باب11

سہ ابعادی جیومیٹری

(THREE DIMENSIONAL  GEOMETRY)

٭’’ریاضیاتی ایجاد کی قوتِ گردش استدلال نہیں بلکہ تصور اس کی وجہ ہے۔‘‘ اے-ڈی مارگن٭

لیونہارڈایلور(Leonhard Euler

(1707–1783)

11.1  تعارف(Introduction)

گیارھویں جماعت میں جب ہم تحلیلی جیومیٹری کا مطالعہ دوابعاد میں کر رہے تھے، اورسہ ابعادی جیومیٹری کے تعارف میں ہم محض کارتیزی طریقوں(Cartesian Methods) تک ہی محدود تھے۔ اس کتاب کے پچھلے باب میں ہم نے سمتیوں کے کچھ بنیادی تصوروں کا مطالعہ کیا ہے۔ اب ہم سہ ابعادی جیومیٹری کے لیے سمتیہ الجبرا کا استعمال کریں گے سہ ابعادی جیومیٹری میں اس نظریہ کا مقصد اس مطالعہ کو آسان اوردلچسپ بنانا ہے۔

اس باب میں ہم ایک خط جو دو نقاط کو ملارہا ہے کے سمتی کوسائن(Cosines) اور ان کی نسبت کا مطالعہ کریں گے اور ساتھ ہی مختلف شرائط کے تحت خطوط کی مساوات اور فضا میں مستویوں کا مطالعہ، دو خط کے درمیان زاویہ، دو مستوی، ایک خط اور ایک مستوی، دوعوجی خطوط کے درمیان کم از کم فاصلہ اور مستوی سے ایک نقطہ کا فاصلہ۔ اوپر کے زیادہ تر نتائج سمتی شکل میں حاصل ہوئے ہیں۔ تاہم، ہم ان نتائج کاکار تیزی شکل میں ترجمہ کریں گے، جو کہ ایک وقت میں صورت حال کی زیادہ صاف جیومیٹریائی اور تحلیلی تصویر دے سکے۔

*سہ ابعادی جیومیٹری میں مختلف مشغلوں کے لیے اس کتاب سے استفادہ کیاجا سکتا ہے، "A Hand Book for designing Mathematics Laboratory in Schools," NCERT, 2005

11.2  ایک خط کی سمتی کوسائن اور سمتی نسبتیں (Direction Cosines and Direction Ratios of a Line)

باب 10 سے، یاد کیجیے کہ اگر ایک براہِ راست خط L جو مبدا سے ہوکرگزر رہا ہے اور x، y   اور z-محوروں کے ساتھ بالترتیب β ، α اور Υ زاویہ بناتاہے، سمتی زاویے کہلاتے ہیں، تب ان زاویوں کے کوسائن جن کے نام cosβ ،cosα اور cosγ ہیں، براہ ِراست خط L کے سمتی کوسائن کہلاتے ہیں۔

اگر ہم L کی سمت مخالف کردیں، تب ان کے سمتی زاویہ ان کے تکملہ سے بدل دئیے جاتے ہیں، یعنی     اور   سے۔ اس طرح سمتی کوسائن کے نشانات الٹے ہوجاتے ہیں۔

یہ ذہن نشین کرلیجیے کہ فضامیں ایک خط کو دو مخالف سمت میں بڑھایا جاسکتا ہے اور اس طرح یہ سمت کوسائن کے دو سیٹ رکھتا ہے۔ فضا میں ایک دئیے ہوئے خط کے لیے راست کوسائن کا ایک سیٹ رکھنے کی ترتیب میں، ضروری ہے کہ ہم دئیے ہوئے خط کو ایک راست خط کے طور پر لیں ۔ان اکلوتے راست کوسائن کو m، I اور n سے ظاہر کیا گیا ہے۔

ریمارک(Remark):  اگر فضامیں دیا ہوا خط مبدا سے ہوکر نہیں گزرتا، تب اس کا راست کوسائن معلوم کرنے کی ترتیب میں ہم مبدا سے گزرتا ہواخط کھینچتے ہیں جوکہ دیے ہوئے خط کے متوازی ہے۔ اب مبدا سے ایک راست خط لیجیے اور اس کی سمتی کوسائن معلوم کیجیے کیونکہ دو متوازی خطوط یکساں سمتی کوسائن رکھتے ہیں۔

کوئی بھی تین اعدادجو کہ ایک خط کے سمتی کوسائن کے متناسب ہیں خط کی سمتی نسبت کہلاتے ہیں۔ اگر I، m، n ایک خط کے سمتی کوسائن ہیں اور c، b، a سمتی نسبتیں ہیں، تب  کسی بھی غیر صفر λ∈ Rکے لیے ، b=λm . a=λI اور  c=λn ہیں

نوٹ:  کچھ مصنف سمتی نسبتوں کو سمتی اعداد بھی کہتے ہیں۔

مان لیجیے، c، b، a ایک خط کی سمتی نسبتیں ہیں اورمان لیجیے m، I اور n خط کے سمتی کوسائن ہیں (d.c's)۔  تب

کیونکہ k   ایک مستقلہ ہے (مان لیجیے)   ،

اس لیے

(1).........      I = ak, m =bk, n=ck   

لیکن

I² +m²+ n² = I

اس لیے

k² (a² + b² + c²) = 1

یا

اس طرح (1) سے خط کے d.c's ہیں

جہاں، k کے مطلوبہ نشان پر منحصر، مثبت یا منفی نشان m، I اور n کے لیے لیتے ہیں۔

کسی بھی خط کے لیے، اگر c، b، a ایک خط کی سمتی نسبتیں ہیں، تب،  بھی سمتی نسبتوں کا ایک سیٹ ہے۔ اس طرح، ایک خط کے کسی بھی سمتی کوسائن کے دو سیٹ بھی متناسب ہیں۔ ساتھ ہی، کسی بھی خط کے لیے سمتی نسبتوں کے بہت سے لا تعداد سیٹ ہیں۔ 

11.2.1  ایک خط کے سمتی کوسائنوں کے درمیان رشتہ  (Relation between the direction cosines of a line)

ایک خطRS پر غورکیجیے جس کے سمتی کوسائن n، m، 1 ہیں۔ مبدا سے دیے ہوئے خط کے متوازی ایک خط کھینچئے اور اس خط پرایک نقطہ (P (x,y,z  لیجیے۔ P سے x-محور پر ایک عمود PA کھینچئے۔ (شکل 11.2)

مان لیجیے  دیتا ہے۔

اسی طرح،  y=mr اور z=nr

اس طرح

(x² + y² + z² = r² (I²+ m² +n²

لیکن x² + y² + z² = r²

اس لیے

I² +m² +n² = 1

11.2.2  دونقاط سے گزرتے ہوئے ایک خط کے سمتی کوسائن (Direction cosines of a line passing through two points)

کیونکہ دو دیے ہوئے نقاط سے ایک اور صرف ایک ہی خطگزر سکتا ہے، ہم ایک خط کے سمتی کوسائین ذیل طریقے سے معلوم کرسکتے ہیں جو کہ دیے ہوئے نقاطP (x1, y1, z1 اور  (Q (x2, y2, z2   سے ہوکر گزر رہا ہے۔ (شکل 11.3 (a)

مان لیجیے n، m، 1 خط PQ  کے سمتی کوسائن ہیں اور مان لیجیے یہ y، x اور z–محوروں کے ساتھ بالترتیب β، α،اور λ   زاویے بناتے ہیں۔

P اور Q سے xy–مستوی پر عمود کھینچئے جو کہ R اور S پر ملتے ہیں۔ Pسے QS پر ایک عمود کھینچئے جو کہ N پر ملے۔ اب قائم مقام مثلث PNQ میں،   PQN =  y >  (شکل 11.3(b)

اس لیے

اسی طرح  اور  

اس لیے، P (x1, y1, z1 اور  (Q (x2, y2, z2  نقاط سے بننے والے قطع خط کے سمتی کوسائن ہیں

جہاں  PQ= √(x2 − x1)² + (y2 − y1 )² + (z2 − z1)² 

نوٹ:   P (x1, y1, z1 اور  (Q (x2, y2, z2 نقاط سے مل کر بننے والے قطع خط کے سمت کوسائن اس طرح بھی لیے جاسکتے ہیں۔

  x2 − x1, y1−y1, z2−z1 یا    x1 −x2, y1 −y2, z1 −z2 

مثال 1:  اگر ایک خط y، x اور z محوروں کی مثبت سمت کے ساتھ بالترتیب 90º ،60º اور 30º کے زاویے بناتا ہے، تب اس کی سمت کوسائن معلوم کیجیے۔

حل:  مان لیجیے خطوط کےn,m,I  d.c's ہیں۔ تب  m=cos 60º½ =, I=cos 90º =0  ہیں

مثال 2:  اگر ایک خط کی سمت نسبتیں 2–,1–,2 ہیں۔ اس کی سمت کوسائین معلوم کیجیے۔

حل:  سمت نسبتیں ہیں 

یا

مثال 3:  اس خط کے سمت کوسائن معلوم کیجیے جو کہ دو نقاط (5–,2,4–) اور (1,2,3) سے ہوکر گزر رہا ہے۔

حل:  ہم جانتے ہیں کہ دو نقاط   P (x1, y1, z1 اور  (Q (x2, y2, z2  سے ہوکر گزرنے والے خط کے سمت کوسائن اس طرح دئیے گئے ہیں

جہاں PQ = √ (x2 − x1)² + (y2 −y1)²(z2 −z1)²

یہاں     ( P (-2,4,-5   ہے اور (Q, (1,2,3 ہے

اس لیے

اس طرح دو نقاط کو ملانے والے خط کی سمت کوسائن ہیں۔

مثال 4:  y، x اور z-محوروں کے سمت کوسائن معلوم کیجیے۔ 

حل:   x–محور، y،x،x اور z– محوروں کے ساتھ بالترتیب  اور 90º . 0º   اور 90º  کا زاویہ بناتی ہے۔ اس لیے، x-محور کے سمت کوسائین cos90º, cos90º, cos90º یعنی۔، 1، 0، 0 ہیں۔ اسی طرح y-محور اور z-محور کے سمت کوسائین بالترتیب 0، 1، 0 اور 1o,o  ہیں۔

مثال 5:   دکھائیے کہ نقاط (B (1,-2,3) , A (2,3,-4  اور  (C (3,8-11  ہم خط ہیں۔

حل:  A اور B کو ملانے والے خط کی سمت نسبتیں ہیں

, 3+4, -2, -3, 1-2 

/یعنی۔،

B اور C کو ملانے والے خط کی سمت نسبتیں ہیں

      , - 11 - 3 , 8+2, 3-1 

یعنی 

- 14, 10, 2,

یہ صاف ہے کہ AB اور BC کی سمت نسبتیں متناسب ہیں، اس لیے، BC, AB کے متوازی ہے۔ لیکن نقطہ AB، B اور BC دونوں میں مشترک ہے۔ اس لیے C، B، A ہم خط نقاط ہیں۔

مشق 11.1

1۔ اگر ایک خطy، x اور z-محوروں کے ساتھ بالترتیب 135º, 90º  اور 45º کے زاویہ بناتا ہے، اس کی سمت کوسائن معلوم کیجیے۔

2۔ ایک خط کا سمت کوسائن معلوم کیجیے جو مختص محوروں کے ساتھ برابر کے زاویہ بناتا ہے۔

3۔ اگر ایک خط کی سمت نسبتیں 18–، 12، 4– ہیں، تب اس کے سمت کوسائن کیا ہیں؟

4۔ دکھائیے کہ نقاط

(5,8,7), (-1,-2,1) ,(2,3,4)

  (ہم خط ہیں۔

5۔ ایک مثلث کے ضلعوں کے سمت کوسائن معلوم کیجیے جس کے راس

(-1,1,2), (3,5,-4)

اور

(-5,-5,-2)

ہیں ۔

11.3  فضا میں ایک خط کی مساوات (Equation of a Line in Space)

ہم نے گیارھویں جماعت میں ایک خط کی مساوات کا دوابعاد میں مطالعہ کیاہے، اب ہم ایک خط کی فضا میں سمتیہ اور کارتیزی مساوات کا مطالعہ کریں گے۔

ایک خط کو یکتا طور پر معلوم کرنااگر

(i)  یہ ایک دیے ہوئے نقطہ سے ہوکر گزرتاہے اور دی ہوئی سمت رکھتا ہے، یا

(ii)  یہ دو دئیے ہوئے نقاط سے ہوکر گزر تا ہے۔

11.3.1  ایک خط کی مساوات جوایک دیے ہوئے نقطے سے گزرتا ہے اور دیے ہوئے سمتیہ    کے متوازی ہے

 ( Equation of a line through a given point and parallel to a given vector)

مان لیجیے مبدا O کو مدد نظر رکھتے ہوئے،   دیے ہوئے نقطہ 'A' کا مستطیلی مختص نظام میں مقامی سمتیہ ہے۔ مان لیجیےl ایک خط ہے جو کہ نقطہ A سے ہوکر گزر تا ہے اور دیے ہوئے سمتیہ    کے متوازی ہے۔ مان لیجیے    ایک اختیاری نقطہ P کاخط پر مقامی سمتیہ ہے ۔(شکل 11.4)

تب   سمتیہ   کے متوازی ہے، یعنی۔،   ، جہاں λ کوئی حقیقی عدد ہے۔

لیکن

یعنی۔،

اس کے برعکس، پیرامیٹر λ  کی ہرقدر کے لیے، یہ مساوات نقطہPکے لیے خط پر مقامی سمتیہ دیتی ہے۔ اس طرح خط کی سمتیہ مساوات اس طرح دی گئی ہے

ریمارک(Remark):  اگر   ہے، تب c، b، a خط کی سمت نسبتیں ہیں اور اس کے برعکس، اگر c، b، a ایک خط کی سمت نسبتیں ہیں، تب   خط کے متوازی ہوں گی۔ یہاں، b کو  | |  کے ساتھ درہم برہم نہیں کرسکتے۔

سمتی شکل سے کار تیزی شکل معلوم کرنا (Derivation of cartesian form from vector form)

مان لیجیے دئیے ہوئے نقطے A کے مختص(x1,y1,z1) ہیں اور خط کی سمت نسبتیں c، b، a ہیں۔ کسی بھی نقطہ P کے مختصوں (x,y,z)پر غور کیجیے جو کہ ہیں۔ تب

اور

ان قدروں کو مساوات (1) میں رکھنے اور  کے ضریبوں کا موازنہ کرنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے

(2).......        x=x1 + λa'; y = y1 + λb; z=z1 +λc 

یہ خط کی پیرامیٹرک مساواتیں ہیں۔ مساوات (2) سے پیرامیٹر      کو خارج کرنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے

یہ خط کی کار تیزی مساوات ہے۔

نوٹ:  اگر n، m، 1 خط کی سمت کوسائن ہیں، تب خط کی مساوات ہے

مثال 6:  اس خط کی سمتیہ اور کارتیزی مساوات معلوم کیجیے جونقطہ (4– ,2 ,5) سے ہوکر گزرتا ہے اور جو کہ سمتیہ    کے متوازی ہے۔

حل:  ہمارے پاس ہے

اس لیے، خط کی سمتیہ مساوات ہے

اب، خط پر کسی بھی نقطہ مقامی سمتیہ ہے۔

اس لیے،

کو خارج کرنے پر، ہمیں حاصل ہوتا ہے

جو کہ خط کی مساوات کار تیزی شکل میں ہے

11.3.2  دودیے ہوئے نقاط سے گزرتے ہوئے ایک خط کی مساوات 

(Equation of a line passing through two given points)

مان لیجیے دو نقاط  (A (x1,y2,z1 , اور (B(x2,y2,z2  کے بالترتیب مقامی سمتیہ  ہیں جو کہ خط پر واقع ہیں (شکل11.5)

مان لیجیے  ایک اختیاری نقطہ (P (x,y,z کا مقامی سمتیہ   ہے، تب P خط پر ایک نقطہ ہے اگر اورصرف اگر  ہم خط سمتیہ ہیں۔ اس لیے، P خط پر ہے اگر اور صرف اگر

یا

یہ خط کی سمتیہ مساوات ہے

سمتیہ شکل سے کارتیزی شکل معلوم کرنا (Derivation of cartesian form from vector form)

ہمارے پاس ہے

ان قدروں کو (1) میں رکھنے پرہمیں حاصل ہوتا ہے

  کی قسم کے ضریبوں کی برابری کرنے پرہمیں حاصل ہوتا ہے

λ کو خارج کرنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے

جو کہ کارتیزی شکل میں خط کی مساوات ہے۔

مثال 7:  اس خط کے لیے سمتیہ مساوات معلوم کیجیے جو کہ نقاط (1,0,2-) اور 3,4,6) سے ہوکر گزر رہا ہے۔

حل:  مان لیجیے نقاط (A (-1,0,2 اور (B (3,4,6 کے a  اور b  مقامی سمتیہ ہیں۔

تب

اور

اس لیے،

مان لیجیے خط پر کسی بھی نقطہ کا مقامی سمتیہ   ہے۔ تب خط کی سمتیہ مساوات ہے

مثال 8:  ایک خط کی کار تیزی مساوات ہے

خط کے لیے سمتیہ مساوات معلوم کیجیے۔

حل:  دی ہوئی مساوات کا معیاری شکل سے موازنہ کرنے پر

ہم مشاہدہ کرتے ہیں کہ   x1= - 3, y1=5, z1=-6; a=2, b=4, c=2

اس طرح مطلوبہ خط نقطہ (6– ,5 ,3– ) سے ہوکر گزرتا ہے اور سمتیہ   کے متوازی ہے۔ مان لیجیے، خط پر کسی بھی نقطہ کامقامی سمتیہ   ہے، تب خط کی سمتیہ مساوات اس سے دی گئی ہے

11.4  دو خطوط کے درمیان زاویہ (Angle between two lines)

مان لیجیے دو خطوط L1 اور L2 مبدا سے ہوکر گزر رہے ہیں اور جن کی سمت نسبتیں بالترتیب  ہیں۔ مان لیجیے خط L1 پر نقطہP  ہے اور خط L2پر نقطہ Q ہے۔ جیسا کہ شکل 11.6 میں دیا گیا ہے، سمت خطوط OP اور OQ پر غور کیجیے۔ مان لیجیے OP اور OQ کے درمیان θ زاویہ حادہ ہے۔ اب یاد کیجیے کہ سمت قطع خط OP اور OQ بالترتیب جزو ترکیبی  a1,b1,c1 اور  a2, b2, c2 کے سمتیہ ہیں۔ اس لیے، ان کے درمیان زاویہ θ اس طرح دیا گیا ہے

...  (1)

خطوط کے درمیان زاویہ sin θ  کی شکل میں اس سے دیا گیا ہے

 نوٹ:  اگر کسی وجہ سے خطوط L1 اور L2 مبدا سے ہوکر نہیں گزرتے، ہم خطوط L'1 اور L'2 لے سکتے ہیں جو کہ بالترتیب L1 اور L2 کے متوازی ہیں اور مبدا سے ہوکر گزرتے ہیں۔

اگر خطوط L1 اور L2 کے لیے سمت نسبتوں کی بجائے سمت کوسائن جن کے نام L1 کے لیے I1,m1,n1 اور L2 کے لیے I1,m1,n1 دییے ہوئے ہوں، تب (1) اور (2) ذیل شکل اختیار کرلیتی ہیں۔

اور

دو خطوط جن کی سمت نسبتیں  a1,b1,c1 اور  a2, b2, c2 ہیں، اس طرح ہیں

(i) عمودی۔، یعنی اگر  θ = 90º ہے (1) سے

0 = a1a2 +b1b2 + c1 c2

(ii) متوازی، یعنی۔، اگر  0 =  θ ہے (2) سے

اب، ہم دو خطوط کے درمیان زاویہ معلوم کرتے ہیں جب کہ ان کی مساوات دی گئی ہیں۔ اگر خطوط کے درمیان زاویہ حادہ  θ  ہے

تب

کارتیزی شکل میں، اگر  خطوط کے درمیان زاویہ   ہے

اور

جہاں  خطوط (1) اور (2) کی بالترتیب سمت نسبتیں ہیں، تب

مثال 9:  خطوط کے جوڑوں کے درمیان زاویہ معلوم کیجیے جو کہ اس طرح دیے گئے ہیں۔

اور

حل:   یہاں   ہے

دو خطوں کے درمیان زاویہ θ اس طرح دیا گیا ہے،

اس لیے،

مثال 10:  خطوط کے جوڑوں کے درمیان زاویہ معلوم کیجیے،

اور

حل:  پہلے خط کی سمت نسبتیں 4،5،3 ہیں اور دوسرے خط کی سمت نسبتیں (2،1،1) ہیں۔ اگر ان کادرمیانی زاویہ θ ہے، تب

اس لیے ،مطلوبہ زاویہ    ہے۔

11.5  دو خطوط کے درمیان کم از کم فاصلہ (Shortest Distance between two lines)

اگر فضامیں دو خطوط ایک نقطہ پر کاٹتے ہیں، تب ان کے درمیان کم از کم فاصلہ صفر ہے۔ ساتھ ہی،اگر فضامیں دو خطوط متوازی ہیں، تب ان کے درمیان کم از کم فاصلہ عمودی فاصلہ ہوگا، یعنی۔، ایک خط کے ایک نقطہ سے عمود کی لمبائی جوکہ دوسرے خط پر کھینچا گیا ہے۔

اس کے آگے فضا میں، کچھ ایسے خطوط ہیں جو نا تو ایک دوسرے کو کاٹتے ہیں اور نہ ہی متوازی ہیں۔ حقیقت میں، اس طرح کے خطوط غیر ہم مستوی(non coplanar) ہیں اورعوجی خطوط(skew lines) کہلاتے ہیں۔ مثال کے طور پر ہم ایک کمرہ پر غور کرتے ہیں جس کا سائز y، x  اور Z-محور کے ساتھ بالترتیب 1، 2، 3 اکائیاں ہے، شکل 11.7۔

خط GE جو کہ وتری طور پر چھت کے ساتھ پھیلا ہوا ہے اور DB جو کہ A کے اوپر ہے چھت کے ایک کونے سے سیدھے طور پر وتر کے ساتھ دیوار کے نیچے تک جاتا ہے۔ یہ عوجی خطوط ہیں کیونکہ یہ ناتومتوازی ہیں اور ساتھ ہی کبھی نہیں ملتے۔

دو خطوط کے درمیان کم از کم فاصلہ سے ہمارا مطلب ہے ایک خط پر ایک نقطہ کا دوسرے خط پر دوسرے نقطہ سے ملنا،تاکہ اس طرح حاصل ہونے والے قطع خط کا فاصلہ کم از کم ہو۔

عوجی خطوط کے لیے کم از کم فاصلہ کا خط دونوں خطوط پر عمود ہوگا۔

11.5.1  دوعوجی خطوط کے درمیان فاصلہ (Distance between two skew lines)

اب ہم دوعوجی خطوط کے درمیان فاصلہ مندرجہ ذیل طریقہ سے معلوم کرتے ہیں:

مان لیجیے ان مساوات کے ساتھ I1 اور I2 دوعوجی خطوط ہیں (شکل 11.8)

خط I1 پر کوئی بھی نقطہ S لیجیے جس کا مقامی سمتیہ a1 ہے اور I2 پر T لیجیے جس کا مقامی سمتیہ a2 ہے۔ تب کم از کم فاصلہ کے سمتیہ کی قدرتظلیل حصے ST کے برابر ہوگی، جو کہ کم از کم فاصلہ کے خط کی سمت کے ساتھ ہے (10.6.2 دیکھئے)

شکل 11.8

اگر  کے درمیان کم از کم فاصلے والا سمتیہ ہے، تب کیونکہ یہ دونوں  پر عمود ہے، اس لیے   کے ساتھ اکائی سمتیہ    اس طرح ہوگا

تب

جہاں d کم از کم فاصلہ والے سمتیہ کی قدر ہے۔ مان لیجیے کے درمیان زاویہ qہے۔ تب

اس لیے، مطلوبہ کم از کم فاصلہ ہے

یا

کارتیزی شکل  (Cartesian form)

خطوط کے درمیان کم از کم فاصلہ ہے

اور

ہے

11.5.2  متوازی خطوط کے درمیان فاصلہ (Distance between parallel lines) 

اگر دو خطوط I1 اور I2 متوازی ہیں، تب وہ ہم مستوی ہیں۔ مان لیجیے خطوط اس سے دیے گئے ہیں

جہاں    پر نقطہ s کا مقامی سمتیہ ہے اور پر نقطہ Tکامقامی سمتیہ ہے شکل 11.9۔

 کیونکہ    ہم مستوی ہیں۔ اگر T سے خط 1∫ پر عمودکا پیرPہے ، تب خطوط 1∫ اور2∫ کے درمیان فاصلہ =|TP|

مان لیجیے سمتیوں   اور    کا درمیانی زاویہ θ ہے۔

تب

جہاں خطوط  کی مستوی پر    ایک اکائی سمتیہ عمود ہے

لیکن

اس لیے، (3) سے، ہمیں حاصل ہوتا ہے

یعنی

اس لیے، دئیے ہوئے متوازی خطوط کے درمیان فاصلہ ہے

مثال 11:   خطوط کے درمیان کم از کم فاصلہ معلوم کیجیے جن کی سمتیہ مساواتیں یہ ہیں

اور

حل:   (1) اور (2) کا بالترتیب  کے ساتھ موازنہ کرنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے۔

اس لیے دئیے ہوئے خطوط کے درمیان کم از کم فاصلہ اس سے دیا گیا ہے

مثال 12:   خطوط کے درمیان فاصلہ معلوم کیجیے جو کہ اس سے دئیے گئے ہیں

اور

حل:   دو خطوط متوازی ہیں (کیوں؟)۔ ہمارے پاس ہے

اس لیے، خطوط کے درمیان فاصلہ اس طرح دیا گیا ہے

یا

مشق 11.2

1۔ دکھائیے کہ تین خطوط سمت کوسائن 

  کے ساتھ باہمی عمودی ہیں۔

2۔ دکھائیے کہ نقاط (1,2-,1) , (2-,3,4)   سے گزرنے والا خط، نقاط (0,3,2) اور (3,5,6) سے گزرنے والے خط پر عمود ہے۔

3۔ دکھائیے کہ نقاط (4,7,8)،  (2,3,4) سے گزرنے والا خط، نقاط (2,1-, 1-) , (1,2,5) سے گزرنے والے خط کے متوازی ہے۔

4۔ اس خط کی مساوات معلوم کیجیے جو نقطہ (1,2,3) سے ہوکر گزر تاہے اور سمتیہ   کے متوازی ہے۔

5۔ اس خط کی مساوات سمتیہ اور کارتیزی شکل میں معلوم کیجیے جو مقامی سمتیہ    کے ساتھ نقطہ سے ہوکر گزر تا ہے اور    کی سمت میں ہے۔

6۔ اس خط کی کارتیزی مساوات معلوم کیجیے جو کہ نقطہ (5–,2,4–) سے ہوکر گزر تا ہے اور    کے ذریعے دئیے گئے خط کے متوازی ہے۔

7۔ ایک خط کی کارتیزی مساوات   ہے۔ اس کی سمتیہ شکل لکھیے۔

8۔ اس خط کی سمتیہ اورکارتیزی مساوات معلوم کیجیے جو مبدا اور (3, 2 – ,5 ) سے ہوکر گزرتا ہے۔

9۔ اس خط کی سمتیہ اور کارتیزی مساوات معلوم کیجیے جونقاط (5-,2-,3)  اور (6,2-,3)  سے ہوکر گزر تا ہے۔

10۔ درج ذیل خطوط کے جوڑوں کے درمیان زاویہ معلوم کیجیے:

11۔ مندرجہ ذیل خطوط کے جوڑوں کے درمیان زاویہ معلوم کیجیے:

12۔ p کی قدر معلوم کیجیے تاکہ خطوط  ایک دوسرے پر زاویہ قائمہ بناتے ہیں۔

13۔ دکھائیے کہ خطوط  ایک دوسرے پر عمود ہیں۔

14۔ خطوط

اور

کے درمیان کم از کم فاصلہ معلوم کیجیے۔

15۔ خطوط  کے درمیان کم از کم فاصلہ معلوم کیجیے۔

16۔ ان خطوط کے درمیان کم از کم فاصلہ معلوم کیجیے جن کی سمتی مساوات ہیں

17۔ ان خطوط کے درمیان کم از کم فاصلہ معلوم کیجیے جن کی سمتیہ مساوات ہیں

11.6  مستوی  (Plane)

ایک مستوی کو یکتا طور پر معلوم کیا گیاہے اگر درج ذیل میں سے ایک بھی معلوم ہے:

(i)     مستوی پرنورمل اور مبدا سے اس کا فاصلہ دیا گیا ہے، یعنی۔، مستوی کی نورمل شکل میں مساوات ۔

(ii)    یہ ایک نقطہ سے ہوکر گزر تا ہے اور دی ہوئی سمت پر عمود ہے۔

(iii)   یہ تین ہم خط نقاط سے ہوکر گزر تا ہے۔

        اب ہم مستوی کی سمتی اور کارتیزی مساوات معلوم کریں گے۔

11.6.1  ایک مستوی کی نورمل شکل میں مساوات (Equation of a plane in normal form)

ایک مستوی پر غور کیجیے جس کا مبدا سے عمودی فاصلہ d ہے (  0 ≠ d)۔ شکل  11.10

اگر مستوی پر مبدا سے    نورمل ہے، اور   کے ساتھ  اکائی نورمل سمتیہ ہے۔ تب ۔ مان لیجیے مستوی پر P کوئی نقطہ ہے۔ اس لیے  پر عمود ہے۔ اس لیے

مان لیجیے   نقطہ P کا  مقامی سمتیہ ہے، تب 

اس لیے، (1) ہوجاتی ہے

یہ مستوی کی مساوات کی سمتیہ شکل ہے۔

کارتیزی شکل (Cartesian form) 

مساوات (2) ایک مستوی کی سمتیہ مساوات ہے، جہاں مستوی کے لیے   ایک اکائی سمتیہ ہے۔مان لیجیے مستوی پر  

 (P (x,y,z کوئی بھی نقطہ ہے۔ تب

مان لیجیے l,m,n، کے سمت کوسائن ہیں۔ تب

اس لیے،مساوات (2) دیتی ہے

یعنی۔،

یہ مستوی کی نورمل شکل میں کارتیزی مساوات ہے۔

نوٹ:  مساوات (3)یہ دکھاتی ہے کہ اگر   ایک مستوی کی سمتیہ مساوات ہے، تب ax + by + cz = d مستوی کی کارتیزی مساوات ہے، جہاں b، a اور c کی عام مستوی پر سمت نسبتیں ہیں۔

مثال 13: مستوی کی سمتیہ مساوات معلوم کیجیے جو کہ مبدا سے   فاصلے پر ہے اور اس کانورمل سمتیہ مبدا سے   ہے۔ ساتھ ہی اس کی کارتیزی شکل بھی معلوم کیجیے۔

حل:  مان لیجیے  ہے۔ تب

اس لیے، مستوی کی مطلوبہ مساوات یہ ہے

مثال 14:  اکائی سمتیہ کی سمت کوسائن معلوم کیجیے جو کہ مستوی   پر عمود ہے اور جو مبدا سے ہوکر گزر رہی ہے۔

حل:  دی ہوئی مساوات اس طرح لکھی جاسکتی ہے

اب

اس لیے، (1) کو دونوں طرف 7 سے تقسیم کرنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے

جو کہ مستوی کی   شکل میں مساوات ہے

یہ دکھاتا ہے کہ   ایک اکائی سمتیہ ہے جو کہ مبدا سے مستوی پر عمود ہے۔ اس لیے ،  کے سمت کوسائن   ہیں۔

مثال 15:  مستوی   کا مبدا سے فاصلہ معلوم کیجیے۔

حل:   کیونکہ نارمل مستوی پر سمت کی نسبتیں ؛ ہیں، اس لیے اس کی سمت کوسائن ہیں

اس لیے، مساوات2x - 3y + 4z -6 =0 یعنی

 2x - 3y+4z =6  کو دونوں طرف   سے تقسیم کرنے پر ہمیں حاصل ہوتا 

یہ   کی شکل کا ہے، جہاں d مستوی کا مبدا سے فاصلہ ہے۔ اس لیے، مستوی کا مبدا سے فاصلہ   ہے۔

مثال 16:  عمود کے پایہ کے مختص معلوم کیجیے جو کہ مبدا سے مستوی  2x -3y+4z-6 =0  پر کھینچا گیا ہے۔

حل:  مان لیجیے مبدا سے عمود P کے پایہ کے مختص مستوی پر  (x1,y1,z1)  ہے (شکل 11.11)

تب  x1,y1,z1 خط OP کی سمت نسبتیں ہیں۔

مستوی کی مساوات کونارمل شکل میں لکھنے پر، ہمارے پاس ہے

جہاں،    ،OP کی سمت کوسائن ہے

کیونکہ d.c'.s اور خط کی سمت نسبتیں تناسب میں ہیں، ہمارے پاس ہے

انھیں مستوی کی مساوات میں رکھنے پر، ہمیں   حاصل ہوتا ہے 

اس لیے عمود کا پایہ    ہے

نوٹ:  اگر مبدا سے فاصلہ d ہے اور l,m,n مستوی پر نارمل کی مبدا کے ذریعہ سمت کوسائن ہیں، تب عمود کا پیر (Id, md, nd) ہے۔

11.6.2  ایک مستوی کی مساوات جو کہ ایک دیے ہوئے سمتی پر عمود ہے اور ایک دیے ہوئے نقطے سے ہوکر گزر رہی ہے۔

(Equation of a plane perpendicular to a given vector and passing through a given point)

فضا میں، بہت سی مستوی ہوسکتی ہیں جوکہ دیے ہوئے سمتیہ پر عمود ہیں، لیکن دیے ہوئے نقطے (P (x1,y1,z1  سے اس طرح کی صرف ایک ہی مستوی ممکن ہے (شکل 11.12 دیکھیے)۔

مان لیجیے ایک مستوی نقطہ A سے مقامی سمتیہ   کے ساتھ ہوکر گزر رہی ہے اور سمتی   پر عمود ہے۔

مان لیجیے مستوی میں کسی بھی نقطہ (P (x,y,z  پر مقامی سمتیہ   ہے۔ (شکل 11.13)۔

تب نقطہ P مستوی میں واقع ہے اگر اور صرف اگر    پر عمود ہے، یعنی۔،  ۔اس لیے، 

یہ مستوی کی سمتیہ مساوات ہے۔

کارتیزی شکل (Cartesian form) 

مان لیجیے دیا ہوا نقطہی سمت نسبتیں B، A اور C ہیں۔ تب،

اب،  

اس لیے

یعنی۔،

مثال 17:  مستوی کی سمتیہ اور کارتیزی مساواتیں معلوم کیجیے جو کہ نقطہ (4– , 2 ,5) سے ہوکر گزر رہی ہے اور اس خط پر عمود ہے جس کی سمت نسبتیں 1–  , 3 ,2 ہیں۔

حل:   ہمارے پاس نقطہ (4– , 2 ,5) کا مقامی سمتیہ    کی شکل کا ہے اور نارمل سمتیہ    جو مستوی پر عمود ہے،   کی شکل کا ہے

اس لیے، مستوی کی سمتیہ مساوات   سے دی گئی ہے۔  یا

(1) کو کارتیزی شکل میں بدلنے پر، ہمارے پاس ہے

یا

یعنی۔، 2x+3y -z=20  

جو کہ مستوی کی کارتیزی مساوات ہے۔

11.6.3  ایک مستوی کی مساوات جو تین غیر ہم خط نقاط سے گزر رہی ہے

(Equation of a plane passing through three non collinear points)

مان لیجیے مستوی پر تین غیر ہم خط نقاط S، R اور T ہیں جن کے مقامی سمتیہ بالترتیب  ہیں (شکل 11.14)۔

سمتیہ  دی ہوئی مستوی میں ہیں۔ اس لیے، سمتیہمستوی پر عمود ہے جس میں نقاط S، R اور T موجود ہیں۔ مان لیجیے مستوی میں کسی بھی نقطہ P کا مقامی سمتیہ  ہے۔ اس لیے، مستوی کی مساوات جو کہ R سے ہوکر گزر رہی ہے اور سمتی   پر عمود ہے، یہ ہے

یا

یہ سمتیہ شکل میں مستوی کی مساوات ہے جو کہ تین غیر ہم خط نقاط سے ہوکر گزر رہی ہے۔

نوٹ:  یہ کہنا کیوں ضروری تھا کہ تین نقاط غیر ہم خط ہونے ضروری ہیں؟ اگر تین نقاط ایک ہی خط پر ہوتے، تب ایسی بہت سی مستوی ہوں گی جن میں یہ موجود ہوں گے۔ (شکل 11.15)

یہ مستویں ایک کتاب کے اوراق سے ملتی جلتی ہیں جہاں نقاط S، R اور T کو رکھنے والا خط کتاب کی جلد کے افراد ہیں۔

کارتیزی شکل (Cartesian form)

مان لیجیے (x2,y2,z2), (x1,y1,z1,) اور (x3,y3,z3) بالترتیب نقاط S، R اور T  کے مختص ہیں۔ مان لیجیے (x,y,z) مستوی میں کسی بھی نقطہ P کے مقامی سمتیہ   کے ساتھ مختص ہیں۔ تب

ان قدروں کو سمتیہ شکل کی مساوات (1) میں رکھنے پر اور اسے مقطعہ کی شکل میں ظاہر کرنے پر، ہمارے پاس ہے

جوکہ تین غیر ہم خط نقاط (x2,y2,z2), (x1,y1,z1,) اور (x3,y3,z3)  سے گزرتی ہوئی کارتیزی شکل میں مستوی کی مساوات ہے۔

مثال 18:  مستوی کی سمتیہ مساواتیں معلوم کیجیے جوکہ نقاط  (S(-2,-3,5) , R(2,5,-3  اور  (3- , 5,3) T

  سے ہوکر گزر رہی ہیں۔

حل:   مان لیجیے

تب مستوی کی سمتیہ مساوات جو کہ  سے ہوکر گزر رہی ہے، اس طرح دی گئی ہے

(کیوں؟)

یا

یعنی۔،

11.6.4  ایک مستوی کی مساوات کی مقطوعہ شکل (Intercept form of the equation of a plane)

اس سیکشن میں ہم ایک مستوی کی مساوات کا مقطوعہ شکل میں استخراج کریں گے جو کہ مستوی سے مختص محور پر بنتی ہے۔ مان لیجیے مستوی کی مساوات ہے

(1)........              Ax + By + Cz +D =0 (D ±0)

مان لیجیے، مستوی y، x اور z– محوروں پر بالترتیب b، a اور c مقطوعہ بناتی ہے (شکل 11.16)۔

اس لیے، مستوی y، x اور z– محوروں پر بالترتیب   پر ملتی ہے۔

اس لیے،

ان قدروںکو مستوی کی مساوات (1) میں رکھنے اور آسان کرنے پر، ہمیں حاصل ہوتا ہے

جو کہ مستوی کی مقطوعہ شکل میں مطلوبہ مساوات ہے۔

مثال 19:   مستوی کی مساوات y، x اور z–محور وں پر بالترتیب مقطوعہ 2، 3 اور 4 کے ساتھ معلوم کیجیے۔

حل:  مان لیجیے مستوی کی مساوات ہے

یہاں  c =4, b=3, a=2  ہیں 

b، a اور c کی قدریں کی مساوات(1)رکھنے پر، ہمیں مستوی کی مطلوبہ مساوات ایسی حاصل ہوتی ہے    یا  

6x + 4y + 3z =12 

11.6.5  دو دی ہوئی مستویں کے تقاطع سے گزرتی ہوئی مستوی 

(Plane passing through the intersection of two given planes)

مان لیجیے  دو مستوی ہیں جن کی مساوات بالترتیب  ہیں۔ کسی بھی نقطہ کا مقامی سمتیہ تقاطع کے خط پر دونوں مساوات کو مطمئن کرنا چاہیے۔ (شکل 11.17)۔

اگر خط پر ایک نقطہ کا مقامی  سمتیہ   ہے، تب

اس لیے، λ کی تمام حقیقی قدروں کے لیے، ہمارے پاس ہے

کیونکہ   اختیاری ہے، یہ خط پر کسی بھی نقطہ کو مطمئن کرتا ہے۔

اس لیے، مساوات   ایک مستوی   کو ظاہر کرتی ہے، جو کہ اس طرح ہے کہ اگر کوئی بھی سمتیہ   دونوں مساوات  کو مطمئن کرتا ہے ، تو یہ مساوات  کو بھی مطمئن کرے گا، یعنی۔، کوئی بھی مستوی جو کہ مستویوں کے تقاطع سے ہوکر گزر رہی ہے

مساوات   رکھتی ہے ……  (1)

کارتیزی شکل (Cartesian form)

کارتیزی نظام میں، مان لیجیے

اور

تب مساوات (1) بن جاتی ہے

یا

جو کہ مستوی کی مساوات کی مطلوبہ کارتیزی شکل ہے ،جو λ کی ہر ایک قدر کے لیے دی ہوئی مستویں کے تقاطع سے ہوکر گزر رہی ہے۔

مثال 20:  مستوی کی سمتیہ مساوات معلوم کیجیے، جو کہ مستویوں کے تقاطع اور نقطہ (1,1,1) سے ہوکر گزر رہی ہے۔

حل:   یہاں   ہے

اور d1  = 6  اور  d2   = –5

اس لیے، رشتے   کا استعمال کرنے پر، ہمیں حاصل ہوتا ہے

یا

جہاں، λ کوئی حقیقی عدد ہے۔

لینے پر، ہمیں حاصل ہوتا ہے

یا

یا

دیا ہوا ہے کہ مستوی ، نقطہ (1,1,1) سے ہوکر گزرتی ہے، اس لیے یہ (2) کو ہر حالت میں مطمئن کرے گی، یعنی۔،

(1+1+1-6)  λ (2 +3+ 4+5) = 0

λ = 3/14                  یا 

λ کی قدرکی مساوات (1)رکھنے پر، ہمیں حاصل ہوتا ہے

یا

یا

جو کہ مستوی کی مطلوبہ سمتیہ مساوات ہے۔

11.7  دو خطوط کی ہم مستویت  (Coplanarity of Two Lines)

مان لیجیے کہ دیے ہوئے خطوط ہیں

اور

مان لیجیے خط (1) نقطہ A سے مقامی سمتیہ1 کے ساتھ ہوکر گزرتا ہے اور 1کے متوازی ہے۔ مان لیجیے خط (2) نقطہ B سے مقامی سمتیہ 2  کے ساتھ ہوکر گزرتاہے اور  2 کے متوازی ہے۔

اس طرح

دئیے ہوئے خطوط ہم مستوی ہیں اگر اور صرف اگر  پر عمود ہے

یعنی۔،

کارتیزی شکل (Cartesian form) 

مان لیجیے(x1, y1, z1) اور (x2,y2,z2)  بالترتیب نقاط A اور B کے مختص ہیں۔ 

مان لیجیے  a1,b1,c1  اور a2,b2,c2  بالترتیب کی سمت نسبتیں ہیں۔ تب

دیے ہوئے خطوط ہم مستوی ہیں اگر اور صرف اگر   ہے۔ کارتیزی شکل میں اسے اس طرح دکھایا (سمجھایا) جاسکتا ہے

x2   -x1     y2  -  y1     z2   - z1

(4)........                a1              b1            c1    =0

         a2             b2            c2    

مثال 21:  دکھائیے کہ خطوط

 متناظر ہیں

حل:   یہاں،

اب،مقطعہ پر غور کیجیے

اس لیے،  خطوط ہم مستوی ہیں۔

11.8  دو مستویو ں کے درمیان زاویہ (Angle between two planes) 

تعریف 2:  دو مستویوں کے درمیان زاویہ ان کے نارمل کے درمیان زاویہ کے طور پر بیان کیا گیا ہے  شکل 11.18 (a)۔ یہ مشاہدہ کیجیے کہ اگر دو مستویوں کے درمیان θ ایک زاویہ ہے، تب  بھی ہے شکل (11.8(b)۔ ہم دونوں مستویوں کے درمیان زاویہ، زاویہ حادہ کے طور پر لیں گے۔

اگر مستویں پر  نارمل ہیں اور مستویں کے درمیان زاویہ θ ہے

تب کچھ مشترک نقطوں سے مستویں پر کھینچے گئے نارمل کے درمیان θ ایک زاویہ ہے

ہمارے پاس ہے ،

نوٹ:  مستویوں ایک دوسرے پر عمود ہیں اگر    اور متوازی ہیں اگر  کے متوازی ہے۔

کارتیزی شکل  (Cartesian form)  مان لیجئے مستویں کے درمیان زاویہ θ ہے

      A1x +B1y + C1z+ D1 =0   اور 

مستویوں پر نارمل کی سمت نسبتیں بالترتیبC1, B1, A1  اور  C2, B2, A2  ہیں۔

اس لیے،

نوٹ:  

1۔ اگر مستویاں ایک دوسرے کے ساتھ قائم زاویہ بناتی ہیں،تب  θ= 90º   اور اسی طرح 

2۔ اگر مستوی متوازی ہیں، تب  

مثال 22:  دو مستویوں 2x +y - 2z =5  اور 3x - 6y -2z =7 کے درمیان سمتیہ طریقہ کا استعمال کرکے زاویہ معلوم کیجیے۔

حل:  دو مستویوں کے درمیان زاویہ ان کے نارمل کے درمیان زاویہ ہے۔ مستوی کی مساوات سے، نارمل سمتیہ یہ ہیں

مثال 23:  دو مستویوں 3x - 6y +2z =7  اور  2x + 2y - 2z =5  کے درمیان زاویہ معلوم کیجیے۔

حل:  مستویوں کی دی ہوئی مساوات کا ان مساوات سے موازنہ کرنے پر

A1x +B1y + C1z +D1 =0 اور A2x + B2y +C2z +D2 =0 

       A1 =3, B1 = -6, C1 =2 

ہمیں حاصل ہوتا ہے A2= 2, B2 = 2, C2 = - 2

اس لیے،

11.9  ایک نقطہ کا ایک مستوی سے فاصلہ (Distance of a point from a plane)

سمتیہ شکل  (Vector form)

ایک مستوی  پر غور کیجیے جس میں ایک نقطہ P مقامی سمتیہ   کے ساتھ ہے اور جس کی مساوات  ہے شکل (11.19)۔

شکل (11.19)

ایک نقطہ P سے گزرتی ہوئی ایک مستوی   پر غور کیجیے جو کہ مستوی   کے متوازی ہے۔   کا اکائی نارمل سمتیہ   ہے۔یہاں، اس کی مساوات   ہے۔

یعنی۔،

اس طرح، اس مستوی کا مبدا سے 'ON فاصلہ   ہے۔ اس لیے، مستوی  سے PQ فاصلہ یہ ہے شکل 11.21(a)

یعنی۔،

جو کہ دی ہوئی مستوی پر ایک نقطہ سے عمود کی لمبائی ہے۔ ہم اسی طرح کے نتیجے (11.19(b) کے لیے بھی قائم کرسکتے ہیں۔

نوٹ:  

1۔ اگر مستوی   کی مساوات   کی شکل میں ہے، جہاں  مستوی پر نارمل ہے، عمودی فاصلہ ہے

  ۔

2۔ مبدا سے عمود کی لمبائی مستوی)

کارتیزی شکل(Cartesian form)

مان لیجیے مقامی سمتیہ   کے ساتھ  (P(x1, y1, z1 دیا ہوا نقطہ ہے اور 

Ax + By + Cz - D

دی ہوئی سمتیہ کی کارتیزی مساوات ہے۔ تب

اس لیے، نوٹ 1کے حوالے سے،  Pسے مستوی پر عمود ہے

مثال 24:  ایک نقطہ (3–  , 5 , 2) کا مستوی  سے فاصلہ معلوم کیجیے۔

حل:  یہاں   ہے

اس لیے، نقطہ  (3–  , 5 , 2) کا دی ہوئی مستوی سے فاصلہ ہے

11.10  ایک خط اور ایک مستوی کے درمیان زاویہ

 (Angle between a line and a plane)

تعریف3: ایک خط اور ایک مستوی کے درمیان زاویہ مستوی کے نارمل اور خط کے درمیان زاویہ کاتکملہ ہے۔ (شکل 11.20)

سمتیہ شکل (Vector form)  اگر ایک خط کی مساوات   ہے 

اور مستوی کی مساوات   ہے۔ تب خط اور مستوی کے نارمل کے درمیان زاویہ ہے

اس لیے مستوی اور خط کے درمیان زاویہ سے دیا گیا ہے، یعنی۔،

یعنی۔،

مثال 25:  خط   اور مستوی   10x + 2y - 11 z =3   کے درمیان زاویہ معلوم کیجیے۔

حل:  مان لیجیے مستوی کے نارمل او رخط کے درمیان زاویہ θ ہے۔ دی ہوئی مساوات کو سمتیہ شکل میں بدلنے پر ہمارے پاس ہے

مشق 11.3

1۔ مندرجہ ذیل ہر ایک کیس میں، نارمل کا  مستوی پر سمت کوسائن اور مبدا سے فاصلہ معلوم کیجیے

(a)       z  = 2  (b)    z+ y + z=1

(c)      2x + 3y - z=5         (d)    5y + 8 =0 

2۔ ایک مستوی کی سمتیہ مساوات معلوم کیجیے جو کہ مبدا سے 7 اکائی کے فاصلہ پر ہے اور سمتیہ   پر نامل ہے۔

3۔ مندرجہ ذیل مستویوں کی کارتیزی مساوات معلوم کیجیے:

4۔ مندرجہ ذیل کیسوں میں، مبدا سے کھینچے گئے عمود کے پایہ کے مختص معلوم کیجیے 

(a)   2x + 3y + 4z - 12 =0                  (b)  3y + 4z - 6 =0 

(c)   x+ y+ z = 1      (d)    5y + 8 =0

5۔ مستویوں کی سمتیہ اور کارتیزی مساوات معلوم کیجیے

(a)   جو کہ نقطہ (2–  , 0 , 1) سے ہوکر گزر رہی ہے اور مستوی   پر نارمل ہے۔

(b)   جو کہ نقطہ (4,6, 1) سے ہوکر گزر رہی ہے اور مستوی پر   نارمل سمتیہ  ہے۔

6۔ مستویوں کی مساوات معلوم کیجیے جو کہ تین نقاط سے ہوکر گزر رہی ہیں۔

(a)    (1, 1, − 1),  (6, 4, −5),  (−4, −2, 3)

(b)    (1, 1, 0) , (1, 2, 1, ), (−2, 2, −1)

7۔ مستوی 2x + y - z = 5  سے کاٹے گئے مقطوعہ کو معلوم کیجیے۔

8۔ اس مستوی کی مساوات معلوم کیجیے جس کا y-محور پر مقطوعہ 3 ہے اور ZOX مستوی کے متوازی ہے۔

9۔ اس مستوی کی مساوات معلوم کیجیے جو کہ نقطہ (1, 2, 2) اور مستویوں   3x - +2z - 4 =0  اور  x+y+z -2 =0  کے تقاطع سے ہوکر گزرتی ہے۔

10۔ اس مستوی کی سمتی مساوات معلوم کیجیے جو کہ نقطہ (3, 1, 2) اور مستویوں    کے تقاطع سے ہوکر گزرتی ہے۔

11۔ اس مستوی کی مساوات معلوم کیجیے جو کہ مستویوں  x+y+ z =1 اور 2x + 3y + 4z =5

 کے تقاطع کے خط سے ہوکر گزر تی اور مستوی x -y +z =0  پر عمود ہے۔

12۔ مستویوں کے درمیان زاویہ معلوم کیجیے جن کی سمتیہ مساواتیں 

 ہیں۔

13۔ مندرجہ ذیل کیسوں میں معلوم کیجیے کہ کیا دی ہوئی مستویوں متوازی ہیں یا عمودی، اگر کسی کیس میں ان میں سے کوئی بھی نہیں ہیں، تو متوازی ہیں اور نہ ہی عمودی ہیں،  تو ان کے درمیان زاویہ معلوم کیجیے۔

(7x + 5y + 6z + 30 = 0  (a  اور   3x - y 10z + 4 = 0 

  (2x + y + 3z - 2 = 0  (b         اور     x - 2y + 5 =0    

(2x - 2y  + 4z + 5 =0  (c        اور    3x - 3y + 6z - 1 = 0 

(2x - y + 3x - 1 =0 (d    اور    2x - y + 3z + 3 = 0 

  (4x + 8y + z - 8 =0 (e   اور       y + z - 4 =0  

14۔ مندرجہ ذیل کیسوں میں، دیے ہوئے ہر ایک نقاط کا فاصلہ دی ہوئی مستوی کے مطابق معلوم کیجیے۔

       نقطہ  مستوی

    3x - 4y + 12 z =3  (0, 0, 0 )    (a)

2x - y + 2z +3 = 0      (3, - 2, 1 )      (b)

x+ 2y - 2z =9         (2, 3, - 5 )     (c)

2x - 3y + 6z - 2= 0          ( - 6, 0, 0     (d) 

متفرق مثالیں

مثال 26:  ایک خط ایک کعب کے وتروں کے ساتھ  زاویے بناتا ہے، تو ثابت کیجیے کہ

حل:  کعب ایک مستطیل متوازی(rectangular Parallelopiped) اس طرح ہے، جس کی لمبائی، چوڑائی اور اونچائی برابر ہے۔

مان لیجیے OADBFEGC ایک کعب ہے جس کے ہر ضلع کی لمبائی a اکائی ہے (شکل 11.12)

چار وتر BG، AF، OE اور CD ہیں۔

وتر OEکے سمت کوسائن جو کہ دو نقاط O اور Eکے ملانے سے بننے والا خط ہے، یہ ہیں

یعنی۔،  

اسی طرح، BG، AF اور CD کے سمت کوسائن بالترتیب  ہیں۔

مان لیجیے دئیے ہوئے خط کے سمت کوسائن n، m، I ہیں، جو کہ BG، AF، OE اور CD کے ساتھ بالترتیب  اور    زاویے بناتے ہیں۔ تب

(کیوں؟)

مربع اور جمع کرنے پر، ہمیں حاصل ہوتا ہے

مثال 27:  اس مستوی کی مساوات معلوم کیجیے جس میں نقطہ (2 , 1–  , 1) شامل ہے اور ہر ایک مستوی  2x + 3y - 2z =5  اور x + 2y - 3z =8  پر عمود ہے۔

حل:  مستوی کی مساوات جس میں دیا ہوا نقطہ ہے، یہ ہے

(1) ...... A (x-1) + B (y +1) + C (z -2) =0

(1) میں دی ہوئی مستوی پر عمودی شرط کو ان مستویوں کے ساتھ نافذ کرنے پر

2x + 3y - 2z =5 اور  x+ 2y - 3z =8  ہمارے پاس ہے

           2A + 3B - 2C =0  اور    A + 2B - 3C = 0 

ان مساوات کو حل کرنے پر، ہمیں A = – 5C اور B = 4C حاصل ہوتا ہے۔ اس لیے مطلوبہ مساوات ہے

− 5 C (x - 1 ) + 4 C (y +1 ) + C (z=2 ) =0              

    5x = 4y − z =7 ،یعنی ۔

مثال 28:  نقطہ (P (6, 5, 9 اور نقاط

 C ( -1, -1, 6 ) اور  B (5, 2, 4)   , A (3, -1, 2)

سے بننے والی مستوی کے درمیان فاصلہ معلوم کیجیے۔

حل:  مان لیجیے مستوی میں C، B، A تین نقاط ہیں۔ مستوی پر نقطہ P سے کھینچے گئے عمود کا پیر D ہے۔ PDمطلوبہ فاصلہ ہے جو کہ معلوم کرنا ہے، اور جو کہ  پر ابھرا ہوا حصہ ہے

اس لیے،  کا اکائی سمتیہ   کے ساتھ نقطہ ضرب ہے۔

اس لیے،

اور

  کے ساتھ اکائی سمتیہ

اس لیے

متبادل کے طور پر، مستوی کی مساوات معلوم کیجیے جو کہ B ، A اور C سے ہوکر گزر رہی ہے اور پھر مستوی سے نقطہ P کے فاصلہ کی تحسیب کیجیے۔

مثال 29:  دکھائیے کہ خطوط

اور  ہم مستوی ہیں۔

حل:   یہاں

x1 = a - d  x2 = b - c

y1 = a  y2 = b 

z1 = a +d  z2 = b +c

a1 = a - δ  a2 = ß - γ

b1 = a  b2 = ß

c1 = a + δ  c2 = ß + γ

اب مقطعہ پر غور کیجیے

b - c- a+d        b - a      b +c  - a - d     

a - δ          a  a + δ

β - γ           β        β+γ

=

x2  - x1     y2  - y1      z2  - z1     

a1        b1           c1

a2        b2         c2 

تیسرے کالم کو پہلے کالم میں جمع کرنے پر، ہمیں حاصل ہوتا ہے

b  −  a    b   −  a   b + c  −  a −  d    

2       a              a              a+δ =0

β β β+γ

کیونکہ پہلے اور دوسرے کالم متماثل ہیں۔ اس لیے، دیے ہوئے دونوں خطوط ہم مستوی ہیں۔

مثال 30:  اس نقطہ کے مختص معلوم کیجیے جہاں خطوط نقاط (A (3, 4, 1  اور (6 B ( 5, 1   سے گزر کر xy-مستوی کو کراس کرتے ہیں۔

حل:  نقاط A اور B سے گزرنے والے خط کی سمتیہ مساوات ہے

یعنی۔،

مان لیجیے P وہ نقطہ ہے جہاں خط AB، مستوی xy–کو کراس کرتا ہے۔ تب نقطہ P کا مقامی سمتیہ    کی شکل کا ہے۔

اس نقطہ کو مساوات (1) کو ہرحال میں مطمئن کرنا چاہیے۔ (کیوں؟)

یعنی۔،

کے یکساں ضریب کی برابری کرنے پر، ہمارے پاس ہے

x = 3 + 2 λ

y = 4 - 3 λ

0 = 1 +5 λ

مندرجہ بالامساوات کو حل کرنے پر، ہمیں حاصل ہوتا ہے

اس لیے،  مطلوبہ نقطہ کے   مختص یہ ہیں۔

باب 11 پر مبنی متفرق مشق

1۔ دکھائیے کہ مبدا کو نقطہ (1, 1, 2) سے ملانے والا خط نقاط

  ( 4, 3, - 1) , (3, 5, -1)

 سے حاصل کیے گئے خط پر عمود ہے۔

2۔ اگر  دو باہمی عمودی خطوط کے سمت کوسائن ہیں، تو دکھائیے کہ ان دونوں پر عمودی خط کے سمت کوسائن ہیں۔

3۔ ان خطوط کے درمیان کا زاویہ معلوم کیجیے جن کی سمت نسبتیں ہیں ۔

4۔ ایک خط کی مساوات معلوم کیجیے جو x-محور کے متوازی ہے اور مبدا سے ہوکر گزر رہا ہے۔

5۔ اگر نقاط D، C، B، A کے مختص بالترتیب  ہیں، تب خطوط AB اور CD کے درمیان زاویہ معلوم کیجیے۔

6۔ اگر خطوط  ایک دوسرے پر عمود ہیں، تو K کی قدر معلوم کیجیے۔

7۔ اس خط کی سمتیہ مساوات معلوم کیجیے جوکہ (3, 2, 1) سے ہوکر گزر رہا ہے اور مستوی   پر عمود ہے۔

8۔ اس مستوی کی مساوات معلوم کیجیے جو کہ (a, b, c) سے ہوکر گزر رہی ہے اور مستوی   کے متوازی ہے۔

9۔ خطوط    کے درمیان کم از کم فاصلہ معلوم کیجیے۔

10۔ اس نقطہ کے مختصات معلوم کیجیے جہاں( 6, 1, 5 ) اور (1, 4, 3)  سے گزرنے والاخط yz–مستوی کو کراس کرتا ہے۔

11۔ اس نقطہ کے مختصات معلوم کیجیے جہاں ( 6, 1, 5 ) اور (1, 4, 3) سے گزرنے والاخطzx –مستوی کو کراس کرتا ہے۔

12۔ اس نقطہ کے مختصات معلوم کیجیے جہاں ( 5, 4-, 3 ) اور (1, -3, 2) سے گزرنے والاخط مستوی  2x +y +z =7  کو کراس کرتا ہے۔

13۔ اس مستوی کی مساوات معلوم کیجیے جو نقطہ (2, 3, 1– ) سے ہو کرگزر رہی ہے اور ہر ایک مستوی  3x + 3y +z =0 پر عمود ہے۔

14۔ اگرنقاط  سے برابر کے فاصلے پر ہیں، تب p کی قدر معلوم کیجیے۔

15۔ اس مستوی کی مساوات معلوم کیجیے جو کہ مستویوں اور کے تقاطع خط سے ہوکر گزر رہی ہے اور x-محور کے متوازی ہے۔

16۔ اگر O مبدا ہے اور نقطہ P کے مختصات (3– , 2, 1) ہیں، تب مستوی کی مساوات معلوم کیجیے جو کہ نقطہ P سے ہوکر گزر رہی ہے اور OP پر عمود ہے۔

17۔ اس مستوی کی مساوات معلوم کیجیے جس میں مستوی   کا تقاطع خط موجود ہے اور جو کہ مستوی    پر عمود ہے۔

18۔ نقطہ  کا فاصلہ خط   اور مستوی   کے تقاطع نقطہ سے معلوم کیجیے۔

19۔ اس خظ کی سمتی مساوات معلوم کیجیے جو کہ (3, 2, 1) سے ہوکر گزر رہا ہے اور مستویوں   اور   کے متوازی ہے۔

20۔ اس خط کی سمتیہ کی مساوات معلوم کیجیے جو کہ نقطہ (4– , 2 , 1) سے ہوکر گزر رہا ہے اور نیچے دیے گئے دو خطوط :

 پر عمود ہے

21۔ ثابت کیجیے کہ اگر a، b، c مستوی کے مقطوعہ ہیں اوریہ مبدا سے p اکائی کے فاصلہ پر ہے، تب

سوال 22 اور 23 میں صحیح جوابات کا انتخاب کیجیے۔

22۔ دو مستویوں 2x + 3y + 4z =4  اور 12= 4x + 6y + 8z  کے درمیان فاصلہ ہے:

23۔ مستوئیں:  2x - y +4z =5 اور  6= 5x - 2.5y + 10z   

(A) عمود (B) متوازی

(y    C-محور کو کاٹتی ہیں (D)    سے ہوکر گزرتی ہیں