باب 5

سرا ساک نیوٹن

(1642-1727)

5.2مسلسل (Continuity)

ہم اس حصہ کو دو غیر اصولی مثالوں سے شروع کرتے ہیں مسلسل کو محسوس کرنے کے لئے اس فنکشن پر غور کیجئے ۔

             

حالانکہ یہ تفاعل حقیقی خط کے ہر نقطہ پر معرف ہے۔ اس فنکشن کا گراف شکل 5.1میں دیا گیا ہے ۔اس گراف سے یہ نکالا جا سکتا ہے کہ x–axisپرتفاعل کی قدر قریبی نقطوں پر 

ایک دوسرے کے قریب رہتی ہے ،x = 0کی بجائے ۔0یا0کے بائیں طرف نقطوں پر یعنی مثال کے طور پر –0.01،–0.01،0.001فنکشن کی قدر 1ہے ۔0یا 0کے دائیں طرف نقطوں پر یعنی مثال کے طور پر 0.1،0.01،0.001،فنکشن کی قدر2ہے ۔دائیں اور بائیں ہاتھ کی انتہا کی زبان کا استعمال کرتے ہوئے ہم یہ کہتے ہیں کہ بائیں  (اس طرح دائیں ) ہاتھ کہ fکی انتہا 0پرا ہے (اسی طرح 2) خاص طور پر بائیں اور دائیں ہاتھ کی انتہا نہیں ملتیں (یا برابر نہیں ہوتیں ) ۔ہم اس بات کا بھی مشاہدہ کرتے ہیں کہ فنکشن کی x = 0پر قدر بائیں ہاتھ کی انتہا ساتھ ملتی ہے۔ اس بات کو ذہن نشین کر لیجئے کہ جب ہم گراف بنانے کی کوشش کرتے ہیں ،تو ہم ایک ہی باری میں نہیں بنا سکتے یعنی کاغذ کی مستوی سے بغیر پین اٹھائے ،ہم اس فکنشن کا گراف نہیں بنا سکتے ۔در حقیقت ،جب ہم بائیں سے 0کی طرف آتے ہیں ،ہمیں پین اٹھانے کی ضرورت ہوتی ہے ۔یہ فنکشن کی مثال ہے کہ x = 0پر مسلسل نہیں ہے ۔

شکل5.1

شکل5.2

تعریف  1 مان لیجئے حقیقی اعداد کے ذیلی سیٹ پر fایک تفاعل ہے اورcحلقہ fپر ایک نقطہ ہے ۔تب f،cپر مسلسل ہے اگر 

زیادہ غور سے (باریکی سے) ،اگر بائیں ہاتھ کی انتہا ،دائیں ہاتھ کی انتہا اور فنکشن کی قدر x =cپر ممکن ہے اور ایک دوسرے کے برابر ہیں ،تبf، x = c پر مسلسل ہے ۔دو بار غور کیجئے کہ اگر x = cپر دائیں ہاتھ اور بائیں ہاتھ کی انتہائیں ایک دوسرے سے ملتی ہیں ،تب ہم یہ کہتے ہیں کہ مشترک قدر فنکشن کی x = cپر مسلسل ہے اگر فنکشن x = cپر معرف ہے اور اگر فنکشن کی قدر x = cپر فنکشن کی انتہا x = cپر برابر ہے ۔اگر f ،cپر مسلسل نہیں ہے ،ہم کہتے ہیں کہ f،cپر غیر مسلسل ہے اورc،fکا غیرتسلسلی نقطہ کہلاتا ہے ۔

مثال  1 x = 1پر فنکشن fکے تسلسل کی جانچ کیجیے جو کہ f(x) = 2x + 3   دیا گیا ہے ۔۔

حل  پہلے اسے نوٹ کیجئے کہ فنکشن دیے ہوئے نقطہ x = 1پر معرف ہے اور اس کی قدر 5ہے ،تب فنکشن کی انتہا x=1پر دریافت کریں ۔صاف طور پر 

اس طرح         

اس لئے f،x = 1 پر مسلسل ہے ۔

مثال  2  جانچ کیجئے کہ کیا فنکشن fجو کہ  دیا گیا ہے ،x = 0پر مسلسل ہے ۔

حل  پہلے یہ نوٹ کیجئے کہ فنکشن دیے ہوئے نقطے x = 0پرمعرف ہے اور اس کی قدر 0ہے ۔

تب فنکشن کی انتہا x = 0پر دریافت کیجیے ۔صاف طور پر 

اس طرح          

اس لئے f،x = 0پر مسلسل ہے ۔

مثال  3  فنکشن fجو کہ f(x) = | x | سے دیا گیا ہے اس کی x = 0پرتسلسل پر بحث ومباحثہ کیجیے۔

حل  تعریف سے     

صاف طور پر فنکشن 0پر بیان کیا گیا ہے اورf(0)=0،fکی 0پر بائیں ہاتھ کی انتہا ہے ۔

اسی طرح fکی 0پر دائیں ہاتھ کی انتہا ہے ۔    

اس طرح بائیں ہاتھ کی انتہا ،دائیں ہاتھ کی انتہا اور فنکشن کی x = 0پر قدر برابر ہیں ۔اس لئے ،f،x = 0پر مسلسل ہے ۔

مثال  4  دکھائیے کہ فنکشن fجو کہ دیا گیا ہے ۔

0پر مسلسل نہیں ہے ۔

حل  فنکشن x = 0پر بیان کیا گیا ہے اور اس کی قدر x = 0پر 1ہے ۔جب x ¹ 0،تب فنکشن ایک کثیر رکنی ہے ۔ اس لئے  

کیونکہ fکی x = 0پر انتہا f(0)سے کے برابر نہیں ہے ،فنکشن x = 0پر مسلسل نہیں ہے ۔اس بات پر غور کرنا چاہیے کہ اس فنکشن کی غیرتسلسل کا اکلوتا نقطہ x = 0ہے ۔

مثال  5 ان نقاط کی جانچ کیجئے جہاں مستقل فنکشن k = f(x)مسلسل ہے ۔

حل  فنکشن تمام حقیقی اعدا د پر بیان کیا گیا ہے اور تعریف کے مطابق اس کی قدر کسی بھی حقیقی عدد پر kکے برابر ہے ۔ مان لیجئے cکوئی بھی حقیقی عدد ہے ۔تب 

کیونکہ کسی بھی حقیقی عددcکے لئے  ہے ،اس لئے فنکشن fہرایک حقیقی عدد پر مسلسل ہے ۔

مثال  6  ثابت کیجیے کہ حقیقی اعداد پرتماثلہ فنکشن  جوکہ f(x) = xسے دیا گیا ہے ہر حقیقی عدد پر مسلسل ہے ۔

حل  صاف طور پر فنکشن ہر ایک نقطے پر بیان کیاگیا ہے اور f(c) = cہے ہر ایک حقیقی عددcکے لئے ۔ساتھ ہی 

اس طرح f(x)= c = f (c)  اور اس لئے فنکشن ہر حقیقی عدد پر مسلسل ہے ۔

ایک فنکشن کا تسلسل ایک دیے ہوئے نقطے پر بیان کرنے کے بعد ،اب ہم ایک فنکشن کے تسلسل پر بحث ومباحثہ کرنے کے لئے اس تعریف (بیان ) کا طبعی توسیع  کرتے ہیں ۔

تعریف2 ایک حقیقی فنکشنfکو اس وقت مسلسل کہا جائے گا اگر یہ fکے علاقہ میں ہر ایک نقطہ پر مسلسل ہو۔

یہ تعریف کو مزید تشریح کی ضرورت ہے ۔مان لیجئے fایک فنکشن ہے جو کہ بند وقفہ [a,b]کے ہر ایک نقطہ پر مسلسل ہو جس میں انتہائی نقاط aاورbشامل ہوں ۔fکی aپر تسلسل کا مطلب ہے 

اورfکی bپر تسلسل کا مطلب ہے ۔

اس کا مشاہدہ کیجئے کہ کا کوئی مطلب نہیں نکلتا ہے ۔اس تعریف سے یہ نتیجہ نکلتا ہے کہ ، اگرfصرف ایک نقطہ پر معرف ہے ،یہ وہ مسلسل ہے ،یعنی اگرfکا علاقہ ایک واحد عنصری ہے ،تب fایک مسلسل فنکشن ہے۔ 

مثال  7  کیا فنکشن جو کہ f(x) = | x | سے معرف ہے ،ایک مسلسل فنکشن ہے ؟ 

حل   ہم f کو اس طرح لکھ سکتے ہیں ۔

ہم مثال 3سے یہ جانتے ہیں کہf' f،n = 0پر مسلسل ہے ۔

مان لیجئے cایک حقیقی عدد ہے تاکہ c < 0تب f(c) = – c۔ساتھ ہی(کیوں؟)  

کیونکہ  تمام منفی حقیقی اعداد پر مسلسل ہے ۔

اب مان لیجئے cایک حقیقی عدد ہے تاکہ c > 0۔تب f(c) = cساتھ ہی 

(کیوں؟)

کیونکہ  ،fتمام مثبت حقیقی اعداد پر مسلسل ہے ۔اس لئے fتمام اعداد پر مسلسل ہے ۔

مثال8   فنکشن fکے تسلسل پر بحث ومباحثہ کیجئے جو کہ ہے ۔

حل  صاف طور پر fہر ایک حقیقی عددcپر بیان کیا گیا ہے اور اس کی قدرcپر ہے۔ ہم یہ بھی جانتے ہیں کہ 

اس لئے  اور اس طرح fہر ایک حقیقی عدد پر مسلسل ہے ۔اس کا مطلب fایک مسلسل فنکشن ہے ۔

مثال9    فنکشن fجو کہ  ،x ¹ 0سے معرف ہے ،کے تسلسل پر بحث ومباحثہ کیجئے ۔

حل  کسی بھی غیر صفر حقیقی عدد cکے لئے ہمارے پاس ہے 

ساتھ ہی،کیونکہ  ہے ،ہمارے پاس ہے اوراس لئے ،fعلاقہ f کے ہر ایک نقطہ پر مسلسل ہے ۔اس لئےfایک مسلسل فنکشن ہے ۔

ہم اس موقع کو لامتناہی کے تصور کو بیان کرنے میں استعمال کریں گے ۔ایسا ہم، تفاعل  کوx = 0کے قریب تجزیہ کرنے کے بعد کریں گے ۔اس تجزیہ کو کرنے کے لیے ہم جانا پہچانا طریقہ استعمال کریں گے جس میں فنکشن کی قدر کو 0کے قریب حقیقی اعداد پر معلوم کیا جاتا ہے ۔ضروری طور پر ہم fکی دائیں ہاتھ کی انتہا 0پر معلوم کرنے کی کوشش کررہے ہیں ۔ہم اسے ذیل میں جدول کے طور پر لکھیں گے ۔(جدول 5.1) 

جدول5.1 

ہم یہ مشاہدہ کرتے ہیں کہ جیسے ہی دائیں طرف سے x،0کے قریب آتا ہے ۔f(x)کی قدر بہت زیادہ ہوجاتی ہے ۔اسے اس طرح بھی کہا جا سکتا ہے ۔f(x)کی قدر کی بھی دیے ہوئے عدد سے زیادہ کی جا سکتی ہے ،0کے بہت زیادہ قریب مثبت حقیقی عدد چن کر علامت کے طور پر ہم لکھتے ہیں ۔

(اسے اس طرح پڑھا جاتا ہے : f(n)کی 0پر دائیں ہاتھ کی انتہا جمع کی لا متناہی ہے ) ۔ہماری یہ خواہش ہے کہ ہم اس پر زور ڈالیں کے + ¥ایک حقیقی عدد نہیں ہے اور اس لئے fکی 0پر دائیں ہاتھ کی انتہا وجود میں نہیں ہے (ایک حقیقی عدد کی طرح) 

اس طرح fکی 0پر بائیں ہاتھ کی انتہا کو دریافت کیا جا سکتا ہے ۔ذیل جدول یہ ظاہر کرنے کے لئے خود کفیل ہے ۔

جدول   5.2

جدول 5.2سے کہ f(x)کی قدر کو کسی بھی دیے ہوئے عدد سے چھوٹا کیا جا سکتا ہے ایک منفی حقیقی عدد0کے بہت قریب چن کر علامتی طور پر ہم لکھتے ہیں ۔

(اسے اس طرح پڑھا جاتا ہے : f(x)کی 0پر بائیں ہاتھ کی انتہا منفی لا متناہی ہے ) ۔اس کے آگے ہماری خواہش ہے کہ ہم اس پر زور ڈالیں کہ –0ایک حقیقی عدد نہیں ہے اور اس لئے fکی 0پر بائیں ہاتھ کی انتہا وجود میں نہیں ہے (ایک حقیقی عدد کی طرح ) اس کے

شکل 5.3

شکل 5.3میںدیے گیے مقلوب فنکشن کا گراف اوپر دی گئی حقیقتوں کا جیومیٹریائی کا ہے ۔

مثال10   فنکشنfکے تسلسل پر بحث ومباحثہ کیجئے جو کہ اس طرح بیان کیا گیا ہے 

حل   فنکشن fحقیقی خط کے تمام نقاط پر معرف ہے ۔

کیس  1  اگر c < 1،تب f(c) = c + 2۔اس لئے 

اس طرح 1سے چھوٹے تمام حقیقی اعداد پر xمسلسل ہے ۔

کیس  2  اگر c > 1،تب f(c) = c – 2اس لئے 

 (x – 2) = c – 2 = f(c)  

س طرح x > 1،تمام نقاط پر fمسلسل ہے ۔

کیس  3  اگرc = 1ہے تب fکی x = 1پر بائیں ہاتھ کی انتہا ہے ۔

x = 1پر fکی دائیں ہاتھ کی انتہا ہے ۔

x = 1پر fکی 

شکل5.4

کیوں کہ بائیں اور دائیں ہاتھ کی انتہا آپس میں برابر نہیں ہیں ۔اس لئےf،x = 1پر مسلسل نہیں ہے ۔اس طرح fکا x=1پر غیر مسلسلی کا اکلوتا نقطہ ہے ۔فنکشن کا گراف شکل 5.4میں دیاگیا ہے ۔

مثال11 فنکشن fکے غیر تسلسل کے تمام نقاط معلوم کیجئے جو اس طرح معرف ہیں ۔

x < 1اگر 

x = 1اگر

x > 1اگر 

حل  جیسا کہ پچھلی مثال میں ہم دیکھ چکے ہیں کہ fتمام حقیقی اعداد x¹1پر فنکشن fغیر تسلسل ہے ۔اس طرح x=1پرfکی بائیں ہاتھ کی انتہا ہے۔

1=xپر fکی دائیں ہاتھ کی انتہا ہے ۔

اس لئے x = 1پر فنکشن fغیر مسلسل ہے ۔اس طرح x = 1،fکی غیر تسلسل کا اکلوتا نقطہ ہے ،فنکشن کا گراف شکل5.5 میں دیا گیا ہے ۔

شکل5.5

مثال12   فنکشن کے تسلسل پر بحث ومباحثہ کیجئے جو اس طرح بیان کیا گیا ہے ۔

حل  یہ مشاہدہ کیجیے کہ فنکشن 0کے علاوہ تمام حقیقی اعداد معرف ہے ۔ اس فنکشن کی تعریف کا علاقہ ہے ۔

کیس1اگر    تب(x+2)=c+2=f(c)  ور اس طرح  f، میں مسلسل ہے۔ 

کیس2 اگر  اور اسی طرح f 

میں مسلسل ہے ،کیونکہ fتمام نقاط پر fکے حلقہ میں مسلسل ہے ،ہم اس سے یہ مطلب نکالتے ہیں کہ fمسلسل ہے ۔اس فنکشن کا گراف شکل5.6میں دیا گیا ہے ۔اس بات پر غور کیجئے کہ اس فنکشن کا گراف بنانے کے لئے ہمیں کاغذ کی مستوی سے اپنا قلم اٹھانے کی ضرورت ہے ،لیکن ہمیں اس بات کی ضرورت ہے کہ ہم صرف وہ نقاط لیں جہاں فنکشن معرف نہیں ہے۔

شکل5.6

مثال13   فنکشن fجو کہ نیچے دیا گیا ہے اس کے تسلسل پر بحث ومباحثہ کیجیے ۔

حل  صاف طور پر فنکشن ہر ایک حقیقی عدد پر بیان کیا گیا ہے ۔فنکشن کا گراف شکل 5.7میں دیا گیا ہے ۔معائنہ سے ایسا لگتا ہے ،ہوشیاری سے تین مختلف ذیلی سیٹوں کے حقیقی خط کو علاقہ میں بانٹنے سے ۔

مان لیجئے     

شکل5.7

کیس1  کے کسی بھی نقطے پر ،ہمارے پاس ہے  اور یہ دیکھنا آسان ہے کہ یہ دہاں مسلسل ہے (مثال2دیکھئے ) 

کیس  2  کے کسی بھی نقطے پر ،ہمارے پاس ہے f(x)= xاور یہ دیکھنا آسان ہے کہ یہ دہاں مسلسل ہے (مثال6دیکھئے ) 

کیس 3  اب ہم فنکشن کاx = 0پرتجزیہ کرکے دیکھیں گے ۔فنکشن کی قدر0پر f(0)=0ہے ۔

fکی 0پر بائیں ہاتھ کی انتہا ہے ۔

اس طرح  اور اس لئے f،0پر مسلسل ہے ۔اس کا مطلب ہے fاپنے علاقہ کے ہر ایک نقطہ پر مسلسل ہے اور اس لئےfایک مسلسل فنکشن ہے ۔

مثال14  دکھائیے کہ ہر ایک کثیر رکنی فنکشن مسلسل ہے ۔

حل   اس بات کی یاد دہانی کیجئے کہ ایک فنکشن pایک کثیر رکنی فنکشن ہے اگر اسے   سے معرف کیا جائے کچھ طبعی اعدادnکے لیے

 ،صاف طورپر فنکشن ہر ایک حقیقی عدد کے لئے بیان کیا گیا ہے۔ ایک متعین حقیقی عدد cکے لیے ہمارے پاس ہے ۔

تعریف کے حساب سے p،cپر مسلسل ہے ۔کیونکہ cکوئی بھی حقیقی عدد ہے ،pہرا یک حقیقی عدد کے لیے مسلسل ہے اور اس لئے pایک مسلسل فنکشن ہے ۔

مثال15  عظیم صحیح عددفنکشن جو کہ f(x) = [x]سے معرف ہے ،جہاں[x]عظیم صحیح عدد کو ظاہر کرتا ہے جو x سے چھوٹا یا برابر ہےc کے تمام غیر مسلسل کے نقاط معلوم کیجیے ۔

حل  سب سے پہلے اس کا مشاہدہ کیجئے کہ fتمام حقیقی اعداد کے لیے معرف ہے ۔فنکشن کا گراف شکل 5.8میں دیا گیا ہے ۔گراف سے یہ دکھائی دیتا ہے کہ fہر صحیح عدد پر غیر مسلسل ہے ۔اگر یہ صحیح ہے تو ذیل میں اس کو معلوم کرتے ہیں۔

شکل5.8

کیس1  مان لیجئے cکوئی بھی ایک حقیقی عدد ہے جو کسی صحیح عدد کے برابر نہیں ہے ۔یہ گراف سے صاف طور پر ظاہر ہے کہ تمام صحیح اعداد کے لئے جو cکے قریب ہیں فنکشن کی قدر[c]کے برابر ہے ،یعنی   ساتھ ہی f(c)=[c]اور اس طرح فنکشن تمام حقیقی اعداد پر مسلسل ہے اور صحیح اعداد کے برابر نہیں ہے ۔

کیس 2 مان لیجئے cایک صحیح عدد ہے ۔تب ہم یہ کافی چھوٹا صحیح عدد r > 0معلوم کر سکتے ہیں تاکہ [c – r] = c – 1جہاں  [c + r] = c اس طرح انتہاکی اصطلاح میں اس کا مطلب ہے کہ 

کیونکہ یہ انتہاکسی بھی cکے لیے آپس میں برابر نہیں ہو سکتی اس لیے فنکشن ہرا یک صحیح عدد پر غیر مسلسل ہے ۔

5.2.1مسلسل فنکشن کا الجبراAlgebra of continuous functions

پچھلی جماعت میں انتہاکا مطلب سمجھنے کے بعد ہم نے کچھ انتہا کا الجبرا پڑھا ہے اب ہم کچھ مسلسل کا فنکشن الجبرا پڑھیں گے۔کیونکہ فنکشن کاتسلسل ایک نقطہ پر پورے طور پر ایک فنکشن کی انتہاکے ماتحت ہے اس لیے یہ سوچنا جائز ہوگا کہ انتہا کے سلسلہ میں بھی درست ہوگا ۔

مسئلہ 1  مان لیجئے fاورgحقیقی عددcپر دو حقیقی مسلسل فنکشن ہیں 

تب

   (1)   f + gمسلسل ہے x = cپر 

   (2)  f – gمسلسل ہے x = cپر 

   (3)  f . gمسلسل ہے x = cپر 

   (4)   مسلسل ہے x = cپر (جب کہ g(c) ¹ 0)ہو)

ثبوت  ہم (f +g)کی مسلسلی کی x = cپر کھوج کر رہے ہیں ۔یہ صاف طور پر x = cپر بیان کیا گیا ہے ۔ہمارے پاس ہے ۔

(f + gکی تعریف سے )

(انتہائی کے مسئلہ سے )    

(جیسا کہ fاورgمسلسل ہیں )    = f(c) + g(c)

(f + gکی تعریف سے )     = (f + g) (c)

اس لئے x = cپر ،f + gمسلسل ہے 

باقی حصہ کا ثبوت بھی ایسا ہی ہے اور پڑھنے والے کے لیے مشق کے طور پر چھوڑ دیا گیا ہے ۔

ریمارکس 

    (i)   اوپر کے (3)کے ایک خاص کیس کے طور پر ،اگرfایک مستقل فنکشن ہے ،یعنی f (x) =lکسی بھی حقیقی عددlکے لیے، تب فنکشن ( l . g) جو کہ ( l . g) (x) = l . g(x)سے معرف ہے بھی مسلسل ہے ۔خاص طور پر اگر  l = – 1ہے ، fکے تسلسل کا مطلب ہے –fکاتسلسل ۔

    (ii)   اوپر کے (4)کے ایک خاص کیس کے طور پر اگر ایک fایک مستقل فنکشن f(x) = l،تب فنکشن جو کہ

سے معرف ہے بھی مسلسل ہے جہاں کہ g(x) ¹ 0خاص طور پر ،gکی تسلسل کا مطلب ہےکی تسلسل۔

اوپر دئے ہوئے مسئلہ کو بہت سے مسلسل فنکشن کو بنانے کے لیے استعمال کرتے ہیں ۔یہ فیصلہ لینے میں بھی مدد کرتے ہیں کہ اگر کچھ فنکشن مسلسل ہیں یا نہیں ۔ذیل مثالیں اس کو سمجھاتی ہیں ۔

مثال16  ثابت کیجئے کہ ہر ایک ناطق فنکشن مسلسل ہے ۔

حل  یا د کیجئے کہ ہر ایک ناطق فنکشن fدیا گیا ہے ۔

جہاںpاورqکثیر رکنی فنکشن ہیں ،fکا علاقہ تمام حقیقی اعداد ہیں ان نقاط کے علاوہ جہاں qصفر ہے ۔کیونکہ کثیر رکنی فنکشن مسلسل ہے (مثال14) fمسئلہ 1کے حصہ (4)سے مسلسل ہے ۔

مثال17  Sineفنکشن کی مسلسلی پر بحث ومباحثہ کیجیے۔

حل  اس کی جانچ کے لیے ہم ذیل حقیقت کا استعمال کرتے ہیں ۔

                               

ہم نے اسے ثابت نہیں کیا ہے ،لیکن0کے قریب sin xکے گراف سے یہ صاف ظاہرہے اب مشاہدہ کیجیے کہ f(x) = sin x  تمام حقیقی اعداد کے لیے معرف ہے ۔مان لیجیے cایک حقیقی عددہے ۔x = c + hرکھئے ۔اگر x ® cہم جانتے ہیں کہ h ® 0،اس لیے

 اس طرح     اور اس لئے fایک مسلسل فنکشن ہے ۔

ریمارک  Cosineفنکشن کے تسلسلکے لیے بھی اسی طرح کا ثبوت دیا جا سکتا ہے ۔

مثال18  ثابت کیجئے کہ فنکشن جو کہ f(x) = tan xسے بیان کیا گیا ہے ایک مسلسل فنکشن ہے۔

حل فنکشن   یہ تمام حقیقی اعداد کے لیے معرف ہے تاکہ cos x ¹ 0یعنی 

ابھی ہم نے ثابت کیا ہے کہ دونوں sinاورcosفنکشن مسلسل ہیں ۔اس طرح کیونکہ tanایک دو مسلسل فنکشن کا خارج قسمت ہے،اس لیے مسلسل ہے ،جہاں بھی یہ معرف ہے ۔

فنکشن کی ترتیب کی مناسبت سے مسلسل فنکشن سے متعلق ایک دلچسپ حقیقت ہے ۔اسے یاد کیجئے کہ اگر fاورgدوحقیقی فنکشن ہیں ، تب 

(f o g) (x) = f(g(x))

معرف ہے جب کہ gکی وسعت ،علاقہ fکا ایک ماتحت سیٹ ہے ،ذیل مسئلہ (جو بغیر ثبوت کے بیان کیا گیا ہے )ترکیبی فنکشن کے تسلسل کے لیے اہم ہے۔

مسئلہ 2  مان لیجئے کہ fاورgحقیقی قدر والے فنکشن اس طرح ہیں کہ (f o g)،cپر معرف ہے ۔اگر g،cپر مسلسل ہے اورf، g(c) پر مسلسل ہے ،تب (f o g)،مسلسل ہے cپر ۔

ذیل مثالیں اس مسئلہ کی وضاحت کرتی ہیں۔

مثال19  دکھائیے کہ فنکشن جو کہ سے معرف ہے ایک مسلسل فنکشن ہے ۔

حل  اس کا مشاہدہ کیجئے کہ فنکشن ہر ایک حقیقی عدد کے لیے بیان کیا گیا ہے ۔فنکشن fکے بارے میں سوچا جا سکتا ہے کہ یہ g o h   دو فنکشن gاور hکی ترکیب ہے ،جہاں g(x) = sin xاورh(x) = x2ہے ۔کیونکہ دونوں gاور hمسلسل فنکشن ہیں ،مسئلہ 2سے ،اس سے یہ نکالا جا سکتا ہے کہ fایک مسلسل فنکشن ہے ۔

مثال20   دکھائیے کہ فنکشن fجو کہ معرف ہے ۔

f(x) = |1 – x + |x||,

جہاںxایک کوئی بھی حقیقی عدد ہے ،ایک مسلسل فنکشن ہے ۔

حل  gکو g(x) = 1 – x + |x|اورhکو h(x) = |x|سے تمام حقیقی xکے لیے بیان کیجیے ۔تب 

(h o g) (x) = h(g(x))

     =h(1– x + |x|)

= |1– x + |x|| = f(x)

مثال 7میں ہم نے دیکھا ہے کہ hایک مسلسل فنکشن ہے ۔اس لیے gکیونکہ ایک کثیر رکنی فنکشن کا مجموعہ ہے اور مقیاس (Modulus)فنکشن مسلسل ہے ۔لیکن تب ہی کیونکہ fدو مسلسل فنکشن کا ترکیبی فنکشن ہے اس لئے مسلسل ہے ۔

مشق5.1

   1۔ ثابت کیجئے کہ فنکشنf(x) = 5x – 3  x = – 3،x = 5 اورx = 0 پر مسلسل ہے ۔

    2 -فنکشن کے تسلسل کی x = 3پر جانچ کیجیے۔

   3۔ ذیل فنکشن کی تسلسل کے لیے جانچیے۔

4 - ثابت کیجیے کہ فنکشن پر مسلسل ہے ،جہاں aایک مثبت صحیح عدد ہے ۔

   5۔ کیا فنکشن fجو کہ بیان کیا گیا ہے ۔

x = 0پر مسلسل ہے ؟x = 1پر؟ x = 22پر؟

fکے غیر مسلسلی کے تمام نقاط معلوم کیجئے ،جہاں fاس طرح بیان کیا گیا ہے ۔

13 - کیا بیان کیا گیا فنکشن 

  ایک مسلسل فنکشن ہے ؟ 

   فنکشن fکی مسلسلی پر بحث ومباحثہ کیجیے،جہاں fبیان کیا گیا ہے ۔

17- aاورbمیں رشتہ معلوم کیجیے تاکہ فنکشن 

18- lکی کس قدر کے لیے اس طرح معرف فنکشن

x = 0پر مسلسل ہے ؟x = 1پر اس کی مسلسلی کے بارے میں کیا خیا ل ہے ؟ 

  19۔ دکھائیے کہ g(x) = x – [x]سے معرف فنکشن تمام صحیح اعداد پر غیر مسلسل ہے ۔یہاں [x]عظیم صحیح اعدادxسے کم یا برابر کو ظاہر کرتا ہے ۔

20 - کیا سے بیان کیا گیا فنکشن x = pپر مسلسل ہے ؟ 

  21۔ ذیل فنکشن کے تسلسل پر بحث ومباحثہ کیجیے۔

(a) f(x) = sin x + cos x (b)   f(x) = sin x – cos x

(c) f(x) = sin x . cos x

  22۔ cosine, cosecant, secantاورcotangentفنکشن کے تسلسل پر بحث ومباحثہ کیجیے۔

  23۔ fکی غیر تسلسل کے تمام نقاط دریافت کیجیے،جہاں

24 - fدریافت کیجیے اگرمعرف فنکشن 

ایک مسلسل فیشن ہے

25 - fکی مسلسلی جا نچ کیجئے جہاںfاس طرح معرف ہے۔

ایک مسلسل فنکشن ہوجائے ۔

31۔ دکھائیے کہ فنکشن    ایک مسلسل فنکشن ہے ۔

32۔ دکھائیے کہ فنکشن  f(x) = |cos x|ایک مسلسل فنکشن ہے ۔

33۔ جانچ کیجئے کہ sin |x|ایک مسلسل فنکشن ہے ۔

34۔ fجو کہ f(x) = |x| – |x + 1|سے بیان کیاگیا ہے کہ تمام غیر تسلسل کے نقاط دریافت کیجیے ۔

5.3تفرق پذیری Differentiability

پچھلی جماعت سے ذیل حقیقتوں کو یاد کیجئے ،ہم حقیقی فنکشن کے مشتق اسی طرح سے بیان کر چکے ہیں ۔

مان لیجئے fایک حقیقی فنکشن ہے اور cاس کے علاقہ میں ایک نقطہ ہے ۔cپر fکا مشق اس طرح معرف ہے ۔

بشرطیکہ یہ انتہا موجودہومنقطہ c پرfکے مشتق کو f (c)کا مشتق یا  سے ظا ہرکیا جاتا ہے یافنکشن جو

 سے معرف ہے اور جب انتیاء کا وجود ہے، f کا مشتق کہلاتا ہے۔ f کے مشتق کو    سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ اگر y = f (x)تب یہ     یا y1سے ظاہر کیا جاتا ہے ۔ایک مشتق کو دریافت کرنے کے عمل کو تفرق کہتے ہیں ۔ہم f1(x)کے لیے جملہ:’’ xکی مناسبت سے f '(x) کا تفرق معلوم کیجیے‘‘ کا استعمال کرتے ہیں جس کا مطلب ہے  f '(x) 

(2) (uv)¢ = u¢v + uv¢   (لیبنز یا ضربی اصول)          

جدول5.3 

جب کبھی ہم نے مشتق کو بیان کیا ہے ،ہم نییہ شرط لگائی ہے کہ اس کی انتہا موجود ہو ۔اب عام سوال ہے ، کیا ہے اگر یہ نہیں ہے ؟ سوال بہت ہی عام ہے اور اسی طرح اس کا جواب بھی ۔اگر  موجود نہیں ہے ،ہم کہتے ہیں کہ f،cپر تفرق پذیر نہیں ہے ۔دوسرے الفاظ میں ،ہم کہتے ہیں کہ ایک فنکشن fاپنے علاقہ میں ایک نقطہ پر تفرق پذیر ہے اگر دونوں  عدودہوں اور برابرہوں ۔ایک فنکشن ایک وقفہ [a, b]کے ہر نقطہ پر تفرق پذیر ہے ۔جیسا کہ تسلسل کے کیس میں ہے ،آخری نقاطaاورbپر ،ہم دائیں ہاتھ کی انتہا اور بائیں ہاتھ کی انتہا لیتے ہیں ،جو کہ اور کچھ نہیں ہے بلکہ فنکشن کا باالترتیب aاورbپر بائیں ہاتھ کا مشتق اور دائیں ہاتھ کا مشتق ہے ۔اسی طرح ،ایک فنکشن اسی وقت ایک قفہ (a,b)میں تفرق پذیر ہے اگر یہ (a , b)کے ہر نقطہ پر تفرق پذیر ہے ۔

کیونکہ اوپر بائیں اور دائیں ہاتھ کی انتہا ئیں 0پر برابر نہیں ہیں ،اس لئے  موجود نہیں ہیں اور اس لئے f،0پر تفرق پذیر فنکشن نہیں ہے ۔

5.3.1  ترکیبی فنکشن کے مشتق Derivatives of composite functions

ایک طریقہ تو یہ ہے کہکو دو رکنی مسئلہ کا استعمال کر کے کھولا جائے اور اس کا مشتق معلوم کیا جائے ایک کثیر رکنی فنکشن کی طرح جیسا کہ نیچے دیا گیا ہے ۔

اس طرح کے مشاہدوں کی یہ برتری کہ یہ مشتق دریافت کرنے کو آسان کردیتا ہے ،مثال کے طور پر۔ اس مشاہدہ کو ہم ذیل مسئلہ میں فارمولے کے طورپر استعمال کر سکتے ہیں جسے (زنجیری اصول) چین رول کہا جاتا ہے ۔ مسئلہ 4 چین رول (زنجیری اصول) مان لیجئے fایک حقیقی قدر والا فنکشن ہے جو کہ دو فنکشن uاورvکا ترکیبی فنکشن ہے ،یعنی f=v o u۔مان لیجئے t = u(x)اور اگردونوں موجود ہیں ،ہمارے پاس ہے ۔

مثال21 دئے ہوئے فنکشن کا مشتق دریافت کیجیے۔

حل مشاہدہ کیجئے کہ دیا ہوا فنکشن دو فنکشن کی ترکیب میں ہے ۔اصلیت میں ،اگر 

 رکھئے ۔مشاہدہ کیجئے کہ موجود ہے ۔اس طرح ،زنجیری اصول سے

مثال22   tan(2x + 3)کا مشتق معلوم کیجیے ۔

حل  مان لیجئے f(x) = tan (2x + 3)،u(x) = 2x + 3اورv(t) = tan tتب 

(v o u) (x) = v(u(x)) = v(2x + 3) = tan (2x + 3) = f(x)

اس طرح fدو فنکشن کا غیر مفرد  t = u(x) = 2x + 3رکھئے ۔تب 

وجود میں ہے ۔ اسطرح زنجیری اصول سے 

مثال 23  کی مناسبت سے تفرق معلوم کیجیے ۔

حل فنکشن ایک ترکیب اجزائی f(x) = (w o v o u) (x)ہے تین فنکشن u,vاورwکا جہاں

رکھیے ۔ مشاہدہ کیجیے کہ موجود ہیں تمام حقیقی xکے لیے ۔اس طرح زنجیری اصول کو عام کرتے ہوئے ہمارے پاس ہے 

متبادل کے طور پر (Alternatively)ہم اس طرح آگے بڑھ سکتے ہیں ۔

مشق5.2

مشق1تا8میں فنکشن کا تفرق x کی مناسبت کیجیے۔

9۔ ثابت کیجئے کہ دیا گیا فنکشن f f(x) = |x – 1|, x Î R

   x = 1پر غیر تفرق پذیر ہے ۔

  10۔ ثابت کیجئے کہ عظیم صحیح عدد فنکشن جو کہ بیان کیا گیا ہے ۔

f(x) = [x], 0 < x < 3

x = 1اورx = 2پر غیر تفرق پذیر ہے ۔

5.3.2مضمر فنکشن کے مشتقDerivatives of implicit functions

ابھی تک ہم مختلف فنکشن جو کہ y = f(x)کی شکل میں دیے گئے تھے ۔کا تفرق دریافت کر رہے تھے لیکن یہ ضروری نہیں ہے کہ فنکشن ہمیشہ اس شکل میں دئے گئے ہوں ۔مثال کے طور پر ،xاورyکے درمیان ذیل رشتہ پر غور کیجئے ۔

x – y – p = 0

x + sin xy – y = 0

پہلے مرحلہ میں ہم yکے لئے حل کر سکتے ہیں اور رشتہ کو دوبارہ اس طرح لکھ سکتے ہیں y = x – pدوسرے مرحلے میں ،ایسا نہیں لگتا کہ yکو حل کرنے کا آسان طریقہ ہوگا ۔اس طرح دونوں مرحلوں میں yکے xپر تابع ہونے پر کوئی شک نہیں ہے ۔ جب xاورyکے درمیان رشتے کو اس طرح ظاہر کیا جائے کہ yکے لیے حل کرنا آسان ہو اور لکھئے کہ y = f(x)،ہم کہتے ہیں کہ y،x کے صریح فنکشن کی طرح دیا گیا ہے۔ بعد کے مرحلے میں یہ مضمر ہے کہ y،x کا فنکشن اور ہم کہتے ہیں کہ اوپر دوسرے طریقے میں رشتہ مضمری فنکشن دیتا ہے ۔اس ذیلی حصہ میں مضمر فنکشن کو تفرق کرنے کے بارے میں پڑھیں گے ۔

مثال24   اگر x – y = pتب  دریافت کیجئے ۔

حل   ایک طریقہ یہ ہے کہ yکے لئے حل کیجیے اور اوپر دی ہوئی مساوات کو اس طرح لکھئے ۔

y = x – p

لیکن تب

متبادل کے طور پر رشتہ کو xکو مد نظر رکھتے ہوئے سیدھے طور پر تفرق کیجیے ،ہمارے پاس ہے ۔

یا د رکھیے کہ کا مطلب ہے کہ مستفل فکشن کا تفریق کرنا کی قدر کوہر جگہ لینا .x کو مدنظر رکھتے ہوئے اس طرح 

جس کا مطلب ہے کہ 

مثال25   اگر y + sin y = cos xہوتو  دریافت کیجیے۔

5.3.3معکوس ٹرگنو میٹریائی فنکشن کے مشتق

Derivatives of inverse trigonometric functions

مثال 26  26  اسے تسلیم کرتے ہوئے کہ فنکشن fجو کہسے ظاہر کیا گیا ہے موجود ہے ،اس کا مشتق معلوم کیجئے۔ 

 حل مان لیجئے       

    

اس کا مشاہدہ کیجئے کہ یہ صرف y ¹ 0کے لئے بیان کیا گیا ہے ،یعنی یعنی x ¹ – 1, 1, یعنی x Î (– 1, 1)

اسے یاد کیجئے کہ   ہے اور اس لیے

مثال27    fکا تفرق دریافت کیجیے جو کہسے دیا گیا ہے یہ مانتے ہوئے کہ یہ موجود ہے ۔

حل  مان لیجیے 

جدول 5.4

مشق5.3

5.4قوت نما اور لوگارتمی فنکشن (Exponential and Logarithmic Functions)

ابھی تک ہم نے فنکشن کی مختلف جماعتوں کے کچھ قسم کا مطالعہ کیا ہے مثال کے طور پر کثیر رکنی فنکشن ناطق فنکشن اور ترگنو میتریائی فنکشن ۔اس حصہ میں فنکشن کی نئی جماعت (تعلق رکھنے والی ) جسے ہم قوت نما فنکشن اور لوگارتمی فنکشن کہتے ہیں کے بارے میں پڑھیں گے ۔اس بات پر زور دینے کی ضرورت ہے کہ اس حصے میں بتائے گئے بہت سے بیانات بڑھاوا دینے والے ہیں اور ان کے صاف ثبوت اس کتاب کی پہنچ سے باہر ہیں ۔                                                                

شکل5.9 

شکل 5.9 کے خاکے دیتی ہے ۔اس بات کا مشاہدہ کیجئے کہ جیسے جیسے xکی طاقت بڑھتی ہے منحنی 

 بڑھتی ہے جیسے ہی nبڑھتا ہے ۔n = 1, 2, 3, 4کے لئے ۔یہ تسلیم کرنے کی بات ہے کہ اس طرح کا بیان nکی تمام مثبت قدروں کے لیے درست ہے، جہاںہے ۔یہ ضروری ہے ،اس کا مطلب ہے کہہے ۔یہ ضروری ہے ،اس کا مطلب ہے کہ

ہے ۔اگر x،1سے 2کی طرف بڑھتا ہے جب کہ

کی طرف بڑھتا ہے ۔اس طرح xکے اسی بڑھاوے کے لئے ، سے زیادہ تیز بڑھتا ہے ۔

ہمارا مطالبہ یہ ہے کہ فنکشن fکسی بھی مثبت صحیح عدد xکے لئےسے زیادہ جلدی اگتا ہے ۔مثال کے طور ،ہم یہ ثابت کر سکتے ہیں کہسے زیادہ جلدی اگتا ہے ۔xکی بڑی قدروں کے لئے مثال کے طورپر،

کے لیے ،یہ نوٹ کیجئے کہ

ہے ۔صاف طور پرf(x) سے زیادہ بڑا ہے ۔یہ ثابت کرنا مشکل نہیں ہے کہ تمام

کے لیے ہے ۔لیکن ہم یہاں اس کا ثبوت دینے کی کوشش نہیں کریں گے ۔اسی طرح ،xکی بڑی قدریں چننے سے ،یہ جانچ کی جاسکتی ہے کہ f(x)

سے کسی بھی مثبت صحیح عددnکے لیے زیادہ جلدی اگتا ہے ۔

تعریف3  قوت نما فنکشن مثبت اساس b>1کے ساتھ ایک فنکشن ہے ۔

کاگراف شکل 5.9میں دیا گیا ہے ۔

یہ مشورہ دیا جاتا ہے کہ پڑھنے والا یہ گرافbکی خاص قدروں کے لیے مثال کے طورپر 2,3اور4کے لیے بنایئے ۔

قوت نما فنکشن کی کچھ خاص خصوصیات مندرجہ ذیل ہیں ۔

(1) قوت نما فنکشن کا علاقہ تمام حقیقی اعداد کا سیٹRہے۔

   (2) قوت نما فنکشن کی وسعت تمام مثبت حقیقی اعدادکاسیٹ ہے ۔

   (3) نقطہ (0,1)قوت نما فنکشن کے ہمیشہ گراف پر ہوگا (یہ حقیقت bº=1،کسی بھی حقیقی b>1کے لئے کاروبار دیا گیا بیان ہے ) ۔

   (4) حقیقی فنکشن ہمیشہ بڑھتا رہتا ہے ،یعنی جیسے جیسے ہم بائیں سے دائیں کی طرف بڑھتے ہیں گراف اوپر کی طرف بڑھتا ہے ۔

   (5) بہت زیادہ xکی منفی قدروں کے لئے قوت نما فنکشن 0کے بہت قریب ہوتا ہے ۔دوسرے الفاظ میں ،دوسرے ربع میں ،گراف–xمحور کی طرف بڑھتا ہے (لیکن کبھی نہیں ملتا ) 

قوت نما فنکشن جس کی اساس 10ہے ،مشترک قوت نما فنکشن کہلاتا ہے ۔گیارہویں جماعت کی ضمیمہ A.1.4میں اس کا مشاہدہ کیا گیا ہے کہ مسلسل 

 مجموعہ ایک عدد ہے جو 2اور3کے درمیان ہے اور جسے eسے ظاہر کیا جاتا ہے۔اس eکو ایک اساس کے طور پر استعمال کر کے ہمیں ایک بہت ہی اہم قوت نما فنکشن حاصل ہوتا ہے ۔

اسے طبعی قوت نما فنکشن کہا جاتا ہے ۔

یہ جاننا دلچسپ ہوگا کہ اگر قوت نما فنکشن کا معکوس وجود میں ہے اور ایک اچھا مطلب نکالتا ہے ۔یہ کھوج ذیل تعریف کی بڑھاوا دیتی ہے ۔

تعریف4  مان لیجئے b > 1ایک حقیقی عدد ہے ۔تب ہم کہتے ہیں کہ aکا لوگارتمی اساس bکے ساتھ xہے ۔اگر

aکا لوگارتمی اساسbکے ساتھ سے ظاہر کیا جاتا ہے ۔اس طرح 

ہے ۔اب ہم اسے محسوس کرنے کے لیے کچھ صریح مثالوں کے ساتھ کام کرتے ہیں ۔ہم جانتے ہیں کہ

ہے ۔لوگارتمی کی زبان میں، ہم اسے اس طرح دوبارہ لکھ سکتے ہیں 

اسی طرح برابر کہا جاتا ہے 

کے ساتھ ہیبرابر کہا جاتا ہے 

اور ذرا زیادہ غور کرتے ہوئے ،اساس b > 1کو متعین کرتے ہوئے ،ہم لوگارتمی پر ایک فنکشن کی طرح مثبت حقیقی اعداد سے تمام حقیقی اعداد پر غور کرسکتے ہیں ۔اس فنکشن کو لوگارتمی فنکشن کہتے ہیں ،اور اسے اس طرح بیان کیا جاتا ہے ۔

شکل 5.10

پہلے کی طرح اگر اساس b = 10ہے ،ہم کہتے ہیں کہ یہ مشترک لوگارتم ہے اور اگر b = eہے ،تب ہم کہتے کہ یہ قدرتی لوگارتم ہے ۔عام طور پر قدرتی لوگارتم lnسے ظاہر کیا جاتا ہے۔ اس باب میں xلوگارتم فنکشن کو اساس eسے ظاہر کرتے ہیں۔ lnxکو سادہ طور پر logxلکھا جائے گا ۔شکل 5.10لوگارتم فنکشن کا خاکہ اساس 2,eاور10کے ساتھ دیتی ہے ۔

لوگارتم فنکشن سے تعلق رکنے والے کچھ خاص مشاہدے کسی بھی اساس b>1کے لئے نیچے فہرست کی شکل میں دئے گیے ہیں۔

شکل 5.11

(1) ہم غیر مثبت اعدادکے لوگارتم کی بمعنی تعریف نہیں بیان کرسکتے اور اس لیے لاگ فنکشن کا علاقہ ہے

(2) لاگ فنکشن کی وسعت تمام حقیقی اعداد کا سیٹ ہے ۔

   (3) نقطہ (1,0)ہمیشہ لاگ فنکشن کے گراف پر ہوتا ہے ۔

   (4) لاگ فنکشن ہمیشہ بڑھتا رہتا ہے ،یعنی جیسے جیسے ہم بائیں سے دائیں کی طرف بڑھتے ہیں ،گراف اوپر کی طرف بڑھتا ہے ۔

   (5) xکے لئے ،جو صفر کے بہت قریب ہے ،log xکی قدر کسی بھی دیے ہوئے حقیقی عدد سے کم کی جاسکتی ہے ۔دوسرے الفاظ میں چوتھے ربع میں گراف –yمحور کی طرف بڑھتا ہے (لیکن اس سے کبھی نہیں مل پاتاہے ) 

   (6) شکل5.11 کا خاکہ دیتی ہے اورy = ln xکا ۔یہ مشاہدہ کرنا ایک دلچسپی کی بات ہے کہ دو منحنی ایک دوسرے کی جو شکلیں ہیں جو کہ خط y = xسے منعکس ہو رہی ہیں ۔

لاگ فنکشن کی دو خصوصیات نیچے ثابت کی گئی ہیں ۔

   (1)  کی شکل میں حاصل کرنے کے لیے اساس اصول میں ایک معیاری بدلاؤ ہے ۔مان لیجیے 

ہے ۔ اس کا مطلب ہے

تیسری مساوات کو پہلی میں رکھنے پر ہمارے پاس ہے ۔

اسے دوسری مساوات میں استعمال کرنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے

جس سے حاصل ہوتا ہے ۔لیکن تب

(2) لاگ فنکشن کی دوسری دلچسپ خصوصیت اپنے حاصل ضرب پر اس کا اثر ہے ۔مان لیجئے 

اس کا ایک خاص دلچسپ اور اہم اثر یہ ہے کہ جب p = qہے ۔اس کیس میںاوپر دیا ہوا اس طرح دوبارہ لکھا جا سکتا ہے۔ 

اس کا عام کرنا (ایک مشق کے طو ر پر چھوڑا گیا ہے !) وہ یہ ہے ۔

کسی بھی مثبت صحیح عددnکے لئے ۔حقیقت میں یہ کسی بھی حقیقی عددnکے لئے صحیح ہے ،لیکن ہم اس کو ثابت کرنے کی کوشش نہیں کریں گے ۔اسی طرح عمل کر کے پڑھنے والے کو جانچ کے لئے مدعو کیا جا رہا ہے ۔

مثال28   تمام حقیقی اعداد xکے لئے کیاصحیح ہے ؟ 

حل  پہلے اس بات کا مشاہدہ کیجئے کہ لاگ فنکشن کا علاقہ تمام مثبت حقیقی اعداد کا سیٹ ہے۔ اس لئے اوپر کی مساوات غیر مثبت حقیقی اعداد کے لیے درست نہیں ہے ۔اب مان لیجئے کہ

ہے ۔اگ رy > 0ہے ،ہم لوگارتمی لے سکتے ہیں جو ہمیں دیتا ہے 

اس طرح y = xہے ۔اس لئے

صرف xکی مثبت قدروں کے لئے درست ہے ۔

طبعی قوت نما فنکشن کی تفرق کیل کولس میں ایک با اثر خصوصیت یہ ہے کہ یہ تفرق کرنے پر نہیں بدلتا ۔اسے ذیل مسئلہ میں قید کیا گیا ہے اور جس کے ثبوت کو ہم نظر اندا زکرتے ہیں ۔

مسئلہ 5   

   (1)   xکی مناسبت سےہے ،یعنی ،

(2)  xکی مناسبت سے  logxکا مشتقہے ،یعنی

مثال 29   xکی مناسبت سے ذیل کا تفرق دریافت کیجیے ۔

حل  

   (i)  مان لیجئے ہے ۔زنجیری اصول کا استعمال کرتے ہوئے ہمارے پاس ہے ۔

(ii)  مان لیجئے y = sin (log x)ہے ۔زنجیری اصول کا استعمال کرتے ہوئے ہمارے پاس ہے 

(iii)   مان لیجئے ہے ۔زنجیری اصول کا استعمال کرتے ہوئے ہمارے پاس ہے ۔

(iv) مان لیجئے ہے ،زنجیری اصول کا استعمال کرتے ہوئے ہمارے پاس ہے ۔

مشق 5.4

xکی مناسبت سے ذیل کا تفرق معلوم کیجیے۔

5.5لوگارتمی تفرق (Logarithmic Differentiation)

اس حصہ میں ہم فنکشن کی کچھ خاص جماعت کا تفرق کرنا سیکھیں گے جو اس شکل میں دیئے گیے ہیں۔

ور لوگارتمی (اساس e)لینے پر اس طرح لکھا جا سکتا ہے۔

log y=v(x) log [u(x)]

زنجیری اصول کا استعمال کر کے ہم اس کا تفرق کر سکتے ہیں یہ حاصل کرنے کے لیے 

 . u¢(x)+v¢(x).log[u(x)] 

جس سے نکلتا ہے کہ 

اس طریقہ میں جو اصل نقطہ نوٹ کرنا ہے وہ یہ ہے کہ f(x)اور u(x)ہمیشہ مثبت ہونے ضروری ہیں ورنہ ان کا لوگارتم معرف نہیں ہے۔ تفرق کے اس طریقہ کو لوگارتم تفرق کہتے ہیں اور اسے ذیل مثالوں سے سمجھا یا گیا ہے۔

مثال30   کا تفرق xکو مدنظر رکھتے ہوئے کیجیے۔

حل مان لیا 

دونوں طرف کا لاگ لینے پر ہمارے پاس ہے

اب، xکی مناسبت سے دونو طرف کا تفرق کرنے پر

مثال  x 31کی مناسبت سے کا تفرق معلوم کیجیے، جہاں aایک مثبت مستقلہ ہے۔

حل مان لیجیے تب

log y=xlog a

xکی مناسبت سے دونوں طرف کا تفرق کرنے پر ہمارے پاس ہے 

مثال 32  xکی مناسبت سے کا تفرق کیجیے x > 0

حل مان لیجیے دونوں طرف کا لاگ لینے پر، ہمارے پاس ہے 

log y=sin x log x

مثال 33اگر دریافت کیجیے۔

حل دیا ہوا ہے 

xکی مناسبت سے دونوں طرف کا تفرق کرنے پر ہمارے پاس ہے

دونوں طرف کا لاگ لینے پر ہمارے پاس ہے

log v=y log x

xکو مد نظر رکھتے ہوئے دونوں طرف کا تفرق کرنے پر ہمارے پاس ہے 

دونوں طرف کا لاگ لینے پر ہمارے پاس

مشق5.5

مشق 1تا 11میںxکی مناسبت فنکشن کا تفرق کیجیے۔

12تا 15دی ہوئی مشقوں میں فنکشن کا معلوم کیجیے۔

16۔ دئے ہوئے فنکشن 

کا مشتق معلوم کیجیے اوراس طرح  دریافت کیجیے۔

17- کا نیچے دئے گیے تین طریقوں سے تفرق معلوم کیجیے:

(i) ضربی اصول استعما ل کر کے

(ii) اکیلا کثیررکنی حاصل کرنے کے لیے حاصل ضرب کو پھیلا کر

(iii)لوگارتم تفرق استعمال کر کے۔

کیا یہ سبھی یکساں نتیجہ دیتے ہیں؟

18۔ اگرu،v،اورw،x، کے فنکشن ہیں ، تب دکھائے کہ

دو طریقوں سے پہلے ضربی اصول کو دہرا کر دوسرا لوگارتمی تفرق کا استعمال کر کے

 پیرامیٹرک شکل میں تفاعل کے مشتق

کئی باردو متغیر کے درمیان تعلق نہ توصریح ہے اور نہ ہی مضمر، لیکن دونوں متغیر کا تیسرے متغیر کے ساتھ ربط، پہلے دونوں متغیروں کے ساتھ ایک تعلق قائم کرتا ہے۔ اس طرح کے حالات میں ہم کہتے ہیں کہ ان دونوں کے درمیان تعلق تیسرے متغیر کو پیرامیٹر کہتے ہیں۔ زیادہ بہتر طریقے سے ، دو متغیر xاور yکے درمیان رشتہ x=f(t)،y=g(f)کی شکل میں ایک تعلق کو دکھاتے ہیں جسے پیرامیٹرک شکل کہا جاتا ہے جہاں tایک پیرامیٹر ہے۔

اس شکل میں فنکشن کے مشتق کو معلوم کرنے کی ترتیب میں، ہم زنجیری اصول سے معلوم کرتے ہیں۔

مثال 34 دریافت کیجیے، اگر

حل دیا ہے  

مثال 35 دریافت کیجیے اگر

حل دیا ہوا 

مثال 36 دریافت کیجیے، اگر

@نو ٹ یہاں یہ نوٹ کر لینا چاہئے کہصرف پیرامیٹر کی شکل میں سمجھایا جاتا ہے جس میں اصل متغیر xاور yغیر راست طریقہ سے شامل ہیں۔

مشق 5.6

1تا 10مشقوں میں دی گی مساوات سے xاورyپیرامیٹری طریقے سے جڑے ہوئے ہیں، بغیر پیرامیٹر کو خارج کرتے ہوئے dy/dxدریافت کیجیے۔ 

5.7دوسرے درجہ کا مشتق (Second Order Derivative)

 مان لیجیے y =f(x)تب

اگر f¢(x)تفرق پذیر ہے، ہم مساوات(1)میں xکو مدنظر رکھ کر تفرق کر سکتے ہیں۔ تب بائیں ہاتھ کا حصہ

بن جاتا ہے جو کہ yکا دوسری ترتیب کا مشتق بن جاتا ہے xکو مد نظر رکھتے ہوئے اورسے ظاہر کیا جاتا ہے۔ f(x)کا دوسرے درجہ کا مشتق f¢(x)سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ اسے

سے بھی ظاہر کیا جاتا ہے یا y²یاہو۔ ہم اس کا ریمارک دیتے ہیں کہ اونچی ترتیب والے مشتق بھی اسی طرح سے بیان کیجیے جاتے ہیں۔

مثال 38

مشق 5.7

1تا 10تک مشقوں میں دئے ہوے فنکشن کے دوسری ترتیب والے مشتق دریافت کیجیے

5.8درمیانہ قدروالا مسئلہ Mean Value Theorem

اس حصہ میں ہم احصا(Calculus) میں دو بنیادی نتائج بغیر ثبوت کے بیان کریں گے۔ ہم ان مسئلوں کی جیو میٹریائی ترجمانی کریں گے۔

مسئلہ 6رولس مسئلہ:(Roll's Theorem) مان لیجیے f : [a, b] ® R،[a, b]پر مسلسل ہے اور (a,b)پر تفرق پذیر ہے، تاکہ f(a) = f(b)جہاں aاور bکچھ حقیقی اعداد ہیں۔تب (a,b)میں کوئی حقیقی عددc ایسا موجود ہے تاکہ f ¢(c) = 0

اشکال 5.12اور 5.13میں کچھ مخصوص تفرق پذیر فنکشنوں کے گراف دیئے ہوئے ہیں جو رولس مسئلہ کی سوچ کو مطمئن کرتے ہیں۔

شکل 5.12 شکل 5.13

اس بات کا مشاہدہ کیجیے کہ منحنی پر aاور bکے درمیان مختلف نقاط پر مماس کے سلوپ کو کیا ہوا۔ ہر ایک گراف میں کم سے کمایک نقطے پر سلوپ صفر ہوجاتا ہے۔ یہ رولس مسئلہ کا ایک اہم دعوہ ہے کیونکہ مماس کا سلوپ y = f(x)کے گراف کے کسی بھی نقطہ پر کچھ نہیں ہے بجائے اس کے کہ یہ اس نقطہ پر f(x)کا مشتق ہے۔

مسئلہ7 درمیانہ قدر والا مسئلہ (Mean Value Theorem)مان لیجیےf :[a, b]®R،[a,b]پر ایک مسلسل فنکشن ہے اور(a,b)پر تفرق پذیر ہے ۔ تب (a,b)میں کوئی حقیقی عدد cایسا موجودہو تا ہے کہ

یہ مشاہدہ کیجیے کہ درمیان قدر مسئلہ (MVT)رولس مسئلہ کی ایک تو ضیح ہے۔ اب ہمیں MTVکو جیومیٹریائی ترجمہ سمجھنا چاہئے ۔ فنکشنy = f(x)کا گراف شکل 5.14میں دیا گیا ہے ۔ہم پہلے ہی f¢(c)کا تر جمہ منحنی y = f(x)کا (c, f(c))پر مماس کے سلوپ کا کر چکے ہیں۔ شکل 5.14سے یہ صاف ہے کہ

کے درمیان کھینچا گیا خط قاطع کا سلوپ ہے MVTیہ بیان کرتی ے کہ(a,b)میں ایک نقطہ Cموجود ہے کہ مماس کا سلوپ (c,f(c))پر وہی ہے جو خط قاطع کا(a, f(a))اور(b, f(b))کے درمیان ہے۔ دوسرے الفاظ میں (a,b)میں cایک ایسا نقطہ ہے کہ (c, f(c))پر مماس (a, f(a))اور(b, f(b))کے درمیان خط قاطع کے متوازی ہے۔

مثال 42فنکشن  اور b=2کے لیے رولس مسئلہ کی تصدیق کیجیے۔ 

حل فنکشن، [– 2, 2]میں مسلسل ہے اور (– 2, 2)میں تفرق پذیر ہے ۔ ساتھ ہی f(–2)=f( 2)=6اور اس لیے f(x)کی قدر (–2)اور (2)پر آپس میں ملتی ہے۔ رولس مسئلہ بیان کرتا ہے کہ cایک نقطہ جو c Î (– 2, 2)، جہاں f¢(c) = 0

کیونکہ f¢(x)=2xہے ہمیں c=0حاصل ہوتا ہے۔ ا س طرح c=0پر ہمارے پاس ہے f¢(c) = 0 اور c = 0 Î (– 2, 2)

مثال 43فنکشنکی وقفہ [2, 4]میں درمیانہ قدر مسئلہ  کی تصدیق کیجیے۔

حل فنکشن  [2, 4]میں مسلسل ہے اور (2,4)میں تفرق پذیر ہے کیونکہ اس کا مشتق (2,4) f¢(x)=2x میں معرف ہے ۔

اب  f(2) = 4اور f(4) = 16ہے۔ اس طرح

MVTیہ بیان کرتا ہے کہ ایک نقطہ c Î (2, 4) تاکہ f¢(c)=6ہے۔ لیکن  f¢(x) = 2xہے جس کا مطلب ہے c = 3۔ اس طرح c = 3  (2, 4)، ہمارے پاس ہے۔ f¢(c)=6

مشق 5.8

1۔ فنکشن کے لیے رولس مسئلہ کی تصدیق کیجیے۔

2۔ یہتصدیق کیجیے کہ کیا رولس مسئلہ ذیل میں سے کسی بھی فنکشن پر استعمال کیا جا سکتا ہے ۔

(i) f(x) = [x] کے لیے (ii)  f(x) = [x]کے لیے x Î [– 2, 2]

(iii) 

3۔ اگر f : [–5,5]®Rایک تفرق پذیر فنکشن ہے اوراگر f¢(x)کہیں بھی ختم نہیں ہوتا تو ثابت کیجیے f(–5)¹f(5)

4۔ درمیانی قدر مسئلہ کی تصدیق کیجیے، اگر  وقفہ [a,b)میں موجود ہے جہاں a=1اور b=4ہے۔

5۔ درمیانی قدرمسئلہ کی تصدیق کیجیے، اگروقفہ [a,b]میں موجود ہے جہاںa=1اور b=3ہے تمام cمعلوم کیجیے جہاں c Î (1, 3)اور جس کے لیے f¢(c) = 0ہے۔

6۔ درمیانی قدر مسئلہ کی اوپر مشق 2میں دیئے گئے فنکشن کے لیے استعمال کی جانچ کیجیے۔

متفرق مثالیں 

مثال 44ذیل فنکشنوں کا xکی مناسبت سے تفرق کیجیے۔ 

حل مان لیجیے 

یہ نوٹ کر لیجیے کہ یہ فنکشن تمام حقیقی اعداد پر بیان کیا گیا ہے۔ اس لیے

یہ تمام حقیقی اعداد کے لیے بیان کیا گیا ہے ۔

(ii) مان لیجیے

یہ ہر ایک حقیقی عدد پر بیان کیا گیا ہے ۔ اس لیے 

یہ مشاہدہ کیجییکہ دیئے ہوئے فنکشن کا مشتق ضرب(–1,1)میں ہی صحیح ہے کیونکہکا مشتق صرف (–1,1)میں موجود ہے۔

(iii)مان لیجیے 

(اساس کا فارمولہ بدلنے پر) 

فنکشن تمام حقیقی اعداد x>1پر بیان کیا گیا ہے۔ اس لیے

مثال 45 xکی مناسبت سے ذیل کا تفرق کیجیے۔

حل (i)مان لیجیے ہے۔ یہ مشاہدہ کیجیے کہ یہ فنکشن تمام حقیقی اعداد کے لیے بیان کیا گیا ہے۔ ہم اس فنکشن کو دبارہ اس طرح لکھ سکتے ہیں۔

(ii)مان لیجیے  ہے۔ یہ مشاہدہ کیجیے کہ یہ فنکشن تمام حقیقی اعداد کے لیے بیان کیا گیا ہے، جہاں x¹–1؛یعنی ۔pکا تمام ناطق ضریب پر ہم اس فنکشن کو دوبارہ اس طرح لکھ سکتے ہیں۔

اس کا مشاہدہ کیجیے کہ ہم شمار کنندہ اور نسب نما دونوں میںکو کاٹ سکتے ہیں۔

ہمیں تمام xمعلوم کرنے کی ضرورت ہے تاکہ یعنی ، تمام xتاکہ ہم اسے دوبارہ اس طرح لکھ سکتے ہیں۔

جو تمام xکے لیے درست ہے۔اس لیے فنکشن پر ایک حقیقی عدد پرمعرف ہے۔

رکھنے پر، اس فنکشن کو دوبارہ اس طرح لکھا جاسکتا ہے۔

مثال 46  f ¢(x)دریافت کیجیے اگر 

حل فنکشن تمام مثبت صحیح اعداد کے لیے بیان کیا گیا ہے۔ دونوں طرف کا لاگ لینے پر ہمارے پاس ہے

مثال 47مثبت مستقل aکے لیے دریافت کیجیے، جہاں

حل مشاہدہ کیجیے کہ دونوں yاور xتمام حقیقیt ¹ 0کے لیے بیان کئے گیے ہیں صاف طور پر 

مثال 48

Missing Translation

باب 5پر مبنی متفرق مشق 

مشق 1تا 11تک کا x کی مناسبت سے تفرق کیجیے۔

18۔ اگر ہے، دکھائیے کہ f²(x)موجود ہے تمام حقیقی اعداد xکے لیے، اور اسے دریافت کیجیے۔

19۔ ریاضی کے امالا کا اصول استعمال کر کے ثابت کیجیے کہ تمام مثبت صحیح اعداد n کے لیے

20۔ اس حقیقت کا استعمال کر کے (sinA + B) = sin A cos B + cos A sin Bاور تفرق ہے، cosines کے لیے مجموعہ کا فارمولہ دریافت کیجیے۔

21۔ کیا ایسا فنکشن موجود ہے جو ہر جگہ مسلسل ہے لیکن صرف دو نقاط پر تفرق پذیر نہیں ہے؟ اپنے جواب کی وضاحت کیجیے۔

خلاصہ Summary

® ایک حقیقی قدر والا فنکشن اپنے علاقہ میں ایک نقطہ پر مسلسل ہے اگر اس فنکشن کی انتہا اسی نقطہ پر فنکشن کی اسی نقطہ پر قدر کے برابر ہے۔ ایک فنکشن اس وقت مسلسل ہوگا اگر یہ مکمل علاقہ میں مسلسل ہے۔

® مسلسل فنکشن کے مجموعہ فرق ، حاصل ضرب اور خارج قسمت مسلسل ہوتے ہیں۔ 

یعنی اگر fاور gمسلسل فنکشن ہے۔

مسلسل(f ± g) (x) = f(x) ± g(x) is continuous.

مسلسل(f . g) (x) = f(x) . g(x) is continuous.

• زنجیری اصول وہ اصول ہے جو غیر مفرد فنکشن کا تفرق کرتا ہے۔ اگر  f = v o u, t = u (x) اور اگر دونوں �اور � موجود ہیں تب

• ذیل میں کچھ معیاری مشتق دیئے گئے ہیں (اپنے صحیح علاقوں میں)

کی شکل کے فنکشن کا تفرق کرنے کے لیے لوگارتم تفرق ایک طاقت ور طریقہ ہے۔ یہاں دونوں f(x)اورu(x)کو اس طریقہ کو با شعور بنانے کے لیے مثبت ہونا ضروری ہے ۔

® رولس مسئلہ :اگرf:[a, b] ® R،[a, b]پر مسلسل ہے اور (a, b)پر تفرق پذیر ہے اس طرح f(a) = f(b)، تب cایک عدد (a, b)  میں ہوتا ہے جس کے لیے  f¢(c) = 0

® درمیانی قدر مسئلہ : اگر f : [a, b] ® Rایک مسلسل ہے [a, b]پر اور (a, b)پر تفرق پذیر ہے ۔ تب ایک (a,b)cمیں موجود ہے ، جس کے لیے