Skip to content
Read PDF Question Answers
Riyazee-001


باب 4

مقطعہ

(DETERMINANTS)

◊’تمام ریاضی کی سچائیاں ایک دوسرے سے تعلق رکھتی ہیں اورحالات پر مبنی ہیں۔سی۔پی۔اسٹین۔ مٹز◊

4.1  تعارف

پچھلے باب میں ہم ماترس اورماترس کے الجبرا کے بارے میں پڑھ چکے ہیں۔ ہم یہ بھی پڑھ چکے ہیں کہ الجبری مساوات کے نظام کو ماترس کی شکل میں پیش کیا جا سکتا ہے۔ اس کا مطلب ہے اس طرح کی خطی مساواتوں کا نظام۔

1

اس طرح بھی دکھایاجا سکتا ہے۔ اب اس مساواتوں کے نظام کا ایک ہی حل ہے یا نہیں۔ کا پتہ عدد   2

سے نکالا جا سکتا ہے (اسے یاد کیجئے کہ اگر3یا ، تب خطی مساواتوں کاصرف ایک حل ہے)عدد  

4جو کہ حل کی یکتائی کو بتاتا ہے ماترس5سے جڑا ہوا ہے اور Aکا مقطعہئ (ڈیٹرمیننٹ) کہلاتا ہے۔ یاdet A۔ ڈیٹرمینینٹ کا بہت زیادہ استعمال انجینئرنگ، سائنس، اکنامکس، سوشل سائنس وغیرہ میں ہوتا ہے۔

اس باب میں ہم، ڈیٹرمینینٹ کا مطالعہ حقیقی اندراج کے ساتھ تین درجہ تک کریں گے ساتھ ہی ہم ڈیٹرمینینٹ کی بہت سی خصوصیات کا مطالعہ کریں گے، صغیرے (minors)، ہم ضربی اور ڈیٹرمینینٹ کا استعمال مثلث کا رقبہ دریافت کرنے میں، ایک مربع ماترس کے شریک اور معکوس دریافت کرنے میں، خطی مساواتوں کے نظام کی ہم آہنگی اور بے آہنگی معلوم کرنے میں اور خطی مساواتوں کے حل 2یا تین متغیر میں ماترس کے معکوس کا استعمال کرتے ہیں۔

6

4.2 مقطعہ

nترتیب والی ہر ماترس  کو ہم ایک عدد (حقیقی یا ملتف)(real or complex) سے منسوب کرسکتے ہیں جو اس مربع ماترس Aکا مقطعہ یا ڈیٹرمیننٹ کہلاتا ہے۔ جہاں   

7ماترسA کا(i,j)واں عنصرہے۔ اسے ایک فنکشن کی طرح بھی پیش کیا جا سکتا ہے جو ہر مربع ماترس کو ایک منفرد عدد(حقیقی یا ملتف) سے منسوب کرتا ہے۔ اگر Mتمام مربع ماترس کا سیٹ ہے، اورK اعداد (حقیقی یا ملتف)کا سیٹ ہے تب f: M®Kکوf(A) = kسے معرف کیا جا سکتا ہے، جہاں A Î Mاور kÎK، تب f(A)کو Aکا ڈیٹرمنینٹ کہا جاتا ہے۔ اسے |A|یا detAیا Dسے ظاہر کیا جاتا ہے۔

8ہے، تب Aکا ڈیٹرمنینٹ9

ریمارکس

(i) ماترس Aکے لیے |A|کو ماترس Aکامقطعہ پڑھا جاتا ہے ناکہ Aکا مقیاس 

(ii) صرف مربع ماترس ہی ڈیٹر منینٹس ہوتی  ہیں۔

4.2.1یک رتبہ والی ماترس کا ڈیٹرمنینٹ

مان لیجئےA=[a]ایک رتبہ '1'کی ماترس ہے، تب Aکا ڈیٹرمنینٹ aکے برابر بیان کیاجاتا ہے۔

4.2.2ایک دو رتبہ والی ماترس کاڈیٹرمنینٹ

مان لیجیے 10  ایک رتبہ 2×2کی ماترس ہے۔
تب Aکے مقطعہ کی تعریف اس طرح بیان ہوتی ہے۔
11
مثال 1 12دریافت کیجیے
حل  ہمارے پاس ہے
13

4.2.3 ایک تین رتبہ والی ماترس کامقطعہ

تین ترتیب والی ماترس کا ڈیٹرمنینٹ دو ترتیب والی ماترس کے ڈیٹرمنینٹ کی طرح معرف کر کے معلوم کیا جا سکتا ہے۔اسے ڈیٹرمنینٹ کا پھیلاؤ ایک قطار کے ساتھ (یا ایک کالم کے ساتھ) کہا جاتا ہے۔ تین ترتیب والے ڈیٹرمنینٹ کے پھیلاؤ کے چھ طریقے ہیں، ہر ایک تین قطاروں 14 کے مطابق اور تین کالموں
15یکساں قدریں دے کر جیسا کہ ذیل میں رکھا گیا ہے16ایک مربع ماترس کو ملاحظہ فرمائیں۔
17
پہلی قطار18کے ساتھ پھیلاؤ سے 
قدم 121کے تمام عناصر کو حذف کرنے کے بعد حاصل شدہ دوسرے رتبہ والی مقطعہ سے ضرب کیجیے 
23
قدم 2 24کے تمام عناصر کو حذف کر نے کے بعد حاصل شدہ دوسرے رتبہ کے  ڈیٹرمیننٹ  سے ضرب کیجیے
25
قدم 3 26کے تمام عناصر کو حذف کرنے کے بعد حاصل شدہ دوسرے رتبہ کے ڈیٹرمیننٹ سے ضرب کیجیے
27
قدم 4اب  ڈیٹرمنینٹ  کا پھیلاؤ، اس کا مطلب ہے، |A|کو اقدام 1،2اور 3میں حاصل شدہ ارکان کے مجموعہ کے طور لکھا جا سکتا ہے جیسا کہ اوپر دیا گیا ہے۔
28

نوٹ ہم چاروں اقدام کو ایک ساتھ لاگو کریں گے۔

دوسری قطار  29کے ساتھ پھیلاؤ
30
کے ساتھ پھیلاؤ پر ہمیں حاصل ہوتا ہے
31
32
پہلے کالم33کے ہمراہ پھیلاؤ Expansion along first column
34
35کے ہمراہ پھیلانے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے
36
صاف طور پر، |A|کی قدریں (1)، اور (3)میں برابرہیں۔ یہ پڑھنے والے کے لیے ایک مشق کے طور پر چھوڑ دیا گیا ہے کہ وہ یہ دکھائیے کہ|A|کی قدریں جب اسے
37 اور  کے ساتھ پھیلایا جائے تو وہ (2)،(1)اور(3)کی قدروں کے برابر ہیں۔
اس کا مطلب ہے، ایک ڈیٹرمنینٹ کو کسی بھی قطار یا کالم کے ساتھ پھیلانے پر یکساں قدر حاصل ہوتی ہے۔

ریمارکس 

(i) آسانی کے لیے، ہم ڈیٹرمنینٹ کو اس قطار یا کالم کے ساتھ پھیلاتے ہیں جس میں صفر کی تعدادزیادہ سے زیادہ ہو۔ 

(ii) 38سے ضرب کرنے کی بجائے، پھیلاتے وقت +1یا –1 سے ضر ب کرسکتے ہیں جس کا انحصار اس پر ہے کہ (i+j)جفت ہے یا طاق ہے۔
(iii) مان لیجیے 39 تب، یہ دکھانا آسان ہے کہ 40
41
42
مثال 3 مقطعہ 43 کی قدر معلوم کیجیے۔
حل غور کیجیے کہ تیسرے کالم میں دو اندرا ج صفر ہیں۔ اس لئے تیسرے کالم  44کے ہمراہ پھیلانے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے۔
45
مثال x  5کی وہ قدریں معلوم کیجیے جن کے لیے46
حل ہمارے پاس ہے
47

مشق 4.1

مشق 1اور 2میں مقطعہ کا حساب لگائیے

48

49

4.3مقطعہ کی خصوصیات 

پچھلے حصے میں ہم نے پڑھا ہے کہ کس طرح ڈیٹر منینٹس کو پھیلا یا جاتا ہے۔ اس حصے میں ہم ڈیٹر منینٹس کی کچھ خصوصیات کے بارے میں پڑھیں گے جو اس کی قدر کا اندازہ لگانے کو آسان کر دے گا جو زیادہ سے زیادہ صفر اعداد ایک قطار یاکالم میں حاصل کرنے سے ہوتا ہے۔ یہ خصوصیات کسی بھی رتبہ والے مقطعہ کے لیے ہیں۔ حالانکہ ہم اپنے آپ کو صرف '3'ترتیب والے مقطعہ تک ہی محدود رکھیں گے۔

خصوصیت 1مقطعہ کی قدر نہیں بدلتی اگر قطاروں اور کالموں کو آپس میں بدل دیا جائے۔
تصدیق کرنامان لیجیے  
50
پہلی قطر کے ساتھ پھیلانے پرہمیں حاصل ہوتا ہے۔
51
A کی قطاروں اور کالموں کو آپس میں بلدنے پر ہمیں ڈیٹرمنینٹ حاصل ہوتا ہے۔
52
کو پہلے کالم کے ساتھ پھیلانے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے
53
ریمارک  اوپر کسی خصوصیت یہ نکلتا ہے کہ اگر Aایک مربع ماتر س ہے، تب det(A)=det(A–)جہاں A=A–کا پلٹاؤ (transpose)

نوٹ اگر54کالم، تب ہم قطار اور کالموں کو آپس میں بدلنے کے لئے علامتی طور پر55ہم اوپر دی ہوئی خصوصت کی ذیل مثال سے تصدی کریں گے۔

مثال 6 56کے لیے خصوصیت کی تصدیق کیجیے۔
حل  مقطعہ کو پہلی قطار کے ساتھ پھیلانے پر ہمارے پاس ہے 
57
قطاروں اور کالموں کو آپس میں بدلنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے
پہلے کالم کے ساتھ پھیلانے پر 
58
صاف طور پر  
اس طرح خصوصیت، ’1‘کی تصدیق ہو گئی ہے
خصوصیت 2  اگر ایک مقطعہ کی کوئی بھی دو قطاریں (یا کالم) آپس میں بدل دیئے جائیں۔ تب مقطعہ کی علامت بدل جاتی ہیں۔
تصدیق، مان لیجیے
59
پہلی قطار کے ساتھ پھیلانے پرہمیں حاصل ہوتا ہے
60
پہلی اور تیسری قطاروں کو آپس میں بدلنے پر حاصل شدہ نیامقطعہ دیا گیا ہے۔ 
61
تیسری قطار کے ساتھ پھیلانے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے۔
62
صاف طور پر             
 اس طرح ہم نتیجے کی تصدیق کسی بھی دو کالموں کو آپس میں بدلنے سے کر سکتے ہیں۔

نوٹ ہم قطاروں کے آپس میں بدلنے کو63سے دکھاسکتے ہیں اور آپس میں کالموں کے بدلنے کو 64سے

65
اور66 قطاروں کو آپس میں بدلنے پریعنی67 ہمارے پس ہے
68
پہلی قطار کے ساتھ مقطعہ 69 کو پھیلانے پر ہمارے پاس ہے 
70
71
اس طرح خصوصیت ’2‘کی تصدیق ہو گئی ہے۔
خصوصیت 3اگر کسی بھی ایک مقطعہ کی دو قطاریں (یاکالم) بالکل ایک جیسی ہیں (تمام نظیری عناصر ایک ہوں)، تب مقطعہ کی قدر صفر ہوتی ہے۔
ثبوت اگر ہم ایک مقطعہ72کے بالکل ایک جیسی قطاروں (یا کالموں) کو آپس میں بدلیں، تب72نہیں بدلے گا۔حالانکہ خصوصیت 2 سے یہ نکلتا ہے کہ 72 اپنی علامت بدل چکا ہے۔
73
ہمیں اوپر دی ہوئی خصوصیت کی تصدیق ایک مثال سے کرنی چاہئے۔
مثال 8 74کی قدر کا اندازہ لگائیے۔
حل پہلی قطار کے ہمراہ پھیلانے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے 
75
خصوصیت 4اگر ایک مقطعہ کی ایک قطار (یا ایک کالم) کا ہر عنصر ایک مستقل kسے ضرب کیا جائے، تب اس کی قدر بھی k سے ضرب ہو جاتی ہے
تصدیق مان لیجیے 
76
اور77وہ مقطعہ ہے جو پہلی قطار کے عناصر کو kسے ضرب کرنے پر حاصل ہوا ہے۔
78
پہلی قطار کے ہمراہ پھیلانے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے
79

ریمارکس

 (i) اس خصوصیت کی بنا پر ہم ایک دیئے ہوئے مقطعہ کی کسی بھی قطار یا کالم سے کوئی بھی مشتر ک اجزائے ضربی نکال سکتے ہیں۔
(ii) اگر ایک مقطعہ کی کوئی بھی دوقطاریں (یا کالم) کے نظیری عناصر ایک تناسب میں ہوں (یکساں نسبت میں ہیں)، تب اس کی قدر صفرہوتی ہے۔ مثال کے طو ر پر
 80ر قطاریں تناسب میں ہے) 81
82
(خصوصیت 3اور 4کا استعمال کر کے)
خصوصیت 5اگرایک مقطعہ کی ایک قطار یا کالم کے کچھ یا تمام عناصر دو (یا زیادہ) ارکانوں کے مجموعہ کے طور پر دکھائیں جائیں۔ تب مقطعہ کو دو (یا زیادہ) مقطعہ کے مجموعہ کے طور پر دکھا یا جا سکتا ہے۔
مثال کے طور پر،  
83
84
مقطعہ کو پہلی قطار کے ہمراہ کھولنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے
85
اسی طرح ہم خصوصیت ’5‘ کی تصدیق دوسری قطاروں اور کالموں کے لئے بھی کر سکتے ہیں۔
86
خصوصیت 6 اگر ایک مقطعہ کی کسی بھی قطار یا کالم کے ہر ایک عنصر میں دوسری قطار (یا کالم) کے نظیری مساوی اضعاف میں جمع کیا جائے، تب مقطعہ کی قدر نہیں بدلتی یعنی مقطعہ کی قدر وہی رہتی ہے اگر ہم 87 لا گوکریں گے۔
88
جہاں 89سے حاصل ہوا ہے۔
یہاں، ہم نے تیسری قطار 90کے عناصر کو متقلہ kسے ضرب کیا ہے اور پھر پہلی قطار91کے مطابق عناصر کو جمع کیا گیا ہے۔
علاقائی طور پر ہم اس عمل کو اس طرح لکھتے ہیں  
92

ریمارکس 

(i) اگر93وہ مقطعہ ہے جو  97پر لاگو کرنے کے بعد حاصل ہوا ہے، تب98
(ii) اگر ایک سے زیادہ عمل  95کی طرح ایک قدم میں کیا گیا ہے، اس بات پر دھیان دینا ہوگا کہ جو قطار ایک عمل میں اثر انداز ہوئی ہے وہ دوسرے عمل میں استعمال نہیں ہونی چاہئے۔ اس طرح کاریمارک کالم کے عمل میں لاگو ہوتا ہے
99
100کے ہمراہ پھیلانے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے۔
101
مثال 12بغیر پھیلاؤ کے ثابت کیجیے کہ 
102
حل103پر لاگو کرنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے
104
کیونکہ105کے عناصر میں تناسب ہے، اس لئے 106
مثال 13حساب لگائیے 
107
حل108کو لاگو کرنے پر، ہمیں حاصل ہوتا ہے
109
110کو مشتر ک لینے پر، ہمیں حاصل ہوتا ہے
111
112
113
114
115
116
117

نوٹ اس کے متبادل 118کو لاگو کرنے پر، اس کے بعد119 لاگو کیجئے۔

مشق 4.2

مقطعہ کی خصوصیت کا استعمال کر کے اور مشق 1تا 7کو بغیر پھیلائے ہوئے ثابت کیجیے کہ۔

120
121
مشق 8تا 14میں مقطعہ کی خصوصیات کا استعمال کر کے دکھائیے کہ 
122
123
15تا 16مشقوں میں صحیح جواب چنیے۔
15۔ مان لیجیےAایک 3×3ترتیب کی مربع ماترس ہے، تب |KA|برابر ہے
124
16۔ ذیل میں کون سا صحیح ہے۔
(A)مقطعہ ایک مربع ماتر س ہے۔
(B)مقطعہ ماترس کے ساتھ جڑا ہوا عمود ہے۔
(C) مقطعہ مربنع ماترس کے ساتھ جڑا ہوا عمود ہے۔
(D)ان میں سے کوئی بھی نہیں۔
4.4ایک مثلث کا رقبہ Area of a Triangle
ہم پچھلی جماعتوں میں پڑھ چکے ہیں کہ ایک مثلث کا رقبہ جس کے راس  125
126 عبارت سے دیا گیا ہے، اب یہ عبارت مقطعہ کی شکل ہیں اس طرح لکھی جا سکتی ہے
127

ریمارکس 

(i) کیونکہ رقبہ ایک مثبت تعداد ہے؛ ہم ڈیٹر منینٹ 1کی ہمیشہ مطلق قدر لیتے ہیں۔
(ii) اگر رقبہ دیا ہوا ہے، حساب لگانے کے لئے ڈیٹر منینٹ کی دونوں قدریں مثبت اور منفی استعمال کیجئے۔
(iii) تین ہم خط نقطوں سے بننے والا رقبہ صفر ہے۔
مثال 17اس مثلث کا رقبہ معلوم کیجیے جس کے راس (3,8)، (–4,2)اور (5,1)ہیں۔ 
حل  مثلث کا رقبہ دیا گیا ہے۔

128
مثال 18مقطعہ کا استعمال کر کے اس خط کی مساوات معلوم کیجیے جو نقاطA(1,3)اورB(0,0)کے ملنے سے بنتا ہے اور kمعلوم کیجیے اگر D(k,0)ایک نقطہ ہے تاکہ مثلث ABDکا رقبہ 3مربع اکائیاں ہے۔
حل  مان لیجیے P (x, y)،ABپر کوئی بھی نقطہ ہے۔ تب مثلث ABPکا رقبہ صفر ہے (کیوں؟) اس لیے
129
جو کہ خط ABکی مطوبہ مساوات ہے۔
ساتھ ہی کیونکہ مثلث ABDکا رقبہ 3مربہ اکائیاں ہمارے پاس ہے
130

مشق4.3

1۔ ذیل میں سے ہر ایک میں مثلث کا رقبہ معلوم کیجیے جن کے راس ان نقطوں پر ہیں۔
131
2۔ دکھائیے کہ نقطے 
ہم خط ہیں۔A (a, b+c), B (b, c+a), C(c, a+b)
3۔ kکی قدریں معلوم کیجئے اگر مثلث کا رقبہ 4مربع اکائی ہے اور اور راس یہ ہیں۔
(i) (k, 0), (4, 0), (0, 2) (ii) (–2, 0), (0, 4), (0, k)
4۔ (i)مقطعہکا استعمال کر کے اس خط کی مساوات معلوم کیجیے جو نقاط (1,2)اور (3,6)کو ملانے سے بنتی ہے
(ii) مقطعہ کا استعمال کر کے اس خط کی مساوات معلوم کیجیے جو نقاط (3,1)اور (9,3)کو ملانے سے بنتی ہے۔
5۔ اگر ایک مثلث کا رقبہ 35مربع اکائیاں ہیں جس کے راس (2–6)،(5,4)اور (k4)تب kہے۔
(A) 12 (B) –2 (C) –12, –2 (D) 12, –2

4.5صغیرے (Minors)اور ہم ضربی (Cofactors)

اس حصہ میں مقطعہ کے پھیلاؤ کو جامع شکل میں لکھنے کے بارے میں صغیر ے اور ہم ضربی کا استعمال کر یں گے۔
تعریف1 ایک مقطعہ کے ایک عنصر132کا اصغر ایک مقطعہ سے ہے جو اس کی ithقطار اور  133کالم کو نکالنے سے ملتاہے جس میں 134موجود ہے۔135 اصغر کو  136سے ظاہر کیا جاتا ہے۔
ریمارک  ایکn رتبہ جہاں (n³2)والے مقطعہ کے ایک عنصر کا صغیر) (n–1 رتبہ کا ایک مقطعہ ہے۔
مثال 19 مقطعہ 
137
میں عنصر 6کا صغیر معلوم کیجیے۔
حل  کیونکہ 6دوسری قطار اور تیسرے کام میں موجود ہے، اس کا 138 دیا گیا ہے۔
139 نکالنے سے حاصل ہوا ہے۔140
تعریف 2عنصر141کو ہم ضربی، جو کہ142سے ظاہر کیا گیا ہے اس طرح بیا ن کیا گیا ہے۔
جہاں  143کا صغیر ہے144
مثال 20 مقطعہ   146کے تمام عناصر کے صغیرے اور ہم ضربی معلوم کیجیے۔
حل عنصر147 کا صغیر 148 ہے 
149
150
مثال 21عناصر151کے صغیرے اور ہم ضربی درج ذیل مقطعہ میں معلوم کیجیے۔
152
حل صغیرے اور ہم ضربی کی تعریف سے ہمارے پاس ہے
153
ریمارک مثال 21میں موجود مقطعہ 154کو 155 کے ہمراہ پھیلانے پر ہمارے پاس ہے۔
156
اسی طرح،  ک157ی تحسیب پھیلاؤ کے دوسرے پانچ طریقوں سے کی جا سکتی ہے اس کا مطلب ہے
158
اس طرح 159کسی بھی قطار (یا کالم) کے عناصرکا ان کے نظیری ہم ضربی کے حاصل ضرب کا حاصل جمع ہے۔

نوٹ اگر ایک قطار (یا کالم) کے عناصر کسی بھی دوسری قطار (یا کالم) ہم ضربی سے ضرب کیا جائے تب ان کا مجموعی صفر ہے۔ مثال کے طور پر  160

161

اسی اطرح، ہم دوسری قطاروں اور کالمون کے لیے کوشش کر سکتے ہیں۔

مثال 22مقطعہ 162 کے عناصر کے صغیرے اور ہم ضربی معلوم کیجیے اور تصدیق کیجیے کہ
163
حل ہمارے پاس ہے 
164

مشق 4.4

ذیل مقطعہ کے عناصر کے صغیر اور ہم ضربی لکھیے۔
165
3- دوسری قطار کے عناصر کے ہم ضربی کا استعمال کر کے،166کی قیمت لکھیے۔
4- تیسرے کالم کے عناصر کے ہم ضربی کا استعمال کر کے، 167معلوم کیجیے۔
168

 
168

4.6ایک ماترس کا شریک اور معکوس Adjoint and Inverse of a Matrix

پچھلے باب میں ہم ماترس کے معکوس کے بارے میں پڑھ چکے ہیں۔ اس حصہ میں ہم ماترس کے معکوس کے وجود کی شرائط پر بحث و مباحثہ کریں گے
ماتر س Aکا معکوس دریافت کرنے کے لیے، یعنی169، ہم پہلے ایک ماترس کے شریک کی تعریف بیان کریں گے۔

4.6.1ایک ماترس کا شریکAdjoint of a matrix

تعریف 3ایک مربع ماترس170کے پلٹاؤ کے طور پر معرف کیا جاتا ہے، جہاں171، عنصر  کا ہم ضربی ہے، ماترس Aکا شریک adj Aسے ظاہر کیا جاتا ہے۔
172
173
ہم ذیل مسئلہ کو بغیر ثبوت کے بیان کرتے ہیں۔
مسئلہ 1اگرAدرجہ nکی کوئی دی ہوئی ماترس درجہ  nکی ہے، تب 
174
کیونکہ ایک قطار (یا کالم) کے عناصرکا ان کے نظیری ہم ضربی کے حاصل ضرب کا مجموعہ |A|کے برابر ہے یا پھر صفر ہے تو ہمارے پاس ہے۔
175
تعریف 4ایک مربع ماترس Aایک نادر Singularماترس کہلاتی ہے اگر |A|=0
مثال کے طور پر، ماترس Aکا مقطعہ 176 ہے۔
اس لیے Aایک نادر متارس ہے
تعریف 5ایک مربع ماترس A، ایک غیر نادر ماترس کہلاتی ہے اگر 0¹|A|
177
اس لیے Aایک غیر نادر ماترس ہے۔
ہم ذیل مسئلوں کو بغیر ثبوت کے بیان کرتے ہیں۔
مسئلہ 2اگر AاورBیکساں ترتیب کی غیر نادر ماترس ہیں۔ تب ABاور BAبھی یکساں ترتیب کی غیر نادر ماترس ہیں۔
مسئلہ 3ماترسوں کو حاصل ضرب کا ڈیٹر منینٹ ان کے اپنے الگ الگ ڈیٹر منینٹس کے حاصل ضرب کے برابر ہے
یعنی |A|.|B|=|AB|، جہاں Aاور Bیکساں ترتیب والے مربع ماترس ہیں۔
ریمارک  ہم جانتے ہیں کہ
178
ماترس کے دونوں طرف مقطعہ لکھنے پر ہمارے پاس ہے
179
مسئلہ 4ایک مربع ماترس Aقابلِ تعکیس ہے اگر Aغیر نادر ماترس ہے۔
ثبوت مان لیجیے Aایک رتبہ nکی قابلِ تعکیس ماترس ہے اور Iرتبہ nکی تماثلہ ماترس ہے۔
تبn رتبہ کی ایک مربع ماترس n رتبہ کا وجودہے تاکہ۔I=BA=AB
کیونکہ (|A|=1, |AB|=|A||B|)  |A|  |B|  = 1یا |AB|=|I|  AB=I
یہ دیتا ہے180|اس لیے Aغیر نادر ماترس ہے
اس کے بر عکس، مان لیجیے Aایک غیر نادر ہے۔ تب 181
182
مثال 24اگر183ہے، تب تصدیق کیجیے کہ A adj A=|A| I۔ ساتھ ہی184معلوم کیجیے۔
185
186
187

مشق4.5

مشق ’1‘اور ’2‘میں ہر ایک ماترس کا شریک معلوم کیجیے۔
189
دی ہوئی مشقوں 5تا 11میں ہر ایک ماترس کا معکوس دریافت کیجیے(اگر موجود ہے)
190
191
17 - مان لیجیےAایک غیر نادر 3×3کی مربع ماترس ہے۔ تب |adjA|برابر ہے
192

4.7مقطعہ اور ماترس کے استعمال

اس حصہ میں ہم قابلِ تعکیس اور ماترس کے اطلاق کے لیے دو یاتین متغیر والی خطی مساواتوں کو حل کرنے کے نظام پر بحث ومباحثہ کریں گے اور خطی مساواتوں کے نظام کی ہم آہنگ کی جانچ کریں گے۔
ہم آہنگ نظام Consistent system   مساواتوں کا ایک نظام آہنگ کہلاتا ہے اگر اس کے حل (ایک یا زیادہ) وجود میں ہوں۔
غیر ہم آہنگ نظام Inconsistent system  مساواتوں کا ایک نظام غیر ہم آہنگ کہلاتا ہے اگر اس کے حل موجود نہ ہوں۔

نوٹ اس باب میں ہم اپنے آپ کو خطی مساواتوں کے نظام تک ہی محدود رکھیں گے جن کا صرف ایک ہی حل ہو۔

4.7.1ایک ماترس کے معکوس کا استعمال کر کے خطی مساواتوں کے
نظام کا حل 
ہمیں خطی مساواتوں کا نظام کو ماترس مساواتوں میں ظاہر کرنا چاہئے اور انہیں ماترس کے معکوس کا استعمال کر کے حل کرنا چاہئے۔
مساواتوں کے نظام پر غور کیجیے۔
193
کیس 1 اگر Aایک غیر نادر ماترس ہے۔ تب اس کا معکوس موجود ہے۔ اب 
194
یہ ماترس مساوات دی ہوئی مساوات کے نظام کے لیے منفردحل دستیاب کراتا ہے جیسا کہ ایک ماترس کا معکوس منفرد ہے۔ یہ مساواتوں کے نظام کو حل کرنے کا طریقہ ماترس طریقہ کہلاتا ہے۔
کیس IIاگر Aایک نادر ماترس ہے، تب 0=|A|
اس کیس (مسئلہ) میں، ہم (adj A) Bکی تحسیب کرتے ہیں۔
اگر (adj A) B¹O، (کیونکہ Oصفر ماترس ہے)، تب حل موجود نہیں ہے اور مساواتوں کا نظام غیرہم آہنگ ہے۔
اگر (adj A) B=Oہے تب نظام ہم آہنگ یا غیر ہو سکتا ہے یعنی نظام یا تو بہت سے حل رکھتا ہے یا کوئی حل نہیں رکھتا ہے۔
مثال 27مساواتوں کے نظام کو حل کیجیے
 
195
حل مساواتوں کا نظام AX=Bشکل میں لکھا جا سکتاہے، جہاں 
196
اب 197اس طرح Aایک غیرنادر ماترس ہے اور اس لیے اس کا منفرد حل ہے
یہ نوٹ کر لیجیے کہ  198
199
مثال 28ذیل مساواتوں کا نظام ماترس کے طریقے سے حل کیجیے۔
حل مساواتوں کا نظام AX=Bکی شکل میں لکھا جا سکتا ہے، جہاں 
200
ہم دیکھتے ہیں
201
مثال 29تین اعداد کا مجموعہ6ہے۔ اگر ہم تیسرے عدد کو 3سے ضرب کریں اور اس میں دوسرے عدد کوجمع کر دیں تو ہمیں 11حاصل ہوتا ہے۔ پہلے اور تیسرے اعداد کو جمع کرنے سے ہمیں دوسرے عدد کا دوگنا حاصل ہوتا ہے۔ اسے الجبرا کے طور پر دکھائیے اوراعداد کو ماترس کا طریقہ استعمال کر کے دریافت کیجئے۔
حل مان لیجیے، پہلے دوسرے اور تیسرے اعداد کو بالترتیب202اور zسے ظاہر کیا گیا ہے۔ تب دیئے ہوئے حالات کے مطابق ہمارے پاس ہے۔
203
اس نظام کو AX=Bکی طرح لکھا جا سکتا ہے۔ جہاں 
204
205
مشق4.6
مشق 1تا6میں مساوات کے نظام کی ہم آہنگی کی جانچ کیجیے۔
206
مشق7تا 17میں ماترس طریقے کا استعمال کر کے خطی مساواتوں کے نظام کو حل کیجیے۔
207
208
   16۔ 4کلوگرام پیاز،3کلوگرام گیہوں اور2کلوگرام چاول کی قیمت 60روپے ہے۔2کلو گرام پیاز،۴کلوگرام گیہوں اور6کلو گرام چاول کی قیمت 90روپے ہے۔6کلو گرام پیاز،2کلوگرام گیہوں اور3کلو گرام چاول کی قیمت 70روپے ہے۔ماترس طریقے کا استعمال کر کے ہر اشیاء کی فی کلوگرام قیمت دریافت کیجئے۔

متفرق مثالیں

مثال30 اگر a,b,cمثبت اور غیر برابر ہیں،دکھائیے کہ مقطعہ209کی قدر منفی ہے۔
حل د  ئیے ہوئے مقطعہ پر210لاگو کر کے،ہمیں حاصل ہوتا ہے۔
211
مثال31 اگر a, b, c،A.P.میں ہیں،قدر معلوم کیجیے۔
212
حلدئے ہوئیے مقطعہ پر 213لاگو کرنے پر،ہمیں حاصل ہوتا ہے۔
214
215
216
مثال33 حاصل ضرب217کا استعمال کرکے ذیل مساواتوں کے نظام کو حل کیجیے۔
218
اب مساوات کا دیا ہوا نظام،ماترس کی شکل اس طرح لکھا جا سکتا ہے،جیسا کہ دیا گیا ہے۔
220
مثال34 ثابت کیجیے کہ
221
حل 222پر لاگو کرنے پرہمیں حاصل ہوتا ہے۔
223
 لاگو کرنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے۔
224

باب 4پر مبنی متفرق مشق

225
226
227

مشق11تا15میں مقطعہ کی خصوصیات کا استعمال کر کےثابت کیجیے کہ 

228

16 - مساواتوں کے نظام کو حل کیجیے۔

229

مشق17تا19میں صحیح جواب چنیے

17۔ اگرa, b, c،A.Pمیں ہیں۔تب مقطعہ
230
18- اگر x, y, zغیر صفر اعداد ہیں،تب ماترس ۔231کا معکوس ہے
232

خلاصہ(Summary)

233
234

کسی بھی مربع ماترس Aکے لئے235|ذیل خصوصیات کو مطمئن کرتا ہے۔

236

اگر ہم دو قطاروں (یا کالموں) کو آپس میں بدلیں تب مقطعہ کی علامت بدل جاتی ہے۔

® اگر کوئی بھی دو قطاریں یا کالم یکساں یا تناسب میں ہیں، تب مقطعہ کی قدر صفر ہوتی ہے۔

® اگرہم ایک مقطعہ کی ایک قطار یا ایک کالم کے ہر ایک عنصر کو ایک مستقلہ Kسے ضرب کریں، تب مقطعہ کی قدر Kسے ضرب ہو جائے گی۔

® ایک مقطعہ کو kسے ضرب کرنے کا مطلب ہے صرف ایک قطار (یاایک کالم) کو kسے ضرب کرتا ہے۔

237

اگر ایک مقطعہ کی ایک قطار یا کالم کے عناصر کو دو یادو سے زیادہ عناصر کے مجموعہ کے طورپر دکھایا جا سکے تب دیا ہوا مقطعہ دویادو سے زیادہ مقطعہ کے مجموعہ کے طور رپر دکھایا جا سکتا ہے۔

® اگرایک مقطعہ کی ایک  قطار یا ایک کالم کے ہر ایک عنصر کے ساتھ دوسری قطاروں یا کالموں کے نظیری عناصر کے، برابر ضرب والے عناصر کو جمع کیا جائے، تب مقطعہ کی قدر نہیں بدلتی۔

راس 238 والے مثلث کا رقبہ دیا گیا ہے۔

239

ایک ماترس Aکے مقطعہ کے عنصر240  صغیرے وہ مقطعہ ہے جو 241 کالم کو نکالنے سے مقطعہ بنتا ہے اور جسے242 سے ظاہر کیا جاتا ہے۔

243

ایک ماترس Aکے مقطعہ کی قدر اس کی ایک قطار (یا ایک کالم) کے عناصر کی ان کے نظیری ہم ضربی حاصل ضرب کے مجموعہ سے حاصل ہوتی ہے۔ مثال کے طور پر 

 

244

اگرایک قطار (یا کالم) کے عناصر کو کسی بھی دوسری قطار (یا کالم) کے عناصر کے ہم ضریبوں سے ضرب کیا جائے، تب ان کا مجموعہ صفر ہوتا ہے۔ مثال کے طو ر پر 

246

ایک مربع ماترس Aکا معکوس موجود ہوتا ہے اگر اور صرف اگر Aایک غیر نادر ہے۔

247

مساواتAX=Bکا منفرد حل248سے حاصل ہوتا ہے، جہاں250 ہے

مساوات کا ایک نظام ہم آہنگ یا غیر ہم آہنگ ہوتا ہے جیسا کہ اس کا حل موجود ہوتا ہے یا نہیں ایک ماترس مساوات AX=Bمیں مربع ماترس Aکے لیے۔

 (i) |A|¹0ایک منفردحل موجود ہے

|A|=0 (ii)،اور (adj A) B¹0، تب کو ئی حل موجود نہیں ہے۔

|A|=0 (iii)اور(adj A) B=0، تب نظام ہم آہنگ یا غیر ہم آہنگ ہو سکتا ہے۔

تاریخ کے اوراق(Historical Note)

بہت سی خطی مساواتوں کے غیر پہچانے والے ضریب کو دکھانے کاچینی طریقہ ایک حل کرنے والے بورڈ پر چھڑیوں کا استعمال کر کے اخراج کے سادہ طریقے کی کھوج کی طرف لے جاتی ہے۔ چھڑیوں کا انتظام صاف طور پر ڈیٹرمینینٹ میں موجود اعداد کی تعداد ہے۔ اس لئے چین کے رہنے والوں نے کالم اور قطاروں کو گھٹانے کا تصور پہلے ہی پیدا کر لیا تھا جیسا کہ ڈیٹرمنینٹ کو آسان کرنے میں، میکانی ’چین‘ pp 30, 93۔

سیکی کوا، ساتویں صدی کے عظیم ریاضی دان نے اپنے کام ”کائے فو کو دائے نو ہو“نے 1683میں دکھایا تھا کہ اس کے پاس ڈیٹرمینینٹ اوراس کے پھیلانے کا تصور ہے۔ لیکن اس نے اس طریقے کو صرف دومساواتوں سے مقدار خارج کرنے میں کیا ہے تاکہ سیدھے طور پر ہم وقت خطی مساواتوں کے سیٹ کے حل۔ ٹی، ہیاشی، ”جاپانی ریاضی میں خاکوڈی اورڈیٹر منینٹس“، ٹو کیور ریاضی میں Proc.میں۔ Soc.V۔

وینور مونڈے پہلے شخص تھے جس نے ڈیٹر منینٹس کو آزاد فنکشن کے طور پر تسلیم کیا۔ انہیں اصل موجدکے نام سے پکارنا چاہئے۔ لیپلیس (1772)ڈیٹر منینٹ کو اتمائی صفر کی شکل میں پھیلانے کا ایک عام فارمولہ دیا تھا۔ 1973میں لگرانج نیدوسری اور تیسری ترتیب والے ڈیٹرمنینٹس کو برتا اور ان کا استعمال مساوات حل کرنے کے علاوہ کیا۔1801میں گوس نے ڈیٹر منینٹس کا استعمال اعداد کے نظریہ میں کیا ہے۔

اگلے عظیم حصے دار بڑا حصہ لینے والا جیکس فلیبی میری بینٹ، (1812) تھا جس نے دو ماترس کےm – کالم اور n–قطاروں کے حاصل ضرب کو رشتہ دینے کے لئے ایک مسئلہ بیان کیا، جو کہ خاص کیس m=nکے لئے جو کہ ایک ضربی مسئلہ کے طور پر سامنے آئے۔

اس کے ساتھ ہی کوچے (1812)نے اسی مضمون کو پیش کیا۔ اس نے لفظ ”ڈیٹرمنینٹ‘‘ کا استعمال موجودہ حالات کے مطابق کیا۔ اس نے ضرربی مسئلہ کا ثبوت بینٹس طریقے سے دیا۔ زیادہ مطمئن اس نظریہ میں سب سے زیادہ حصہ کارل گسٹو جیکب جیکوبی نے دیا، اس کے بعد لفظ ڈیٹرمنینٹ کو آخری منظوری ملی۔