Skip to content
Read PDF Question Answers
Riyazee-001


باب 6

مشتق کا اطلاق

(APPLICATION OF DERIVATIVES)

vاگر احصا ایک چابی ہے ،قدرتی ردو بدل کو سمجھانے کے لئے ریاضی کو کامیابی کے ساتھ لاگو کیا جا سکتا ہے ۔ وہائٹ ہیڈv

6.1  تعارف

باب 5میں ہم نے پڑھا ہے تم کس طرح ترکیبی تفاعلات ،معکوس ٹرگنومیٹریائی تفاعلات ،مضمر تفاعلات، قوت نما تفاعلات اور لوگارتم تفاعلات کا مشتق کیسے معلوم کیا جاتا ہے۔اس باب میں ہم پڑھیں گے کہ مشتق کے اطلاق کو دوسرے شعبوں میں کس طرح لاگو کیا جاتا ہے ،مثال کے طور پر ،انجینئرنگ ،سائنس ،سوشل سائنس اور بہت سے دوسرے میدانوں میں ،اس کے ساتھ ہم یہ بھی پڑھیں گے کہ مشتق کا استعمال کس طرح کیا جاتا ہے (i)اشیاء کی تبدیلی کی شرح دریافت کرنے کے لیے (ii)مماس اور نارمل کی مساواتوں کو منحنی کے ایک نقطہ پر معلوم کرنا (iii)تفاعلات کے گراف پر گھومتے ہوئے نقاط کا دریافت کرنا جو ہماری مدد نقاط کو ڈھونڈنے میں کریں گے جس پر بڑی سے بڑی اور چھوٹی سے چھوٹی قدر (مقامی ) تفاعلات کو ملتی ہیں ۔ہم تفاعلات کا استعمال وقفہ دریافت کرنے کے لیے بھی کریں گے جہاں تفاعلات تبدیل ہو رہی ہیں ۔آخر میں ہم مشتق کا استعمال کچھ اشیاء کی تقریباً قدر دریافت کرنے کے لیے کریں گے ۔

6.2مقداروں کی شرح تبدیلی 

اسے یاد کیجئے کہ مشق1سے ،ہمارا مطلب ہے فاصلہ sکی شرح تبدیلی وقتtکو مد نظر رکھتے ہوئے ۔اسی طرح سے، جب کبھی بھی ایک شئے yدوسری شئےxکے ساتھ بڑھتی یا گھٹتی ہے جو کسی اصول 2کو مطمئن کرتی ہے ،تب3 (یاf¢(x))yکی xلحاظ سے تبدیلی کی شرح کو ظاہر کرتا ہے 4
yکی xکے لحاظ سے 5پر تبدیلی کی شرح کو ظاہر کرتا ہے ۔
اس کے آگے ،اگر دو متغیر xاور yایک دوسرے متغیر tکے ساتھ تبدیل ہو رہے ہوں،یعنی اگر6اور7ہے ،تب زنجیری اصول سے 
8
اس طرح yکی تبدیلی xکے ساتھ کا اندازہ لگایا جا سکتا ہے yکی شرح تبدیلی استعمال کر کے اورxکیtکو مد نظر رکھتے ہوئے 
ہم ذیل مثالوں پرغور کرتے ہیں ۔
مثال1 ایک دائرہ کے رقبے کی شرح تبدیلی فی سیکنڈ اس کے نصف قطر کی مناسبت سے دریافت کیجیے جبکہ r=5 سینٹی میٹر ہے 
حل  دائرہ کا رقبہ نصف قطر xکے ساتھ دیا گیا ہے9۔اس لیے رقبہ Aکی شرح تبدیلی نصف قطر xکی مناسبت سے 
10سے دی گئی ہے ۔جبr=5سینٹی میٹر11ہے ۔اس طرح ،دائرہ کا رقبہ 10p مربع سینٹی میٹر
12کی در سے تبدیل ہو رہا ہے ۔
مثال2  ایک کعب کا حجم 9مکعب سینٹی میٹر فی سیکنڈ کی شرح سے بڑھ رہا ہے ۔جب ایک کنارے کی لمبائی 10سینٹی میٹر ہو تو بتائیے کہ سطحی رقبہ کتنی تیزی سے بڑھ رہا ہے ۔
حل  مان لیجیے ایک ضلع کی لمبائی xہے ،vحجم ہے اور سطح رقبہ sہے کعب کا ۔تب 13ہے،جہاں xوقفہ tکا فنکشن ہے ۔
14
15
مثال3  ایک پتھر ایک خاموش جھیل میں پھینکا گیا اور لہریں دائرہ کی شکل میں 4سینٹی میٹر فی سیکنڈ کی رفتار سے آگے بڑھیں اسی لمحہ جب دائری لہر کا نصف قطر 10سینٹی میٹرہے ،اس سے گھرا ہوا رقبہ کتنی رفتار (یا تیزی سے ) بڑھ رہا ہے ؟ 
حل  ایک دائرہ کا رقبہAجس کا نصف قطرrہے دیا گیا ہے ۔16سے ۔اس لئے ،رقبہ Aکی شرح تبدیلی وقتtکے ساتھ ہے ۔
17
یہ دیا ہوا ہے کہ18سینٹی میٹرفی سیکنڈ
اس لیے جب r = 10سینٹی میٹر ہے 19
اس طرح گھرا ہو ا رقبہ 80pکی شرح سے بڑھ رہا ہے ،جب r = 10سینٹی میٹرہے ۔

نوٹ 20 مثبت ہے اگرyبڑھتا ہے جیسے ہی xبڑھتا ہے اور منفی ہے اگرyگھٹ رہا ہے جب کہ xبڑھ رہا ہے ۔

مثال4 ایک مستطیل کی لمبائی x ،3سم فی منٹ کی شرح سے گھٹ رہی ہے اور چوڑائی yکی شرح سے بڑھ رہی ہے ۔جب r=10سینٹی میٹراورy = 6سینٹی میٹرہے ،شرح تبدیلی معلوم کیجئے (a)احاطہ کی (b)مستطیل کے رقبہ کی ۔
حل  کیونکہ لمبائی لمبائی xگھٹ رہی ہے اور چوڑائی yبڑھ رہی ہے وقت کے ساتھ ہمارے پاس ہے ۔
22سینٹی میٹر فی منٹ اور 21سینٹی میٹر فی منٹ
(a) احاطہPایک مستطیل کا دیا گیا ہے ۔
P =2(x + y)
اس لیے 23سینٹی میٹر فی منٹ
(b) مستطیل کا رقبہ Aدیا گیا ہے ۔
A =x . y
اس لیے  24
(کیونکہ x = 10سینٹی میٹراورy = 6سینٹی میٹرہے ) = – 3(6) + 10(2)
=2مربع سینٹی میٹرفی منٹ
مثال5 کل قیمت c(x)روپیوں میں ،ایک شئے کے xیونٹ پیداوا ر کے ساتھ اس طرح منسلک دیا گیا ہے ۔
25
حاشیائی قیمت معلوم کیجیے جب کہ پیداوار3یونٹ ہو ،جہاں حاشیائی پیداوارسے ہمارا مطلب ہے فوری طور پر کسی بھی وقت پیداوار کی کل قیمت کی شرح تبدیلی ۔
حل   ہمارے پاس ہے ۔
حاشیائی 26قیمت
27
اس لیے مطلوبہ حاشیائی قیمت 30.02روپیے ہے (قریب قریب) 
مثال6  ایک شئے کی پیداوار کے xیونٹ کی بِکّری سے جو کل رقم روپیوں میں حاصل ہوئی ہے وہ 28
سے دی گئی ہے ،حاشیائی آمدنی معلوم کیجیے،جبکہ x=5ہے ،جہاں حاشیائی آمدنی سے ہمارا مطلب ہے کل آمدنی کا اس کے اسی لمحہ کے ہوئے سامان کی تعداد کی شرح تبدیلی ۔
حل   کیونکہ حاشیائی آمدنی کل آمدنی کی شرح تبدیلی ہے جس کے یونٹ کی تعداد کے ساتھ ہمارے پاس ہے ۔
حاشیائی آمدنی 29
جب کہ x =5, MR = 6(5) + 36 = 66
اس لیے ،مطلوبہ حاشیائی آمدنی 66روپیے ہے ۔

مشق6.1

   1۔ ایک دائرہ کے رقبہ کا شرح تبدیلی نصف قطر rکو مد نظر رکھتے ہوئے معلوم کیجیے جب کہ 
(a)   سینٹی میٹرr = 3 (b)  r = 4سینٹی میٹر
   2۔ ایک کعب کا حجم مکعب سینٹی میٹر فی سیکنڈکی شرح سے بڑھ رہا ہے ۔سطحی رقبہ کس رفتار سے بڑھ رہا ہے جب کہ ایک کنارے کی لمبائی 12سینٹی میٹرہے ؟
   3۔ دائرہ کا رقبہ ایک مسلسل 3سینٹی میٹر فی سیکنڈکی رفتار سے بڑھ رہا ہے ۔معلوم کیجیے دائرہ کا رقبہ کس رفتار سے بڑھ رہا ہے جب کہ نصف قطر 10سینٹی میٹرہے ۔
   4۔ متغیر کعب کا ایک کنارہ 3سینٹی میٹر فی سیکنڈکی رفتار سے بڑھ رہا ہے ۔کعب کا حجم کس رفتار سے بڑھ رہا ہے جب کہ کنارہ 10سینٹی میٹرلمباہے ؟
   5۔ ایک پتھر ایک خاموش جھیل میں پھینکا گیا اور لہریں دائری انداز میں 5سینٹی میٹر فی سیکنڈ کی رفتار سے آگے بڑھیں ۔اس لمحہ جب کہ دائری لہر کا نصف قطر 8سینٹی میٹرہے ،بند رقبہ کس رفتار سے بڑھ رہا ہے ؟ 
   6۔ ایک دائرہ کا رقبہ 0.7سینٹی میٹر فی سیکنڈکی شرح سے بڑھ رہا ہے ۔اس کے احاطہ کے بڑھنے کی شرح معلوم کیجیے؟
   7۔ ایک مستطیل کی لمبائی 5سینٹی میٹر فی منٹ کی رفتار سے گھٹ رہی ہے اور اس کی چوڑائی 4سینٹی میٹر فی منٹ کی رفتار سے بڑھ رہی ہے جب کہ سینٹی میٹرx=8اورسینٹی میٹرy=6ہو ،تب شرح تبدیلی معلوم کیجیے(a)احاطہ،اور(b)مستطیل کا رقبہ ۔
   8۔ ایک غبارہ جو ہوا بھرنے پر ہمیشہ کرہ کی شکل میں رہتا ہے ،میں 900مکعب سینٹی میٹر فی سیکنڈ کے حساب سے ہوا ڈالی جارہی ہے ۔وہ شرح معلوم کیجیے جس سے غبارہ کا نصف قطر بڑھ رہا ہے جب کہ نصف قطر 15cmہے ۔
   9۔ ایک غبارہ جس کا نصف قطر متغیر ہے ہمیشہ کرہ کی شکل میں رہتا ہے ۔اس کے حجم کی نصف قطر کے ساتھ بڑھنے کی شرح معلوم کیجیے جب کہ بعد والا 10cmہے ۔
  10۔ ایک سیڑھی جس کی لمبائی 5میٹر ہے ایک دیوار کے سہارے کھڑی ہے ۔سیڑھی کا نیچے کا سرا دیوارسے دور 2سینٹی میٹر فی سیکنڈ کی شرح سے کھینچا گیا ۔اس کی اونچائی دیوار پر کتنی گھٹ رہی ہے جب کہ سیڑھی کے پیپر دیوار سے 4میٹر کے فاصلے پر ہیں ؟ 
  11۔ ایک ذرہ ایک منحنی 30کے ساتھ بڑھ رہا ہے ۔منحنی پروہ نقاط دریافت کیجئے جہاں–yمختص  –xمختص سے  8گنا رفتار سے بڑھ رہا ہے ۔
12۔ ایک ہوا کے بلبلے کا نصف قطر 31سینٹی میٹر فی سیکنڈشرح سے بڑھ رہا ہے ۔بلبلے کا حجم کس شرح سے بڑھ رہا ہے جب کہ نصف قطر 1سینٹی میٹرہے ؟
  13۔ ایک غبارہ ،جو کہ ہمیشہ کرئی شکل میں رہتا ہے کا متغیر قطر32ہے اس کے حجم کی تبدیلی کی شرح xکے ساتھ معلوم کیجیے۔
  14۔ ایک پائپ سے ریت 12مکعب سینٹی میٹرفی سیکنڈ شرح سے باہر آرہا ہے ۔گرتا ہو ریت زمین پر ایک مخروط شکل اس طرح بنادیتا ہے کہ مخروط کی اونچائی ہمیشہ اس کے اساس کے نصف قطر کاچھٹا حصہ ہے ۔ریت کے مخروط کی اونچائی کتنی تیزی سے بڑھ رہی ہے جب کہ اس کی اونچائی 4سینٹی میٹرہے ؟
  15۔ کل قیمت C(x)روپیوں میں ایک شئے کے xیونٹ کی پیداوار پر مبنی ہے ۔جو کہ دیا گیا ہے
33
17یونٹ کی پیداوار کی حاشیائی قیمت معلوم کیجیے ۔
  16۔ ایک شئے کے xیونٹ کی فروخت سے کل حاصل شدہ رقم روپیوں میں اس طرح دی گئی ہے ۔
34
حاشیائی رقم معلوم کیجیے جب کہ x = 7ہے ۔
سوال7اور 18میں صحیح جواب چنیے ۔
  17۔ ایک دائرہ کا رقبہ کی اس کے نصف قطر کو مد نظر رکھتے ہوئے شرح تبدیلی معلوم کیجیے جب کہ r = 6سینٹی میٹرہے ۔
35
  18۔ ایک شئے کے xیونٹ کی فروخت سے کل حاصل شدہ رقم روپیوں میں اس طرح دی گئی ہے ۔
حاشیائی رقم جب کہ x =15ہے ۔
(A)  116 (B)  96 (C)  90 (D)   126

6.3بڑھتے اور گھٹتے ہوئے تفاعلات

اس سیکشن میں یہ معلوم کرنے کے لیے تفرق کا استعمال کریں گے کہ کیا تفاعلات بڑھ رہا ہے یا گھٹ رہا ہے یا کچھ نہیں ہو رہا ہے ۔
تفاعلf پر غور کیجیے جو کہ 36 سے دیا گیا ہے ۔اس تفاعل کا گراف ایک مکانی ہے جو کہ شکل 6.1میں دیا گیا ہے 
37
پہلے ہم مبداء سے دائیں طرف کے گراف (شکل6.1) پر غور کریں گے ۔اس کا مشاہدہ کیجیے کہ ہم گراف کے ساتھ بائیں سے دائیں چلتے ہیں ،گراف کی اونچائی لگاتار بڑھ رہی ہے ۔اس وجہ کے لیے حقیقی اعداد x > 0کے لیے کہا گیا ہے کہ تفاعل بڑھ رہا ہے ۔
اب غور کیجیے کہ گراف مبداسے بائیں طرف ہے اور یہاں مشاہدہ کیجئے کہ ہم گراف کے ساتھ بائیں سے دائیں طرف چلیں ،گراف کی اونچائی لگاتار گھٹ رہی ہے ۔نتیجتاً کہاجاتا ہے کہ حقیقی اعدادx < 0کے لیے تفاعل گھٹ رہا ہے ۔
اب ہمیں ذیل تحلیلی تعریفیں دینی چاہتے ہیں ایک تفاعل کے لیے جو ایک وقفہ پر بڑھ یا گھٹ رہا ہے ۔
تعریف  1 مان لیجیے 1ایک کھلا ہوا وقفہ ہے جو کہ ایک حقیقی قدر والے تفاعل fکے حلقہ میں موجودہے۔ تبf کو کہا جاتا ہے ۔
 
 38
39
اس طرح کے فنکشن کو گراف کے ذریعہ دکھانے کے لیے شکل6.2 دیکھیے۔ 
اب ہم بیان کریں گے جب کہ ایک فنکشن ایک نقطہ پر بڑھ رہا یا گھٹ رہا ہے ۔
40
تعریف2   مان لیجیے ایک حقیقی قدر والے فنکشن fکی تعریف کے علاقہ میں41ایک نقطہ ہے ۔تب یہ کہا جاتا ہے کہ f بڑھ رہاہے ،گھٹ رہا ہے 41پر اگرایک کھلا ہوا وقفہ Iجس میں41 شامل ہے تاکہ f بالترتیب بڑھ رہا ہے ،گھٹ رہا ہے Iمیں ہمیں اس تعریف کی صفائی دینی ہے بڑھتے ہوئے فنکشن کے مسئلہ میں 
مثال7   دکھائیے کہ فنکشن fجو کہ f(x)=7x – 3سے دیا گیا ہے Rپر بڑھ رہا ہے ۔
حل  مان لیجیے42میں دو اعداد ہیں ۔تب 
43
اس طرح ،تعریف 1سے یہ نکلتا ہے کہ Rپر fسختی سے بڑھ رہا ہے ۔
اب ہمیں بڑھتے ہوئے ور گھٹتے ہوئے فنکشن کے لیے پہلے مشتق جانچ کو دیا جائے ۔اس جانچ کے ثبوت کے لیے درمیانہ قدر مسئلہ درکار ہے جو کہ باب 5میں پڑھا ہے ۔
مسئلہ 1  مان لیجیے  44پر مسلسل ہے اور کھلے ہوئے وقفہ (a,b)پر تفرق پذیر ہے ۔تب
(a) [a,b] , f میں بڑ ھ رہا ہے اگر f¢(x) > 0ہے ہرایک x Î (a, b)کے لیے 
   (b)  [a,b], fمیں گھٹ رہا ہے اگر f¢(x) < 0ہے ہر ایک x Î (a, b)کے لیے 
   (c) [a,b]میں fمستقل فنکشن ہے اگر f¢(x) = 0ہے ہر ایک x Î (a, b)کے لیے 
ثبوت (a) مان لیجیے 45
تب درمیانی قدر مسئلہ (باب 5میں مسئلہ 8) 46کے درمیان ایک نقطہ موجود ہے تاکہ 
47
اس لیے [a,b]میں fایک بڑھتا ہوا فنکشن ہے ۔ 
حصہ (b)اور(c)ایک جیسے ہیں ۔یہ پڑھنے والے کے لیے ایک مشق کے طور پر چھوڑا گیا ہے ۔
ریمارکس 
   (i)  یہاں ایک تعمیم شدہ مسئلہ ہے جس کی رو سے اگر x کسی کھلے وقفہ میں مسلسل ہے تو وہ f1(x) ۔ تب f بڑھتا ہوا تفاعل ہے۔ اسی طر ح سے اگر x کسی کھلے وقفہ میں مسلسل ہے تو fi(x)>0 تب f ایک گھٹتا ہوا تفاعل ہے۔
   مثال8   دکھائیے کہ فنکشن fجو کہ دیا گیا ہے ۔
48
مثال9   ثابت کیجیے کہ فنکشن جو کہ f (x) = cos x   دیا گیا ہے ۔
   (a) گھٹ رہا ہے 49میں
(b) بڑھ رہا ہے (p,2p)میں اور 
   (c) نہ تو بڑھ رہا ہے اور نہ ہی گھٹ رہا ہے (0,2p)
حل  نوٹ کر لیجیے کہ f¢(x) = – sin x
    (a) کیونکہ ہر ایک x Î (0, p)کے لیے sin x > 0،ہمارے پاس ہے f '(x)<0اوراس لیے f کم ہورہا ہے (0, p)
   (b) کیونکہ ہرا یک x Î(p,2p)کے لیے sin x < 0،ہمارے پاس ہے f '(x) > 0اور اس لیے f   بڑھ رہا ہے (p, 2p)
   (c) صاف طور پر اوپر کے (a)ور(b)سے ،fنہ تو بڑھ رہا ہے اور نا ہی کم ہو رہا ہے (0, 2p)میں ۔
مثال10  وہ وقفہ معلوم کیجیے جن میں فنکشن fجو کہ دیا گیا ہے f(x) = x2 – 4x + 6سے
(a)   بڑھ رہا ہے ۔ (b)  کم ہو رہا ہے 
حل  ہمارے پاس ہے ۔
50
اس لیے f '(x) = 0دیتا ہے x = 2،اب نقطہ x = 2حقیقی خط کو دو مختلف وقفوں میں بانٹتا ہے جن کے نام ،(– ¥, 2)اور (2,¥)ہیں (شکل6.3) وقفہ (– ¥, 2)میں f '(x) = 2x – 4 < 0ہے ۔
اس لیے ،اس وقفہ میں f کم ہو رہا ہے ۔ساتھ ہی ،وقفہ51ہے ۔اور اس لیے فنکشن f   بڑھ رہا ہے ۔
مثال11   وہ وقفے معلوم کیجیے جن میں فنکشن fجو کہ دیا گیا ہے ،52سے (a)  بڑھ رہا ہے (b) گھٹ رہا ہے ۔
حل   ہمارے پاس ہے 
53
54
اس لیے  f'(x) = 0دیتا ہے x = – 2, 3نقاط x = – 2اورx = 3 حقیقی خط کو تین مختلف وقفوں میں بانٹتے ہیں ،جن کے نام ہیں ،(– ¥, – 2), (– 2, 3)اور(3, ¥)
(– ¥,–2)اور(3,¥),وقفوں میں f'(x)مثبت ہے جب کہ وقفہ (–2,3)میں f'(x)منفی ہے ۔نتیجتاً ،فنکشن fوقفوں (–¥,–2)اور(3, ¥)میں بڑھ رہا ہے جب کہ فنکشن وقفہ (– 2, 3)میں کم ہو رہا ہے ۔حالانکہ Rمیں فنکشن نہ تو بڑھ رہا ہے اور نہ ہی گھٹ رہا ہے ۔
55
مثال12  وہ وقفہ معلوم کیجیے جن میں فنکشن جو کہ دیا گیا ہے56گھٹ رہا ہے ۔
57
حل  ہمارے پاس ہے 
58
اس لیے  f '(x) = 0دیتا ہے cos 3x = 0جو کہ پلٹ میں دیتا ہے59کا مطلب ہے
60
62
مثال13   وہ قفہ دریافت کیجیے جس میں فنکشن fجو کہ دیا گیا ہے ۔
f(x) = sin x + cos x, 0 £ x £ 2p
 بڑھ رہا ہے یا کم ہو رہا ہے 
حل   ہمارے پاس ہے 
f(x) =sin x + cos x,
یا f '(x) =cos x – sin x
63
64
65
66

مشق6.2

   1۔ دکھائیے کہ فنکشن جو کہ دیا گیا ہے f (x) = 3x + 17 سےRمیں بڑھ رہا ہے ۔
   2۔ دکھائیے کہ فنکشن جو کہ دیا گیا ہے67سے Rمیں بڑھ رہا ہے ۔
   3۔ دکھائیے کہ فنکشن جو کہ دیا گیا ہے f (x) = sin xسے 
(a)    بڑھ رہا ہے68میں (b) کم ہو رہا ہے69میں 
(c)   (0, p)میں نہ تو بڑھ رہا ہے اور نہ ہی گھٹ رہا ہے ۔
   4۔ وہ وقفہ معلوم کیجیے جس میں فنکشن fجو کہ دیا گیا ہے70
(a)    بڑھ رہا ہے (b)   گھٹ رہا ہے ۔
   5۔ وہ وقفہ معلوم کیجیے جس میں فنکشن fجو کہ دیا گیا ہے 71
(a)    بڑھ رہا ہے (b)   کم ہو رہا ہے ۔
   6۔ وہ وقفہ معلوم کیجیے جن میں ذیل فنکشن یا تو سختی سے بڑھ رہے ہیں یاکم ہو رہے ہیں ۔
72
73
7 - دکھائیے کہ74اپنے پورے علاقے میںxکا بڑھتا ہوا فنکشن ہے ۔
   8۔ xکی وہ قدر معلوم کیجیے جس کے لیے75ایک بڑھتا ہوا فنکشن ہے ۔
   9۔ ثابت کیجیے کہ76میں ایک بڑھتا ہوافنکشن ہے ۔
  10۔ ثابت کیجیے کہ لوگارتمی فنکشن (0, ¥)میں سختی سے بڑھ رہا ہے ۔
  11۔ ثابت کیجیے کہ فنکشن جو کہ دیا گیا ہے 77پر نہ تو بڑھ رہا ہے اور نہ ہی گھٹ رہا ہے ۔
  12۔ ذیل میں کون سے فنکشن78پر کم ہو رہے ہیں ؟
(A)   cos x (B)    cos 2x (C)    cos 3x (D)   tan x
  13۔ ذیل میں کون سے وقفوں پر فنکشن fجو کہ دیا گیا ہے79سے گھٹ رہا ہے ؟
(A)  (0,1)   (B) 80(D)  ان میں سے کوئی بھی نہیں 
  14۔ aکی کس قدر کے لیے تفاعل fجو کہ دیاگیا ہے81وقفہ (1,2)پر بڑھ رہا ہے ؟
  15۔ مان لیجیے Iایک وقفہ ہے جو کہ (–1,1)کے علاوہ ہے ۔ثابت کیجیے کہ فنکشن fجو کہ دیا گیا ہے82سے سختی سے Iپر بڑھ رہا ہے ۔
  16۔ ثابت کیجیے کہ فنکشن fجو کہ  f(x) = log sin xسے دیا گیا ہے83پر بڑھ رہا ہے اور84پر کم ہو رہا ہے۔
  17۔ ثابت کیجیے کہ فنکشن fجو کہ دیا گیا ہے f(x) = log cos xسے85
18۔ ثابت کیجیے کہ فنکشن fجو کہ دیاگیا ہے 86،Rمیں بڑھ رہا ہے ۔
  19۔ وہ وقفہ جس میں87ہے بڑھ رہا ہے ۔
(A)   (– ¥, ¥) (B)    (– 2, 0) (C)    (2, ¥) (D)   (0, 2)

6.4مماس اور نارمل 

اس سیکشن میں ہم تفرق کا استعمال منحنی کے ایک دئے ہوئے نقطے پر مماس خط اور نارمل خط کی مساوات معلوم کرنے کے لیے کریں گے ۔
اسے یاد کیجیے کہ ایک سیدھے خط کی مساوات جس کا سلوپ mہے اور جو کہ دیئے ہوئے نقطے88سے گزرر ہی ہے اور دی ہوئی ہے ۔
89
یہ نوٹ کر لیجیے کہ مماس کا سلوپ منحنی90کے ایک نقطے91پر اس سے دیا گیا ہے92اس طرح مماس کی مساوات کی y = f (x)کے لیے93پر اس طرح دی گئی ہے ۔
94
95
ساتھ ہی کیونکہ نارمل مماس پر عمود ہے، نارمل کا سلوپ منحنی y = f(x)کے نقطہ96پر دیا گیا ہے97سے
98ہے ۔اس لیے نارمل کی مساوات منحنی y = f (x)کے نقطہ99پراس طرح دی گئی ہے ۔
100

نوٹ  اگر ایک مماس خط منحنی y = f (x)پر x-axisکے ساتھ مثبت سمت میں یعنی qکا زاویہ بناتا ہے ،تب101

کا سلوپ102

خاص مرحلے (کیس)

(i) اگر مماس خط کا سلوپ صفر ہے ،تب tan q = 0،اور اس لیے  q = 0ہے جس کا مطلب ہے مماس خط x-axis(محور) کے متوازی ہے اس کیس میں ،مماس کی مساوات نقطہ103سے دی گئی ہے ۔
    (ii)  اگر104ہے ،تب q ® ¥جس کا مطلب ہے مماس خط –xمحور پر عمود ہے ،یعنی –yمحور کے متوازی ہے ۔ اس کیس میں مماس کی مساوات
105سے دی گئی ہے (کیوں)۔
مثال14   مماس کا سلوپ منحنی 106کے لیے نقطہ x = 2پر معلوم کیجیے ۔
حل  مماس کا سلوپ x=2پر دیا گیا ہے ۔
107
مثال15   وہ نقطہ معلوم کیجیے جس پرمنحنی 108پر مماس کا سلوپ109ہے

حل   نقطہ (x , y)پر دی ہوئی منحنی کا سلوپ ہے ۔
110
مثال 16    ان تمام خطوط کی مساواتیں معلوم کیجیے جن کا سلوپ 2ہے اور جو منحنی111پر مماس ہیں ۔
حل   دیے ہوئے نقطہ (x,y)پر دی ہوئی منحنی کا سلوپ اس طرح دیا گیا ہے ۔
112
لیکن سلوپ 2دیا ہوگا ۔اس لیے 
113
اب x = 2،y = 2دیتا ہے ،اس طرح سلوپ 2کے ساتھ دو مماس میں دئیے ہوئی منحنی کے لیے اور نقاط (2,2)اور (4,–2) سے گزر رہا ہے ۔مماس کی مساوات جو (2,2)سے ہو کر گزر ہی ہے یہ ہے 
   y – 2 = 2(x – 2)
یا      y – 2x + 2 = 0
اور مماس کی مساوات (4,–2)سے ہو کر گزررہی ہے، دیا ہوا ہےy–(–2)=L(x–4)
 یا y–2x+10=0
مثال17 منحنی114پر نقاط معلوم کیجیے جہاں مماس (i)  –xمحور کے متوازی ہے (ii) –y   محور کے متوازی ہے۔ 
حل  xکو مد نظر رکھتے ہوئے115کا تفرق کیجئے ،ہمیں حاصل ہوتا ہے 
116
(i) اب مماس –xمحو کے متوازی ہے اگر مماس کا سلوپ صفر ہے جودیتا ہے 117یہ ممکن ہے اگر x = 0ہے ۔ تب x = 0کے لئے 
118
اس طرح ،وہ نقاط جن پر مماس –xمحور کے متوازی ہیں (0,5)اور(0,–5)
(ii) اگر نارمل کا سلوپ 0ہے تو مماس خط –yمحور کے متوازی ہے جو دیتا ہے119ا س لیے
120ہے ،y = 0کے لیے جو دیتا ہے x = ± 2۔اس طرح وہ نقاط جن پر مماس –yمحور کے متوازی ہیں(2,0)اور(–2,0)ہے ۔
مثال18  مماس کی مساوات منحنی121کے لییمعلوم کیجیے ،جہاں یہ –xمحور کو کاٹتا ہے ۔
حل  نوٹ کیجیے کہ –xمحور پر ،y = 0ہے اس لیے منحنی کی مساوات جب کہ y = 0ہے ،x = 7دیتا ہے ۔اس لیے منحنی –xمحور کو (7,0)پر کاٹتا ہے ۔اب xکو مدنظر رکھتے ہوئے مساوات کا تفرق کرنے پر ،ہمیں حاصل ہوتا ہے ۔
122
اس لیے مماس کا اسلوب (7,0)پر123ہے ۔اس طرح مماس کی مساوات نقطہ (7,0)پر ہے ۔
124
مثال19   مماس اور نارمل کی مساواتیں منحنی125کے لیے (1,1)پر معلوم کیجیے۔
حل126کی مناسبت سے تفرق کیجیے،ہمیں حاصل ہوتا ہے
127
اس لییے مماس کا سلوپ (1,1)پر ہے128
اس طرح مماس کی مساوات (1,1)پر دی گئی ہے ۔
129
130


اس لیے نارمل کی مساوات (1,1)پر ہے ۔
y – 1 = 1 (x – 1) یا y – x = 0
مثال20   مماس کی مساوات دی ہوئی منحنی کے لیے دریافت کیجیے جو کہ دی گئی ہے ۔
131
حل  (1) کو t کی مناسبت سے تفرق کرنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے ۔
132
ساتھ ہی جب کہ133،x = aاورy = 0ہے ۔اس لیے مماس کی مساوات دی ہوئی 134یعنی ،(a,0) پر مماس کی مساوات ہے 
y = 0یعنی y – 0 = 0(x – a),

مشق6.3

    1۔ منحنی 135کے نقطہ x = 4پر مماس کا سلوپ معلوم کیجیے ۔
    2۔ منحنی136کے نقطہ x = 10پر مماس کا سلوپ معلوم کیجیے ۔
3۔ منحنی 137کے اس نقطہ پر جس کا –xمختص2 ہے پر مماس کا سلوپ معلوم کیجیے ۔
    4۔ منحنی 138کے اس نقطہ پر جس کا –xمختص 3ہے ۔پر مماس کا سلوپ معلوم کیجیے ۔

      5۔ منحنی 139پر نارمل کا سلوپ معلوم کیجیے۔
    6۔ وہ منحنی        140پر نارمل کاسلوپ معلوم کیجیے۔
    7۔ وہ نقاط معلوم کیجیے جن پر منحنی141کا مماس –xمحور کے متوازی ہے ۔
    8۔ منحنی 142پر ایک نقطہ معلوم کیجیے جس پر مماس اس قوسی وتر کے متوازی ہے جو نقاط (2,0)اور(4,4)سے مل کر بنا ہے ۔
    9۔ منحنی 144پر وہ نقطہ معلوم کیجیے جس پر مماس y = x – 11ہے ۔
   10۔ ان تمام خطوط کی مساوات معلوم کیجیے جن کا سلوپ –1ہے اور جو کہ منحنی145،x ¹ 1پر مماس ہے ۔
11۔ ان تمام خطوط کی مساوات معلوم کیجیے جن کا سلوپ 2ہے اور جو کہ منحنی 146

12۔ ان تمام خطوط کی مساوات معلوم کیجیے جن کا سلوپ 0ہے اور جو کہ مماس 147

13۔ منحنی 148پر وہ نقطہ معلوم کیجیے جہاں مماس

(i)  –xمحور کے متوازی ہیں (ii) –yمحور کے متوازی ہیں ۔

   14۔ مماس اور نارمل کی مساواتیں دئے ہوئے منحنی کے سامنے دیے گیے نقطوں پر معلوم کیجیے ۔

149

   15۔ منحنی 150کے لیے مماس کی مساوات معلوم کیجیے جو کہ 

(a)  خط 2x – y + 9 = 0پر متوازی ہے 

(b)  خط 5y – 15x = 13پر عمود ہے ۔

   16۔ دکھائیے کہ مماس ،منحنی151کے ان نقطوں پر جہاں x = 2اورx = –2ہے متوازی ہیں ۔

   17۔ منحنی152پر وہ نقاط معلوم کیجیے جہاں مماس کا سلوپ –yمختص کے برابر ہے ۔
   18۔ منحنی153کے لیے تمام نقاط معلوم کیجیے جہاں مماس مبدا سے گزر رہا ہے ۔
   19۔ منحنی 154پر وہ نقاط معلوم کیجیے جہاں مماس –xمبدا کے متوازی ہے ۔
   20۔ منحنی155کے لیے نارمل کی مساوات نقطہ156پر معلوم کیجیے ۔
   21۔ منحنی157کیلیے نارمل کی مساوات معلوم کیجیے جو کہ خط x + 14y + 4 = 0کے  متوازی ہے ۔
   22۔ مکانی158کے لیے مماس اور نارمل کی مساواتیں معلوم کیجیے۔
   23۔ ثابت کیجیے کہ منحنی159زاویہ قائمہ پر کاٹتے ہیں اگر160
24۔ زائد 161کے لیے مماس اور نارمل کی مساواتیں معلوم کیجیے نقطہ162
25۔ منحنی 163کے لیے مماس کی مساوات معلوم کیجیے جو کہ خط164

مشق26تا27میں صحیح جواب چنئے 

   26۔ منحنی 165کے لیے نقطہ x = 0پر نارمل کا سلوپ ہے ۔
167

6.5تقرب (Approximations)

اس باب میں ہم تفرق کا استعمال کچھ اشیاء کی تفرق قدریں معلوم کرنے کے لیے کریں گے ۔

مان لیجیے f :D®R,DÌR،ایک دیا ہواتفاعل ہے اور مان لیجیے y=f(x)ہے مان لیجیے Dxمیں ایک چھوٹے اضافہ کو ظاہر کرتا ہے ۔اسے یاد کیجیے کہ yمیں آضافہ xمیں اضافہ کے مطابق Dyسے ظاہر کیا گئی ہے ۔جو Dy=f(x+ Dx)–f(x)سے دیا گیا ہے۔ہم ذیل کو بیان کرتے ہیں ۔

   (i)  yکا تفرق,dyسے ظاہر کیا جاتا ہے ،جو کہ dx = Dxسے بیان کیا گیا ہے ۔

   (ii)  yکا تفرق dyسے ظاہر کیا جاتا ہے ،جو کہ dy = f¢(x)dxیا1

سے بیان کیا جاتا ہے 
اس حال میں جب dx = Dxاضافی طور پر چھوٹا ہے xکے ساتھ موازنہ کرنے پر dy،Dyکا اچھا تقرب ہے اور ہم اسے dy » Dyسے ظاہر کرتے ہیں ۔
Dx, Dy,  dxاورdyکے جیومیٹریائی مطلب کے لیے کوئی شکل6.8کا حوالہ دے سکتا ہے ۔
نوٹ شکل6.8اور اوپر کے بحث ومباحثہ کو مد نظر رکھتے ہوئے ہم یہ نوٹ کر سکتے ہیں کہ تابع متغیر کا تفرق متغیر میں اضافہ کے برابر نہیں ہے جہاں آزاد متغیر کا تفرق ،متغیر میں اضافہ کے برابر ہے ۔
2
مثال21    تفرق کا استعمال کر کے 3کاتقرب کرو ۔
حل4لیجیے ۔مان لیجیے x = 36اورD x = 0.6ہے ۔تب
5
یا ٍٍ �
اب dyتقریباً Dyکے برابر ہے جو کہ دی گئی ہے ۔
6
مثال 22 7کی تقریباًقدرمعلوم کرنے کے لیے تفرقہ کا استعمال کریں ۔
حل  مان لیجیے 8ہے ۔مان لیجیے x = 27اورDx = – 2ہے ۔تب
9
اس طرح10کی تقریباً قدر 3 + (– 0. 074) = 2.926سے دی گئی ہے ۔
مثال23   f(3.02)کی تقریباً قدر معلوم کیجیے جہاں11
حل  مان لیجیے x = 3اورDx = 0.02ہے ۔تب
12
مثال24   ایک کعب جس کا ضلع xمیٹر ہے کے حجم میں تقریباً تبدیلی معلوم کیجیے جو کہ اس کے ضلع میں 2فیصدی اضافہ سے ہوا ہے ۔
حل  نوٹ کیجیے کہ 
13
اس طرح حجم میں تقریب تبدیلی14مکعب سینٹی میٹرہے ۔
مثال25   اگر ایک کرہ کا نصف قطر 9سینٹی میٹرماپا گیا ہو ،غلطی 0.03سینٹی میٹرکے ساتھ ،تب اس کے حجم کا حساب لگانے میں تقریباً غلطی معلوم کیجیے ۔
حل   مان لیجیے کرہ کا نصف قطر rہے اور اس کا نصف قطر ماپنے میں غلطی Dxہے ۔تب r = 9سینٹی میٹراورDr = 0.03سینٹی میٹراب کرہ کا حجم Vدیا گیا ہے ۔
15
اس لیے حجم کا حساب لگانے میں تقریباً قدر 9.27pمکعب سینٹی میٹرہے ۔

مشق6.4

   1۔ تفرقہ کا استعمال کر کے ذیل میں ہر ایک کی تقریباً قدر اعشاریہ کے 3درجوں تک کو معلوم کیجیے ۔
16
17
4۔ ایک کعب جس کا ضلع xمیٹر ہے کے حجم Vکی تقریب میں بدلاؤ معلوم کیجیے جو کہ اس کے ضلع 1%اضافہ سے ہوئی ہے۔
   5۔ ایک کعب جس کا ضلع xمیٹر ہے کے سطحی رقبہ کی تقریب میں بدلاؤ معلوم کیجیے جو کہ اس کے ضلع میں 1%کے گھٹنے سے ہوئی ہے 
   6۔ اگر ایک کرہ کا نصف قطر 7میٹر ناپا گیا ہے جس میں 0.02mکی غلطی ہے ،تب اس کا حجم کے حساب لگانے میں تقرب غلطی معلوم کیجیے ۔
   7۔ اگرایک کرہ کا نصف قطر 9میٹر ناپا گیا ہے جس میں 0.03mکی غلطی ہے ،تب اس کا سطحی رقبہ لگانے میں قریب غلطی معلوم کیجیے ۔
   8۔ اگر 18ہے ،تب f(3.02)کی تقریباً قدر ہے ۔
(A)  47.66 (B)   57.66 (C)   67.66 (D)   77.66
   9۔ ایک مکعب جس کا ضلع xمیٹر ہے اس کے حجم میں اس کا اضلاع 3%بڑھانے سے تقریب جیسا بدلا ؤ ہوا ہے وہ اس طرح ہے۔
19

6.6اعظم قدریں اور قلیل قدریں 

اس سیکشن میں ہم مشتق کے تصور کا استعمال مختلف تفاعلات کی ا عظم اور قلیل قدریں معلوم کرنے کے لیے کریں گے ۔حقیقت میں ہم ایک تفاعل کے گراف پر نقطۂ عطف معلوم کریں گے اور اس طرح ان نقاط کو معلوم کریں گے جہاں گراف اپنی سب سے اونچے (یا سب سے نیچے) مقام پر ہو ۔اس طرح کے نقاطکا علم  تفاعل کا گراف بنانے میں بہت مدد گار ثابت ہوگا۔اس کے آگے ،ہم ایک تفاعل کی عظیم مطلق قدریں اور قلیل قدریں معلوم کریں گے جو کہ بہت سے اطلاقی مسئلوں کو حل کرنے میں ضروری ہیں ۔
ہمیں ذیل مسئلوں پر غور کرنا چاہیے جو ہماری روز مرہ زندگی میں آتے ہیں ۔
    (i) سنترے کے پیڑوں سے ہوا فائدہ 20سے دیا گیا ہے ،جہاں a,bمستقلہ ہیں اور xایک ایکڑ میں سنترے کے پیڑوں کی تعداد ہے ۔ایک ایکڑ میں کتنے پیڑ منافع کو اعظم ترین کر سکتے ہیں ؟ 
   (ii) ایک گیند کو 60میٹر اونچی عمارت سے ہوا میں پھینکا گیا ہے ،یہ ایک راستے کے ساتھ سفر کرتی ہے جو دیا گیا ہے 
21سے جہاں xعمارت سے افقی فاصلہ ہے اور h(x)گنبد کی اونچائی ہے ۔گیند زیادہ سے زیادہ کتنی اونچائی تک پہنچے گی ؟
   (iii) دشمن کا ایک اپاچی ہیلی کاپٹر منحنی22کے دئیے ہوئے راستے کے ساتھ اڑ رہا ہے ۔ایک سپاہی جو کہ نقطہ (1,2)پرتعینات ہے اسے مارنا چاہتا ہے جب کہ یہ اس کے سب سے قریب ہو ۔قریب سے قریب فاصلہ کیا ہوگا؟ 
اوپر کے ہر ایک مسئلہ میں کچھ مشترک ہے ،یعنی ہم دیے ہوئے فنکشن کی اعظم یا قلیل قدریں معلوم کرنا چاہتے ہیں ۔اس طرح کے مسئلوں سے حل کرنے کے لیے ،ہم پہلے ایک فنکشن کی اعظم اور قلیل قدروں کو اچھے طریقے سے بیان کریں گے،اعظم قدروں اور قلیل قدروں کے علاقائی نقاط اور اس طرح کے نقاط معلوم کرنے کے لیے طریقے ۔
تعریف 3    مان لیجیے fایک تفاعل ہے جو وقفہ Iپر معرف ہے ۔تب 
   (a) f کی Iمیںاعظم قدر ہوگی ،اگر Iمیں ایک نقطہ Cموجود ہے اس طرح کہ23،تمام x Î Iکے لیے ۔
عدد f(c)،fکی Iمیں اعظم قدر کہلاتی ہے اور نقطہ C،fکا Iمیں اعظم قدر والا نقطہ کہلاتا ہے ۔
   (b) fکی Iمیں قلیل قدر ہوگی ،اگرIمیں ایک نقطہ Cموجود ہے تاکہ f(c) £ f(x)ہے ،تمام x Î Iکے لیے۔
عددf(c)،fکی Iقلیل قدر کہلاتی ہے اور نقطہ C،fکا Iمیں قلیل قدر والا نقطہ کہلاتا ہے ۔
   (c) fکی Iمیں انتہائی قدر ہوگی ،اگرIمیں ایک نقطہ Cموجود ہے تاکہIمیں fکی f(c)یا تو عظیم قدر ہے یا قلیل قدر ہے ۔
اس کیس میں عددf(c)،fکی Iمیں انتہائی قدر کہلاتی ہے اور نقطہ Cانتہائی نقطہ کہلاتا ہے ۔
ریمارک  شکل 6.9(a)،(b)اور(c)میں ہم نے یہ دکھایا ہے کہ کچھ خاص تفاعلات کے گراف ایک نقطہ پر اعظم قدریں اور قلیل قدریں معلوم کرنے میں ہماری مدد کرتے ہیں ۔حقیقت میں ،گراف کے ذریعہ ایک تفاعل کی ہم اعظم قدر ،قلیل قدریں بھی معلوم کر سکتے ہیں ایک نقطہ پر جہاں تفاعل تفرق پذیر بھی نہیں ہے (مثال 27) ۔
24
مثال26  تفاعل fکی اعظم قدریں اور قلیل قدریں معلوم کیجیے،اگر ہیں ،جو کہ دیا گیا ہے 25
حل دیے ہوئے فنکشن کے گراف سے (شکل 6.10) ،ہمارے پاس ہے f(x) = 0،اگر x = 0ہے ساتھ ہی 
f(x) ³ 0تمام x Î Rکے لیے 
اس لیے fکی قلیل قدر 0ہے اورfکی قلیل قدر کا نقطہ x = 0ہے ۔اس کے بعد گراف سے اس کا مشاہدہ کیا جا سکتا ہے کہ f کی کوئی عظیم قدر نہیں ہے اور اس لیےfکا کوئی بھی نقطہ Rمیں عظیم قدر نہیں رکھتا ۔
26
27

نوٹ اگر ہم fکے علاقہ کو [–2,1]تک محدود رکھیں ،تب ہی f کی عظیم قدر رکھے گا28

مثال27   f کی عظیم اور قلیل قدریں معلوم کیجیے ،اگر کوئی ہیں ،جو فنکشن دیا گیا ہے وہ ہے  f(x) = |x|, x Î R
حل   دیے ہوئے فنکشن کے گراف سے (شکل6.11) نوٹ کیجیے ،
f(x) ³ 0،تمام x Î Rاورf(x) = 0کے لیے اگر  x = 0ہے ۔
اس لیے فنکشن fقلیل قدر 0رکھتا ہے اورfکا قلیل قدر کا نقطہx = 0ہے ۔ ساتھ ہی گراف صاف طور سے دکھاتا ہے کہ f کی Rمیں عظیم قدر نہیں ہے اور اس لئے Rمیں عظیم قدر کا کوئی نقطہ نہیں ہے

نوٹ 

     (i) اگر ہم fکا علاقہ صرف[–2,1]تک محدود کریں ،تب fکی عظیم قدر ہوگی |–2| = 2

  (ii) یہ نوٹ کیا جا سکتا ہے کہ مثال27میں فنکشن f،x = 0پر تفرق پذیر نہیں ہے ۔

مثال28   فنکشن f(x) =x, x Î (0, 1)کی عظیم اور قلیل قدریں معلوم کیجیے،اگر کوئی ہیں ۔
حل  دیا ہوا فنکشن ایک بڑھتا ہوا (منحنی سے ) فنکشن ہے دیے ہوئے وقفہ (علاقہ ) (0,1)میں فنکشن fکے گراف(شکل6.12) سے،اس کی قلیل قدر0کے قریب نقطہ پر ہونی چاہیے اپنے دائیں طرف اور عظیم قدر کے قریب نقطہ پر اپنے بائیں طرف ۔کیا اس طرح کے نقاط موجود ہیں ؟ بالکل نہیں ،ایسے نقاط کا دیکھنا (تلاش) کرنا ممکن نہیں ہے ۔حقیقت میں اگر ایک نقطہ
29کے سب سے قریب ہے ،تب ہم نکالتے ہیں30کے لیے 
اس لیے دیا ہوا فنکشن (0,1)میں نہ تو عظیم قدر رکھتا ہے اور نہ ہی قلیل قدر 
31
ریمارک  پڑھنے والا مثال 28میں یہ مشاہدہ کر سکتا ہے کہ ،اگر ہم fکے علاقہ میں 0اور 1شامل کرلیں ،یعنی ۔،اگر ہم fکے علاقہ کو [0,1]تک بڑھا دیں تب فنکشن x = 0, fپر قلیل قدر رکھتا ہے اور عظیم قدر x = 1پر 1رکھتا ہے، حقیقت میں ہمارے پاس ذیل نتائج ہیں (ان نتائج کے ثبوت اس کتاب کی پہنچ سے باہر ہیں ) 
ہرایک یک رنگ تفاعل اپنی عظیم قدریں /قلیل قدریں اپنے علاقہ کے سرے کے نقاط پر ہوتی ہیں۔ایک اور زیادہ عام نتیجہ ہے ۔
ہر ایک مسلسل فنکشن ایک بند وقفہ پر عظیم قدر اور قلیل قدر رکھتا ہے ۔

نوٹ  یک رنگ تفاعل fسے وقفہIمیں سے ہمارا مطلب ہوتا ہے کہ یا تو f،Iمیں بڑھ رہا ہے یاIمیں گھٹ رہا ہے ۔

32
ایک فنکشن کی عظیم اور قلیل قدریں ایک بند وقفہ پر اس سیکشن میں بعد میں زیر بحث ہوں گی ۔
اب ہمیں ایک فنکشن کے گراف پر شکل6.13میں جانچ کرنی چاہیے ۔گراف کے نقاطA,B,CاورDپر غور کیجیے ،فنکشن اپنا انداز گھٹنے سے بڑھنے کی طر ف اور اس کے بر عکس بدلتا ہے ۔ان نقاط کو دیے ہوئے فنکشن کا بدلتا ہوا نقطہ کہتے ہیں ۔اس کے آگے ،مشاہدہ کیجیے کہ نقطہ بدل پر ،گراف یا تو ذرا سی اونچی پہاڑی بناتا ہے یا ذراسی کھائی ۔سادہ انداز میں ،فنکشن کی کسی پڑوس (وقفہ ) میں قلیل قدر ہے (ایک نقطے AاورCکے اساس کی اپنی جھیل میں ۔اسی طرح ،فنکشن کی کسی پڑوس (وقفہ ) میں نقاط BاورDپر جوکہ اپنی پہاڑی کی چوٹی پر ہیں ۔اسی وجہ کے لیے نقاطAاورCکو مقامی قلیل قدریں کہا جا سکتا ہے (یا نسبتاً قلیل قدریں ) اور نقاطBاورDکو مقامی عظیم قدریں (یا نسبتاً عظیم قدریں ) فنکشن کے لیے کہا جاتا ہے ۔فنکشن کی مقامی عظیم قدروں یا مقامی قلیل قدروں کو بالترتیب مقامی عظیم یا مقامی قلیل کہا جاتا ہے ۔
اب ہم اصولی طورپر مندرجہ ذیل تعریفیں دیں گے۔
تعریف 4   مان لیجیے fایک حقیقی قدر والا فنکشن اورfکے علاقہ میں cایک اندرونی نقطہ ہے ۔تب 
(a)   cمقامی عظیم قدر کا نقطہ کہلاتی ہے اگر کوئی h > 0ہے تاکہ 
f(c) ³ f(x)تمام (c – h, c + h) #c xکے لیے 
قدر f(c)کو فنکشن fکی مقامی عظیم قدر کہا جاتا ہے ۔
(b)   cمقامی قدر کا نقطہ کہلاتی ہے اگر کوئی h > 0ہے ،تاکہ 
f(c) £ f(x)،تمام (c – h, c + h)،xکے لیے
قدر f(c)کو فنکشن fکی مقامی قدر کہلاتا ہے ۔
33
جیومیٹریائی انداز میں ،اوپر کی تعریف بیان کرتی ہے کہ اگر fکی مقامی عظیم قدر پر ایک نقطہ x = cہے ،تبfکا گرافc کے ارد گرد شکل(a) 6.14میں دکھایا گیا ہے ۔یہ نوٹ کر لیجیے کہ فنکشن fوقفہ (c –h,c)میں بڑھ رہا ہے (یعنی f ' (x)>0) اور وقفہ (c, c + h)میں کم ہو رہا ہے (یعنی f ' (x) < 0)
یہ بتانا ہے کہ f ' (c)صفر ہونا ہی چاہیے ۔
اس طرح اگر fکے مقامی قلیل قدر کا Cایک نقطہ ہے ،تبfکا گراف cکے اردگرد شکل6.14(b)میں دکھایا جائے گا ۔ یہاں fوقفہ (c –h,c)میں گھٹ رہا ہے (یعنی f¢(x) < 0))اور وقفہ (c,c + h)میں بڑھ رہا ہے (یعنی f¢(x) > 0) یہ دوبارہ بتانا ہے کہf¢(c)،صفر ہونا ہی چاہیے ۔
مسئلہ 2  مان لیجیے fایک فنکشن ہے جوکہ کھلے وقفہ Iپر بیان کیا گیا ہے ۔مان لیجیے c Î Iایک کوئی بھی نقطہ ہے ۔اگر x = c پر f مقامی عظیم قدر یا مقامی قلیل قدر رکھتا ہے ،تب یا تو f¢(c) = 0پر تفرق پذیر نہیں ہے ۔
ریمارک  اوپر دئے ہوئے مسئلہ کا معکوس ضروری نہیں ہے کہ صحیح ہی ہو ،وہ یہ ہے ،ایک نقطہ جس پر مشتق ختم ہو جائے ضروری نہیں ہے کہ مقامی عظیم قدر یا مقامی قلیل قدر ہو ۔مثال کے طور پر اگر34ہے ،تباور اس طرح f¢(0) = 0ہے ،لیکن 0نہ تو مقامی عظیم قدر کا نقطہ ہے اور نا ہی قلیل قدر کا نقطہ ہے (شکل 6.15) 
35

نوٹ  فنکشن fکے علاقہ میں ایک نقطہ cجو کہ f '(c) = 0ہے تب ایک h>0موجود ہے تاکہ fوقفہ (c– h, c + h) میں تفرق پذیر ہے

اب ہم مقامی عظیم قدریں یا مقامی قلیل قدریں کے لیے نقاط معلوم کرنے کا ایک کام کرنے والا اصول دیں گے جس میں صرف پہلی ترتیب کا مشتق ہی استعمال ہوگا ۔
مسئلہ 3  پہلی مشتق جانچ (First Derivative Test)مان لیجیے fایک فنکشن ہے جو کہ کھلے ہوئے وقفہ Iپر بیان کیا گیا ہے ۔مان لیجیےIمیںفاصل نقطہ cپر fمسلسل ہے ۔تب 
   (i) اگر f ' (x)کا نشان مثبت سے منفی میں بدل جاتا ہے جیسے جیسے x،c  سے ہوتے ہوئے آگے بڑھتا ہے ،یعنی ۔،اگر f ' (x) > 0 سے ہر ایک نقطہ پر جو کہ cسے بائیں یا اس کے بہت قریب ہے ،اورf ' (x) < 0سے ہر ایک نقطہ پر جو کہ cسے دائیں یا اس کے بہت قریب ہے ،تب cایک مقامی عظیم قدروں والا نقطہ ہے ۔
   (ii) اگر f '(x)اپنا نشان منفی سے مثبت میں بدلتا ہے جیسے جیسے x،cسے ہوتے ہوئے آگے بڑھتا ہے ،یعنی ۔،اگر f '(x)سے ہرا یک نقطے پر جو کہ cسے بائیں یا اس کے بہت قریب ہے ،اور f '(x) > 0سے ہر ایک نقطہ جو کہ cسے دائیں یا اس کے بہت قریب ہے ،تب cایک مقامی قلیل قدروں والا نقطہ ہے ۔
  (iii) اگر f '(x)اپنا نشان نہیں بدلتا جیسے جیسے x،c کے ذریعے آگے بڑھتا ہے ۔تب cنا تو مقامی عظیم قدروں کا نقطہ ہے اور نہ مقامی قلیل قدروں کا ۔حقیقت میں اس طرح کے نقطہ کو موڑ کے نقطے کہتے ہیں ۔(شکل6.15) 

نوٹ  اگر c،f  کا مقامی عظیم نقطہ ہے ،تب f(c)،f کی مقامی عظیم قدر ہے ۔اسی طرح اگر c،fکا مقامی قلیل قدرکا نقطہ ہے ۔ تب f(c)،f کی مقامی قلیل قدر ہے ۔

شکل 6.15اور6.16جیومیٹریائی انداز میں مسئلہ 3کو سمجھاتی ہے ۔
36
مثال29   ایک فنکشن کی تمام مقامی عظیم قدریں اور مقامی قلیل قدریں معلوم کیجیے جو کہ دیا گیا ہے ۔
37
حل   ہمارے پاس ہے 
38
یا       f ¢(x) = 3x2 – 3 = 3(x – 1) (x + 1)   
یا x = 1اورx = – 1پر f '(x) = 0
یہ نوٹ کر لیجیے کہ ان قدروں کے لیے جو 1کے قریب ہیں اور1کے دائیں طرف ہیں ،f '(x) > 0اور وہ قدریں جو 1کے قریب ہیں یا1کے بائیں طرف ہیں ، f '(x) < 0۔اس لیے پہلے مشتق جانچ سے x = 1مقامی قلیل قدر کا نقطہ ہے اور اس کی مقامی قلیل قدر کا نقطہ ہے اور اس کی مقامی قلیل قدر f(1) = 1ہے ۔x = –1کے کیس میں یہ نوٹ کر لیجیے کہ f '(x) > 0 ہے ان قدروں کے لیے جو ( –1)کے قریب یا اس کے بائیں ہیں اور f '(x) < 0 ہے ،ان قدروں کے لیے جو (–1)کے قریب یا اس کے دائیں ہیں ۔اس لیے پہلے مشتق جانچ سے ،x = –1مقامی عظیم قدر کا نقطہ ہے اور اس کی مقامی عظیم قدر  f(–1) = 5ہے ۔
39
مثال30    فنکشن fکی تمام مقامی عظیم قدروں اور مقامی قلیل قدروں کے نقاط معلوم کیجیے جو کہ دیا گیا ہے ۔
40
حل   ہمارے پاس ہے 
41
42
اس طرح x = 1،f کا واحدفاصل نقطہ ہے ۔اب ہم اس نقطہ کی جانچ فنکشن fکی مقامی عظیم قدر اوریا مقامی قلیل قدر کے لیے کریں گے ۔مشاہدہ کیجئے کہ f '(x) ³ 0ہے تمام x Î Rکے لیے اور خاص طور پر f '(x) > 0ہے ا ن قدروں کے لیے جو1 کے قریب ہیں اور1بائیں اور دائیں طرف ۔اس لیے پہلی مشتق جانچ سے نقطہ x = 1نا تو مقامی عظیم قدروں کا نقطہ ہے یا مقامی قلیل قدروں کا نقطہ ہے ۔اس لیے x = 1موڑ کا نقطہ 
ریمارک  یہ نوٹ کیا جا سکتا ہے کیونکہ مثال30میں f ' (x) ،Rپر اپنا نشان نہیں بدلتا ،fکے گراف کا کوئی بھی موڑ والا نقطہ نہیں ہے اور اس لیے مقامی عظیم قدروں اور مقامی قلیل قدروں کا کوئی نقطہ نہیں ہے ۔
اب ہم مقامی عظیم قدروں اور مقامی قلیل قدروں کی جانچ کے لیے ایک نئی جانچ دیں گے دیے ہوئے فنکشن کے لیے۔ یہ جانچ لاگو کرنا زیادہ تر آسان ہے پہلے جانچ کے مقابلے میں ۔
مسئلہ 4 (دوسری مشتق جانچ)(Second Derivative Test) مان لیجیے fایک وقفہ Iپر بیان کیاگیا ہے اورc Î Iہے ۔مان لیجیے f،cپر دوبار تفرق پذیر ہے ، تب 
    (i)  x = cپر مقامی عظیم قدر کا نقطہ ہے اگر f '(c) = 0اورf²(c) < 0ہے ۔
    قدر f (c)،f کی مقامی عظیم قدر ہے 
   (ii) x = cپر مقامی قلیل قدر کا نقطہ ہے اگر �اورf²(c) > 0ہے 
   اس کیس میں f(c)،f کی مقامی قلیل قدرہے ۔
   (iii) یہ جانچ فیل ہو جاتا ہے اگر f'(c) = 0اور  f"(c) = 0ہوں 
اس کیس میں ،ہم پہلی مشتق جانچ میں چلے جاتے ہیں اور معلوم کرتے ہیں کہ کیاcایک مقامی عظیم قدر کا نقطہ ہے ،مقامی قلیل قدر کا یا موڑکا نقطہ 

نوٹ  کیونکہ f،cپر دوبارہ تفرق پذیر ہے ،ہمارا مطلب ہے fکا دوسرا مشتقcپر موجود ہے ۔

مثال 31    fکی مقامی قلیل قدریں معلوم کیجئے جو کہ f (x) = 3 + |x|, x Î Rدیا گیا ہے ۔
حل  یہ نوٹ کر لیجیے کہ دیا ہوا فنکشن x = 0پر تفرق پذیر نہیں ہے ۔اس طرح ،دوسری مشتق جانچ فیل ہو جاتا ہے ۔نوٹ کر لیجیے کہ 0،f کا نازک نقطہ ہے ۔اب ،0کے بائیں طرف ، f(x) = 3 – x اور اس لیے f¢(x) = – 1 < 0ہے ۔ساتھ ہی 0کے دائیں طرف ،f(x) = 3 + xہے اور اس طرح f¢(x) = 1 > 0ہے ۔اسلیے ،پہلی مشتق جانچ سے x = 0ایک f کا مقامی قلیل والا نقطہ ہے اور fکی مقامی قلیل قدر f (0) = 3ہے ۔
43
مثال32  فنکشن f کی مقامی عظیم اور مقامی قلیل قدریں معلوم کیجیے، فنکشن اس طرح دیا گیا ہے ۔
44
حل ہمارے پاس ہے 
45
اس لیے ،دوسرے مشتق ٹسٹ سے ،x = 0مقامی عظیم قدر کا نقطہ ہے اورfکی مقامی قلیل قدرx = 0پر f1(0) = 12ہے جب کہ x = 1اورx = -2مقامی قلیل قدروں اور مقامی عظیم قدروں کے نقطے ہیں اورfکی بالترتیب مقامی قلیل قدرx = – 1 اور–2پر f(1) = 7اورf(–2) = -20ہیں ۔
مثال33  فنکشن fکی مقامی عظیم قدریں ور مقامی قلیل قدریں معلوم کیجیے فنکشن fدیا گیا ہے ۔
46
حل  ہمارے پاس ہے 
47
اب f ' (x) = 0دیتا ہے x = 1ساتھ ہی f " (1) = 0ہے ۔اس لیے اس کیس میں دوسری مشتق جانچ فیل ہو جاتی ہے۔اس لیے ، ہم پہلی مشتق جانچ میں واپس جا سکتے ہیں ۔
ہم پہلے ہی دیکھ چکے ہیں (مثال30) کہ پہلی مشتقجانچ کا استعمال کرنے پر ،x = 1نہ تو مقامی عظیم قدر وں کا نقطہ ہے اور نہ ہی مقامی قلیل قدروں کا نقطہ ہے اس لیے یہ ردموڑ کا نقطہ ہے ۔
مثال34   دو مثبت اعداد معلوم کیجیے جن کا حاصل جمع15ہے اور جن کے مربعوں کا حاصل جمع قلیل ہے ۔
حل  مان لیجیے ان میں سے ایک نمبرxہے ۔تب دوسرا نمبر (15 –x)ہے ۔مان لیجیے S(x)ان نمبروں کے مربعوں کے حاصل کو ظاہر کرتا ہے ۔تب 
48
اب کیونکہ S'(x) = 0،50دیتا ہے ۔ساتھ ہی51ہے ۔اس لیے دوسرے مشتق کے ٹسٹ سے52
کا مقامی قلیل قدروں کا نقطہ ہے ۔اس لیے نمبروں کے مربعوں کا حاصل جمع قلیل ہے جب کہ نمبر5354
ریمارک  مثال 34کی طرح آگے بڑھنے پر بھی یہ ثابت کیاجاسکتا ہے کہ دو مثبت اعداد جن کا مجموعہ kہے اور جب کے مربعوں کا حاصل جمع قلیل ہے ہیں
55
مثال35    نقطہ (0,c)کا مکافی56سے چھوٹے سے چھوٹا فاصلہ معلوم کیجیے،جہاں 1 £ c £ 5ہے ۔
حل  مان لیجیے مکافی 57پر (h,k)کوئی نقطہ ہے ۔مان لیجیے (h,k)اور(0,c)کے درمیان کا مطلوبہ فاصلہ Dہے ۔تب
58

نوٹ پڑھنے والا مثال 35میں یہ نوٹ کر سکتا ہے کہ ،ہم نے دوسری مشتق جانچ کے بجائے پہلی مشتق جانچ کا استعمال کیا ہے کیونکہ پہلا آسان اور چھوٹا ہے ۔

مثال36   مان لیجیے APاورBQباالترتیب نقاطAاورBپر دوعمودی کھمبے ہیں اگر AP=15 میٹر اورBQ=22 میٹر اورAB=20  میٹر ہوں ،تب ABپر نقطہR سے نقطہ A کا فاصلہ معلوم کیجیے جب کہ 59قلیل ہے ۔
حل  مان لیجیے ABپر ایک نقطہ Rہے جبکہ AR = xmہے ۔تب RB = (20 – x)میٹر ہے ۔(کیونکہ AB = 20m ہے ) شکل 6.18ہے ۔
60
ہمارے پا س ہے ۔
61
62
اب S'(x) = 0،x = 10دیتا ہے ۔ساتھ ہی کیونکہ S"(x) = 4 > 0ہے ،تمام xکے لیے اور اس طرح S"(10) > 0۔ اس لیے دوسری مشتق جانچ سے ،S' x = 10کے مقامی قلیل قدروں کا نقطہ ہے ۔اس طرح Rکا فاصلہ Aسے ABپر AR=x=10mہے ۔
مثال37   اگر ایک منحرف (trapezium)کے تین اضلاع کی لمبائی اساس کے علاوہ 10سینٹی میٹرکے برابر ہیں ،تب منحرف کا رقبہ معلوم کیجیے جب یہ عظیم ہے
حل  مطلوبہ منحرف شکل6.19میں دیا گیا ہے ۔DPاورCP،ABپر عمود کھینچئے ۔مان لیجیے AP = xسینٹی میٹرہے ،نوٹ کر لیجیے 
63
کہ DAPD ~ DBQCکے ہے ۔اس لیے QB = xcmہے ساتھ ہی پائیتھا گورس مسئلہ64قلیل ہے ۔مان لیجیے منحرف کا رقبہ Aہے ۔تب 
65
66
67
مثال38  ثابت کیجیے کہ قائم دائری اسطوانہ کا نصف قطر جس کی خمیدہ سطح کا رقبہ اعظم ترین ہے ایک دئے ہوئے مخروط کےاندر بنایا جا سکتا ہے۔ مخروط سے آدھا ہے ۔
حل مان لیجیے OC = rمخروط کا نصف قطر ہے اور OA = hاس کی اونچائی ہے ۔مان لیجیے ایک اسطوانہ جس کا نصف قطر OE=xہے دیئے ہوئے مخروط کے اندر بنایا گیا (شکل 6.20) اسطوانہ کی اونچائی QEدی گئی ہے ۔
68
69
اب70۔کیونکہ S" (x) <0ہے تمام xکے لیے71کی عظیم قدروں کا نقطہ ہے ۔اس لیے اسطوانہ کی اعظم منحنی سطح کا رقبہ جو کہ دیے ہوئے مخروط کے اندر بنایا جا سکتا ہے ۔مخروط کا رقبہ آدھا ہے
72

6.6.1ایک بند وقفہ میں ایک تفاعل کی اعظم اور قلیل ترین قدریں 

ہم ایک فنکشن fپر غور کرتے ہیں جو دیا گیا ہے ۔
f(x) = x + 2, x Î (0, 1)
اس کا مشاہدہ کیجیے کہ فنکشن (0,1)میں مسلسل ہے اور جو ناتو اعظم قدر رکھتا ہے اور نہ ہی قلیل قدر رکھتا ہے ۔اس کے آگےہم یہ نوٹ کر سکتے ہیں کہ نا تو تفاعل مقامی اعظم قدر رکھتا ہے اور نہ مقامی قلیل قدر ۔
حالانکہ ،اگر ہم fکا علاقہ بند وقفہ [0,1]تک بڑھا دیں ،تب بھی ہو سکتا ہے fکی کوئی بھی اعظم قلیل قدر نہ ہو لیکن یقینا یہ اعظم قدر 3 = f (1)اور قلیل قدر f (0) = 2رکھتا ہے ۔fکی اعظم قدر x = 1,3پر اس کی اعظم قدر (عالمی اعظم قدر یا سب سے بڑی قدر) کہلاتی ہے وقفہ [0,1]پر ،اس طرح 2کی قلیل قدر x = 0پر مطلق قلیل قدر (عالمی قلیل قدر یا سب سے چھوٹی قدر) کہلاتی ہے وقفہ [0,1]پر ۔
شکل6.21میں ایک مسلسل تفاعل کے دیئے ہوئے گراف پر غور کیجیے جو کہ بند وقفہ [a,d]میں بیا ن کیاگیا ہے ۔مشاہدہ کیجیے کہ تفاعل f،x = bپر مقامی قلیل قدریں رکھتا ہے اور مقامی قلیل قدر f (b)ہے ۔تفاعل x = cپر بھی عظیم قدریں رکھتا ہے اوراعظم ترین f (c)ہے ۔
1
ساتھ ہی گراف سے ظاہر ہے کہ fکی مطلق اعظم قدر f(a)اور مطلق قلیل قدر f (d) ہے اس کے آگے نوٹ کیجیے کہ fکی مطلق عظیم (قلیل) قدرfکی مقامی عظیم (قلیل) قدر سے مختلف ہے ۔
اب ہم بند وقفہ Iمیں فنکشن کی مطلق عظیم قدروں اور مطلق قلیل قدروں کے بارے میں دو نتائج (بغیر ثبوت کے ) بیان کریں گے ۔
مسئلہ 5  مان لیجیے وقفہ I = (a,b)میں fایک مسلسل تفاعل ہے ۔تب fکی مطلق قدر ہوگی جو f،Iمیں سے کم سے کم ایک بار حاصل کر لے گا ۔ساتھ ہی ،fکی ایک مطلق قلیل قدر ہے اور وہ 1سے کم سے کم Iمیں ایک بار حاصل کر لے گا ۔
مسئلہ 6   مان لیجیے بند وقفہ Iمیں fایک تفرق پذیر فنکشن fہے اور مان لیجیے c،Iکا کوئی بھی ایک اندرونی نقطہ ہے ۔تب 
(i)    f' (c) = 0ہے اگر f،cپر ایک مطلق عظیم قدر حاصل کرتا ہے ۔
  (ii)   f' (c) = 0ہے اگر f ،cپر ایک مطلق قلیل قدر حاصل کرتا ہے ۔
اوپر کے نتیجوں کو مد نظر رکھتے ہوئے ،ہمارے پاس ایک دئے ہوئے فنکشن کو بند وقفہIمیں رکھ کر مطلق عظیم اور یا مطلق قلیل قدروں کو معلوم کرنے کے لیے کام کرنے والے اصول ہیں ۔

کام کرنے کے اصول 

قدم 1  :  fمیں تمام فاصل نقاط کے لیے ،یعنی ۔،xنقاط معلوم کیجیے جہاں2ہے یا fتفرق پذیر نہیں ہے ۔
قدم 2  : وقفہ کے سرے کی نقاط لیجیے۔
قدم 3 :ان تمام نقاط پر (قدم 1اور2میں جن کی فہرست بنائی گئی ہے ) f'کی قدروں کا حساب لگائیے ۔
قدم 4  : قدم 5میں fکی حساب لگائی قدروں کے عظیم اور قلیل قدروں کی پہچان کیجیے۔یہ عظیم قدرfکی مطلق عظیم قدر f کی مطلق عظیم قدر (سب سے زیادہ ) ہوگی اورfکی قلیل قدر مطلق قلیل (سب سے کم) قدر ہوگی ۔
مثال39    ایک فنکشن fکی مطلق عظیم اور مطلق قلیل قدریں معلوم کیجیے
3
حل  ہمارے پاس ہے
یہ نوٹ کر لیجیے کہ f '(x) = 0،x = 2اورx = 3دیتا ہے ۔
اب ہم fکی قدر ان نقاط پر معلوم کریں گے اور وقفہ [1,5]کے آخری نقاط پر یعنی ۔،x = 1،x = 2،x = 3 اور x=5پر ۔ تاکہ 
5
اس طرح ،ہم یہ نتیجہ نکالتے ہیں کہ fکی [1,5]پر مطلق عظیم قدر 56ہے ،جو کہ x = 5موجود ہے اورfکی مطلق قلیل قدر [1,5]پر 24ہے جو کہ نقطہ x = 1پر ہے ۔
مثال40   فنکشن fکی مطلق عظیم قدریں معلوم کیجیے جو گیا ہے ۔
6
حل   ہمارے پاس ہے
7
اس طرح8دیتا ہے ۔اس کے آگے نوٹ کیجیے کہ f '(x)،x = 0پر معرف نہیں ہے اس  لیے فاصل  نقاطx = 0اور9ہیں ۔اب fکی قدروں کا فاصل نقاط10پر اندازہ لگانے پر اور وقفہ کے سرے کے نقاط x=–1اورx = 1پر اندازہ لگانے پر ،ہمارے پاس ہے ۔
11
اس طرح ہم اس نتیجہ پر پہنچتے ہیں کہ fکی مطلق عظیم قدر 18ہے جو کہ x = – 1پر واقع ہے اور fکی مطلق قلیل قدر
12ہے جو کہ13پر واقع ہے ۔
مثال41  ایک فوج کا پاچی ہیلی کاپٹر منحنی14کے ساتھ اڑ رہا ہے ۔ایک سپاہی جو کہ (3,7) پر تعینات ہے چاہتا ہے کہ ہیلی کاپٹر پر نشانہ لگا کر گرائے جب کہ یہ اس کے قریب ہو ۔سب سے قریبی فاصلہ معلوم کیجیے ۔
حل  xکی ہر ایک قدرکے لیے ،ہیلی کاپٹر کی جگہ (پوزیشن) نقطہ15پر ہے ۔اس لیے ہیلی کاپٹر اور سپاہی کے درمیان فاصلہ جو کہ (3,7)پر تعینات کیا گیا ہے ۔یہ ہے ۔
16
اس طرح  17دیتا ہے جس کے لیے کوئی حقیقی جذ ر نہیں ہے ۔ساتھ ہی وقفہ کے کوئی بھی آخری نقاط نہیں ہیں جو اس سیٹ میں جوڑے جا سکیں جہاں f ' (x)صفر ہے، یعنی ۔،صرف ایک نقطہ ہے جو x=1ہے ۔اس نقطہ پر fکی قیمت 18سے دی گئی ہے ۔اس طرح ،ہیلی کاپٹر اور سپاہی کے درمیان فاصلہ 19
نو ٹ کر لیجیے کہ20یا تو عظیم قدر ہے یا قلیل قدر ہے ۔کیونکہ 
21
اس سے ہم اس نتیجہ پر پہونچتے ہیں کہ22کی قلیل قدر ہے ،اس لئے،23سپاہی اور ہیلی کاپٹر کے درمیان قلیل فاصلہ ہے ۔

مشق6.5

    1۔ ذیل فنکشن کی عظیم اور قلیل قدریں معلوم کیجیے ،اگر کوئی ہے ،
24
 2۔ ذیل فنکشن کی عظیم اور قلیل قدریں معلوم کیجیے،گر کوئی موجود ہے ۔
25
3۔ مقامی عظیم قدریں اور مقامی قلیل قدریں معلوم کیجیے اگر موجود ہیں ،ذیل فنکشن کی ۔ساتھ مقامی عظیم قدر اور مقامی قلیل قدرمعلوم کیجیے ،جیسا کہ کیس ہو :
26
28
4۔ ثابت کیجیے کہ ذیل فنکشن کی عظیم اور قلیل قدریں نہیں ہیں ۔
29
5۔ ذیل فنکشن کی مطلق اعظم قدر اور مطلق قلیل قدرد ئیے ہوئے وقفہ میں معلوم کیجیے ۔
30
  6۔ وہ عظیم منافع معلوم کیجیے جو کمپنی کو ہو سکتا ہے ،اگر منافع تفاعل اس طرح دیا گیا ہے ۔
31
    7۔ وقفہ [0,3]پر تفاعل32کی دونوں عظیم قدر اور قلیل قدر معلوم کیجیے۔
    8۔ وقفہ [0,2p]کے کس نقطہ پر ،تفاعلsin 2xاعظیم قدر حاصل کر سکتا ہے ؟
    9۔ فنکشن x + cos xکی اعظم قدر کیا ہے ؟
   10۔ فنکشن 33کی وقفہ [1,3]میں اعظم قدر معلوم کیجئے ۔اسی تفاعل کی وقفہ [–3,–1]میں اعظم قدر معلوم کیجیے ۔
   11۔ یہ دیا ہو اہے کہ x =1پر،تفاعل 34اپنی اعظم قدر وقفہ [0,2]پر حاصل کر لیتا ہے ۔aکی قدر معلوم کیجیے ۔
   12۔ فنکشن x + sin 2xکی وقفہ [0, 2p]پر عظیم اور قلیل قدریں معلوم کیجیے ۔
   13۔ دو اعداد معلوم کیجیے جن کا مجموعہ 24ہے اور جن کا حاصل ضرب جتنا بڑاممکن ہو وہ ہے ۔
   14۔ دو مثبت اعداد xاورyمعلوم کیجیے تاکہ x + y = 60اور35اعظم ہو ۔
   15۔ دو مثبت اعداد xاورyمعلوم کیجیے تاکہ ان کا حاصل جمع 35اورحاصل ضرب36ایک اعظم ہے ۔
   16۔ دو مثبت اعداد معلوم کیجیے جن کا حاصل جمع 16ہے اور جن کے کعب کا حاصل جمع قلیل ہے ۔
   17۔ ٹین کے ایک مربع ٹکڑا کا جس کا ضلع 8سینٹی میٹرہے بغیر چھت والے ایک ڈبے میں تبدیل کیا گیا ہے ،ٹین کے ٹکڑے کے ہر ایک کونے سے ایک مربع ٹکڑا کاٹ کر اور اس کے بازؤں کو موڑ کر ۔اس مربع کا کیا ضلع ہوگا جو کاٹا گیا ہے تاکہ ڈبے کا حجم عظیم ممکن ہو ۔
   18۔ ٹین کے ایک مستطیل ٹکڑے 45سینٹی میٹرضرب24سینٹی میٹرکے ہر کونے سے ایک مربع کو ناکاٹ کر اور پھر اس کے بازوؤں کو موڑ کر ایک ڈبہ بنایا گیا ہے کاٹے گئے مربع کا ضلع کیا ہوگا تاکہ بنائے گئے ڈبہ کا حجم عظیم ہو۔
   19۔ دکھائیے کہ ایک مستقل دائرہ میں بنائے گئے تمام مستطیل میں ،مربع کا رقبہ عظیم ہے ۔
   20۔ دکھائیے کہ دی ہوئی سطح اور عظیم حجم والے قائم دائری اسطوانہ ایسا ہے کہ اس کی اونچائی اساس کے قطر کے برابر ہے ۔
   21۔ تمام بند اسطوانائی ڈبوں میں سے (قائم دائری) دئے ہوئے حجم 100cubic cmکا ،اس ڈبے کی پیمائش معلوم کیجیے جس کا سطحی رقبہ عظیم ہے ؟
   22۔ 28میٹر ایک لمبے تارکودو ٹکڑوں میں کاٹا گیا ہے۔ ٹکڑوں میں سے ایک کو مربع میں تبدیل کیا گیا ہے اور دوسرے کو دائرہ میں ۔ دونوں ٹکڑوں کی لمبائیاں کیا ہوں گی تا کہ مربع اور دائرہ کا مجموعی رقبہ قلیل ہو۔
   23۔ ثابت کیجیے کہ سب سے بڑے مخروط کا حجم جو کہ ایک کرہ کے اندر بنا یا گیا ہے اور جس کا نصف قطرR ہے، کرہ کے حجم کا 37ہے
24۔ دکھایئے کہ قائم دائری مخروط جس کی خمیدہ سطح کم سے کم ہے اور دیے ہوئے حجم میں ایک ارتفاع اساس کے نصف قطرکا38گناہے۔ 
   25۔ دکھائیے کہ ایک مخروط کا نصف راسی زاویہ اور جس کا عظیم حجم ہے اور ترچھی اونچائی ہے دی ہوئی39
26۔ دکھائیے کہ قائم دائری مخروط کا نصف راسی زاویہ جس کا سطحی رقبہ دیا ہوا ہے کا اور حجم عظیم ہے 40
سوال 27یا29میں صحیح جواب چنئے ۔
   27۔ منحنی41پر وہ نقطہ جو نقطہ (0,5)کے قریب ہے۔یہ ہے۔
42
   28۔ xکی تمام حقیقی قدروں کے لیے43کی قلیل قدر ہے ۔
44
45

متفرق مثالیں 

مثال42   ایک کار ایک نقطہ Pسے وقتt = 0سیکنڈ چلی اور نقطہQپر رکی ۔اس کے ذریعہ طے کیا گیا فاصلہ xمیٹر ، tسیکنڈ میں دیا گیا ہے ۔
46
اس کے ذریعے نقطہ Qتک پہنچے میں،لگایا گیا وقت معلوم کیجیے،اورPورQکے درمیان فاصلہ بھی معلوم کیجیے۔
حل  مان لیجیے کارکی رفتار vہے tسیکنڈ پر 
47
اس طرح v = 0دیتی ہے t = 0اور/یا t = 4
اب v = 0ہے Pپر اور اس طرح Qپر ،t = 0۔اس لیے Qپر t = 4ہے ۔اس طرح، کار نقطہ Qپر 4سیکنڈ میں پہنچتی ہے ۔ ساتھ ہی 4سیکنڈ میں چلا گیا فاصلہ اس طرح دیا گیا ہے ۔
48
مثال43   ایک پانی کے ٹینک کی شکل الٹے قائم دائری مخروط کی ہے جس کا محور اسی ہے اور راس سب سے نیچے ہے ۔اس کاآدھا ۔راسی زاویہ49ہے ۔اس میں پانی 5کعبی میٹر فی گھنٹہ کی مستقل شرح سے ڈالا گیا ہے ۔وہ شرح معلوم کیجیے جس سے پانی کی سطح اسی لمحہ بڑھ رہی ہے جب کہ ٹینک میں پانی کی گہرائی 4میٹر ہے ۔
50
حل  مان لیجیےr،hاورaشکل 6.22میں کی طرح طرح ہیں ۔تب51
52
53
مثال44   ایک آدمی جس کی اونچائی 2میٹر ہے ایک روشنی دینے والے بجلی کے کھمبے سے 5کلومیٹر /گھنٹہ کی یکساں رفتار سے دور چلتا ہے ،وہ کھمبا 6میٹر اونچا ہے ۔وہ شرح معلوم کیجیے جس سے اس کی پرچھائی کی لمبائی بڑھی ہے ۔
حل  شکل6.23میں ،مان لیجیے روشنی دینے والا کھمبا ABہے ،لمپ پوزیشن 8پر ہے اور مان لیجیے MNآدمی ہے ،ایک خاص وقتt پر اور مان لیجیے AM = lمیٹر ہے ۔تب MSآدمی کی پرچھائی ہے ۔مان لیجیےMS = sمیٹر
54
55
کیونکہ56کلومیٹر /گھنٹہ ہے ۔اس لیے ،پرچھائی کی لمبائی57کلومیٹر /گھنٹہ کی شرح سے بڑھ رہا ہے ۔
مثال45  منحنی58کے نارمل کی مساوات معلوم کیجیے جو کہ (1,2)سے ہو کر گزر رہا ہے ۔
حل59کا تفرقxکی مناسبت سے کیجیے ہمیں حاصل ہوتا ہے 
60
مان لیجیے (h,k)مختص ہیں اس نقطہ کے جہاں نارمل اور منحنی 61ملتے ہیں ۔اب ،مماس کا سلوپ (h,k)پر اس طرح دیا ہے ۔
62
اس طرح ،نارمل کا سلوپ (h,k)پر ہے ۔63
اس لیے ،نارمل کی مساوات (h,k)پر ہے ۔
64
کیونکہ یہ نقطہ (1,2)سے ہو کر گزر رہا ہے ،ہمارے پاس ہے
65
کیونکہ (h,k)منحنی66پر واقع ہے ،ہمارے پاس ہے ۔
67
(2)اور(3)سے ہمارے پاس ہے k = 2اورk =1۔hاورkکی قدریں (1)میں رکھنے پر ہمیں نارمل کی مساوات اس طرح ملتی ہے ۔


68
مثال46  منحنی y = cos(x + y), – 2p £ x£2pپر مماس کی مساوات معلوم کیجیے جو کہ خط x + 2y = 0کے متوازی ہے ۔ 
حل    y = cos(x + y)کاxکو مد نظر رکھتے ہوئے تفرق کرنے پر ہمارے پاس ہے ۔
69
کیونکہ دی ہوئی منحنی پر مماس خط x + 2y = 0کے متوازی ہیں ،جس کا سلوپ 70ہے ،ہمارے پاس ہے ۔
71
ساتھ ہی کیونکہ72ہے ،ہمیں حاصل ہوتا ہے73اس طرح ،دی ہوئی منحنی پر مماس خط x + 2y = 0کے متوازی ہیں صرف نقاط74پر اس لئے مماس کی مطلوبہ مساوات ہیں ۔
75
78
77
اب  f'(x) = 0دیتا ہے x = 1،x = – 2یاx = 3۔نقاط x = 1،–2 اور3حقیقی خط کو چار غیر مشترک وقفوں میں بانٹتے ہیں ،جن کے نام ہیں (– ¥, – 2)،(– 2, 1)،(1, 3)اور(3, ¥)(شکل 6.24) 
وقفہ (– ¥, – 2)پر غور کیجیے ،یعنی ۔،جب – ¥ < x < – 2ہو ۔اس کیس میں ،ہمارے پاس ہے x – 1 < 0،x + 2 < 0 اورx – 3 < 0ہے ۔
(خاص طور پر مشاہدہ کیجیے کہ x = –3کے لیے  f'(x) = (x – 1) (x + 2) (x – 3) = (– 4) (– 1) (– 6) < 0))
اسلیے f'(x) < 0جب کہ – ¥ < x < – 2ہے ۔
اس طرح ،فنکشن f،(– ¥, – 2)میں گھٹ رہا ہے ۔
وقفہ (– 2, 1)پر غور کیجیے ،یعنی ۔،جب – 2 < x < 1ہو 
اس کیس میں ،ہمارے پاس ہے x – 1 < 0،x + 2 > 0اورx – 3 < 0ہے ۔
(خاص طور پر مشاہد ہ کیجیے کہ x = 0کے لیے f'(x) = (x – 1) (x + 2) (x – 3) = (–1) (2) (–3) = 6 > 0))
اسلیے f'(x) > 0جب کہ – 2 < x < 1ہے ۔
اس طرح فنکشن f،(–2,1)میں گھٹ رہا ہے ۔
اب وقفہ (1,3)پر غور کیجیے،یعنی ۔،جب 1 < x < 3ہو ۔اس کیس میں ،ہمارے پاس ہے x – 1 > 0،  x  + 2 > 0  اور x – 3 < 0
اس طرح f'(x) < 0جب کہ 1 < x < 3
اس طرح فنکشن f،(1,3)میں کم ہو رہا ہے ۔
آخر میں وقفہ (3,¥)پر غو ر کیجیے ،یعنی ۔،جب کہ x>3۔اس کیس میں ،ہمارے پاس ہے x–1> 0،x+2 > 0اور x – 3 > 0۔اس طرح f'(x) > 0ہے جب کہ x > 3۔
اس طرح وقفہ (3, ¥)میں f   بڑھ رہا ہے ۔
مثال48  دکھائیے کہ فنکشن fجو کہ دیا گیا ہے ۔
f(x) =tan–1(sin x + cos x), x > 0
ہمیشہ79میں سے بڑھ رہا فنکشن ہے ۔
حل   ہمارے پاس ہے ۔
f(x) =tan–1(sin x + cos x), x > 0
80
81
مثال49   ایک گولاکار ڈسک جس کا نصف قطر 3cmہے گرا کی گئی ہے ۔پھیلاؤ کی وجہ سے اس کا نصف قطر 0.05cm/s کی سینٹی میٹر فی سیکنڈ شرح سے بڑھ گیا ہے ۔معلوم کیجیے اس کا رقبہ کس شرح سے بڑھ رہا ہے جب اس کا نصف قطر 3.2cm ہے ۔
حل  مان لیجیے دی ہوئی ڈسک کا رقبہ Aہے اورنصف قطر rہے
82
اب نصف قطر کے بڑھنے کی تقریب شرح83سینٹی میٹر فی سیکنڈ
اس لیے رقبہ میں بڑھنے کی تقریب شرح اس طرح دی گئی ہے ۔
84
سینٹی میٹر2/s(r = 3.2 cm)سینٹی میٹر فی میٹر =2p(3.2) (0.05) = 0.320p cm
مثال50  ایلومنیم کی ایک مستطیل نما چادر جو کہ 3میٹر ضرب 8میٹر کی ہے ،سے اس کے کونے مربع نما شکل میں کونے کاٹ کر اور اس کے کناروں کو موڑ پر اوپر سے کھلا ہوا ایک صندوق بنانا ہے ۔اس طرح کے بڑے سے بڑے صندوق کا حجم معلوم کیجیے۔ 
حل   مان لیجیے ہٹائے گئے مربعوں کے ضلع کی لمبائی xمیٹر ہے ۔تب صندوق کی اونچائی xمیٹر ہے ،لمبائی 8–2xاور چوڑائی 3 –2x(شکل6.25) ۔اگر صندوق کا حجم V(x)ہے ،تب
85
86
اس لیے 87عظیم قدروں کا نقطہ ہے یعنی ۔،اگر ہم88میٹر والے ضلع کا مربع چادر کے ہر کونے سے ہٹائیں اور ایک بقیہ چادر سے ایک صندوق تیار کریں ،تب اس طرح حاصل کیے گئے صندوق کا حجم سب سے زیادہ ہے اور یہ دیا گیا ہے ۔
89
مثال51   ایک اشیاء بنانے والے xاشیاء کو90روپیہ فی شئے کے حساب سے بیچتا ہے xاشیاء کی قیمت خرید 91روپیہ ہے ۔اشیاء کی وہ تعداد معلوم کیجیے جسے بیچنے سے اسے اعظم ترین منافع حاصل ہو۔ 
حل  مان لیجیے xاشیاء کی قیمت فروخت S(x)اورxاشیاء کی قیمت خرید C(x)ہے ۔تب ،ہمارے پاس ہے ۔
92
93
اس طرح x = 240اعظم قدروں کا نقطہ ہے ۔اس لیے اشیاء بنانے والا اس وقت اعظم ترین منافع کما سکتا ہے اگر وہ 240اشیاء فروخت کرے ۔

باب6پر مبنی متفرق مشق 

    1 ۔ تقریباً کا استعمال کر کے ،ذیل میں ہر ایک کی تقریباً قدر معلوم کیجیے ۔
94
    2۔ دکھائیے کہ فنکشن جو کہ95سے دیا گیا ہے ،اعظم ترین قدر رکھتا ہے جب کہ x = eہے ۔
    3۔ ایک مساوی الساقین مثلث جس کا اساس bمستقل ہے ،کے دو برابر کے اضلاع 3سینٹی میٹرفی سکنڈ کی شرح سے گھٹ رہے ہیں ۔رقبہ کتنی تیزی سے گھٹ رہا ہے جب کہ دونوں برابر کے ضلع اساس کے برابر ہوں ؟
    4۔ منحنی96پر نارمل کی مساوات معلوم کیجیے جو کہ نقطہ (1,2)سے ہو کر گزر رہی ہے ۔
    5۔ دکھائیے کہ منحنی x = a cosq + a q sinq, y = a sinq – aq cosqکے کسی نقطہ qپر نارمل صداسے ایک مستقل فاصلے پر ہے ۔
    6۔ وہ وقفے معلوم کیجیے جن میں فنکشن fجو کہ دیا گیا ہے 
97
(i)  بڑھ رہا ہے (ii)گھٹ رہا ہے ۔
    7۔ وہ قفہ معلوم کیجیے جن میں فنکشن fجو کہ دیا گیا ہے 98
(i)  بڑھ رہا ہے (ii) گھٹ رہا ہے ۔
    8۔ ایک مساوی ضلعی مثلث کا اعظم ترین رقبہ معلوم کیجیے جو کہ ناقص99میں بنایا گیا ہے اور جس کا راس اکبر محور کے ایک سرے پر ہے ۔
    9۔ ایک ٹینک جس کا اساس مستطیل ہے اور اضلاع بھی مستطیل ہیں ،اوپر سے کھلاہوا ہے اس طرح بنایا گیا ہے تاکہ اس کی گہرائی 2میٹر اور اور حجم 8مکعب میٹرحجم ہے ۔اگر ٹینک کے اساس کو بنانے کا خرچ 70روپیہ فی مربع میٹر ہے اور اس کے اضلاع کو بنانے کا خرچ 45روپیہ فی مربع میٹر ہے ۔کم سے کم خرچیلے ٹینک کی کیا قیمت ہوگی ۔
   10۔ ایک دائرہ اور مربع کے احاطوں کا مجموعہ kہے ۔جہاں kایک مستقل ہے ۔ثابت کیجیے کہ ان کے رقبوں کا مجموعہ کم سے کم ہے جب کہ مربع کا ضلع دائرہ کے نصف قطر کے دو گنا ہے ۔
   11۔ ایک کھڑکی ایک مستطیل نما شکل کی ہے جس کے اوپر ایک آدھا دائری حصہ کھلا ہواہے ۔کھڑکی کا کل احاطہ 10میٹر ہے۔ کھڑکی کی پیمائش معلوم کیجیے تاکہ اس کے پورے کھلنے سے عظیم روشنی اس میں داخل ہو سکے ۔
   12۔ ایک مثلث کے وتر پر ایک نقطہ اس کے اضلاع سے aاورbدوری پر ہے ۔
دکھائیے کہ وتر کی قلیل لمبائی 100
   13۔ وہ نقاط معلوم کیجیے جہاں فنکشن fجو کہ دیا گیا ہے101سے رکھتا ہے ۔
(i) مقامی ا عظیم ترین قدریں (ii)  مقامی قلیل قدریں 
(iii) موڑکا نقطہ 
   14۔ فنکشن fکی مطلق اعظم ترین اور قلیل قدریں معلوم کیجیے جو کہ دیا گیا ہے ۔
102
15۔ دکھائیے کہ اعظم ترین حجم والے قائم دائری مخروط جو کہ ایک rنصف قطر والے کرہ کے اندر میں بنایا جا سکتا ہے کا رتفاع103
16۔ مان لیجیے fایک تفاعل ہے جو کہ [a,b]میں معرف ہے ،تاکہ  f'(x) > 0ہے ،تمام x Î (a, b) کے لیے تب ثابت کیجیے کہ f،[a,b]میں ایک بڑھتا ہوا تفاعلہے ۔
   17۔ دکھائیے کہ ایک عظیم ترین حجم والے اسطوانہ کی اونچائی جو کہ ایک Rنصف قطر والے کرہ میں بنایا جا سکتا ہے104
ساتھ ہی اعظم ترین حجم معلوم کیجیے ۔
   18۔ دکھائیے کہ ایک اسطوانہ جس کا حجم سب سے زیادہ ہے اور ایک hاونچائی اور نصف راسی زاویہ xجو کہ مخروط کا ایک تہائی ہے اور زیادہ سے زیادہ حجم والا اسطوانہ کے اندر بنایا جا سکتا ہے اسکی اونچائی105
19یا 24سوالوں میں صحیح جواب چنیے۔
   19۔ ایک اسطوائی شکل کا ٹینک جس کا نصف قطر 10میٹر ہے گیہوں سے 314مکعبی میٹر فی گھنٹہ کی رفتار سے بھرا گیا تب گیہوں کی گہرائی اس شرح سے بڑھ رہی ہے ۔
106
107
108

خلاصہ (Summary)

®  اگر ایک مقدار yدوسری مقدار xکے ساتھ بڑھتی ہے جو اس اصول109 کو مطمئن کرتی ہے ،تب 110

کی xکے ساتھ شرح تبدیلی کو ظاہر کرتا ہے اور(یا112 کی شرح تبدیلی xکے ساتھ کو ظاہر کرتی ہے113

 اگر دو متغیر xاورyایک دوسرے متغیر tکی نسبت میں بدل رہے ہیں ،یعنی ۔، اگر114 ہے تب زنجیری اصول سے

115

ایک فنکشن fہے ۔

®   (a)  وقفہ (a,b)پر بڑھ رہا ہے اگر117 لیے 

    متبادل کے طور پر ،اگر f'(x) ³ 0 ہے تمام (a, b) ،x کے لیے یا شامل ہے (a,b)میں 

  (b)     (a,b)پر گھٹ رہا ہے ،اگر۔،

118

(c) مستقل ہے (a,b) میں اگر f(n)=c تمام xe(a,b)کے لیے جہاں c ایک مستقلہ ہے۔

®    مماس کی مساوات نقطہ 119پر منحنی y = f (x)کے لیے اس طرح دی گئی ہے ۔

120

121 پر موجود نہیں ہے ،مماس اس نقطہ پر –yمحور پر متوازی ہے اور اس کی مساوات 122

 اگر مماس ایک منحنی y = f (x)  کے لیے123پر محور –xمحور کے متوازی ہے ،تب124

 نارمل کی مساوات منحنی y = f (x)کے لیے نقطہ 125 پر اس طرح دی گئی ہے ۔

126

127پر صفر ہے تب نارمل کی مساوات128

129پر موجود نہیں ہے ،تب نارمل –xمحور کے متوازی ہے اور اس کی مساوات130

  مان لیجئے y = f(x) ہے ،Dx ،xمیں ایک چھوٹا اضافہ  ہے اورDy ،yمیںxمیں اضافہ کے مطابق ،یعنی Dy = f(x + Dx) – f(x)تب dyدیاہے

131

  AYکی ایک اچھاتقرب ہے جب کہ132 اضافی طور پر چھوٹا ہے اور ہم اسے dy » Dy سے ظاہر کرتے ہیں ۔

 ®  فنکشن fکے علاقہ میں ایک نقطہ cجہاں یا تو f'(c) = 0 ہے یا  fتفرق پذیر نہیں ہے ،fکا فاصل نقطہ کہلاتا ہے ۔

®    پہی  مشتق جانچ مان لیجیے fایک فنکشن ہے جو کہ وقفہ Iپر بیان کیا گیا ہے ۔مان لیجیے fوقفہ Iمیں فاصل نقطہ Cپر مسلسل ہے ۔تب

        (i) جیسے جیسے c،eکے ذریعے بڑھتا ہے f'(x)اپنا نشان مثبت سے منفی میں بدلتا ہے یعنی ۔، f'(x) > 0 ہے ہر ایک نقطہ پر جو کہ cاورcکے بائیں بہت قریب ہے اورf'(x) < 0ہے ہر ایک نقطہ پر جو کہ cاورc کے دائیں بہت قریب ہے ،تب cمقامی اعظم ترین قدروں کا نقطہ ہے ۔

    (ii)    اگر f'(x)اپنا نشان مثبت منفی میں بدلتا ہے جس طرح x،c کی ذریعہ سے آگے بڑھتا ہے ،یعنی اگر f'(x)<0ہے ہر نقطہ پر جوکہ cاورCکے بائیں کافی قریب ہے اور f'(x)>0ہے ہر ایک نقطہ ہر جو کہ cاورeکے دائیں کافی قریب ہے ،تبeمقامی قلیل قدروں کا نقطہ ہے ۔

    (iii) اگر f'(x)اپنا نشان نہیں بدلتا جیسے جیسے xکی کے ذریعہ سے بڑھتا ہے ،تب Cنا تو مقامی اعظم ترین قدروں کا نقطہ ہے اور ناہی مقامی قلیل قدروں کا ۔اس طرح کے نقطے کو موڑ کا نقطہ کہتے ہیں ۔

®   دوسری مشتق جانچ  مان لیجیے fایک فنکشن ہے وقفہIپراورc Î I ۔مان لیجیے f،c پر دوبار تفرق پذیر ہے ۔تب 

     (i)   x = cایک مقامی اعظم ترین قدروں کا نقطہ ہے اگر f'(c) = 0 اور f"(c) < 0 کے۔ اس کیس میں f(c)،fکی مقامی اعظم ترین  قدر ہے ۔

    (ii)   x = cایک مقامی قلیل قدروں کا نقطہ ہے اگر f¢(c) = 0 اورf²(c) > 0 کے ۔

   اس کیس میں f(c)،f کی مقامی قلیل قدر ہے ۔

      (iii)    جانچ فیل ہوجاتی ہے اگر f'(c) = 0اورf"(c) = 0

    اس کیس میں ،ہم پہلی مشتق جانچ کی طرف واپس جاتے ہیں اور معلوم کرتے ہیں کہ کیا Cاعظم ترین قدروں کا نقطہ ہے ،قلیل قدروں کانقطہ ہے یا ایک موڑ کا نقطہ ہے ۔

®   مقامی اعظم ترین قدروں اور/یا مقامی قلیل قدروں کو معلوم کرنے کے لیے کام کرنے کا اصول 

    قدم 1 : وقفہ Iمیں fکے تمام فاصل نقاط معلوم کیجیے یعنی ۔، xمعلوم کیجئے جہاں یا تو f'(x) = 0ہے یا fتفرق پذیر نہیں ہے ۔

   قدم 2  : وقفہ کے سرے کے نقاط معلوم کیجیے ۔

   قدم 3  : ان تمام نقطوں پر (جو قدم 1اور2میں لئے گئے ہیں ) fکی قدریں معلوم کیجیے۔

قدم  4: قدم 3میں حساب لگائی گئی قدروں میں سے اعظم ترین اور قلیل قدروں کی پہچان کیجیے ۔یہ اعظم ترین قدر fکی مطلق عظیم قدر ہوگی اور قلیل قدر fکی مطلق قلیل قدر ہوگی ۔