باب 9

تفرقی مساواتیں

(DIFFERENTIAL  EQUATIONS)

ایک انسان جو اپنے دماغ میں بغیر معین مسئلہ کے جانے ہوئے اسے حل کرنے کے طریقے کی تلاش کرتا ہے وہ زیادہ تر پریشانی کی تلاش میں رہتا ہے۔ ڈی۔ہلبرٹ

تعارف(Introduction)

گیارھویں جماعت اوراس کتاب کے پانچویں باب میں، ہم نے اس پر بحث کی ہے کہ کس طرح ایک تفاعل کا ایک غیر تابع متغیر کو مددنظر رکھتے ہوئے تفرق کریں گے یعنی، ایک دییے ہوئی تفاعل f کا اس کی تعریف کے علاقہ میں ہر ایک x پر کس طرح (f''(x معلوم کیا جاتا ہے۔ اس کے آگے تکملہ احصا کے باب میں ہم نے یہ بحث کی ہے کہ کس طرح ایک تفاعل fکو معلوم کرناہے جس کا مشتق تفاعل g ہے، اورجس کا ضابطہ ذیل کی طرح بھی لکھا جاسکتا ہے:

      ہنری پوائین کیر(Henri Poincare)

                (1854–1912)

ایک دیے ہوئے تفاعل g کے لیے، ایک تفاعل ƒمعلوم کیجیے تاکہ

(y=ƒ (x ،جہاں (dy/dx = g (x   

 ..........(1)

 (1) کی طرح کی مساوات کو تفرقی مساوات کہتے ہیں۔ ایک باقاعدہ تعریف بعد میں دی جائے گی۔

اس طرح  استعمال کی مساواتیں کی بہت سی قسمیں ہوتی ہیں، جیسے طبیعات، علم کیمیا،حیاتیات، بشریات، عرضیات، معاشیات وغیرہ ۔ اس لیے، تفرقی مساواتوں کے بے انتہا مطالعہ نے جدید سائنسی معلومات میں اس کی اہمیت کو چار چاند لگا دیے ہیں۔

اس باب میں، ہم تفرقی مساواتوں سے ملتے جلتے کچھ بنیادی تصوروں کا مطالع کریں گے، تفرقی مساوات کے عام اور خاص حل، تفرقی مساوات کا بننا، پہلی ترتیب اور پہلے درجہ کی تفرقی مساوات کو حل کرنے کے کچھ طریقے اور تفرقی مساواتوں کے مختلف خطوں میں کچھ استعمال۔

9.2  بنیادی تصویر (Basic Concepts) 

ہم پہلے ہی ذیل قسم کی مساواتوں سے واقف ہیں:

(1)...........          x²−3x+3=0 

(2)........... sin x + cos x =0

(3)........... x+y=7

ہم ذیل مساوات پر غور کرتے ہیں:

(4)........... x dy/dx+y=0 

ہم دیکھتے ہیں کہ (1)، (2) اور (3) مساواتوں میں غیر تابع / یا صرف تابع متغیر (متغیروں) موجود ہیں لیکن مساوات (4) میں متغیر اور ساتھ ہی قابل اعتماد متغیر y کا غیر تابع متغیر x کے ساتھ مشتق موجود ہے۔ اس طرح کی مساوات کو تفرقی مساوات کہتے ہیں۔

عام طور پر ایک مساوات جس میں تابع متغیر کا مشتق ملوث ہے، غیر تابع متغیر کو مدد نظر رکھتے ہوئے ایک تفرقی مساوات کہلاتی ہے۔

ایک تفرقی مساوات جس میں تابع متغیر کا مشتق صرف ایک غیر تابع متغیر کو مدنظر رکھتے ہوئے ملوث ہو ایک عام تفرقی مساوات کہلاتی ہے، مثال کے طور پر، 

   یہ ایک عام تفرقی مساوات ہے ……(5)

حالانکہ، اس طرح کی بھی تفرقی مساواتیں ہیں جن میں ایک سے زیادہ غیر تابع متغیروں کے مشتق ملوث ہیں۔ انہیں جزوی تفرقی مساواتیں کہتے ہیں لیکن اس مقام پر ہمیں اپنے آپ کو عام تفرقی مساواتوں کے مطالع تک ہی محدود رکھنا ہوگا۔ اب اس کے آگے، ہم عام تفرقی مساواتوں کے لیے’تفرقی مساوات‘کا ہی استعمال کریں گے۔

9.2.1  ایک تفرقی مساوات کی ترتیب (Order of a differential equation) 

ایک تفرقی مساوات کی ترتیب کو اس طرح بیان کیا جاتا ہے کہ یہ تابع متغیر کی وہ عظیم ترتیب ہے جو کہ دی ہوئی مساوات میں ملوث غیر تابع متغیر مدنظر رکھتے ہوئے ہے۔

ذیل تفرقی مساوات پر غور کیجیے

(6)....... dy/dx = ex

(7)...... d²y/dx² +y=0

(8)......   d³y/dx³) +x² (d²y³/dx²) =0)

مساوات (6)؟ (7) اور (8) میں بالترتیب، پہلے، دوسرے اور تیسرے درجہ کے عظیم مشتق شامل ہیں۔ اس لیے مساواتوں کی ترتیب، بالترتیب 1، 2 اور 3 ہیں۔

9.2.2  ایک تفرقی مساوات کا درجہ (Degree of a differential equation)

ایک تفرقی مساوات کے درجہ کا مطالعہ کرنے کے لیے، اہم نقطہ یہ ہے کہ تفرقی مساوات مشتق میں ایک کثیر رکنی ہونی چاہیے، یعنی۔'''y' y'' y  وغیرہ وغیرہ۔ ذیل تفرقی مساواتوں پر غور کیجیے۔

ہم یہ مشاہدہ کرتے ہیں کہ مساوات (9)''' y'' y اور 'y میں ایک کثیر رکنی ہے، مساوات (10) 'y میں ایک کثیر رکنی ہے (تاکہ y میں ایک کثیر رکنی)۔ اس طرح کی مساواتوں کے درجہ بیان کیے جا سکتے ہیں۔ لیکن مساوات (11) ،'y میں ایک کثیر رکنی مساوات نہیں ہے اور اس طرح کی تفرقی مساواتوں کی ڈگری کو بیان نہیں کیا جاسکتا۔

ایک تفرقی مساوات کی ڈگری سے، جب کہ یہ مشتق میں کثیر رکنی ہے، ہمارا مطلب ہے عظیم طاقت (مثبت تکملہ طاقت) دی ہوئی تفرقی مساوات میں مشتق کی عظیم ترتیب۔

مندرجہ بالا تعریف کے حوالے سے، یہ مشاہدہ کیا جاسکتا ہے کہ تفرقی مساواتیں (6)، (7)، (8) اور (9) ہر ایک کا درجہ ایک ہے، مساوات (10) دودرجہ کی ہے جب کہ مساوات (11) کا درجہ بیان نہیں کیا گیا ہے۔

نوٹ:  ایک تفرقی مساوات کی ترتیب درجہ ہمیشہ مثبت صحیح عدد ہوتا ہے (اگر بیان کیا گیا ہو)۔

مثال1:  ہر ایک ذیل تفرقی مساوات کی ترتیب اور درجہ  اگر معرف ہو تومعلوم کیجیے۔ 

حل:

(i)   موجودہ تفرقی مساوات میں عظیم ترتیب والا مشتق    ہے، اس لیے اس کی ترتیب ایک ہے۔ یہ 'y میں ایک کثیر رکنی مساوات ہے اور عظیم طاقت   تک پہنچنے کے لیے ایک ہے، اس لیے اس کا درجہ ایک ہے۔

(ii)   دی ہوئی تفرقی مساوات میں عظیم ترتیب والا مشتق   ہے، اس لیے اس کی ترتیب ’دو‘ ہے۔ یہ   اور   میں ایک کثیر رکنی مساوات ہے اور عظیم طاقت جو تک پہنچتی ہے ایک ہے، اس لیے اس کا درجہ ایک ہے۔

(iii)   تفرقی مساوات میں عظیم ترتیب مشتق '''y موجود ہے، اس لیے اس کی ترتیب تین ہے۔ اپنے مشتق میں دی ہوئی تفرقی مساوات ایک کثیر رکنی مساوات نہیں ہے اور اس لیے اس کادرجہ بیان نہیں کیا گیا ہے۔

مشق 9.1

مشتق 1 تا 10 میں دی ہوئی تفرقی مساواتوں کی ترتیب اور درجہ (اگر معرف ہے) معلوم کیجیے۔

11۔ تفرقی مساوات    کا درجہ ہے

D) 1 (C) 2 (B)  3 (A  معرف نہیں ہے

12۔ تفرقی مساوات    کی ترتیب ہے

D) 0 (C) 1 (B) 2 (A)  معرف نہیں ہے

9.3  ایک تفرقی مساوات کے عام اور خصوصی حل  (General and Particular Solutions of a Differential Equation)

پچھلی جماعتوں میں، ہم نے ذیل قسم کی مساواتوں کو حل کیا ہے

(1).......... x² +1+0

(2).......... sin² x− cos x=0

(1) اور (2) مساواتوں کے حل حقیقی یا ملتف اعداد ہیں، جو دی ہوئی مساواتوں کو مطمئن کردیں گے، یعنی، جب اس عدد کو نامعلوم x کی جگہ بد ل دیا جائے تو  R.H.S ، L.H.S کے برابر ہوجائے گی۔

اب تفرقی مساوات   پر غور کیجیے .......……(3)

پہلی دومساوات کے مقابلے میں، اس مساوات کا حل تفاعل Φ  ہے جو کہ اسے مطمئن کردے گا، یعنی؛ جب کہ فنکشن Φ کی نامعلوم y کے لیے (قابل متغیر) دی ہوئی مساوات میں قائم مقامی کی جائے گی تو، R.H.S، L.H.S کے برابر ہوجائے گی۔

منحنی  (y  =  Φ  (x  کو دی ہوئی مساوات کا منحنی حل (تکملہ منحنی) کہا جاتا ہے۔ تفاعل پر غور کیجیے جو کہ اس سے دیا گیا ہے-

(y=Φ (x) =a sin (x+b                 ...........(4

جہاں   a,  b∈ R ۔ جب یہ تفاعل اور اس کے مشتق کی مساوات کی (3) میں قائم مقامی کی گئی ہے، تو L.H.S=R.H.S ہے۔  اس طرح یہ تفرقی مساوات (3) کا حل ہے

مان لیجیے a اور b کو کچھ خصوصی قدر  2=a   اوردی گئی ہیں، تب ہمیں ایک تفاعل حاصل ہوتا ہے۔

جب اس تفاعل اور اس کے مشتق کومساوات (3) میں رکھا جاتاہے تو پھر دوبارہ L.H.S=R.H.S ہے۔ اس لیے  1 Φ بھی مساوات (3) کا حل ہے۔

فنکشن Φ  دو اختیاری مستقلوں (پیرامیٹرز) b، a پر مبنی ہے اور یہ دی ہوئی تفرقی مساوات کا عام حل کہلاتاہے۔ جب کہ فنکشن  1 Φ میں کوئی اختیاری مستقلہ موجود نہیں ہے لیکن صرف پیرامیٹرز a اور b کی خاص قدریں ہیں اور اس لیے یہ دی ہوئی مساوات کا خاص حل کہلاتاہے۔

وہ حل جس میں اختیاری مستقلے موجود ہیں تفرقی مساوات کا عام حل (ابتدائی حل) کہلاتا ہے۔

اختیاری مستقلوں سے آزاد حل، یعنی، اختیاری مستقلوں کو خاص قدریں دینے سے جو حل حاصل ہوتا ہے، دی ہوئی مساوات کا خاص حل کہلاتا ہے۔

مثال 2:  تصدیق کیجیے کہ فنکشن  تفرقی مساوات    کا حل ہے۔

حل:   دیا ہوافنکشن ہے۔ x کی مناسبت سے  مساوات کادونوں طرف تفرق کرنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے

اب (1) کا تفرق x کی مناسبت سے کرنے پر، ہمارے پاس ہے

دی ہوئی مساوات میں    اور y کی قدریں رکھنے پر، ہمیں حاصل ہوتا ہے

L.H.S. = 9e −³x+ (−3e−3x) −6.e −3x = 9e−ex −9e−3x=0=R.H.S

اس لیے دیا ہواتفاعل، دی ہوئی مساوات کا حل ہے

مثال 3:  تصدیق کیجیے کہ تفاعل y=acos x+bsin x جہاں  a, b∈R ،دی ہوئی مساوات    کا حل ہے۔

حل:  دیا ہواتفاعل ہے

(1)...........      y = a cos x+b sin x

مساوات (1) کا  xکی مناسبت سے کامیابی کے ساتھ دونوں طرف تفرق کرنے پر، ہمیں حاصل ہوتا ہے

dy/dx = − a sin x +b cos x 

d²y /dx² =−a cos x − b sin x

دی ہوئی تفرقی مساوات میں    اور y کی قدریں رکھنے پر، ہمیں حاصل ہوتا ہے

L.H.S. = (−a cos x − b sin x) + (a cos x +b sin x) = 0=R.H.S

اس لیے دیا ہواتفاعل دی ہوئی مساوات کا حل ہے۔

مشق 9.2

ہر ایک سوال 1 تا 10 میں تصدیق کیجیے کہ دیا ہوتفاعل (صریح یا مضمرexplicit or implicit) ان کے مطابق تفرقی مساوات کا حل ہے۔

11۔ چوتھی ترتیب کی ایک تفرقی مساوات کے عام حل میں اختیاری مستقلوں کی تعداد ہے

A) 0 (B) 2 (C) 3 (D) 4)

12۔ تیسری ترتیب کی ایک تفرقی مساوات کے خاص حل میں اختیاری مستقلوں کی تعداد ہے

A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0)

9.4  ایک تفرقی مساوات کی تشکیل جس کا عام حل دیا ہوا ہے (Formation of a Differential Equation whose General Solution is given)

ہم جانتے ہیں کہ مساوات 

(x² + y² + 2x − 4y + 4=0       ..........(1

ایک دائرہ کو ظاہر کرتی ہے جس کا مرکز (1,2–) اور نصف قطر '1' اکائی ہے

x کی مناسبت سے مساوات (1) کا تفرق کرنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے

جو کہ ایک تفرقی مساوات ہے۔ آپ بعد میں دیکھیں گے کہ [ دیکھیے (مثال 9 سیکشن 9.5.1)] یہ مساوات دائروں کے خاندان کو ظاہر کرتی ہیں اوراس خاندان کا ایک ممبر دائرہ ہے جو کہ مساوات (1) میں دیا گیا ہے

ہمیں اس مساوات پر غور کرنا چاہیے

(3).......         x² + y² = r ²

'r' کو مختلف قدریں دینے پر، ہمیں فیملی کے مختلف ممبر حاصل ہوتے ہیں، مثال کے طور پر x² + y² = 9 , x² + y² = 4 , x² + y² =1   وغیرہ (شکل 9.1 دیکھیے) اس طرح، مساوات (3) مبدا پر مرکزوالے، ہم مرکز خاندان کو ظاہر کرتی ہے اور جس کے مختلف نصف قطر ہیں۔

شکل 9.1

ہماری دلچسپی اس طرح کی تفرقی مساوات معلوم کرنے میں ہے جو کہ ہر فیملی کے ممبر سے مطمئن ہو۔ تفرقی مساوات 'r' سے مبرہ ہونی چاہیے کیونکہ  'r' فیملی کے ہرمختلف ممبر کے لیے مختلف ہے۔ یہ مساوات x کی مناسبت سے مساوات (3) کا تفرق کرنے پر حاصل ہوتی ہے، یعنی۔،

جو کہ مساوات (3) کے ذریعے دیے ہوئے ہم مرکزکے خاندان کو ظاہرکرتی ہے۔

دوبارہ ہم ذیل مساوات پر غور کرتے ہیں

(5)........        y = mx + c 

پیرامیٹرز m اور c کو مختلف قدریں دینے پر ہمیں خاندان کے مختلف ممبر حاصل ہوتے ہیں، یعنی،

(y = x (m=1,   c=0

(y = √3 x           (m = √3, c=0

(y = x +1         (m= 1,  c=1 

(y = − x       (m = −  1,  c=0 

(y= − x − 1       (m = − 1, c = − 1     وغیرہ   (شکل 9.2 دیکھیے)

شکل 9.2

اس طرح، مساوات (5) سیدھے خطوط کے خاندان کو ظاہر کرتی ہے، جہاں c، m پیرامیٹرز ہیں۔ 

اب ہماری دلچسپی ایک تفرقی مساوات معلوم کرنے میں ہے جو کہ خاندان کے ہر ممبر سے مطمئن ہے۔ اس کے آگے، مساوات m اور c سے مبرّہ ہونی چاہیے کیونکہ m اور c خاندان کے مختلف افراد کے لیے مختلف ہے۔ یہ مساوات (5) کو x کی مناسبت سے دو بار تفرق کرنے پر ، ہمیں حاصل ہوتا ہے۔

مساوات (6) مساوات (5) کے ذریعے دییے گئے سیدھے خطوط کے خاندان کو ظاہر کرتی ہے۔

یہ بات ذہن نشین کرلیجیے کہ مساوات (3) اور (5) بالترتیب مساوات (4) اور (6) کے عام حل ہیں۔

9.4.1  ایک تفرقی مساوات کو بنانے کا طریقہ جو کہ منحنیوں کے خاندان کو ظاہرکرتی ہے (Procedure to from a differential equation that will represent a given family of curves )

(a) اگر دی ہوئی منحنیوں کاخاندان F1 ایک پیرامیٹر پر مبنی ہے تب یہ اس شکل کی مساوات سے ظاہر کی جاتی ہے۔

(1).........           F1 (x, y, a ) = 0

مثال کے طور پر مکافیوں y² =   ax  کا خاندان ایک مساوات سے جو کہƒ ( x,y,a) : y² =   ax  کی شکل کی ہے سے ظاہر کی جاسکتی ہے

مساوات (1) کا 'x' کی مناسبت سے تفرق کرنے پر ہمیں ایک مساوات حاصل ہوتی ہے جس میں 'x, y, y  اور a ملوث ہے، یعنی،

(2).........              g (x, y, y', a) = 0

تب مطلوبہ تفرقی مساوات، (1) اور (2) مساواتوں میں سے 'a' کو خارج کرنے پر حاصل ہوتا ہے

(3)..........        F (x,y, y', y'') =0 

(b) اگر دی ہوئی منحنیوں F2 کا خاندان پیرامیٹرز a,b (مان لیجیے) پر مبنی ہیں تب یہ اس طرح کی ایک مساوات سے ظاہر کیاجاتا ہے۔

(4)........            F2 (x, y, a, b ) = 0 

x، کو مدنظر رکھتے ہوئے مساوات (4) کا تفرق کرنے پر، ہمیں ایک مساوات جس میں 'b, a, y, x, y  ملوث ہیں حاصل ہوتی ہے، یعنی۔،

(5).........         g (x, y, y' , a, b ) =0 

لیکن دو مساواتوں سے پیرامیٹرس a اور b کو خارج کرنا ممکن نہیں ہے اور اس لیے، ہمیں ایک تیسری مساوات کی ضرورت ہوتی ہے۔ x کی مناسبت سے اس طرح کا رشتہ حاصل کرنے کے لیے مساوات (5) کا تفرق کرنے پر یہ مساوات حاصل ہوئی ہے، 

(6).......      h ( x, y, y', y'', a, b ) =0

مساوات (4)، (5) اور (6) سے a اور b کو خارج کرنے سے مطلوب تفرقی مساوات حاصل ہوجاتی ہے، اس طرح 

(7)........      F (f, y, y' , y'' ) =0  

نوٹ:  منحنیوں کے ایک خاندان کی تفرقی مساوات کی ترتیب بالکل ایسی ہی ہے جیسے کہ منحنیوں کے خاندان کے مطابق مساوات میں اختیاری مستقلوں کی تعداد

مثال 4:  ایک تفرقی مساوات بنائیے جو کہ منحنیوں y =  mx کے خاندان کو ظاہر کرتی ہے، جہاں m ایک اختیاری مستقلہ ہے۔

حل: ہمارے پاس ہے 

(1)......        y = mx 

x کی مناسبت سے مساوات (1) کا دونوں طرف تفرق کرنے پر، ہمیں حاصل ہوتا ہے

مساوات (1) میں m کی قدر رکھنے پر ہمیں حاصل    ہوتا ہے 

یا

جو کہ پیرامیٹر m سے مبرّہ ہے اور اس لیے یہ مطلوبہ تفرقی مساوات ہے

مثال 5:  ایک تفرقی مساوات بنائیے جو کہ منحنی  (y= asin (x+b کے خاندان کو ظاہر کرتی ہے، جہاں b، a اختیاری  مستقلہ ہیں۔

حل:  ہمارے پاس ہے

 (1)...........         (y= asin (x+b 

x کی مناسبت سے مساوات (1) کا دونوں طرف کامیابی سے تفرق کرنے پر، ہمیں حاصل ہوتا ہے

(1)، (2) اور (3) سے a اور b کو خارج کرنے پر، ہمیں حاصل ہوتا ہے

جو کہ اختیاری مستقلوں a اور b سے آزاد ہیں اور اس طرح یہ مطلوبہ تفرقی مساوات ہے۔

مثال 6:  ایک تفرقی مساوات بنائیے جو کہ ناقصوں کے خاندان کو ظاہر کررہی ہے اور جس کاماسکہ (foci)  ×– محور پر اور مرکز مبدہ پر ہے

شکل 9.3

حل:  ہم بتائی گئی ناقص کے خاندان کی مساوات کو جانتے ہیں (دیکھیے شکل 9.3) جو کہ ہے

x کی مناسبت سے مساوات (1) کا تفرق کرنے پر، ہمیں حاصل ہوتا ہے 

یا

x کی مناسبت سے مساوات (2) کا دونوں طرف تفرق کرنے پر، ہمیں حاصل ہوتا ہے

یا

جوکہ مطلوبہ متفرق مساوات ہے۔

مثال 7:  دائروں کے خاندان کی تفرقی مساوات بنائیے جو کہ x-محور کو مبدہ پر چھورہی ہے۔

حل:  مان لیجیے دائروں کے خاندان کو C سے ظاہر کیا جاتا ہے جو کہ x-محور کو مبدہ پر چھو رہی ہے۔ مان لیجیے کسی بھی خاندان کے افراد کے مختص مرکز پر (o,a) ہیں۔ (شکل 9.4 دیکھیے) اس لیے خاندان C کی مساوات ہے

     شکل 9.4

(1)......          x² + (y − a )²  =a² 

یا                  x² + y² = 2ay

جہاں a ایک اختیاری مستقلہ ہے۔ x کی مناسبت سے مساوات (1) کا دونوں طرف تفرق کرنے پر ہمیں حاصل ہوتاہے۔

یا

a کی قدر (2) سے (1) میں رکھنے پر، ہمیں حاصل ہوتا ہے

یا

یا

یہ دائروں کی دیتے ہویے خاندان کی مطلوبہ تفرقی مساوات ہے

مثال 8:  ایک تفرقی مساوات بنائیے جو کہ مکافیوں کے خاندان کو ظاہر کر رہی ہے اور جس کا داس مبدا پر ہے اور محور، x- محور کی مثبت سمت کے ساتھ ہے۔

شکل 9.5

حل:  مان لیجیے P اوپر دیے ہوئے مکافیوں کے خاندان کو ظاہر کرتا ہے (شکل 9.5 دیکھئے) اور مان لیجیے (a,o) دیے ہوئے خاندان کے ایک فرد کا ماسکہ ہے، جہاں a ایک اختیاری مستقلہ ہے۔ اس لیے خاندان P کی مساوات ہے

(1).........                    y² + 4 ax

x کی مناسبت سے مساوات (1) کا دونوں طرف تفرق کرنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے

(4a) کی قدر مساوات (2) سے مساوات (1) میں رکھنے پر، ہمیں حاصل ہوتا ہے

یا

جو کہ دی ہوئی مکافیوں کے خاندان کی مطلوبہ تفرقی مساوات ہے۔

مشق 9.3

مشق 1 تا 5 میں دی ہوئی منحنیوں کے خاندان کو ظاہر کرتی ہوئی، a اور b اختیاری مستقلوں کو خارج کرکے ایک تفرقی مساوات بنائیے۔

1. x/a + y/b =1        

2. (y² = a (b² − x²

3. y = ae³x + be −²x

4.   (y = e²x (a+bx

5.    (y= ex (a cos x + sin x

6۔ دائروں کے خاندان کی ایک مساوات بنائیے جو y- محور کو مبدہ پر چھو رہی ہے۔

7۔ مکافیوں کے خاندان کی ایک مساوات بنائیے جس کا راس مبدہ پر ہے اور محور مثبت y- محور کے ہمراہ ہے۔

8۔ ناقصوں کے خاندان کی ایک مساوات بنائیے جس کا مساسکہ y- محور پر اور مرکز مبدہ پر ہے۔

9۔ زائدوں کے خاندان کی ایک مساوات بنائیے جس کا ماسکہ x- محور پر اور مرکز مبدہ پر ہے۔

10۔ دائروں کے خاندان کی ایک مساوات بنائیے جس کا مرکز y- محور پر اور نصف قطر 3 اکائیاں ہے۔

11۔ درج ذیل میں کن تفرقی مساواتوں کا عام حل  y= c1 ex +c2e -x  ہے؟

12۔ ذیل میں سے کن تفرقی مساواتوں کا خصوصی حل   y  =   x ہے؟

9.5 پہلی ترتیب، پہلے درجہ کی تفرقی مساواتیں حل کرنے کے طریقے

 (Methods of Solving First order, First Degree Differential Equations)

اس سیکشن میں ہم پہلی ترتیب، پہلے درجہ کی تفرقی مساواتوں کے حل کرنے کے تین طریقوں پر بحث کریں گے۔

9.5.1  الگ ہونے والے متغیروں کے ساتھ تفرقی مساواتیں(Differential equations with variables separable)

ایک پہلی ترتیب۔ پہلے درجہ کی تفرق مساوات اس طرح کی ہوتی ہے

(1).......... (dy/dx = F (x, y

اگر  (F (x,y  کو (g (x) h (y حاصل ضرب کے طور پر دکھایا جاسکتاہے، جہاں (x, g (x  کاتفاعل ہے اور (y, h (y کا تفاعل ہے۔ تب تفرقی مساوات (1) کو الگ ہونے والے متغیر کی شکل کا کہا جاتا ہے۔ تب تفرقی مساوات (1) کی شکل اس طرح ہے۔

(2)........ (dy/dx = h (y), g (x

اگر    0 ≠ (h (y   ہے، تو متغیروں کو الگ کرتے ہوئے، (2) کو اس طرح لکھا جاسکتا ہے

(3)........ I / h(y)  dy = g (x) dx

(3) کا دونوں طرف تکمل کرنے پر ،ہمیں حاصل ہوتا ہے

اس طرح، (4) دی ہوئی تفرقی مساوات کا حل اس شکل میں مہیا کراتی ہے۔

H (y)  = G (x) + C

یہاں، (H (y اور (G (x، بالترتیب    اور (g (x کے ضد مشتق ہیں اور C اختیاری مستقلہ ہے۔

مثال 9:  تفرقی مساوات کا عام حل معلوم کیجیے۔

حل:  ہمارے پاس ہے

مساوات (1) میں متغیروں کو الگ کرکے،ہمیں حاصل ہوتا ہے

(2)........ (2 - y) dy = (x +1)dx

مساوات (2) کا دونوں طرف تکمل کرنے پر، ہمیں حاصل ہوتا ہے

یا  

x²+y² +2x -4y +2C1 =0  یا  

یا  x²+y² +2x -4y +2C1 =0 جہاں. C    =   2C1

جو کہ مساوات (1) کا عام حل ہے

مثال 10:  تفرقی مساوات     کا عام حل معلوم کیجیے۔

حل:  کیونکہ      ہے، اس لیے متغیروں کو الگ کرنے پر، دی ہوئی تفرقی مساوات کواس طرح لکھا جاسکتا ہے۔

مساوات (1) کا دونوں طرف تکمل کرنے پر، ہمیں حاصل ہوتا ہے

یا 

جو کہ مساوات (1) کا عام حل ہے۔

مثال 11:  تفرقی مساوات    کا خاص حل معلوم کیجیے،  y  =   1 دیا گیا ہے، جب کہ x  =  0 ہے۔

حل:  اگر 0   ≠ y ہے، دی ہوئی تفرقی مساوات اس طرح لکھی جاسکتی ہے

مساوات کا دونوں طرف تکمل کرنے پر ،ہمیں حاصل ہوتا ہے

مساوات (2) میں y  = 1  اور x  =  0 رکھنے پر ہمیں ،   C  =  –   1 حاصل ہوتا ہے

اب C کی قدر مساوات (2) میں رکھنے پر، ہمیں دی ہوئی تفرقی مساوات کا خاص حل     کی طرح حاصل ہوتا ہے۔

مثال 12:  منحنی کی مساوات معلوم کیجیے جو کہ نقطہ (1,1) سے ہوکر گزر رہی ہے اورجس کی تفرقی مساوات 

x dy = (2x² +1) dx (x‡0)

  ، ہے

حل:  دی ہوئی تفرقی مساوات کو اس طرح ظاہر کیا جاسکتا ہے

یا

مساوات (1) کا دونوں طرف تکمل کرنے پر، ہمیں حاصل ہوتا ہے

یا 

مساوات (2)دی ہوئی تفرقی مساوات کے منحنیوں کے خاندان کے حل کوظاہر کرتی ہے لیکن ہماری دلچسپی خاندان کے خاص فرد کی مساوات معلوم کرنے کا ہے جو کہ نقطہ (1,1) سے ہوکر گزر رہی ہے۔ اس لیے مساوات (2) میں x = 1، y = 1 رکھنے پر، ہمیں  C = 0 حاصل ہوتا ہے۔

اب مساوات (2) میں C کی قدر رکھنے پر ہمیں مطلوبہ منحنی کی مساوات | y = x² + log | x  کی طرح کی حاصل  ہوتی ہے۔

مثال 13:  ایک منحنی کی مساوات معلوم کیجیے جو کہ نقطہ (2,3–) سے ہوکر گزر رہی ہے، منحنی پر مماس کا سلوپ    کسی بھی نقطہ (x,y) پر دیا گیا ہے۔

حل:  ہم جانتے ہیں کہ منحنی پرمماس کا سلوپ     سے دیا گیا ہے

اس لیے، = ........(1)

متغیروں کو الگ کرنے پر، مساوات (1) اس طرح لکھی جاسکتی ہے

*  علامت  لیبنٹریز کی وجہ سے بہت زیادہ لچک دار اور استعمال کے قابل ہے بہت سے حساب لگانے اور ردوبدل میں، جہاں، ہم بالکل علامتوں dy اور dx سے تعلق قائم رکھتے ہیں جیسے وہ عام اعداد تھے۔ dx اور dy کو الگ اندراج کی طرح برتاؤ کرنے پر، ہم بہت سے حل کرنے میں اور زیادہ صاف عبارت دے سکتے ہیں۔

حوالہ: تحلیل اور کیلکولس کا تعارف، حصہ 1 صفحہ 172، ریچارڈ کورنیٹ، فرس جون اپنچر-ورکوں نیویارک۔

(2)........ y² dy = 2 x dx 

مساوات (2) کا دونوں طرف تکمل کرنے پر، ہمیں حاصل ہوتا ہے

یا   

مساوات (3) میں y  = 3, x =  –  2 رکھنے پر، ہمیں C = 5 حاصل ہوا ہے

C کی قدر مساوات (3) میں رکھنے پر، ہمیں مطلوبہ منحنی کی مساوات اس طرح حاصل ہوتی ہے۔

  y = (3 x² + 15)⅓          y³ / 3 = x² +5   

مثال 14:  ایک بینک میں اصل زرفی صدی شرح سالانہ سے  لگاتاربڑھتی ہے۔ کتنے وقت میں 1000 روپیے دوگنے ہوجائیں گے۔

حل:   مان لیجیے کسی بھی وقفہ  t  پر اصل زر p  ہے۔ دییے ہوئے مسئلہ کے مطابق 

یا

مساوات (1) میں متغیروں کو الگ کرنے پر،ہمیں حاصل ہوتا ہے

مساوات (2) کا دونوں طرف تکمل کرنے پر، ہمیں حاصل ہوتا ہے

یا

یا (جہاں    ) ……(3)

اب P=1000  ہے، جب کہ  t=0

p  اورtکی قدریں مساوات (3) میں رکھنے پر، ہمیں C=1000 حاصل ہوتا ہے۔ اس لیے، مساوات (3) دیتی ہے

مان لیجیے اصل زر کو دوگنا کرنے کے لیےtسال درکار ہیں۔ تب

مشق 9.4

سوال 1 تا 10 میں ہر ایک تفرقی مساوات کے لیے، عام حل معلوم کیجیے:

11 تا 14 سوالوں میں ہر ایک تفرقی مساوات کے لیے، ایک خاص حل معلوم کیجیے جو کہ دی ہوئی حالت کومطمئن کرتا ہے:

15۔ ایک منحنی کی مساوات معلوم کیجیے جو کہ نقطہ (0,0) سے ہوکر گزر رہی ہے اور جس کی تفرقی مساوات y' = ex sin x  ہے۔

16۔ تفرقی مساوات    کے لیے منحنی حل معلوم کیجیے جو کہ نقطہ (1–,1) سے ہوکر گزر رہی ہے۔

17۔ منحنی مساوات معلوم کیجیے جو کہ نقطہ (2 –, 0) سے ہوکر گزر رہی ہے، یہ دیا ہوا ہے کہ منحنی کے کسی بھی نقطہ (x,y) پر، اس کے مماس کے سلوب اور y –مختص کے نقطے کا حاصل ضرب نقطہ کے x –مختص کے برابر ہے۔

18۔ منحنی کے کسی بھی نقطہ (x,y) پر مماس کا سلوپ قطعہ خط کے سلوپ کا دوگنا ہے جو کہ نقطہ (4–,3–) سے نقطہ اتّصال (Contal point) کو جوڑتا ہے۔ منحنی کی مساوات معلوم کیجیے جب کہ یہ دیاہوا ہے کہ یہ(2,1–) سے ہوکر گزرتی ہے۔

19۔ ایک کرہ نما غبارے کا حجم جس میں ہوا بھری جارہی ہے ایک مستقل شرح سے بدل رہا ہے۔ اگر شروع میں اس کا نصف قطر '3' اکائیاں ہے اور '3' سیکنڈ کے بعد 6 اکائی ہے۔ غبارہ کا نصف قطر 't' سیکنڈ کے بعد معلوم کیجیے۔

20۔ ایک بینک میں، اصل زر ،r فی صدی شرح سالانہ سے بڑھ رہا ہے۔ 'r' کی قدر معلوم کیجیے اگر 100 روپیے 10 سال میں دوگنے ہوجاتے ہیں  (loge 2 = 0.6931)

21۔ ایک بینک میں، اصل زر، 5 فی صدی شرح سالانہ سے بڑ رہا ہے۔ اس بینک میں 1000 روپے کی رقم جمع کی گئی ہے، یہ 10 سال میں کتنی ہوجائے گی (e0.5 = 1.648)

22۔ ایک کاشتکاری میں بیکٹیریا کی گنتی 1,00,000 ہے۔ 2 گھنٹے میں ان کی تعداد 10 فی صدبڑھ گئی ہے۔ کتنے گھنٹوں میں ان کی گنتی 2,00,000 ہوجائے گی، اگر بیکٹیریا کی پیداوار کی شرح موجودہ تعداد کی مناسبت میں ہے۔

23۔ تفرقی مساوات    کا عام حل ہے

A)  ex + e-y = C)

B)         ex + ey =C)

    C)  e -x + ey = C)

D)   e-x + e-y = C)

9.5.2  متجانس تفرقی مساواتیں (Homogeneous differential equations) 

x  اور  y  کے مندرجہ ذیل تفاعلات پر غور کیجیے

F1 (x, y ) = y² + 2xy             F2 (x, y) = 2x − 3y 

F3 (x,y) = cos [y/x] F4 (x,y) sin x + cos y

اگر ہم کسی بھی غیر صفر مستقلہ λ کے لیے x اورyکی بالترتیب λx اور λy سے مندرجہ بالاتفاعل میں جگہ تبدیل کریں، کسی بھی غیر صفر مستقلہ λ کے لیے، ہمیں حاصل ہوتا ہے۔

  ، کسی بھی  n ∈ N کے لیے

یہاں ہم یہ مشاہدہ کرتے ہیں کہ فنکشن F3, F2, F1 کو    کی شکل میں لکھ سکتے ہیں لیکن F4 کو اس شکل میں نہیں لکھا جاسکتا۔ یہ ذیل تعریف کی طرف لے جاتا ہے:

ایک فنکشن (F (x,y کو اس وقت ایک n ڈگری کا متجانس فنکشن کہا جاسکتا ہے اگر کسی بھی غیر صفر مستقل λ کے لیے    ہے۔

اوپر کی مثالوں میں ہم یہ نوٹ کرتے ہیں کہF3, F2, F1 بالترتیب درجہ 2، 1، 0 کے متجانس تفاعل ہیں لیکن F4 ایک غیر متجانس تفاعل ہے۔

ہم یہ بھی مشاہدہ کرتے ہیں کہ

کسی بھی   n ∈ N کے لیے

یا کسی بھی   n ∈ N کے لیے

اس لیے، فنکشن (F (x,y ایک ڈگری  n کا متجانس فنکشن ہے، اگر

یا

   قسم کی ایک تفرقی مساوات متجانس کہلاتی ہے اگر (F (x,y ایک صفر درجہ کا متجانس فنکشن ہے

اس قسم کی ایک متجانس مساوات حل کرنے کے لیے ہم

..........(1)

ہم  y = vx رکھتے ہیں۔ ..........(2)

x  کی مناسبت سے مساوات (2) کا تفرق کرنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے

  کی قدر مساوات (3) سے مساوات (1) میں رکھنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے

یا  

مساوات (4) میں متغیروں کو الگ کرنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے

مساوات (5) کا دونوں طرف تکمل کرنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے

جب ہم  v کو   سے بدلتے ہیں تو مساوات (6) تفرقی مساوات (1) کا عام حل (ابتدائی) حل دیتی ہے ۔

نوٹ:  اگر متجانس تفرقی مساوات   (F (x,y   =  قسم کی ہے، جہاں (F (x,y  ایک صفر درجہ کامتجانس تفاعل ہے، تب ہم      رکھتے ہیں اور پھر عام حل معلوم کرنے کے لیے اسی طرح آگے بڑھتے ہیں جیسا کہ اوپر بحث و مباحثہ کیا گیا ہے   لکھ کر۔

مثال 15:  دکھائیے کہ تفرقی مساوات    ایک متجانس ہے اور اسے حل کیجیے۔

حل:  دی ہوئی مساوات کو اس طرح ظاہر کیا جاسکتا ہے

مان لیجیے

اب

اس لیے، (F (x,y صفر درجہ کا ایک متجانس فنکشن ہے۔ اس لیے دی ہوئی مساوات ایک مساوات ہے

متبادل کے طور پر،

تفرقی مساوات (2) کی R.H.S ،   قسم کی ہے اور اس لیے یہ صفر درجہ کا متجانس تفاعل ہے۔ اس لیے مساوات (1) ایک ہم قسم تفرقی مساوات ہے۔ اسے حل کرنے کے لیے ہم 

      y =  vx    رکھتے ہیں۔ .........(3)

x  کی مناسبت سے  مساوات (3) کا تفرق کرنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے

y  اور    کی قدریں مساوات (1) میں رکھنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے

مساوات (5)  کا دونوں طرف تکمل کرنے پر، ہمیں حاصل ہوتا ہے

(کیوں؟)

v کو    سے بدل کرنے پر، ہمیں حاصل ہوتا ہے

جو کہ تفرقی مساوات (1) کا عام حل ہے

مثال 16:  دکھائیے کہ تفرقی مساوات    ایک متجانس ہے اور اسے حل کیجیے۔

حل:  دی گئی تفرقی مساوات اس طرح لکھی جاسکتی ہے

یہ    (F  (x,y =  قسم کی تفرقی مساوات ہے

یہاں

x  کو λx  اور y کو λy سے منتقل پر، ہمیں حاصل ہوتا ہے

اس طرح (F  (x,y ایک صفر درجہ کا متجانس تفاعل ہے

اس لیے، دی ہوئی تفرقی مساوات ایک ہم قسم مساوات ہے۔ 

اسے حل کرنے کے لیے ہم ذیل میں

y = vx  رکھتے ہیں۔ ...........(2)

x کی مناسبت سے  مساوات (2) کا تفرق کرنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے

y  اور    کی قدریں مساوات (1) میں رکھنے پر، ہمیں حاصل ہوتا ہے

اس لیے

یا |sin v = log |x|+ log |C

یا     | sin v = log |Cx

v کو   سے بدلنے پر، ہمیں حاصل ہوتا ہے

جو کہ تفرقی مساوات (1) کا عام حل ہے

مثال 17:  دکھائیے کہ تفرقی مساوات   متجانس ہے اور اس کا خاص حل معلوم کیجیے، دیا گیا ہے کہ x =  0 ہے جب کہ y  = 1 ہے

حل:  دی ہوئی تفرقی مساوات اس طرح لکھی جاسکتی ہے

مان لیجیے

تب

اس طرح، (F  (x,y صفر درجہ کا متجانس تفاعل ہے۔ اس لیے دی ہوئی تفرقی مساوات ایک متجانس تفرقی مساوات ہے۔ اسے حل کرنے کے لیے ہم ذیل میں

x  =  vy  رکھتے ہیں ۔ ……(2)

x  کی مناسبت سے مساوات (2) کا تفرق کرنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے

x  اور   کی قدریں مساوات (1) میں رکھنے پر، ہمیں حاصل ہوتا ہے

یا          2ev = - log |y | +C

اور  v  کو   سے بدلنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے

(3)...... 2e x/y + log |y | = C

مساوات (3) میں x =  0 اور y  =  1 رکھنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے

2e0 + log | 1| = C ⇒ C =2

C کی قدر مساوات (3) میں رکھنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے

2e x/y + log |y| =2

جو کہ دی ہوئی تفرقی مساوات کا خاص حل ہے

مثال 18:  دکھائیے کہ منحنیوں کی فیملی جس کے لیے مماس کا سلوپ کسی بھی نقطہ (x,y) پر   ہے،    ہے۔

حل:  ہم جانتے ہیں کہ منحنی کے ایک نقطہ پر مماس کا سلوپ    ہے

اس لیے

یا

صاف طور پر (1) ایک متجانس تفرقی مساوات ہے۔ اسے حل کرنے کے لیے ہم ذیل

  y =  vx رکھتے ہیں۔

x  کی مناسبت سے  y =  vx کا تفرق کرنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے۔

اس لیے

یا   |log | y² −1| = − log | x| + log | C1 

یا   |log | v² − 1) (x) | =log |C1

یا  v² − 1) x= ± C1)

v  کو   سے منتقل کرنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے

مشق 9.5

1 تا  10 ہر ایک سوال میں دکھائیے کہ دی ہوئی تفرقی مساوات ہم قسم ہے اور ہر ایک کو حل کیجیے

1.       x² + xy) dy = (x² + y² ) dx)

2. y' = x+y /x

3.   x − y) dy − (x+y) dx = 0)

4.       x²− y²) dx + 2xy dy =0)

5.   x² dy/dx = x² − 2y² +xy

6.    x dy − dx = √ x² + y² dx

11  تا  15  سوال میں ہر ایک تفرقی مساوات کے لیے،مخصوص حل معلوم کیجیے جو کہ دی ہوئی حالت کو مطمئن کرتا ہے

11-    y =1 جب کہ x=1 ;  

x+y) dy + (x -y) dx =0)

   12. y=1  جب کہx =1;

         x²dy +(xy +y²) dx = 0

16۔ ایک متجانس تفرقی مساوات    ذیل میں دیے گیے بدل کو رکھ کر حل کی جاسکتی ہے۔

(A)  y=vx          (B)  v=yx          (C)       x=vy          (D)    x =y    

17۔ ذیل میں سے کون سی ایک متجانس تفرقی مساوات ہے؟

(A)   (4x +6y +5) dy −(3y +2x +4 ) dx = 0

(B)   (xy) dx −(x³ + y³) dy =0                  

(C)   (x³ +2y²) dx + 2xy dy =0               

(D)   y² dx + (x² − xy −y²) dy = 0         

9.5.3  خطی تفرقی مساواتیں  (Linear differential equations)

ایک تفرقی مساوات

dy/dx + Py = Q

کی شکل کی جہاں P اور Q مستقلہ ہیں یا صرف x کی تفاعل ہیں، ایک پہلی ترتیب خطی تفرقی مساوات کہلاتی ہے۔ پہلی ترتیب خطی تفرقی مساوات کی کچھ مثالیں یہ ہیں۔

dy/dx + y = sin x

ایک دوسری ترتیب والی خطی تفرقی مساوات اس شکل کی ہے

dx /dy +P1 x = Q1

جہاں P1 اور Q1 مستقل ہیں یا صرف y کے تفاعل ہیں۔ اس طرح کی تفرقی مساوات کی کچھ مثالیں یہ ہیں۔

پہلی ترتیب والی خطی تفرقی مساوات کو حل کرنے کے لیے جو کہ اس طرح کی ہے

(1)....... dy /dx + Py =Q

مساوات (1) کو دونوں طرف ایک xکے تفاعل سے ضرب کیجیے، مان لیجیے وہ  (g (x ہے، یہ حاصل کرنے کے لیے

 کو اس طرح چنئے تا کہ y. g (x) R.H.S کا مشتق ہوجائے

یعنی

یا

یا

x  کی مناسبت سے دونوں طرف کا تکمل کرنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے

یا ((P, dx = log (g(x∫

یا  g (x) = e ∫p dx

مساوات (1) کو دونوں طرف   سے ضرب کرنے پر، x   L.H.S اور  y  کے تفاعل کا مشتق ہوجاتی ہے۔ یہ تفاعل  دی ہوئی تفرقی مساوات کا تکمل کرنے والا اجزائے ضربی (I.F) کہلاتا ہے۔

(g  (x کی قدر مساوات (2) میں رکھنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے

x کی مناسبت سے دونوں طرف کا تکمل کرنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے

جو کہ تفرقی مساوات کا عام حل ہے۔

پہلی ترتیب خطی تفرقی مساوات کو حل کرنے میں کیے گئے اقدامات

(Steps involved to solve first order linear differential equation)

(i) دی ہوئی تفرقی مساوات کو   کی شکل میں لکھیے، جہاں Q، P مستقلہ ہیں یا صرف x کے تفاعل ہیں۔

(ii) تکمل کرنے والا اجزائے ضربی (I.F) معلوم کیجیے=

(iii) دی ہوئی تفرقی مساوات کا حل اس طرح لکھیے

y (I.F) = ∫(Q ×I.F ) dx +C

اگرچہ پہیلی ترتیب خطی تفرقی مساوات    کی قسم کی ہے، جہاں P1 اور Q1 مستقلہ ہیں یا صرف y کے فنکشن  ہیں تب    ہے اور تفرقی مساوات کا حل اس سے دیا گیا ہے

x, (I.F ) =∫(Q1×I.F) dy +C

مثال 19:  تفرقی مساوات    کا عام حل معلوم کیجیے

حل:  دی ہوئی تفرقی مساوات اس قسم کی ہے

  ؛  جہاں P =  –   1 اور  Q =  cosx  ہے

اس لیے

مساوات کو دونوں طرف I.F سے ضرب کرنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے

یا

  x کی مناسبت سے دونوں طرف کاتکمل کرنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے۔

مان لیجیے

یا   I= - e -x cos x +sin x e-x -I

یا   2I = (sin x - cos x) e -x 

I کی قدر مساوات (1) میں رکھنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے

جو کہ دی ہوئی تفرقی مساوات کا عام حل ہے

مثال 20:  تفرقی مساوات    کا عام حل معلوم کیجیے

حل:  دی ہوئی تفرقی مساوات ہے

مساوات (1) کو  x سے تقسیم کرنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے

جو کہ    کی طرح کی خطی تفرقی مساوات ہے، جہاں   اور  Q = x ہے

اس طرح      [ کیونکہ  ]

اس لیے دی ہوئی مساوات کا حل ہے 

یا

جو کہ دی ہوئی تفرقی مساوات کا عام حل ہے۔

مثال 21:  تفرقی مساوات  y dx - (x+2y²) dy = 0  کا عام حل معلوم کیجیے۔

حل:  دی ہوئی تفرقی مساوات اس طرح لکھی جاسکتی ہے۔

یہ  ، کی قسم کی خطی تفرقی مساوات ہے جہاں    اور Q1 =  2y ہیں۔ اس لیے 

اس لیے، دی ہوئی تفرقی مساوات کا حل ہے

x 1/y =  ∫ (2y) [1/y] dy + C

یا        x/y  = ∫ (2dy) +C 

یا  x/y = 2y +C

یا   x= 2y ² + Cy 

جو کہ دی ہوئی تفرقی مساوات کا عام حل ہے

مثال 22:  دی ہوئی تفرقی مساوات کا خاص حل معلوم کیجیے

(dx/dy + y cot x = 2x +x² cot x (x ≠ 0

دیا گیا ہے جب کہ    ہے

حل:  دی ہوئی مساوات  شکل کی ایک خطی تفرقی مساوات ہے، جہاں P =  cotx اور ہے۔ اس لیے

اس لیے، تفرقی مساوات کا حل اس سے دیا گیا ہے

y, sin x = ∫ (2x +x² cot x ) sin x dx +C

یا  y sin x = ∫2x sin x dx + ∫x² cos x dx +C

یا y sin x = x² sin x − ∫ x² cos x dx + ∫ x² cos x dx + C

یا   y sin  x = x² sin x + C

     مساوات (1) میں y = 0 اور   رکھنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے

C کی قدر مساوات (1) میں رکھنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے

جو کہ دی ہوئی تفرقی مساوات کا خاص حل ہے۔

مثال 23:  منحنی کی مساوات معلوم کیجیے جوکہ نقطہ (0,1) سے ہوکر گزر رہی ہے۔ اگر کسی بھی نقطہ(x,y) پر منحنی پر مماس کا سلوپ x-مختص (abscissa) اوراسی نقطہ پر x-مختص اور y-مختص (Ordinate) کے حاصل جمع کے برابر ہے 

حل:  ہم جانتے ہیں کہ مماس کا منحنی پر سلوپ   ہے۔

اس لیے،  x +  xy=  

یا

یہ      Py =  Q+  قسم کی خطی تفرقی مساوات ہے، جہاں  P =  –  x  اور  Q =  x ہے

اس لیے،

اس لیے مساوات کا حل اس سے دیا گیا ہے

مان لیجیے

مان لیجیے  

اس لیے،

I  کی قدر مساوات (2) میں رکھنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے

یا

اب (3) منحنی کی فیملی کی مساوات کو ظاہر کرتی ہے۔ لیکن ہماری دلچسپی فیملی کے ایک خاص ممبر کو معلوم کرنے کی ہے جو کہ (0,1) سے ہوکر گزر رہا ہے۔ x =  0 اور y =  1 مساوات (3) میں رکھنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے

C کی قدر مساوت (3) میں رکھنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے

جو کہ منحنی کی مطلوبہ مساوات ہے۔

مشق 9.6

دیے ہوئے سوال 1 تا 12 میں ہر ایک تفرقی مساوات کے لیے عام حل معلوم کیجیے۔

 سوال 13 تا 15 میں ہر ایک تفرقی مساوات کے لیے ایک خاص حل معلوم کیجیے جو کہ دی ہوئی شرط کو مطمئن کرے:

16۔ ایک منحنی کی مساوات معلوم کیجیے جو کہ مبدہ سے ہوکر گزرہا ہے، دیا ہوا ہے کہ منحنی پر مماس کا سلوپ کسی بھی نقطہ (x,y) پر نقطہ کے مختصات کے حاصل جمع کے برابر ہے۔

17۔ ایک منحنی کی مساوات معلوم کیجیے جو کہ نقطہ (o,2) سے ہوکر گزر رہی ہے، یہ دیا ہوا ہے کہ منحنی کے کسی بھی نقطہ پر مختصات کاحاصل جمع اس منحنی کے نقطہ پر مماس کے سلوپ کی قدر(Magnitude) سے 5 زیادہ ہے۔

18۔ تفرقی مساوات    کا تکمل کرنے والا اجزائے ضربی ہے

(A)  e-x      (B)  e-y       (C)   1/x        (D) x

19۔ تفرقی مساوات    کا تکمل کرنے والا اجزائے ضربی ہے

متفرق مثالیں

مثال 24:  تصدیق کیجیے کہ تفاعل    ، جہاں c1 اور c2 اختیاری مستقلہ ہیں تفرقی مساوات    کا حل ہے۔

حل:  دیا ہوا تفاعل ہے

(1) ..... [y=eax [c1 cos bx + c2 sin bx 

x کی مناسبت سے مساوات (1) کا دونوں طرف تفرق کرنے پر، ہمیں حاصل ہوتا ہے

dy/dx = eax [ - bc1 sn bx + be2 cos bx ] + [c1 cos bx +c2 sin bx ] e ax,a

یا   (2)........... [y/dx = eax [(bc2 + ac1) cos bx + (ac2 - bc1 ) sin bx

x کی مناسبت سے مساوات (2) کا دونوں طرف تفرق کرنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے

[(d²y/dx² = eax [(bc2 +ac1) (-b sin bx) +(ac2 - bc1) (bcos bx

bc2 +ac1) cos bx + (ac2 - bc1) sin bx ] eax ,a)] +

[eax [(a²c2 - 2abc1 - b2 c2) sin bx +(a2c1+2abc2 - b2c1) cos bx= 

دی ہوئی تفرقی مساوات میں    اور y کی قدریں رکھنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے

[L.H.S = eax [a2c2 -2abc1 -b2c2) sin bx +(a2c1+2abc2 - b2c1) cos bx

 [2aeax [(be2+ac1) cosbx + (ac2 - bc1 ) sin bx-

[a2+b2) eax[c1cosbx +c2 sin bx)+

eax[0×sin bx +0×cos bx ] = eax ×0=0=R.H.S=

اس طرح، دیا ہوا تفاعل، دی ہوئی تفرقی مساوات کا حل ہے۔

مثال 25:  دوسرے ربع میں دائروں کی فیملی کی ایک تفرقی مساوات بنائیے اور جو کہ مختص محوروں کو چھورہی ہو۔

حل:  مان لیجیے C دوسرے ربع میں دائروں کی فیملی کو ظاہر کرتی ہے اور مختص محوروں کو چھورہی ہے۔مان لیجیے (a,a-) اس فیملی (دیکھیے شکل 9.6) کے کسی بھی ممبر کے مرکز کے مختصات ہیں۔

جو مساوات خاندان C کو ظاہر کر رہی ہے وہ یہ ہے

(1)...... x+a)² + (y−a)² = a²)

(2)...... یا     x²+y²+2ax − 2ay+a² = 0

x کی مناسبت سے مساوات (2) کا دونوں طرف تفرق کرنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے

a  کی قدر مساوات (1) میں رکھنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے

یا         xy' - x + x + y y']² + [y y' −y−x−y y']² =[x+y y']²]

یا   x+y)² y'² + [x+y]² = [x + y y']²)

یا x+y)² [(y')² + 1] = [x+y y']²)

جو کہ دیے ہوئے دائروں کی فیملی کو ظاہر کرتی ہوئی تفرقی مساوات ہے

مثال 26:  تفرقی مساوات    کا خاص حل معلوم کیجیے، دیا ہوا ہے کہ y =  0 ہے جب کہ y =  0 ہے

حل:  دی ہوئی تفرقی مساوات کو اس طرح لکھا جاسکتا ہے

یا

متغیروں کو الگ کرنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے

اس لیے

x = 0 اور y =  0 کو مساوات (2) میں رکھنے پر حاصل ہوتا ہے

    4+3+12C  =   0  یا  

C کی قدر مساوات (2) رکھنے پر حاصل ہوتا ہے

4e3x + 3e -4y - 7 = 0

جو کہ دی ہوئی مساوات کا خاص حل ہے۔

مثال 27:  تفرقی مساوات کو حل کیجیے

حل:  دی ہوئی تفرقی مساوات کو اس طرح لکھا جاسکتا ہے

  R.H.S    میں  شمار کنندہ اور نسب نماں کو   x2 سے تقسیم کرنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے

صاف طور پر مساوات (1) ،  کی شکل کی ہم قسم تفرقی مساوات ہے۔

اسے حل کرنے کے لیے ہم مندرجہ ذیل میں

  y  =   vx   میں رکھتے ہیں ……(2)

یا

یا ((1) اور (2) کا استعمال کرنے پر)

اس لیے

مساوات (3) میں v کو    سے بدلنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے

،  جہاں   ہے

یا

جو کہ دی ہوئی تفرقی مساوات کا عام حل ہے۔

مثال 28:  تفرقی مساوات   tan -1 y - x) dy = (1+y²) dx)  کو حل کیجیے۔

حل:  دی ہوئی تفرقی مساوات اس طرح لکھی جاسکتی ہے۔

اب (1)،    کی قسم کی خطی تفرقی مساوات ہے

جہاں،   ہیں۔

اس لیے،

اس طرح، دی ہوئی تفرقی مساوات کاحل ہے

مان لیجیے

tan  –1   y =  t رکھنے پر، تاکہ    ہو، ہمیں حاصل ہوتا ہے

یا

I کی قدر مساوات (2) میں رکھنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے

جو کہ دی ہوئی تفرقی مساوات کا عام حل ہے۔

باب 9 پر مشتمل متفرق مشق

1۔ ذیل میں دی گئی ہر ایک تفرقی مساوات کے لیے اس کی ترتیب اور درجہ ظاہر کیجیے (اگر معرف ہوں)

2۔ ذیل میں دی گئی ہر ایک مشق کے لیے ثابت کیجیے کہ دیا ہوا فنکشن (مضمر یا صریح) نظیری تفرقی مساوات کا حل ہے

3۔ ایک تفرقی مساوات بنائیے جو کہ منحنیوں x - a)² + 2y²=a²)   کی فیملی کو ظاہر کرتی ہے، جہاں  a  ایک اختیاری مستقلہ ہے۔

4۔ ثابت کیجیے کہ x² - y² = c(x²+y²)² تفرقی مساوات (x³ - 3x y ²) dx = (y³-3x² y)  /کا ایک عام حل ہے،جہاں C ایک پیرامیٹر ہے۔

5۔ پہلے ربع میں دائروں کی فیملی کی ایک تفرقی مساوات بنائیے جو کہ مختص محور کو چھوکر نکل رہی ہے۔

6۔ تفرقی مساوات   کا عام حل معلوم کیجیے۔

7۔ دکھائیے کہ تفرقی مساوات    کا عام حل (x+y+1) =A (1-x-y-2xy) سے دیا گیا ہے، جہاں A ایک پیرامیٹر ہے۔

8۔ منحنی کی مساوات معلوم کیجیے جو کہ نقطہ   سے ہوکر گزر رہا ہے اور جس کی تفرقی مساوات0 sin x cos y dx + cos x sin y dy =   ہے

9۔ تفرقی مساوات I+e2x) dy+(1+y2) ex dx =0)  کا خاص حل معلوم کیجیے، دیا گیا ہے کہ y =  1 ہے  جب کہ x =  0ہے۔

10۔ تفرقی مساوات  کو حل کیجیے۔

11۔ تفرقی مساوات x - y) (dx+dy) = dx -dy) کا مخصوص حل معلوم کیجیے، جہاں دیا ہوا ہے کہ y =  – 1 ہے جب کہ x =  0 ہے (اشارہ:  x –  y =  t رکھیے)

12۔ تفرقی مساوات    کو حل کیجیے۔

13۔ تفرقی مساوات      کا مخصوص حل معلوم کیجیے، دیا گیا ہے کہ y =  0 جب کہ   ہے۔

14۔ تفرقی مساوات    کا مخصوص حل معلوم کیجیے، دیا گیا ہے کہ y =  0 جب کہ x =  0 ہے۔

15۔ ایک گاوں کی آبادی اس شرح سے لگاتار بڑھ رہی ہے جس نسبت سے اس کے رہنے والوں کی تعداد بڑھ رہی ہے۔ اگر 1999 میں گاوں کی آبادی 20,000 ہے اور سال 2004 میں 25,000 ہے، 2009 میں گاؤں کی آبادی کیا ہوگی؟

16۔ تفرقی مساوات   کا عام حل ہے

(A) xy =C               (B)    x= Cy2              (C)      y=Cx            (D) 

17۔   کی قسم کی تفرقی مساوات کا عام حل ہے

18۔ تفرقی مساوات exdy+(y ex+2x) dx =0   کا عام حل ہے

(A)   xey + x2 =C     (B)      x ey + y2 =C

(C)      y ex + x2 =C              (C)     y ey +x2 = C