تکملوں کااستعمال/ اطلاق
(APPLICATION OF INTEGRALS)
ہمیں ریاضی کا مطالعہ کرنا چاہیے کیونکہ ہم ریاضی کے ذریعے ہی قدرت کو ہم آہنگ کی شکل میں دیکھ سکتے ہیں۔برک ہوف
تعارف (Introduction)
جیومیٹری میں ہم بہت سی جیومیٹریائی اشکال جیسے مثلث ،مستطیل ،منحرف اور دائروں کے رقبے معلوم کرنے کے فارمولے پڑھتے ہیں ۔ریاضی کے استعمال میں اس طرح کے فارمولے زندگی میں بہت سے حقیقی مسئلوں کے لیے بنیادی ہیں۔ بنیادی جیومیٹری کے فارمولے ہمیں بہت سی آسان شکلوں کارقبہ دریافت کرنے کی معاون نہیں ہوتے۔ حالانکہ یہ منحنی سے گھرے ہوئے رقبہ کا حساب لگانے میں ناکافی ہیں۔ اس کے لیے ہمیں یہاں تکملی احصا کے تصور کی ضرورت ہوگی ۔
اے ۔ایل۔کوچی (A.L. Cauchy)
(1789–1857)
پچھلے باب میں جب ہم تکملہ کی قدر انتہا کے حاصل جمع کے طور پر معلوم کررہے تھے۔توہم نے منحنی (y = f (x ،مختص x = a ، x = b اور x– محور سے گھرے ہوئے رقبہ کو نکالنے کے بارے میں پڑھا ہے۔یہاں، اس باب میں ہم تکملوں کے خاص استعمال کے بارے میں پڑھیں گے جس میں آسان منحنیوں کا رقبہ معلوم کرنا ، خطوط اور دائروں کے قوس کے درمیان کا رقبہ، مکافی اور ناقص (صرف معیاری شکل میں ) شامل ہے۔
8.2 سادہ منحنیوں سے گھرا ہوارقبہ (Area under Simple Curves)
پچھلے باب میں ہم نے معین تکملے کو انتہا کے حاصل جمع کے طور پر پڑھا ہے اورکس طرح معین تکملے کی قدر معلوم کی جاتی ہے یہ ہم نے احصا کے بنیادی مسئلے کا استعمال کرکے سیکھا ہے۔ منحنی y = f(x)، x - محور اور طولی مختص x = a اور x = b سے گھرے ہوئے رقبہ کومعلوم کرنے کے لیے اب ہم آسان اور وجدانی طریقے پر غور کریں گے۔ شکل 8.1 سے ہم منحنی کے زیر سایہ رقبہ جو کہ بہت زیادہ تعداد میں بہت پتلی عمودی پتیوں سے بنا ہوا ہے کے بارے میں سوچ سکتے ہیں۔
ایک اختیاری پتی جس کی اونچائی y اور چوڑائی dx پر غور کیجیے، تب dA (بنیادی پتی کا رقبہ) = ydx ،جہاں (y = f(x ہے۔ یہ رقبہ ابتدائی رقبہ کہلاتا ہے جو کہ اختیاری پوزیشن پر علاقہ کے اندر واقع ہے اور جسے x کی کچھ خاص قدروں a اور b کے درمیان دکھایا گیا ہے۔
ہم x محورطولی مختص x = b، x = a اور منحنی (y = f(x کے درمیان واقع علاقہ کے کل رقبہ A کے بارے میں سوچ سکتے ہیں،جوکہ نتیجتاً پتلی پتیوں کے ابتدائی رقبوں کو جمع کرکے علاقہ PQRSP سے ہوکرگزرتا ہے۔ علامتی طور پر ہم اس طرح ظاہر کرتے ہیں
منحنی (y ، x = g(y محور اور خطوط y = d، y = c سے گھرے ہوئے علاقہ A کا رقبہ اس طرح دیا گیا ہے
A= 
xdy
= g (y) dy
یہاں ہم عرضی پتیوں پر غور کرتے ہیں جیسا کہ شکل 8.2 میں دکھایا گیا ہے۔
ریمارک (Remark): جس مخنی پر غور کیا جارہا ہے اگر اس کی پوزیشن x محور کے نیچے ہے، تب کیونکہ
سے x = b تک، جیسا کہ شکل 8.3 میں دکھایا گیا ہے،منحنی، x –محور اورطولی مختص x = a ، سے گھرا ہوا رقبہ منفی ہوجاتا ہے۔ لیکن، یہ صرف اس رقبہ کی عددی قدر ہے جس پر غور کیا جارہا ہے۔ اس طرح، اگر رقبہ منفی ہے، ہم اس کی مطلق قدر لیتے ہیں، یعنی،
|ƒ (x) dx
|
عام طور پر ایسا ہوسکتا ہے کہ منحنی کا کچھ حصہ x –محور کے اوپر ہو اور کچھ x– محور کے نیچے ، جیسا کہ شکل 8.4 میں دکھایا گیا ہے۔ یہاں، A
1 < 0 اور A
2 > 0 ہے۔ اس لیے ،مخنی
محور اورطولی مختص x = a اور x = b سے گھرا ہوا رقبہ
AA =|A1| + A2
دیا گیا ہے۔
مثال 1: دائرہ x²+y² = a² سے گھرے ہوئے علاقہ کا رقبہ معلوم کیجیے۔
حل: شکل 8.5 سے مکمل رقبہ جو کہ دئیے ہوئے دائرہ سے گھرا ہوا ہے (AOBA علاقہ کا رقبہ جو کہ منحنی x محور اورطولی مختصx = 0 اور x = a) =4 سے گھرا ہوا ہے)
(کیونکہ دائرہ دونوں x- محور اور y- محور پرمتشا کل ہے)
کیونکہ AOBA علاقہ ، پہلے ربع میں واقع ہے، y کو مثبت لیا گیا ہے۔ تکمل کرنے پر، ہمیں وہ تمام رقبہ معلوم ہو جاتا ہے جو کہ دائرہ سے گھراہے
متبادل کے طور پر، عرضی پتیوں پر غورکرتے ہوئے جیسا کہ شکل 8.6 میں دکھایا گیا ہے، وہ تمام رقبہ جو کہ دائرہ کے حلقہ سے گھرا ہوا ہے۔
شکل : 8.6
مثال 2: ناقص (ellipse) 
سے گھرا ہوا رقبہ معلوم کیجیے
حل: شکل 8.7 سے، ناقص سے گھرے ہوئے علاقہ 
کا رقبہ
(پہلے ربع میں منحنی، x محور اور مختص x = a، x = 0 سے گھرے ہوئے علاقہ AOBA کا رقبہ)4 =
(کیونکہ ناقص دونوں x –محور اور y –محور کے متشاکل ہے)
(عمودی پتیاں لینے پر)
اب
دیتا ہے، لیکن کیونکہ علاقہ AOBA پہلے ربع میں واقع ہے، y کو مثبت لیا گیا ہے۔ اس لیے، مطلوب رقبہ ہے
متبادل کے طور پر، عرضی پتیوں پر غورکرتے ہوئے جیسا کہ شکل 8.8 میں دکھایا گیا ہے، ناقص کا رقبہ برابرہے
8.2.1 ایک مخنی اور ایک خط سے گھرے ہوئے علاقہ کا رقبہ
(The area of the region bounded by a curve and a line)
اس ذیلی سیکشن میں، ہم ایک خط اور دائرہ، ایک خط اور ایک مکانی، ایک خط اور ایک ناقص کے درمیان گھرے ہوئے علاقہ کا رقبہ معلوم کریں گے۔ اوپر بتائے ہوئے منحنیوں کی مساواتیں اپنی صرف معیاری شکل میں ہی ہوں گی کیونکہ دوسری شکل میں مسئلہ (Case) اس کتاب کی حدودسے باہر ہیں۔
مثال 3: منحنی y = x2 اور خط y = 4 سے گھرے ہوئے علاقہ کا رقبہ معلوم کیجیے۔
حل: کیونکہ دیا ہوامنحنی جو کہ مساوات y = x2 سے ظاہر کیا گیا ہے ایک مکانی ہے جو کہ صرف y محور پرمتشاکل ہے، اس لیے شکل 8.9 سے علاقہ AOBA کا مطلوبہ رقبہ اس طرح دیا گیا ہے
(منحنی، y محور اور خطوط y = 0 اور y = 4) سے گھرے ہوئے علاقہ BONB کا رقبہ
(کیوں؟)
یہاں، ہم نے عرضی پتیاں لی ہیں جیسا کہ شکل 8.9 میں دکھایا گیا ہے۔
متبادل کے طور پر، AOBA علاقہ کا رقبہ حاصل کرنے کے لیے ہم عمودی پتیوں پر غور کرسکتے ہیں جیسا کہ شکل 8.10 میں دکھایا گیا ہے۔ اس کے آخرمیں، ہم مساوات x2 = y اور y = 4 کو حل کرتے ہیں جو x = –2 اور x = 2 دیتاہے۔
اس طرح علاقہ AOBA کو منحنی y=x² , y=4 اورطولی مختص x= − 2 اور x=2 سے گھرے ہوئے علاقہ کے طور پر بیان کیا جاسکتا ہے۔
اس لیے علاقہ AOBA کا رقبہ
ریمارک (Remark) مندرجہ بالا مثالوں سے یہ نتیجہ نکلتا ہے کہ ہم کسی خطہ کا رقبہ معلوم کرنے کے لیے عمودی پتیوں یا عرضی پتیوں میں سے کسی پر بھی غور کرسکتے ہیں۔ آج کے بعد، ہم ان دونوں میں سے کسی پر بھی غور کرسکتے ہیں، زیادہ اہمیت راسی پتیوں کو دیں گے۔
مثال 4: پہلے ربع میں x محور، خط y = x اور دائرہ 32 = x2 + y2 سے گھرے ہوئے حلقہ کا خطہ معلوم کیجیے۔
حل: دی ہوئی مساوات ہیں
(1)........... y=x
اور (2)........... x² + y² =32
(1) اور (2) کو حل کرنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے کہ خط اور دائرہ (B(4,4 پر پہلے ربع میں ملتے ہیں شکل (8.11) ۔ x محور پر BM عمود کھینچیے۔
اس لیے، مطلوبہ رقبہ = خطہ OBMO کا رقبہ + خطہ BMAB کا رقبہ
اب،خطہ OBMO کا رقبہ
دوبارہ، خطہ BMAB کا رقبہ
(3) اور (4) کا مجموعہ کرنے پر، ہمیں مطلوبہ رقبہ حاصل ہوتا ہے = 4π
مثال 5: ناقص 
اورطولی مختص x = 0 اور x = a e سے گھری ہوئی جگہ کا رقبہ معلوم کیجیے، جہاں 
اور e < 1 ہے۔
حل: حلقہ BOB'RFSB کا مطلوب رقبہ ہے (شکل 8.12) جو کہ ناقص اور قطاروں x=0 اور x = a e سے گھرا ہوا ہے۔
یہ نوٹ کرلیجیے کہ حلقہ BOB'RFSB کا رقبہ برابر ہے
مشق 8.1
1۔ مخنی y2 = x اور خطوط x = 4، x = 1 اور x– محور سے گھرے ہوئے خطہ کا رقبہ معلوم کیجیے۔
2۔ پہلے ربع میں y2 = 9x، x = 2، x = 4 اور x– محور سے گھرے ہوئے خطہ کا رقبہ معلوم کیجیے۔
3۔ پہلے ربع میں x2 = 4y، y = 2، y = 4 اور y– محور سے گھرے ہوئے خطہ کا رقبہ معلوم کیجیے۔
4۔
ناقص
سے گھرے ہوئے خطہ کا رقبہ معلوم کیجیے۔
5۔
ناقص
سے گھرے ہوئے خطہ کا رقبہ معلوم کیجیے۔
6۔ پہلے ربع میں x– محور،خط 3y√ x= اور دائرہ 4 =x²+y² سے گھرے ہوئے خطہ کا رقبہ معلوم کیجیے۔
7۔
خط
کے ذریعہ کاٹے گئے دائرہ
x² +
y² =
a² کے چھوٹے حصے کا رقبہ معلوم کیجیے۔
8۔ x = y² اور x = 4 کے درمیان کا رقبہ خط x = a سے دو برابر حصوں میں بانٹا گیا ہے، a کی قدر معلوم کیجیے۔
9۔ مکانی y = x² اور |y = |x سے گھرے ہوئے خطہ کا رقبہ معلوم کیجیے۔
10۔ مخنی x² =4y اور خط x = 4y –2 سے گھرے ہوئے خطہ کا رقبہ معلوم کیجیے۔
11۔ مخنی y² =4x اور خط x = 3 گھرے ہوئے خطہ کا رقبہ معلوم کیجیے۔
درج ذیل سوال 12 اور 13 میں صحیح جوابات کا انتخاب کیجیے۔
12۔ پہلے ربع میں دائرہ x²+y² =4 اور خطوط x=0 اور x=2 سے گھرے ہوئے خطّہ کا رقبہ ہے
(D) π/3 (C) π/2 (B) π (A)
۔13
سے گھرے ہوئے خطہ کا رقبہ ہے۔ y=3 محور اور خط -y' y² = 4x منحنی
(D) 9/3 (C) 9/4 (B) 2 (A)
8.3 دومنحنیوں کے درمیان رقبہ (Area between Two curves)
وجدانی طور پر لیبنیٹر کی صحیح سمجھ سے تکمل ایک رقبہ معلوم کرنے کا عمل ہے، جس میں خطہ کے ابتدائی رقبہ کو لاتعداد چھوٹی چھوٹی پتیوں میں کاٹا جاتا ہے اور پھر ان ابتدائی رقبوں کو جمع کیا جاتا ہے۔ مان لیجیے ہمیں دومنحنی جو کہ (y=f(x), y=g(x جنھیں ظاہرکیاگیاہے، جہاں، [a, b] میں (ƒ(x) ≥ g (x ہے جیسا کہ شکل 8.13 میں دکھایا گیا ہے۔ یہاں ان دونوں منحنیوں کے نقطہ تقاطع x = a اور x = b سے دییے گئے ہیں جو کہ دونوں منحنیوں کی دی ہوئی مساوات سے y کی مشترک قدر لینے پر حاصل ہوئی ہیں۔
تکملے کے ضابطہ کو شکل دینے کے لیے ابتدائی رقبہ کو عمودی پتیوں کی شکل میں لینا زیادہ بہتر ہے (آسان ہے) جیسا کہ شکل (8.13) میں ظاہر کیا گیا ہے۔ ابتدائی پتیوں کی اونچائی (ƒ(x) - g (xہے اور چوڑائی dx ہے اس طرح ابتدائی رقبہ dA برابر ہے
dA= [ƒ(x) - g (x) ] dx
اور کل رقبہ A اس طرح لیا گیا ہے
A=
[ƒ (x) - g (x) ] dx
متبادل کے طور پر،
میں دکھایا گیا ہے۔ تب منحنیوں سے گھرے ہوئے خطہ کا رقبہ اس طرح لکھا جاسکتا ہے
حلقہ BPRQB کا رقبہ + حلقہ ABCDA کا رقبہ = کل رقبہ
مثال 6: دو مکافیوں y = x² اور y² = x سے گھرے ہوئے خطہ کا رقبہ معلوم کیجیے۔
حل: ان دونوں مکافیوں کے نقطہ تقاطع (0.0)O اور (1.1)A ہیں جیسا کہ شکل 8.15 میں دکھایا گیا ہے۔
یہاں ہم (y=√x=(x) اور y=x² =g (x رکھ سکے ہیں، جہاں، [1،0] میں (ƒ (x) ≥ g (x ہے۔
اس لیے، شیڈڈ خطہ کا مطلوبہ رقبہ ہے
مثال 7: دائرہ x² + y² = 8x اور مکانی y² = 4x کے درمیان اور x– محور سے اوپر واقع خطہ کا رقبہ معلوم کیجیے۔
حل: دائرہ کی دی ہوئی مساوات x² + y² = 8x کو x-4)² +y² =16) سے ظاہر کیا جاسکتا ہے۔ اس طرح دائرہ کا مرکز (4,0) اور نصف قطر 4 ہے۔ اس کا مکافی y² = 4x کے ساتھ نقطہ تقاطع ہیں-
x²+4x = 8x
یا x²- 4x =0
یا x(x-4) =0
یا x=4, x=0
اس طرح،ان دونوں منحنیوں کے –x محور کے اوپر نقطہ تقاطع (O (0.0 اور (4.4) p ہیں۔
شکل 8.16 سے خطہ OPQCO کا مطلوبہ رقبہ x– محور کے اوپر دونوں منحنیوں کے درمیان ہے
(حلقہ PCQP کا رقبہ) + (حلقہ OCPO کا رقبہ) =
مثال 8: شکل 8.17 میں AOBA ناقص 9x² + y² = 36 کا پہلے ربع میں ایک حصہ ہے جب کہ OA = 2 اور OB = 6 ہے۔ قوس AB اور وتر AB کے درمیان رقبہ معلوم کیجیے۔
حل: ناقص کی دی ہوئی مساوات
سے ظاہر کیا جاسکتا ہے اور اس طرح اس کی تصویرجیساکہ شکل 8.17 میں دیا گیا ہے، کی طرح ہے۔
اسی طرح، وتر AB کی مساوات ہے
(y-0 = 6-0/0-2 (x-2
یا (y=- 3 (x-2
یا y=- 3x +6
شیڈیڈ خطہ کا رقبہ جیسا کہ شکل 8.17 میں دکھایا گیا ہے۔
مثال 9: تکمل کا استعمال کرکے ایک مثلث سے گھرے ہوئے خطہ کا رقبہ معلوم کیجیے جس کے راس (1,0)، (2,2) اور (3,1) ہیں۔
حل: مان لیجیے
C(3,1) اور B(2,2), A (1,0
مثلث ABC (شکل 8.18) کے راس ہیں۔
ΔAEC کا رقبہ –منحرف BDEC کا رقبہ +ΔABD کا رقبہ = مثلث ABC کا رقبہ
اب ضلع AC، AB اور CA کی مساوات بالترتیب اس طرح دی گئی ہیں
(y=½ (x-1) ، y=4 - x، y=2 (x-1
اس طرح،
مثال 10: دو دائروں x²+y²=4 اور x-2) ² +y²=4) کے درمیان بند خطہ کا رقبہ معلوم کیجیے۔
حل: دییے ہوئے دائروں کی مساوات ہیں
(1)......... x²+y² = 4
اور (2)........ x-2)² + y² =4)
مساوات (1) ایک دائرہ ہے جس کا مرکز O مبدا پر ہے اور نصف قطر 2 ہے۔ مساوات (2) ایک دائرہ ہے جس کا مرکز (2,0) Cہے اور نصف قطر 2 ہے۔ مساوات (1) اور (2) کو حل کرنے پر ہمارے پاس ہے
x−2)² +y² =x²+y² )
یا x² − 4x+4+y² +x² +y²
یا x=I ، جو y= ‡√ 3 دیتا ہے
اس طرح دئیے ہوئے دائروں کے نقطہ تقاطع (A (1،√3 اور (A' (1،√3 ہیں جیسا کہ شکل 8.19 میں دکھایا گیا ہے۔
دائروں کے درمیان درکار بند خطہ کا رقبہ OACA'O
مشق 8.2
1۔ ایک دائرہ 4x² + 4y² = 9 کا رقبہ معلوم کیجیے جو کہ مکافی x² = 4y کے اندر واقع ہے۔
2۔ منحنیوں (x-I)² +y²= 1) اور x²+y²=1 سے گھرے ہوئے خطہ کا رقبہ معلوم کیجیے۔
3۔ منحنیوں x=0, y=x,y=x² +2 اور x=3 سے گھرے ہوئے خطہ کا رقبہ معلوم کیجیے۔
4۔ تکمل کا استعمال کرکے اس خطہ کا رقبہ معلوم کیجیے جو کہ ایک مثلث سے گھرا ہوا ہے اور مثلث کے راس (1,0–)،(1,3) اور (3,2) ہے۔
5۔ تکمل کا استعمال کرکے اس مثلث کا رقبہ معلوم کیجیے جس کے ضلعوں کی مساوات y=3x +1, y=2x+1 اور x = 4 ہیں۔
ذیل سوال 6 اور 7 میں صحیح جوابات کا انتخاب کیجیے:
6۔ دائرہ x²+y²=4 اور خط x+y=2 سے گھرا ہوا چھوٹا رقبہ ہے
(D) 2π=1 (C) π-2 (B) 2(π-2) (A)
7۔ منحنیوں y²=4x اور y=2x کے درمیان واقع رقبہ ہے
(D) ¼ (C) ⅛ (B) ⅔ (A)
متفرق مثالیں
مثال 11: مکافی y²=4ax کا رقبہ معلوم کیجیے جو کہ وتر خاص (Latus rectum) سے گھرا ہوا ہے۔
حل: شکل 8.20 سے، مکافی y² = 4ax کا راس مبدا (0,0) پر ہے۔وتر خاص ′LSL کی مساوات x = a ہے۔ ساتھ ہی مکافی x– محور پر متشاکل ہے۔
خطہ OLL′O کا مطلوبہ رقبہ
(خطہ OLSO کا رقبہ) 2 =
مثال 12: خط x.y=3x+2 محور اور طولی مختص x=−1 اور x=1 سے گھرے ہوئے خطہ کا رقبہ معلوم کیجیے۔
حل: جیسا کہ شکل 8.21 میں دکھایا گیا ہے، خط
x– محورسے
پر ملتا ہے اور اس کا گراف
کے لیے
x– محور کے نیچے واقع ہے اور
کے لیے
x– محور کے اوپر واقع ہے۔
مطلوبہ رقبہ = خطہ ACBA کا رقبہ + خطہ ADEA کا رقبہ
مثال 13: x = 0 اور x = 2π کے درمیان منحنی y = cos x سے گھرے ہوئے خطہ کے رقبہ کو معلوم کیجیے۔
حل: شکل 8.22 سے مطلوبہ رقبہ = خطہ OABO کا رقبہ + خطہ BCDB کا رقبہ + خطہ DEFD کا رقبہ
اس طرح، ہمارے پاس مطلوبہ رقبہ ہے
مثال 14: ثابت کیجیے کہ منحنیوںy²=4x اور x²=4y، مربع کا رقبہ جو کہ y=4.x=4.x=0 اور y=0 سے گھرا ہوا ہے کو تین برابر حصوں میں تقسیم کرتی ہیں۔
حل: ذہن نشین کرلیجیے کہ مکافیوں y²=4x اور x²=4y کے نقطہ تقاطع (0,0) اور (4,4) ہیں جیسا کہ شکل 8.23 میں دکھایا گیا ہے۔
اب، خطّہ OAQBO کا رقبہ جو کہ منحنیوں y²=4x اور x²=4y سے گھرا ہوا ہے
دوبارہ ،منحنیوں x=4.x=0.x²=4y اور x– محور سے گھرے ہوئے خطہ OPQAO کا رقبہ
اسی طرح منحنی
سے گھرے ہوئے خطہ کا رقبہ
(1)، (2) اور (3) سے یہ نتیجہ نکلتا ہے کہ خطّہ OAQBO کا رقبہ = خطّہ OPQAO کا رقبہ =
خطّہ OBQRO کا رقبہ، یعنی؛ مکافیوں y2 = 4x اور x2 = 4y سے گھرا ہوا رقبہ مربع کے رقبہ کو تین برابر حصوں میں تقسیم کرتا ہے۔
مثال 15: خطّہ
{(x,y):0≤ y ≤ x2 +1, 0≤y ≤x ≤2}
کا رقبہ معلوم کیجیے۔
حل: ہم سب سے پہلے اس خطّہ کا نقشہ بناتے ہیں جس کا رقبہ معلوم کرنا ہے۔ یہ خط درج ذیل خطوں کا تقاطع ہے۔
A1={(x.y) :0 ≤ y ≤ x²+1}
{A2={(x.y) :0 ≤ y ≤ x+1
اور {A3={(x.y) :0 ≤ x ≤ x+2
y=x²+1 اور y=x+1 کے نقطہ تقاطع (0.1) P اور (Q (1.2 ہیں۔ شکل 8.24 سے، مطلوبہ خطّہ OPQRSTO شیڈیڈ خطّہ ہے جس کا رقبہ ہے
خطّہ TSRQT کا رقبہ + خطّہ OTQPO کا رقبہ =
باب 8 پر مبنی متفرق مشق
1۔ دی ہوئی منحنیوں اور دییے ہوئے خطوط سے گھرے خطّہ کا رقبہ معلوم کیجیے:
(i)
x=2.x=1.y=x² اور x- محور
(ii)
x=5.x=1.y=x4 اور x- محور
2۔ منحنیوں y = x اور y = x² کے درمیان رقبہ معلوم کیجیے۔
3۔ اس خطہ کا رقبہ معلوم کیجیے جو کہ پہلے ربع میں واقع ہے اور y=1. x=0. y=4x² اور y=4 سے گھرا ہوا ہے۔
4۔ گراف |y=|x+3 کا گراف بنائیے اور 
کی قیمت کا اندازہ لگائیے۔
5۔ منحی y=sin xسے گھرے ہوئے اور x=0 اور x=2π کے درمیان خطّہ کا رقبہ معلوم کیجیے۔
6۔ مکافی y² =4ax اور خط y=mx کے درمیان بند خطّہ کا رقبہ معلوم کیجیے۔
7۔ مکافی 4y =3x² اور خط 2y=3y+12 کے درمیان بند خطّہ کا رقبہ معلوم کیجیے۔
8۔
چھوٹے خطّہ کا رقبہ معلوم کیجیے جو کہ ناقص
سے گھرا ہوا ہے۔
9۔
چھوٹے خطّہ کا رقبہ معلوم کیجیے جو کہ ناقص
سے گھرا ہوا ہے۔
10۔ مکافی x2 = y، خط y = x + 2 اور x– محور سے گھرے ہوئے بند خطّہ کا رقبہ معلوم کیجیے۔
11۔ تکمل کے طریقے کا استعمال کرکے منحنیx|+|y| =1| سے گھرے ہوئے خطّہ کا رقبہ معلوم کیجیے۔
(اشارہ: مطلوبہ خطّہ (علاقہ) خطوط x+y=1, x-y=1, x+y=1 -x+y=1 اور x+y=1 - سے گھرا ہوا ہے)
12۔ منحنیوں
{(x,y):y≥ x2 اور y+|x|}
سے گھرے ہوئے خطّہ کا رقبہ معلوم کیجیے۔
13۔ تکمل کے طریقے کا استعمال کرکے مثلث ABC کا رقبہ معلوم کیجیے، جس کے راسوں کے مختص
اور B (4,5)' A (2,0)
(C(6,3 ہیں۔
14۔ تکمل کے طریقے کا استعمال کرکے اس خطّہ کا رقبہ معلوم کیجیے جو خطوط 3x-2y =6, 2x+y =4 اور x-3y+5=0 سے گھرا ہوا ہے۔
15۔ خطہ
{(x,y): y² ≤ 4x, 4x²+4y² ≤9}
کا رقبہ معلوم کیجیے۔
مندرجہ ذیل سوال 16 تا 20 میں صحیح جوابات کا انتخاب کیجیے
16۔ منحنی 
، x– محور اورطولِ مختص x = –2 اور x = 1 سے گھرا ہوا رقبہ ہے
D) 17/4 (C) 15/4 (B) -15/4 (A) -9)
17۔ منحنی 
x– محور اورطولِمختص 
سے گھرا ہوا رقبہ ہے
D) ¾ (C) ⅔ (B) ⅓ (A) 0
18۔
دائرہ
کا وہ رقبہ جومکافی
y2 = 6
x کے باہر ہے
19۔
سے گھرا ہوا رقبہ ہے
خلاصہ (Summary)
- منحنی x,y=(ƒ) x− محور اور خطوط x=a اور b>a)x=b) سے گھرے ہوئے خطّہ کا رقبہ اس ضابطہ کی مدد سے دیا گیا ہے:
رقبہ
- منحنی
سے گھرے ہوئے خطّہ کا رقبہ اس ضابطہ سے دیا گیا ہے۔
- منحنیوں(y=g (x), y=ƒ (x اور خطوط x=b,x=a سے گھرے ہوئے خطّہ کا رقبہ اس ضابطہ سے دیا گیا ہے
تاریخ کے اوراق سے (Historical Note)
تکمل احصا کا اصل پچھلے زمانے میں ریاضی کی پیدائش کے ساتھ چلا جاتا ہے اور پرانے زمانے کے یونانی (Greece) ریاضی دانوں کے خالی کرنے کے طریقے سے اس کا رشتہ ہے۔ ہموار شکلوں کے رقبہ، سطحی رقبہ اور ٹھوس اشیاکا حجم وغیرہ معلوم کرنے کے مسئلہ میں یہ طریقہ وجود میں آیا۔ اس سوچ سے خالی کرنے کے طریقے کو تکمل کا پہلا طریقہ مانا جاسکتا ہے۔ یوڈوکس (Eudoxus) (440BC) اور آر کے میڈیز (300BC) (Archimedes) کے کام میں خالی کرنے کے طریقہ میں پرانے زمانے میں عظیم بدلاؤ آیا۔
احصا کی عبارت میں متشاکل کا نظریہ سترھویں صدی میں شروع ہوا۔ 1665 میں نیوئن نے احصا پر اپنا کام شروع کیا اور جسے اس نے فلکسن کی عبارت کا نام دیا اور اس نے اپنی اس عبارت کا استعمال مماس اور منحنی کے ایک نقطہ پر انحفا کا نصف قطر معلوم کرنے کے لیے کیا۔ نیوئن نے معکوس تفاعل کی بنیادی علامت سے متعارف کرایا جسے مخالف مشتق (غیر معین تکملہ) یا مماس کا معکوس طریقہ کہتے ہیں۔
لیبنٹز (Leibnitz) نے 1684-86 کے درمیان ایک مضمون ایکتا اروڈیٹوریم میں شائع کرایا جس کو اس نے کیلکولس کے خلاصہ کا نام دیا، کیونکہ یہ لا محدود چھوٹے رقبہ کے اعداد کے مجموعہ سے تعلق رکھتا تھا، جس کا مجموعہ، اس نے علامت '∫' سے ظاہر کیا۔ 1696ء میں اس نے جے-برنولی (J.Bernoulli) کی صلاح پر عمل کیا اور اس مضمون کو تکمل احصا کا نام دیا۔ یہ نیوٹن کے مماس کے معکوس طریقہ کے مطابق ہے۔
نیوٹن اور لیبنیٹز دونوں نے کافی غیر انحصار نظریہ کو اپنایا جو کہ کافی مختلف تھا۔ حالانکہ، ان کے مطابق نظریہ اسی نتیجہ پر پہنچے جو کہ عملی طور پر یکساں تھے۔ لیبنٹیز نے معین تکملہ کی علامت کا استعمال کیا اور اس سے صاف ظاہر ہے کہ پہلے اس نے صاف طور پر مخالف مشتق اور محدود تکملہ کہ درمیان بنے رشتے کو خوش آمدید کہا۔
نتیجتاً، تکملہ احصا کا نظریہ اور بنیادی نظریہ اور اس کی سوچ اور تفرق احصا کے ساتھ اس کا بنیادی رشتہ سترھویں صدی کے آخیر میں پی-ڈی-فرمیٹ (P.de Fermat)، آئی-نیوٹن (I.Newton) اور جی-لیبنٹیز (G.Leibnitz) کے کام کے ساتھ فروغ پایا۔
حالانکہ انتہا کا تصور قابل سوچ تھا جو کہ انیسویں صدی میں اے-ایل-کوچے (A.L.Cauchy) کے کام میں فروغ پایا۔ آخیر میں لی-سوفیس (Lie Sophie's) کے ذریعہ دیا گیا درج ذیل قول بیش قیمتی ہے۔
’’یہ کہا جاسکتا ہے کہ تفرقی خارج قسمت اور تکملہ جو اپنے مبدا میں آرکیمیڈیز (Archimedes) کی طرف واپس جاتے ہیں، سائنس میں کیلپر، ڈیس کارٹیں، کاویلیری، فریٹ اور ویلس کی کھوج میں تعارف کرایا۔ اس بات کا دریافت کرنا کہ تفرق اور تکمل معکوس عمل ہیں نیوٹن اور لیبنٹیز سے تعلق رکھتی ہے۔
-----------Θ-----------
