7.2 تکمل تفرق کے معکوس عمل کے طور پر

 (Integration as an Inverse Process of Differentiation)

ہم (1) میں مشاہدہ کرتے ہیں ،تفاعل sin x،cos x کا معرف(مشتق) تفاعل ہے ہم کہتے ہیں کہ sin x،cos x کا ضد مشتق ( یا ایک تکملہ) ہے۔ اسی طرح (2) اور (3) میں بالترتیب ضد مشتق(یا تکملہ) ہیں۔ دوبارہ، ہم یہ نوٹ کرتے ہیں کہ کسی بھی حقیقی عدد C کے لیے، جس کا برتاؤ ایک مستقل تفاعل کے طور ر کیا جاتا ہے، اس کا مشتق صفر ہے، اور اس لیے ہم (1)، (2) اور (3) کو ذیل طریقے سے لکھ سکتے ہیں۔

d/dx (ex+C) = ex اور d/dx (x³/3+C) = x² ' d/dx (sin x + C) =cos x

اس طرح ،مندرجہ بالا تفاعل کے ضد مشتق (یا تکملہ) واحد نہیں ہیں۔ در حقیقت، ان میں سے ہر ایک تفاعل کے لا تعداد ضد ۔ مشتق وجود میں ہیں جو حقیقی اعداد کے سیٹ میں سے اختیاری (C(arbitaryچنے سے ملتے ہیں۔ اسی وجہ سے C کو ایک اختیاری مستقلہ (arbitary constant) بنایا گیا ہے۔ اصلیت میں، C ایک پیرامیٹر ہے جو کہ دیے ہویے  فنکشن کے مختلف مخالف مشتق (یا تکملہ) سے حاصل ہو تاہے۔ زیادہ عام طور پر ، اگر ایک فنکشن F ہے تاکہ  کے لیے، تب کسی بھی اختاری حقیقی عدد C کے لیے (جسے تکملہ کا مستقلہ بھی کہا جاتا ہے )

  ƒ(x) = g(x) - h (x)، ∀x∈I 

تب      ƒ'(x)= g¹(x) - h¹ (x)، ∀x∈I جو دیتا ہے تب  ƒ='g-h =    

df/dx

یا 

x) = 0, ∀ x∈I) ’ 

ƒ تصور سے

یعنی۔، ƒ کی شرح تبدیلی xکو مدنظر رکھتے ہوئے صفر ہے، وقفہ Iپر اور اس لیے ƒ مستقل ہے۔ 

مندرجہ بالا ریمارک (تبصرہ) کی بنا پر، یہ اس بات کی دلالت کرتی ہے کہ {F+C، C∈R}، خاندان  ƒ کے تمام ممکن ضد مشتق فراہم کرتا ہے ۔

ہم ایک نئی علامت (Symbol) سے روشناس کراتے ہیں، جس کا نام ہے

علامتی طور پر، ہم لکھتے ہیں

∫ƒ (x) dx= F (x)+C

y =∫ƒ(x) dx ہم لکھتےہیں dy /dx = ƒ (x) دیا ہوا ہے کہ   (Notation) ترقیم

آسانی کے لیے ، ہم جدول (7.1) میں ذیل علامتیں /اصطلاح/مقولے اوران کے معنوں کے ساتھ دے رہے ہیں۔

جدول 7.1

ہم پہلے ہی بہت سے مخصوص تفاعل کے مشتق کے لیے فارمولے جانتے ہیں ان فارمولوں سے ایک دم ان فنکشن کے تکملہ کے فارمولے ان ہی کے مطابق لکھ سکتے ہیں۔(جنھیں معیاری فارمولہ کہا جاتا ہے) ، جن کی فہرست نیچے دی گئی ہے جو کہ دوسرے تفاعل کے تکملہ معلوم کرنے میں استعمال کیے جائیں گے۔

مشتق  (Derivatives) تکملہ ضد مشتق ( Integrats (Antii derivatives)

خاص طور پر ، ہم نوٹ کرتے ہیں کہ، 

∫d x = x+c  ; d/dx (x) =1

∫cos x dx =sin x +C ; d/dx (sin x) = cos x  (ii)

∫ sin x dx = - cos x +C     ; d/dx (- cos x) = sin x     (iii)

∫sec² x dx = tan x +C ; d/dx (tan x) = sec² x (iv)

∫cosec² x dx = - cot +C ; d/dx (-cot x) = cosec²x      (v)

∫sec x tan x dx = sec x +C  ; d/dx (sec x) = sec x tan x (vi)

∫cosec x cot x dx = - cosec x +C    ; d/dx (- cosec x) = cosec x cot x    (vii)

∫ex dx = ex +C  ; d/dx (ex) = ex     (xiv)

∫I/x dx = og |x | + C ; d/dx (log |x| = 1/x          (xv)

∫ax dx = ax/ log a + C  ; d/dx (ax/ log a) = ax        (xvi)

نوٹ :عملی طورپر،عموماً ہم ان وقفوںکو ظاہر نہیں کرتے جہاںمختلف فنکشن کی معرف ہوں۔ حالانکہ کسی مخصوص مسئلہ کے دوران ہمیں اس کا دھیان رکھنا چاہیے۔

7.2.1 غیر معین تکملہ کا جیومیٹریائی ترجمانی (Geometrical interpretation of indefinite integral)

مان لیجیے

C∫ƒ(x) dx = x² +C تب , ƒ(x)= 2x

  کی مختلف قدروں کے لیے، ہمیں مختلف تکملہ حاصل ہوتے ہیں۔ لیکن یہ تکملہ جیومیٹریائی انداز میں بالکل ایک جیسے ہیں۔ 

اس طرح

y = x² + C,

 جہاں Cایک اختیاری مستقلہ ہے، اور تکملوں کے ایک خاندان کو ظاہر کرتا ہے۔ Cکو مختلف قدریں دینے پر ، ہمیں  خاندان کے مختلف افراد ملتے ہیں۔ یہ ایک ساتھ مل کر غیر معین تکملہ بناتے ہیں۔ اس معاملے میں، ہر ایک تکملہ –yمحورکے ساتھ ایک مکافی (Parabola) کو ظاہر کرتا ہے۔

واضح طور پر C = 0 کے لیے، ہمیں y=x² حاصل ہوتا ہے۔ ایک مکافی جس کا راس مبدا پر ہے۔ C = 1 کے لیے، منحنی y=x²+1 کے لیےy=x² ، کو y– محورپر مثبت سمت میں بدلنے پر y=x² -1 حاصل ہوتا ہے۔ اس لیے، C کی ہر ایک مثبت قد کے لیے خاندان کے ہر ایک مکافی کا راس –yمحورکی مثبت سمت میں ہے اور C کی ہر ایک منفی قدر کے لیے اس کا راس –y محورکی منفی طرف ہے۔ ان میں سے کچھ کو شکل 7.1میں دکھایاگیا ہے۔

7.2.2غیر معین تکملہ کی کچھ خصوصیات  (Some properties of indefinite integral)

(خصوصیت vسے) 

 ایک دوسرا تکمل کے مستقلے ہیں۔ 

 

(iii)   ہمارے پاس ہے  

حل:(ƒ(x  کا ایکضد مشتق  ہے، چوںکہ 

ریمارک (Remarks)

(ii) کبھی کبھی، F بنیادی تفاعل کے رکن میں بیان نہیں کیا جاسکتا جیسے کثیر رکنی ، لوگارتمی ، قوت نمائی، ٹرگنومیٹریائی تفاعلات اور ان کے معکوس وغیرہ۔ اس لیے ہم  معلوم کرنے سے رک جاتے ہیں۔مثال کے طورپر صرف معائنہ کرکے  دریافت کرنا ممکن نہیں ہے کیونکہ ہم وہ تفاعل نہیں معلوم کر سکتے جس کا مشتق  ہے۔

7.2.3تفرق اور تکمل کے درمیان موازنہ  (Comparison between differentiation and integration)

3۔ ہم پہلے ہی دیکھ چکے ہیں کہ ساریتفاعلات تفرق پذیر نہیں ہوتے ہیں۔ اسی طرح، تمام فنکشن تکمل پذیر نہیں ہوتے۔ ہم غیر تفرق پذیر اور غیر تکمل پذیر فنکشن کا مطالعہ اعلیٰ جماعتوں میں کریں گے۔

4۔ ایک تفاعل کامشتق اگر موجود ہے تووہ ایک واحد تفاعل ہے۔ ایک تفاعل کا تکمل اس طرح نہیں ہے۔ حالانکہ ایک جمعی مستقلہ تک واحد ہوتے ہیں یعنی ایک تفاعل کے کن ہی دوتکملوں میں ایک مستقلہ کا فرق ہوتا ہے۔

5۔ جب کثیر رکنی تفاعلP کی تفریق کی جاتی ہے تو نتیجہ ایک کثیر رکنی ہوتاہے جس کی ڈگری (درجہ) P کے درجہ سے ’1‘ کم ہوتا ہے۔ جب ایک کثیر رکنی تفاعل ’P‘ کا تکمیل کی جاتی ہے۔ نتیجہ ایک کثیر رکنی ہوتاہے جس کا درجہ ’P‘سے ’1‘ زیادہ ہوتا ہے۔

6۔ ہم مشتق کی بات ایک نقطہ پر کر سکتے ہیں، ہم تکمیل کی بات ایک نقطہ پر نہیں کر سکتے، ہم ایک تفاعل کے تکملہ کا ذکر ایک وقفہ میں کر سکتے ہیں جس پر تکملہ بیان کیا گیا ہے جیسا کہ سیکشن 7.7 میں دیکھا جا سکتا ہے ۔

7۔ ایک تفاعل کے مشتق کا جیومیٹریائی مطلب ہے، ایک مماس کا سلوپ اس کے مطابق منحنی کے ایک نقطہ پر۔ اسی طرح ، ایک فنکشن کا تکملہ جیومیٹریائی طریقہ سے دکھایا گیا ہے ، ایک منحنی کی فیملی جو کہ ایک دوسرے کے متوازی رکھی گئی ہے اور جس کے مماس منحنی کے خاندان کے نقطے ، تقاطع پر متوازی ہیں، عمودی خطوط کے ساتھ خودمحور پر اور جو کہ تکمیل کے متغیر کو ظاہر کرتی ہے۔

8۔ کچھ طبعی مقداروں کو دریافت کرنے کے لیے مشتق کا استعمال کیا جاتا ہے، مثال کے طور پر ایک حرکت کرتے ہوئے ذرے کی رفتار ، جب کہ ’t‘ وقفہ میں طے کیا گیا فاصلہ معلوم ہے، اسی طرح، تکملہ کا استعمال ’t‘وقفہ میں طے کیے گئے فاصلہ کو معلوم کرنے کے لیے کیا جاتا ہے ۔

9۔ تفرق ایک عمل ہے جس میں حدود (limit) شامل ہیں۔ اسی طرح تکمیل ہے، جو کہ سیکشن 7.7 میں دیکھا جا ئے گا۔

مشق 7.1

                                               

7.3 تکمل کے طریقے (Methods of Integration)

پچھلے سیکشن میں ہم نے ان تفاعلات پر بحث کی ہے جو کہ کچھ تفاعلات کے مشتق سے فوراً حاصل ہوتے ہیں یہ معائنہ پر مبنی تھا، یعنی اس فنکشن F کی تلاش میں جس کا مشتق f ہے اور جو کہ ہمیں تکملہ fکی طرف لے جاتا ہے۔ حالانکہ یہ طریقہ ، جو کہ معائنہ  پر مبنی ہے ، بہت سے فنکشن کے لیے بہت موزوں نہیں ہے۔ اس لیے ہمیں اور بہت سے طریقوں کی ضرورت ہے۔ تکملہ کو دریافت کرنے کے لیے اسے معیاری شکل میں رکھ کر، ان میں سے جو خاص طریقہ یا تکنیک ہیں وہ ان پر مبنی ہیں:

1۔ بدل کے ذریعہ تکمل (Integration by Substitution)

2۔ جزوی کسروں کا استعمال کر کے تکمل (Integration using Partial Fractions)

7.3.1 بدل کے ذریعہ تکمل(Integration by substitution)

اس سیکشن میں،بدل مقام کے ذریعہ تکمل کے طریقے پر غور کرتے ہیں۔ 

دیے ہوئے تکملہƒ (x)dx∫ کو غیر معین متغیر x کو  تبدیل کرکے دوسری شکل میں بدل سکتے ہیں۔

 متغیر کو بدلنے والایہ فارمولہ ہمارے پاس ایک اہم اوزار ہے ،بدل کے ذریعے تکمل کے نام سے یہ عام طور پر اس وقت اور بھی خاص ہو جاتا ہے جہاں ہمیں یہ اندازہ (قیاس آرائی) ہے کہ بدل سے کیا فائدہ ہوگا۔ عام طور پر ہم ایک تفاعل کے لیے ایک بدل کرتے ہیں جس کا مشتق بھی تکمل کی شکل برآمد ہے جیسا کہ مندرجہ ذیل مثالوں کے ذریعے بیان کیا گیا ہے۔

اس لیے ƒsim mx dx = 1/m ƒsim t dt = - 1/m cos t +c = - 1/m cos mx +c

(ii)  کا مشتق 2x ہے۔ اس لیے، ہم  بدل کا استعمال کرتے ہیں تا کہ 2x dx = dt ہو۔

(iii)  بدل کا استعمال کرتے ہیں تاکہ ہو جو کہ دیتا ہے dx = 2t dt

اس طرح 

اس لیے، 

(iv)  کا مشتق ہے۔ اس لیے، ہم 

 رکھتے ہیں تاکہ 

اس لیے، 

تب

ہمارے پاس ہے

ہمارے پاس ہے

اس لیے، 

جہاں،، ایک دوسرا اختیاری مستقلہ ہے۔

(1)…

اب،   پر غور کیجیے

مشق 7.2

 برابر ہے

7.3.2  ٹرگنومیٹریائی اکائیوں کا استعمال کر کے تکمل کرنا  (Integration using trigonometric identities)

(ii) متماثل sin کو یاد کیجیے (کیوں؟)

تب

(iii) تماثلہ  سے، ہمیں حاصل ہوتا ہے

متباد ل کے طور پر،   fsin³ x dx = ∫sin² xsin x dx= f (1 - cos² x) sin x dx 

cos x = t رکھیے تاکہ sin x dx = dt - ہو

 

ریمارک (Remark)   ٹرگنومیٹریائی اکائیوں کااستعمال کر کے یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ دونوں جوابات برابر ہیں۔

مشق 1 سے 22 میں تفاعلات کے تکملے دریافت کیجیے:

7.4 کچھ مخصوص تفاعلات کے تکملہ (Integrals of Some Particular Functions)

(2)   مندرجہ بالا (1) کے حوالے سے، ہمارے پاس ہے 

نوٹ:  (1) میں استعمال کی گئی تکنیک کی سیکشن 7.5میں وضاحت کی جائے گی۔

(4)  مان لیجیے  x = a sec θ ہے۔ تب dx = a secθ tanθ dθ

(5) مان لیجیے x = a sinθ ہے۔، تب dx = a cosθ dθ ہے ۔

(7)  کا تکملہ معلوم کرنے کے لیے، ہم لکھتے ہیں

(8)  کی قسم کا تکملہ دریافت کرنے کے لیے، ایسا ہی کیجیے جیسا کہ (7) میں کیا گیا ہے، ہمیں بنیادی تکملہ فارمولے استعمال کر کے حاصل ہوتا ہے۔

(9) ، جہاں p, q, a, b, c مستقلہ ہیں، کسی قسم کا تکملہ معلوم کرنے کے لیے ہمیں حقیقی اعداد A اور B معلوم کرتے ہیں تاکہ

px +q = A d/dx (ax² +bx+c) +B=A (2 ax+b) +B

A اور B معلوم کرنے کے لیے ہم دونوں طرف x کے ضریب اور مستقل ارکان کی برابری کرتے ہیں۔ اس طرح A اور B معلوم ہو جاتے ہیں اور ایسے تکملہ ایک جانی پہچانی صورت میں چھوٹا ہو جاتا ہے ۔

(10)  کی قسم کے تکملہ کی تحسیب کرنے کے لیے ہم (9) کی طرح آگے بڑھتے ہیں اور پھر تکملہ کو اس بنیادی صورت میں لکھتے ہیں۔

حل: ہمار ے پاس ہے

اس طرح

اس لیے، [7.4 (3) سے ]

(ii)  درج تکملہ 7.4(7)کی صورت کا ہے۔ ہم تکمل کا نسب نماں اس طرح لکھتے ہیں،

(iii)  ہمارے پاس ہے 

B = 1/2 اور A=1/4 یا A+B = 2 اور 4A=1

اس لیے، 

...(1) (مان لیجیے) 

 رکھیے، تاکہ dx = dt، ہمیں حاصل ہوتا ہے 

(3)...

(2) اور (3) کا استعمال (1) میں کرنے پر، ہمیں حاصل ہوتا ہے 

(ii)  یہ تکملہ  میں دی گئی صورت میں ہم اسے اس طر ح ظاہر کرتے ہیں 

دونوں طرف xکے ضریب اور مستقل ارکان کی برابرکورکھنے پرہم دیکھتے ہیں 

مشق 7.4

7.5 جزوی کسروں کے ذریعے تکمل  (Integration by Partial Fractions)

یا د کیجیے کہ ناطق تفاعل کو دو کثیر رکنیوں کی نسبت کے طور پر  کی شکل میں بیان کیا گیا ہے جہا ں (P (x اور  میں کثیر رکنیاں ہیں اور ۔ اگر (P(x  کا درجہ (Q(x کے درجہ سے کم ہے، تب ناطق فنکشن واجب کہلاتا ہے، ورنہ ، یہ غیر واجب کہلاتا ہے۔ غیر واجب ناطق فاعل کو واجب ناطق فاعل میں لمبی تقسیم کے عمل سے تحویل کیا جا سکتا ہے۔ اس لیے، اگر  غیر واجب ہے، تب  میں کثیر رکنی ہے اور  ایک واجب ناطق تفاعل ہے۔ جیسا کہ ہم جانتے ہیں کہ کثیر رکنی کا کس طرح تکمل کرتے ہیں، کسی بھی ناطق تفاعل کا تکمل ایک واجب ناطق تفاعل کے تکمل میں تحویل ہو جاتا ہے ۔ وہ ناطق تفاعل جن کا ہم تکمل کے لیے غور کریں گے، وہ ہوں گے جن کے نسب نما کو خطی اور دو رکنی اجزائے ضربی میں توڑا جاسکے۔ مان لیجیے کہ ہم  کی قدر کا اندازہ لگانا چاہتے ہیں جہاں  ایک واجب ناطق تفاعل ہے ۔یہ ہمیشہ ممکن ہے تکمل کو آسان ناطق تفاعلات کے حاصل جمع کے طور پر ایک طریقہ سے لکھنا جسے جزوی کثروںمیں تحلیل کہتے ہیں ہمیشہ ممکن ہے۔ اس کے بعد تکمل کرنا پہلے سے جانے ہوئے طریقوں کے ذریعے آسان ہو جاتا ہے۔ ذیل جدول 7.2میں آسان جزوی کسروں کی قسم کو ظاہر کیاگیا ہے جو کہ ناطق کسروں کی مختلف قسموں کے ساتھ جڑی ہوئی ہیں۔

جدول 7.2

نمبر شمار ناطق تفاعل سے جزوی کسر سے

مندرجہ بالا جدول میں ، B, A اور C میں حقیقی اعداد ہیں جنھیں موزوں انداز میں دریافت کرنا ہے۔

مثال11  دریافت کیجیے

حل  تکمل ایک واجب ناطق تفاعل ہے۔ اس لیے [جدول  میں دی ہو جزوی کسر کی صورت استعمال کر کے ہم لکھتے ہیں

(1)...

مثال 12:  دریافت کیجیے

حل:   یہاں تکمل   ایک مناسب ناطقت فاعل نہیں ہے، اس لیے ہم  سے تقسیم کرتے ہیں اوردریافت کرتے ہیں

دونوں طرف x کے ضریب اور مستقل ارکان کو برابر رکھنے پر، ہمیں حاصل ہوتا ہے۔ A + B = 5 اور 3A + 2B = 5 – ان مساواتوں کو حل کرنے پر، ہمیں A = –5 اور B = 10 حاصل ہوتا ہے۔

اس طرح ،

اس لیے،

مثال 13:   معلوم کیجیے

 اور مستقل ارکان کے ضریب کا دونوں طرف موازنہ کرنے پر، ہمیں

مثال 16:  دریافت کیجیے

مشق 7.5

16۔  [اشارہ شمارکنندہ اور نسب نما کو  سے ضرب کیجیے اور  رکھیے

17۔  [اشارہ  Sinx = t رکھیے] 

21۔  [اشارہ: ex = t رکھیے]

7.6  بالحصص تکمل(Integration by Parts)

اس سیکشن میں، ہم تکمل کا ایک اور طریقہ بیان کریں گے، جو کہتفاعلات کی تکملی ضرب میں بہت زیادہ مفید ثابت ہوا ہے۔

اگر u اور v ایک واحد متغیر x (مان لیجیے) کہ دو تفرق پذیر تفاعل ہیں۔ تب تفرق کے ضربی اصول سے ، ہمار ے پاس ہے

دونوں طرف کا تکمل کرنے پر، ہمیں حاصل ہوتا ہے

اس لیے ، عبارت (1)اس طرح لکھی جا سکتی ہے 

اگر ہمƒکو پہلے تفاعل اور g کو دوسرے تفاعل کے طور پرلیتے ہیں، تب یہ ضابطہ درج ذیل کی طرح بیان کیا جا سکتا ہے:

مثال 17:  x cos x dx∫  دریافت کیجیے

تب، اجزا مکمل بالحصص سے ہمیں حاصل ہوتا ہے

ریمارک (Remark) 

(i) یہ ظاہر کرنا بیش قیمتی ہے کہ تکمل بالحصص کرناتفاعل کے تمام حاصل ضرب کے معاملوںمیں ممکن نہیں ہے۔مثال کے طورپر یہ طریقہ میں کار آمد نہیں ہے۔ اس کی وجہ ہے کہ کوئی تفاعل ایسا موجود نہیں ہے جس کا مشتق  ہے۔

(ii) یہ مشاہدہ کیجیے کہ جب ہم دوسرے تفاعل کا تکملہ دریافت کرتے ہیں تو کوئی تکمل کا مستقلہ نہیں لیتے ہیں۔ اگر ہم دوسرے تفاعل cos x کا تکملہ ایسے لکھیں جو کہ Sin x + K ہے، جہاں K کوئی مستقلہ ہے، تب 

 ∫x cos x dx = x (sin x + k)  - ∫(siin x + k) dx

= x (sin x + k) - ∫(sin x dx - ∫k dx

= x (sin x +k) - cos x - kx +C = x sin x + cos x +C

(iii) عام طور پر ، اگر کوئی تفاعل xقوت کا ہے یا xمیں کثیر رکنی ہے، تب ہم اسے پہلے تفاعل کے طور پر لیتے ہیں ۔ حالانکہ ان معاملوں میں جہاں دوسرے تفاعل معکوس ٹرگنومیٹریائی تفاعل ہے یا لوگارتمی تفاعل ہے، تب ہم انھیں پہلے تفاعل کے طور پر لیتے ہیں۔

حل:   x کو پہلے اور کو دوسرے تفاعل کے طور پر لیجیے۔ دوسرے تفاعل کا تکملہ ہے۔ 

ہم پہلے دوسرے تفاعل کاتکملہ معلوم کریں گے، یعنی

متبادل کے طور پر، یہ تکملہ قائم مقامی کے طریقہ سے بھی معلوم کیا جا سکتا ہے جہاں  ہے۔ اور پھرتکمل بالحصص  کرنے پر۔

مثال 21:   معلوم کیجیے

حل:    کو پہلا تفاعل لیجیے اور sin x کو دوسراتفاعل ۔ تب، تکمل بالحصص کرنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے

 اور cos x کو بالترتیب  I1 ہیں پہلا اور دوسرا تفاعل لینے پر I1 ہمیں حاصل ہوتا ہے۔

متبادل کے طورپر ، درج بالا تکملہ کو Sinx کو پہلا تفاعل اور  کو دوسراتفاعل لے کر بھی حل کیا جا سکتا ہے۔

7.6.1  کی طرح کا تکملہ

(f  (x اور  کو بالترتیب (I) میں پہلا اور دوسرا تفاعل لینے پر اورتکمل بالحصص تکمل کرنے پر ہمارے پاس ہے 

مثال 22:  معلوم کیجیے 

مشق 7.6

23۔  برابر ہے

7.6.2 کچھ اور قسم کے تکملے (Integrals of some more types)

یہاں، ہم کچھ خاص طریقوں کے معیاری تکملوں پر بحث کریں گے۔جوتکمل بالحصص کی تکنینک پر مبنی ہیں:

مستقل فنکشن 1کو دوسرا فنکشن لینے پر اور اجزا کے ذریعہ تکمل کرنے پر ہمارے پاس ہے 

متبادل کے طور پر ، تکملے(1)،(ii) اور (iii) ٹرگنومیٹریائی نعم البدل کے ذریعے بھی حاصل کیے جاسکتے ہیں۔ جیسے x = a secθ کو (i) میں رکھنے پر، x = a tan θ کو (ii) میں رکھنے پر اور x = a sinθ کو بالترتیب (iii)میں رکھنے پر 

مثال 23:   معلوم کیجیے

حل:   نوٹ کر لیجیے کہ 

مشق7.7

7.7معین تکملہ (Definite Integral)

پچھلے سیکشن میں ہم نے لا محدود تکملوں کے بارے میں پڑھا ہے اور ان کو معلوم کرنے کے چندطریقوں کے بارے میں بحث   کی ہے جس میں کچھ مخصوص تفاعل بھی شامل ہیں۔ اس سیکشن میں ہم معین تکملے کے تفاعل کا مطالعہ کریں گے۔معین تکملے کی ایک واحد قدر ہوتی ہے۔ ایک معین تکملہ کو  سے ظاہر کیا جاتا ہے جہاں a تکملے کی زیریں اور b بالائی  ہوتی ہے۔ معین تکملے کا تعارف یا تو انتہا کے مجموعہ کے طور پرکیا جاتا ہے یا یہ ایک مخالف تفرق F وقفہ [a, b] میں رکھتا ہے، تب اس کی قدر F کی قدروں کے انتہائی نقاط پر، یعنی،  کے فرق کے درمیان ہے۔ یہاں ہم ان دونوں حالتوں پر غور کریں گے جیسا کہ ذیل میں بحث کی گئی ہے:

7.7.1 معین تکملہ ایک حاصل جمع کی انتہا کے طور پر  (Definite integral as the limit of a sum)

معین تکملہ محورسے گھرے ہوئے علاقہ کا رقبہ ہے۔ اس رقبہ کی قدر کا اندازہ لگانے کے لیے، حلقہ PRSQP پر غور کیجیے جو کہ –xمحور اورطولی مختص x = a اور x = bکے درمیان ہے (شکل 7.2)

وقفہ [a,b] کو n برابر کے ما تحت وقفوں میں بانٹیے جو کہ  سے ظاہر کیے گئے ہیں اور جہاں ہے۔ ہم نوٹ کرتے ہیں کہ جس طرح  ہے۔

حلقہ PRSQP جس پر غور کیا جا رہا ہے n ماتحت حلقوں کا حاصل جمع ہے، جہاں ہر ایک ماتحت حلقہ، ماتحت وقفوں  پر بیان کیا گیا ہے ۔

شکل 7.2 سے، ہمارے پاس ہے

(ABDM) ...(1)مستطیل کا رقبہ علاقہ >(ABDCA) کا رقبہ مستطیل >(ABCL) کا رقبہ

 شدت کے ساتھ جس طرح  دکھائے گئے تینوں رقبہ تقریباً ایک دوسرے کے برابر ہو جاتے ہیں۔ اب ہم درج ذیل حاصل جمع معلوم کرتے ہیں۔

یہاںSn اور Sn بالترتیب ذیلی مستطیلوں اوردرج بالا مستطیلوں کے رقبوں کا حاصل جمع ظاہر کرتے ہیں۔ جو کہ ماتحت وقفوں  کے اوپر ہے ۔ 

ایک اختیاری ماتحت وقفہ کے لیینا مساوات (1) کو مد نظر رکھتے ہوئے  ہمارے پاس ہے 

(4)... Sn > حلقہ PRSQP کا رقبہ > Sn 

جیسے جیسے ∞ → n ، پتیاں قریب ہوتی جاتی ہیں، یہ مان لیا گیا ہے کہ (2) اور (3) کی انتہائی قدریں دونوں حالت میں یکساں ہیں اور مشترک انتہائی قدر منحنی کے زیر سایے مطلوبہ رقبہ ہے۔

(5)...

اس سے یہ ظاہرہوتا ہے کہ یہ رقبہ دوسرے کسی بھی رقبہ کی انتہائی قدر ہے جو کہ مستطیل کی منحنی سطح کے نیچے اور مستطیل منحنی کی سطح کے اوپر ہے۔ آسانی کے لیے، ہم مستطیلوں کی اونچائی منحنی کی اونچائی کے برابر لیں گے جوکہ ہر ایک ماتحت وقفہ کی بائیں ہاتھ کے کنارے کی طرف ہوگا۔ اس لیے ہم (5) کو اس طرح لکھتے ہیں

ریمارک (Remark) : ایک تفاعل کے محدود تکملے کی قدر کسی بھی خاص وقفہ پراس تفاعل کے تکملے پر  منحصر ہوتی ہے، لیکن تکمل کے متغیر کے اوپر نہیں تاکہ ہم لا محدود متغیرکو ظاہر کرنے کے لیے چن سکیں۔ اگر لا محدود متغیر کو x کے بجائے t یا u سے ظاہر کیا جائے تو ہم آسانی کے لیے تکملے کو کو لکھتے ہیں۔ اس لیے، تکمل کا متغیر مصنوعی متغیر کہلاتا ہے۔

مثال 25:   کی انتہائی حاصل جمع کے طور معلوم کیجیے۔

مثال 26:   کی قیمت کا اندازہ انتہائی کے حاصل جمع کے طورپرمعلوم کیجیے۔

حل:   تعریف سے 

G.P.کے n ارکان کے مجموعہ کا استعمال کر کے، جہاں  ہے۔ ہمارے پاس ہے 

مشق 7.8

7.8  احصاکا بنیادی مسئلہ  (Fundamental Theorem of Calculus)

7.8.1رقبہ تفاعل (Area Function)

ہم  کو منحنی (y = f (x،منحنی x = a اور x = b اور x– محورسے گھرے ہوئے علاقہ کے رقبہ کے طور پر بیان کر چکے ہیں، مان لیجیے [a, b] میں ایک نقطہ x دیا ہوا ہے۔

دوسرے الفاظ میں، اس شیڈڈ خطہ کا رقبہ xکا تفاعل ہے۔ ہم xکے اس تفاعل (A(x کورقبہ تفاعل کے طور بیان کرتے ہیں ہمتفاعل(A(n کورقبہ تفاعل کہتے ہیں۔جو اس طرح دیا گیا ہے 

(1)…

اس تعریف پر مبنی دو بنیادی مسئلے دئیے گئے ہیں۔ حالانکہ ، ہم ان کاصرف بیان دے رہے ہیں، کیونکہ ان کا ثبوت اس کتاب کی حد سے باہر ہے۔

7.8.2 تکملہ احصا کا پہلا بنیادی مسئلہ  (First fundamental theorem of integral calculus)

مسئلہ1  مان لیجیے بند وقفہ[a, b] پر f ایک مسلسل تفاعل ہے اورمان لیجیے (A(x رقبہ تفاعل ہے۔ تبتمام [x ∈ [a, b کے لیے  ہے 

7.8.3 تکملہ احصا کا دوسرا بنیادی مسئلہ (Second fundamental theorem of integral calculus)

ریمار ک (Remark)

(i)   الفاظ میں، مسئلہ 2ہمیں بتاتا ہے کہ  = (بالائی حد b پر f کے ضد مشق F کی قدر۔ اسی ضد مشق کی زیریں حد پر قدر) 

(ii) یہ مسئلہ بہت زیادہ استعمال میں آنے والا ہے، کیونکہ یہ ہمیں بغیر انتہا کا حاصل جمعنکالے ہوئے معین تکملہ کو اور آسانی سے حل کرنے میں مدد کرتا ہے۔

(iv)  میں ہونے کی ضرورت ہے کہ تفاعل f کو بہترین طریقہ سے بیان کرنے کی اور [a, b] میں مسلسل مثال کے طور پر، محدود تکملہ  پر غور کرنا غلط ہے، کیونکہ تفاعلf جو کہ  سے ظاہر کیا گیا ہے، جوکہ بندوقفہ [23-] کے حصے میں بیان نہیں کیاگیاہے۔

 کی تحسیب کے اقدامات

(i) غیرمعین تکملہ ƒ(x) dx∫  معلوم کیجیے۔ مان لیجیے یہ (F(x ہے۔ تکمل میں مستقلہ C رکھنے کی کوئی ضرورت نہیں ہے کیونکہ اگر ہم (F(x کی بجائے  F(x) + C پر غور کرتے ہیں تو ، ہمیں حاصل ہوتا ہے

اس طرح، اختیاری مستقلہ معین تکملہ قدر کی تحسیب کرنے میں غائب ہو جاتا ہے

(ii)  کی قدر کا اندازہ لگائیے، جو کہ  کی قدر ہے 

مثال 27:  ذیل تکملوں کی قدر معلوم کیجیے:

(i) مان لیجیے  ہے،

اس لیے، دوسرے بنیادی مسئلہ سے ،ہمیں حاصل ہوتا ہے

(ii) مان لیجیے  ہے۔ ہم پہلے تکملے کا ضد مشتق معلوم کرتے ہیں۔

(iii) مان لیجیے 

اس لیے ، احصا کے دوسری بنیادی مسئلہ سے ، ہمارے پاس ہے

اس لیے تکملہ احصا کے دوسرے بنیادی مسئلہ سے

مشق 7.9

سوال 1 تا 20 میں معین تکملوں کی قدر معلوم کیجیے

7.9 بدل کے ذریعے معین تکملوں کی قدر معلوم کرنا
(Evaluation of Definite Integrals by Substitution)

 کا بدل کے ذریعہ قدر کا اندازہ لگانے کے لیے مندرجہ ذیل طریقہ کے اقدامات ہو سکتے ہیں۔

مثال 28:   کی قدر معلوم کیجیے

حل:   t = x5 + 1 رکھیے ، تب dt = 5x4 dx ہے۔

مان لیجیے t = x5 + 1 ہے۔ تب dt = 5x4 dx

یہ ذہن نشین کر لیجیے ، کہ جب t = 0 ، x = –1 اور جب t = 2، x = 1

اس طرح جب 1x- سے 1 کی طرف جاتا ہے 0،  t سے 2 کی طرف ہے

مثال 29:   کی قدر معلوم کیجیے

حل: مان لیجیے ہیں۔ اس طرح جب 0 سےx’ 1‘ کی طرف بڑھتا ہے، t، 0 سے  کی طرف بڑھتا ہے 

اس لیے 

مشق 7.10

1 تا 8 سوالوں میں بدل کے ذریعے کا استعمال کر کے تکملوں کی قدر معلوم کیجیے۔

9۔ تکملے  کی قدر ہے

10۔ اگرہے، تب  ہے

7.10معین تکملوں کی کچھ خصوصیات (Some Properties of Definite Integrals)

ہم نے ذیل میں معین تکملوں کی کچھ خاص خصوصیات بیان کی ہیں۔یہ معین تکملوں کی قدر معلوم کرنے میں اور زیادہ مفیدثابت ہوں گی۔

(یہ بات قابل غور ہے کہ P3 ، P4 کا ایک خاص کیس ہے)

ہم ان خصوصیات کے ثبوت ایک ایک کر کے دیتے ہیں۔

P0 کا ثبوت : x = t بدل کر کے اسے سیدھے طور پر حاصل کیا جا سکتا ہے۔

P1 کا ثبوت: مان لیجیے ƒ, F کاضد مشتق ہے ۔ تب ، احصا کے دوسرے بنیادی مسئلہ سے ہمارے پاس ہے 

یہاں ہم یہ مشاہدہ کرتے ہیں کہ ، اگر a = b ہے، تب 

P2  کا ثبوت: مان لیجیے t, F کا ضد مشتق ہے، تب 

P4  کا ثبوت: t = a –x رکھیے۔ تب dt = – dx ہے۔ جب x = 0 ، t = a اور جب t = 0 ، x = a۔ اب  کی طرح آگے بڑھنے پر

P5 کا ثبوت :P2 کا استعمال کرنے پر، ہمارے پاس ہے 

اس لیے دوسرا تکملہ ہو جاتا ہے 

P6 کا ثبوت :P5 کا استعمال کرنے پر، ہمارے پاس ہے 

P7 کا ثبوت : P2 کا استعمال کرنے پر، ہمارے پاس ہے

تب ،مان لیجیے پہلے تکملہ میں دائیں ہاتھ کی طرف t = –x

(i) اب ، اگر f ایک جفت تفاعل ہے۔ تب (f(–x) = f(x اور اس لیے (1) ہو جاتی ہے 

(ii) اگر f ایک طاق تفاعل ہے، تب (f(–x) = –f(x اور اس لیے (1) ہو جاتی ہے

مثال 30:   کی قدر معلوم کیجیے

حل:   ہم یہ ذہن نشین کرتے ہیں کہ پر  ہے۔ اس لیے P2 سے ہم لکھتے ہیں

مثال 31:   کی قدر معلوم کیجیے

حل:   ہم یہ مشاہدہ کرتے ہیں کہ sin2 x ایک جفت تفاعل ہے۔ اس لیے ،  

cos x = t رکھیے تاکہ sin x dx = dt– ہوا جب t = 1، x = 0 اور جب  ہے۔ اس لیے، (P1) سے ہمیں حاصل ہوتا ہے

مثال 33:   کی قدر معلوم کیجیے

حل:  مان لیجیے  ہے۔ تب 

مثال 34:   کی قدر معلوم کیجیے

(1) اور (2) کو جمع کرنے پر ، ہمیں حاصل ہوتا ہے 

مثال35:  کی قدر معلوم کیجیے

(1) اور (2) کو جمع کرنے پر، ہمیں حاصل ہوتا ہے

مثال 36:   کی قدر معلوم کیجیے

حل:   مان لیجیے 

تب، P4 سے 

I کی دونوں قدروں کو جمع کرنے پر، ہمیں حاصل ہوتا ہے

(log 2 کو جمع کرنے اور گھٹانے پر) 

(متغیر t کو x سے بدلنے پر) 

مشق 7.11

معین تکملوں کی خصوصیات کا استعمال کرکے، 1تا 18سوالوں میں تکملوں کی قدر معلوم کیجیے

سے بیان کیے گئے ہیں۔

سوال 20 اور 21 میں صحیح جوابات کا انتخاب کیجیے۔

20۔  کی قدر ہے

(A)  0 (B) 2 (C) p (D) 1

(A) 2  (B)  (C) 0 (D) –2

متفر ق مثالیں

مثال 37:   دریافت کیجیے

حل:   مان لیجیے t = 1 + sin 6x ہے، تاکہ dt = 6 cos 6x dx 

دونوں طرف کے ضریبوں کا موازنہ کرنے پر ، ہمیں  C – B = O, A+B = 0 اور A – C = 1 حاصل ہوتا ہے جو کہ  ،  دیتا ہے B ، A  اور C کی قدریں (2) میں رکھنے پر، ہمیں حاصل ہوتا ہے۔

... (3)

دوبارہ ،(3) کو (1) میں رکھنے پر، ہمارے پاس ہے 

پہلے تکملے میں،ہم  ’I‘ کو دوسرے تفاعل کے طور پر لیتے ہیں۔ تب اس کاتکمل بالحصص کرنے پر، ہمیں حاصل ہوتا ہے

دوبارہ، ، پر غور کیجیے،  ’I‘ کو دوسرا تفاعل لیجیے اورتکمل بالحصص کرنے پر

ہمارے پاس ہے

 

(2) کو (1) میں رکھنے پر، ہمیں حاصل ہوتا ہے

مثال 41:    کو معلوم کیجیے

حل:   ہمارے پاس ہے 

مثال 42:    کومعلوم کیجیے

حل:  مان لیجیے 

  رکھیے ، تاکہ  4sin 2x cos 2x dx = –dt

اس لیے

مثال 43:   کی قدر معلوم کیجیے

حل:

  

دونوں تکملوں کا دائیں ہاتھ کی طرف تکمل کرنے پر ، ہمیں حاصل ہو تا ہے

مثال 44:   کی قدر معلوم کیجیے

حل:  مان لیجیے  کا 

استعمال کر کے)

(شمار کنندہ اور نسب نما کو cos2 x سے تقسیم کرنے پر)

b tan x = t رکھیے، تاکہb sec2 x dx = dt ہو۔ ساتھ ہی، جب t = 0، x = 0 اور جب ∞ → t

اس لیے، 

با ب 7 پر مبنی متفرق مشق

سوال 1 تا 24 میں تفاعلات کا تکملہ کیجیے

25 تا 33 سوالوں میں معین تکملوں کی قدر معلوم کیجیے۔

مندرجہ ذیل (34 تا 39 سوالوں) کو ثابت کیجیے

40۔  کی حاصل جمع کے طور پر قدر معلوم کیجیے۔

41 تا 44 سوالوں میں صحیح جوابات کا انتخاب کیجیے

41۔  برابر ہے

42۔  برابر ہے

خلاصہ (Summary)

• تکمل، تفرق کا معکوس طریقہ ہے۔ تفرقی انحصا (کیلکولس) میں ہمیں ایک تفاعل دیا ہوا ہو اور ہمیں اس تفاعل کا مشتق یا معلوم کرنا ہوتا ہے ، لیکن تکمل احصا میں، ہمیں وہ تفاعل معلوم کرنا ہے جس کا تفرق دیا ہوا  ہے ۔ اس طرح، تکمل وہ طریقہ ہے جو کہ تفرق کا معکوس ہے۔
  
• مان لیجیے  (d/dxF(x)= ƒ (x ہے۔ تب ہم fƒ (x) dx = F (x) +C  لکھتے ہیں۔ ان تکملوں کو لامحدود تکملے یا عام تکملے کہتے ہیں، C کو تکمل کا مستقلہ کہتے ہیں۔ ان تمام تکملوں میں مستقلہ کا فرق ہوتا ہے ۔
  
• جیومیٹریائی نقطہ نظر سے ، ایک غیر معین تکملہ منحنیوں کی فیملی کاحاصل جمع ہے، جس میں سے ہر ایک کو ایک منحنی کو بخود متوازی میں بدل کر –y محور کے ساتھ اوپر یا نیچے کی طرف رکھ کر حاصل کیا جاتا ہے۔
  
• غیر معین تکملوں کی کچھ خصوصیات مندرجہ ذیل میں دی گئی ہیں:
  

∫[ƒ(x) +g(x)] dx = ∫ƒ(x) dx +∫g (x) dx  .1 

2. کسی بھی حقیقی عدد kکے لیے، 

اور عام طور پر، اگر  حقیقی اعداد میں ، تب 

• کچھ معیاری تکملے (Some Standard Integrals)
  

• جزو ی کسروں کے ذریعے تکمل (Integration by partial fractions)
  

یاد کیجیے کہ ایک ناطق فنکشن دو کثیر رکنیوں  کیشکل کی نسبت ہے، جہاں (P(x اور (xQ (x میں کثیر رکنیاں ہیں اور Q(x) ≠ 0۔ اگر کثیر رکنی (P(x کا درجہ کثیر رکنی (Q(x کے درجہ سے زیادہ ہے ،تب ہم (P(x کو (Q(x سے تقسیم کر سکتے ہیں تاکہ  ہو، جہاں   میں ایک کثیر رکنی ہے اور   کا درجہ (Q(xکے درجہ سے کم ہے۔ (T(x ایک کثیر رکنی ہے اس لیے اس کا تکمل آسانی سے کیا جاسکتا ہے ۔ ی جزوی کسروں کے حاصل جمع کے طور پر رکھ کر درج ذیل طریقوں سے کیا جا سکتا ہے:

جہاں x2 + bc + c کے مزید اور اجزا ضربی نہیں ہو سکتے۔

• بدل کے ذریعے تکمل (Integration by Substitution)
  

تکمل کے متغیرمیں بدلاؤ کبھی کبھی ایک تکملے کو کسی ایک بنیادی تکملہ میں تحلیل کر دیتا ہے۔ وہ طریقہ جس میں ہم متغیرکو کسی دوسرے متغیر میں بدل دیتے ہیں بدل کا طریقہ کہلاتا ہے۔ جب تکملے میں کوئی ٹرگنومیٹریائی تفاعل ملوث ہوتا ہے، ہم کسی بھی جانی پہچانی اکائی کا استعمال تکملے کو معلوم کرنے کے لیے کرتے ہیں۔ بدل کا استعمال کر کے، ہم ذیل معیاری تکملے حاصل کرتے ہیں۔

(i)

tan x dx = log | sec x|+c∫

(ii)

cot  x dx = log | sin x|+c∫

(iii)

sec x dx = log | sec x+tan x |+c∫

(iv)

cosec x dx = log |cosec x+cot x |+c∫

• کچھ خصوصی تفاعلات کے تکملے (Integrals of some special functions)
  

• تکمل بالحصص (Integration by Parts)
  

دئیے ہوئے فنکشنوں f1 اور f2 کے لیے، ہمارے پاس ہے۔

  یعنی ، دو تفاعل کے حاصل ضرب کا تکمل= پہلا تفاعل × دوسری تفاعل کا تکملہ –تکملہ [پہلے فنکشن کا تفرقی ضریب × دوسرے فنکشن کا تکملہ]۔ پہلے اور دوسرے فنکشن کو جیسے کرنے میں احتیاط برتنی ہوگی۔ صاف طور پر ، ہم اس تفاعل کو دوسرے تفاعل کے طورپر لیں گے جس کا تکملہ ہمیں اچھی طرح سے معلوم ہو۔

• 
  
• کچھ مخصوص قسم کے تکملے(Some Special types of Integrals)
  

(v)  قسم کے تکملوں کو معیاری شکل میں ذیل طریقے 

سے ظاہر کیا جاتا ہے۔

 ،جہاں A اور B کو دونوں طرف کے ضریبوں کا موازنہ کر کے معلوم کیا جا سکتا ہے۔

ہم نے  سے گھرے ہوئے رقبہ کے طور پر بیان کیا ہے۔مان لیجیےxدیئے ہوئے وقفہ [a, b] میں موجود ہے تب  رقبہ تفاعل (A(x ظاہر کرتا ہے۔ یہ رقبہ تفاعل کا نظریہ تکمل احصا کے بنیادی مسئلہ کی طرف لے جاتا ہے۔

تکملہ احصا کا پہلا بنیادی مسئلہ (fundamental theorem of integral calculus First )

مان لیجیے رقبہ فنکشن اس طرح بیا ن کیا گیا ہے۔

جہاں فنکشنƒکو وقفہ [a, b] پر مسلسل مانا گیا ہے۔ تب  لیے 

• تکملہ احصاکا دوسرا بنیادی مسئلہ (Second fundamental theorem of interal calculus )
  

مان لیجیےx.ƒکا مسلسل تفاعل e ہے جو کہ بند وقفہ [a, b] میں بیان کیا گیا ہے اور F ایک دوسراتفاعل ہے، تاکہ  تمام x کے لیے جو کہ f کے علاقہ میں ہیں۔تب

یہ وسعت علاقہ [a, b] پر f کامعین تکملہ کہلاتا ہے، جہاں a اور b تکمل کی انتہا کہلاتی ہیں a زیریں انتہا ہے اور b بالائی انتہاہے۔