائیے ABمتشاکل ہے اگر اور صرف اگر AاورBتقلیبی  ہیں ۔اس کا مطلب AB = BA

حل

  کیونکہ AاورBدونوں متشاکل ماترس ہیں ،اس لیے A' = A اورB' = B

مان لیجئے ABایک متشاکل ہے ،تب (AB)' = AB

لیکن    (AB)' = B'A' = BA (کیوں؟) 

اس لیے BA = AB

اس کے برعکس ،اگر AB = BAہے تب ہم دکھا سکتے ہیں کہ ABمتشاکل ہے ۔

اب (AB)' = B'A'

(کیونکہ AاورBمتشاکل ہے ) = BA

اس لیے ABمتشاکل ہے ۔

مثال28

مان لیجیے  ایک ماترس ہےDمعلوم کیجیے تاکہ CD–AB=0 

حل

 کیونکہ A,B,Cسب ہی ترتیب 2کی مربع ماترس ہیں،اورCD – ABکو بخوبی بیان کیا گیا ہے ،Dترتیب 2کی مربع ماترس ہونی چاہیے ۔

مان لیجیےCD – AB = 0دیتا ہے ۔

ماترس کی برابری سے ،ہمیں حاصل ہوتا ہے 

(1)۔۔۔۔ 2a + 5c – 3 = 0

(2)۔۔۔ 3a + 8c – 43 = 0

(3)۔۔۔ 2b + 5d = 0

(4)۔۔۔ 3b + 8d – 22 = 0

(1)اور(2)کو حل کرنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے a = –191،c = 77،(3)اور(4)کو حل کرنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے b=–110, d=44

اس لیے

باب 3پر مبنی متفرق مشقیں 

.1 مان لیجیے  دکھائیے کہجہاں Iتماثلہ ماترس ہے ترتیب2کی اورn Î N

    .2 اگرہے تو ثابت کیجیے کہ جہاں nایک مثبت صحیح عدد ہے ۔

    .3 اگرہے تو ثابت کیجیےجہاں nایک مثبت عدد ہے ۔

    .4 اگرAاورBمتشاکل ماترس ہیں ،تو ثابت کیجیے کہ AB – BAایک عوجی متشاکل ماترس ہے ۔

    .5 دکھائیے کہ ماترسB'ABمتشاکل ماترس ہے یا عوجی متشاکل ماترس ہے جس طرح Aمتشاکل یا عوجی متشاکل ہے ۔

    .6 x, y, z,کی قدریں معلوم کیجیے اگر ماترسمساواتA'A=1

.10 ایک صنعت کا رتین طرح کی اشیاء x,y,zتیار کرتا ہے ،جنہیں وہ دو بازاروں میں فروخت کرتا ہے ۔سالانہ فروخت ذیل میں دکھائی گئی ہے ۔

اشیاء بازار 

10,000  2,000   18,000 I

6,000     20,000  8,000 II

(a)اگرx,yاورzکی ایک اکائی کی قیمت فروخت باالترتیب 2.50روپیہ ،1.50روپیہ اور1.00روپیہ ہے ،ماترس  الجبرا کی مدد سے ہر بازار میں کل رقم معلوم کیجیے ۔

(b) اگر اوپر دی ہوئی تینوں اشیاء کی ہر اکائی کی قیمت باالترتیب 2.00روپے ،1.00روپیہ اور50پیسے ہے لگ بھگ منافع معلوم کیجیے ۔

.11 ماترس Xمعلوم کیجیے تاکہ 

12  اگرAاورBیکساںترتیب کی مربع ماترس ہیں اس طرحکہ AB = BA،تب امالہ کے اصول سے ثابت کیجئے کہ 

اس کے آگے ثابت کیجیے کہ

ذیل سوالوں کے صحیح جواب کو چنیے

.13   اگر ایسا ہے تاکہ،تب

14   اگر ماترس Aدونوں متشاکل اورعوجی متشاکل ہے ،تب 

(A)  Aایک تری ماترس ہے (B)  Aایک صفر ماترس ہے 

(C)  Aایک مربع ماترس ہے (D)  ان میں سے کوئی بھی نہیں 

.15   اگرAایک مربع ماترس ہے تاکہ تب 

(A)  A (B)  I – A (C)  I (D)  3A