حل : مان لیجیے Eوہ وقوعہ ہے کہ ڈاکٹر مریض کو دیر سے دیکھنے آتاہے اور مان لیجیے کہ T4، T3،T2،T1بالترتیب وہ وقوعات ہیں کہ ڈاکٹر ریل ، بس ، اسکوٹر یا اور کسی  دوسرے نقل وحمل کے ذرائع سے آتاہے۔

(P (E|T1 = وہ احتمالی ہے کہ ڈاکٹر ریل سے دیر سے آتا ہے  =¼

اس لیے، بائیس مسئلہ سے ،ہمارے پاس ہے

( P (T1|E = یہ احتمال کہ ڈاکٹر ریل سے دیر سے آرہا ہے

اس لیے ، مطلوبہ احتمال ½ہے

مثال 21: ایک آدمی اس بات کے لیے جانا جاتا ہے کہ وہ چار بار میں سے تین بار سچ بولتا ہے وہ ایک پانسہ اچھالتا ہے اور یہ رپورٹ کرتا ہے کہ یہ چھ ہے۔ اس کا احتمال معلوم کیجیے کہ یہ حقیقت میں چھ ہے۔

حل : مان لیجیے کہ E وہ وقوعہ ہے جس میں آدمی رپورٹ کرتاہے کہ پانسہ اچھالنے میں چھ آتا ہے مان لیجیےS1وہ وقوعہ ہے جس میں چھ آتاہے اور S2 وہ وقوعہ ہے جس میں '6'نہیں آتا۔

 (P (S2) = یہ احتمال ہے جس میں چھ نہیں آتا= 5/6

  (P (E|S1 =  احتمال ہے جس میں آدمی رپورٹ کرتا ہے کہ چھ آگیا ہے جبکہ چھ حقیقت میں آگیا ہے

=  آدمی کے سچ بولنے کی احتمال = 3/4

(P(E|S2  = یہ احتمال ہے جس میں آدمی رپورٹ کرتا ہے کہ چھ آگیا ہے جبکہ چھ حقیقت میں نہیں آیا ہے

=  یہ احتمال کہ آدمی سچ نہیں بولتا= 3/4 -1=1/4

اس طرح، بائیس مسئلہ سے، ہمیں حاصل ہوتا ہے

(P (S1|E =  یہ احتمال ہے کہ جس میں آدمی رپورٹ کرتا ہے چھ آگیا ہے، حقیقت میں چھ ہے

اس لیے ، مطلوبہ احتمال 3/8 ہے۔

مشق13.3

1۔ ایک برتن میں 5لال اور 5کالی گیندیں ہیں ۔ ایک گیند بلا منصوبہ نکالی گئی ، اس کا رنگ نوٹ کیا گیا اور پھر برتن میں واپس ڈال دی گئی ۔ اس کے علاوہ ، برتن میں دو مزید گیندیں اسی رنگ کی ڈال دی گئیں جس رنگ کی گیند نکالی گئی تھی اور پھر بلا منصوبہ ایک گیند نکالی گئی۔ اس کا کیا احتمال ہے کہ دوسری گیند لال ہے؟

2۔ ایک بیگ میں 4لال اور 4کالی گیندیں ہیں ،ایک دوسرے بیگ میں 2لال اور 6کالی گیندیں ہیں۔ دونوں میں سے بلا منصوبہ ایک بیگ چن لیا گیا اور بیگ سے ایک گیند نکالی گئی جو کہ لال رنگ کی پائی گئی ہے۔ اس کا احتمال معلوم کیجیے کہ گیند پہلے بیگ سے نکالی گئی ہے۔

3۔ ایک کالج کے طلبا میں سے یہ معلوم ہے کہ 60فی صد طلبا ہاسٹل میں رہتے ہیں اور 40فی صدی طلبا دن میں پڑھنے والے ہیں (یعنی ہاسٹل میں نہیں رہتے )۔ پچھلے سال کے سالانہ امتحان کے نتائج بتاتے ہیں کہ ہاسٹل میں رہنے والے 30فی صدی طلبا کاA گریڈ آیاتھا اور جو طلبا ہاسٹل میں نہیں رہے ان میں سے 20 فی صدی کا Aگریڈ آیاتھا ۔ سال کے آخیر میں، کالج کا ایک لڑکا بلا منصوبہ چنا گیااور اس کاA گریڈ ہے ، اس کی کیا احتمالی ہے کہ طلبا ہاسٹل میں رہنے والا ہے؟

4۔ ایک کثیر جوابی ٹیسٹ میں ایک سوال کا جواب دینے کے لیے ، ایک طالب علم یا تو جواب جانتا ہے یا اندازہ لگاتا ہے۔ مان لیجیے اس کا جواب جاننے کا احتمال 3/4ہے اور اس کے اندازہ لگانے کا احتمال 1/4ہے۔ یہ مانتے ہوئے کہ جو طالب علم اندازہ لگا تا ہے کہ جواب صحیح ہے اس کا احتمال 1/4ہے۔ اس کا کیااحتمال ہے کہ طلب علم جانتا ہے کہ اس کا دیا ہوا جواب صحیح ہے؟

5۔ ایک تجربہ گاہ میں کچھ بیماریوں کو معلوم کرنے کے لیے خون کی جانچ 99فی صدی کا میاب ہے، جبکہ حقیقت میں بیماری موجود ہے ۔ حالانکہ ، ٹیسٹ 0.5فی صدی صحت مند آدمیوں کے لیے غلط مثبت نتیجہ بھی نکالتا ہے (یعنی اگرایک صحت مند آدمی کا ٹیسٹ کیا گیا ہے تب 0.005 احتمال کے ساتھ ، ٹیسٹ کا مطلب ہے کہ اسے بیماری ہے)۔اگر حقیقت میں 0.1فی صدی آبادی کو بیماری ہے ، اس کا کیا احتمال ہے کہ آدمی کو بیماری ہے جب کہ دیا ہوا ہے کہ ٹیسٹ کا نتیجہ مثبت میں ہے؟

6۔ یہاں تین سکّے ہیں۔ ایک سکہ دو ہیڈ رکھتا ہے (یعنی سکّے کے دونوں طرف ہیڈ ہے)دوسرا سکہ جانب دار ہے کہ جس میں ہیڈ 75فی صد آتا ہے اور تیسرا سکہ غیر جانب دار نہیں ہے۔ تینوں سکوں میں سے ایک سکہ بلا منصوبہ کے چنا گیا ہے اوراُچھالا گیا ، یہ ہیڈ دکھاتا ہے، اس کا کیا احتمال ہے کہ یہ دوہیڈ والا سکہ ہے ؟

7۔ ایک بیمہ کمپنی 2000اسکوٹر ڈرائیور کا بیمہ کرتی ہے، 4000کا رڈرائیور کا اور 6000ٹرک ڈرائیور کا۔ حادثہ ہونے کا احتمال بالترتیب 0.01، 0.03اور 0.15ہے۔ ایک بیمہ ہوئے آدمی کا حادثہ ہو جاتا ہے۔ اس کا کیا احتمال ہے کہ وہ ایک اسکوٹر ڈرائیور ہے؟

8۔ ایک فیکٹری کے پاس دو مشینیں A اور B ہیں ۔ سابقہ ریکارڈ یہ بتاتا ہے کہ جتنا انھیں دیا جاتا ہے اس میں مشین A ، 60  فی صدی مال تیار کرتی ہے اور مشین B ، 40 فی صدی مال تیار کرتی ہے۔ اس کے علاوہ مشین A کے ذریعے تیار کی گئی 2 فی صدی اشیا خراب تھیں اور مشین B کے ذریعہ تیار کی گئی 1 فی صدی اشیا خراب تھیں ۔تمام اشیا کو ایک جگہ رکھا گیا اور پھر بلا منصوبہ اس میں سے ایک اشیا کو چنا گیا اور پایا گیا کہ یہ اشیا خراب ہے۔ اس کا کیا احتمال ہے کہ یہ اشیا مشین B کے ذریعے تیار کی گئی تھیں۔

9۔ دو گروپ ایک کارپوریشن کے بورڈ آف ڈائیریکٹر کی پوزیشن کے لیے مقابلہ کر رہے ہیں ۔ پہلے اور دوسرے گروپ کے جیتنے کے احتمالات بالترتیب 0.6 اور 0.4ہے ۔ اس کے علاوہ اگر پہلا گروپ جیتا ہے تو نئی اشیا کے تعارف کرانے کے احتمال 0.7ہے اور اسی کے مطابق دوسرے گروپ کے جیتنے پر نئی اشیا کومتحافِ کرانے کا احتمال 0.3ہے اس کا احتمال معلوم کیجیے کہ نئی اشیا کاتعارف دوسرے گروپ کے ذریعہ کرایا گیا تھا۔

10۔ مان لیجیے کہ ایک لڑکی ایک پانسہ پھینکتی ہے۔ اگر اسے 5 یا 6 حاصل ہوتا ہے، وہ ایک سکہ تین باراچھالتی ہے اور ہیڈکی  تعداد نوٹ کرتی ہے ۔ اگر اسے 3،2،1، یا 4 حاصل ہوتا ہے ، وہ ایک سکہ کو ایک بار ٹاس کرتی ہے اور نوٹ کرتی ہے کہ کیا ایک ہیڈ یا ٹیل حاصل ہوا ہے۔ اگر اسے بالکل ایک ہیڈ حاصل ہوا ہے، اس کا کیا احتمال ہے کہ اس نے پانسہ کے ساتھ 1، 2،3، یا 4 پھینکاتھا؟

11۔ ایک صنعت کار کے پاس تین مشین چلانے والے B، A اور  Cہیں ۔ پہلا مشین چلانے والا ’I‘ Aفی صدی خراب اشیا بناتا ہے، جبکہ دوسرے مشین چلانے والے BاورCبالترتیب 5اور 7فی صدی خراب اشیا بناتے ہیں ۔  50A فی صدوقفہ کے لیے کام پر ہے، B ، 30فی صدوقفہ کے لیے کام پر ہے اور  20C فی صدوقفہ کے لیے کام پر ہے۔ ایک خراب اشیا تیار کی گئی ہے، اس کا کیا احتمال ہے کہ یہ ’A‘ کے ذریعہ تیار کی گئی ہے؟

12۔ 52تاشوں کی ایک گڈی سے ’1‘تاش کھوگیا ہے ۔ گڈی میں بچے ہوئے باقی تاشوں میں دو تاش نکالے گئے ہیں اور دونوں ہی اینٹ کے پتے پائے گئے ہیں ۔ اس کا کیا احتمال ہے کہ کھویا ہوا تاش ایک اینٹ کاپتہ تھا۔

13۔ Aکے سچ بولنے کااحتمال 4/5ہے۔ ایک سکہ اُچھالا گیا۔A بتاتا ہے کہ ہیڈ نمودار ہوا ہے ۔ اس کا احتمال کہ حقیقت میں وہ ہیڈ تھا ہے۔

(A)    4/5 (B)   1/2      (C)      1/5       (D)   2/5

14۔ اگر A اور B دو واقعات ہیں تاکہ A C Bاور P (B) ≠0 ہے، تب مندرجہ ذیل میں کون سا صحیح ہے؟

ان میں سے کوئی بھی نہیں 

13.6بلا منصوبہ متغیراور ان کا احتمالی بٹاؤ

(Random Variables and its Probability Distributions)

ہم پہلے ہی بلا منصوبہ تجربات اورسیمپل فضا کے بننے کے بارے میں پڑھ چکے ہیں ۔ ان میں سے زیادہ تر تجربات میں ، ہماری دلچسپی صرف خاص نتائج میں ہی نہیں تھی جو وقوع میں آتے ہیں بلکہ کچھ نمبروں میں بھی تھی جو نتائج کے ساتھ ملوث تھے جیسا کہ ذیل مثالوں یاتجربات میں دکھا یا گیا ہے۔

(i) دو پانسوں کو ٹاس کرنے میں ، ہماری دلچسپی دو پانسوں کے اعداد کے حاصل جمع میں ہو سکتی ہے۔

(ii) ایک سکّے کو 50مرتبہ اُچھالنے پر ،ہم حاصل ہونے والے ہیڈکی تعداد جاننا چاہتے ہیں۔

  اشیا کے ایک لاٹ سے بلامنصوبہ چار اشیا کو نکالنے کے ایک تجربہ میں (ایک کے بعد ایک ) جس میں 6خراب ہیں، ہم چار اشیا کے نمونے میں خراب اشیا جاننا چاہتے ہیں ناکہ خراب اور غیر خراب اشیا کی خاص تواتر میں۔

اوپر کے تمام تجربات میں، ہمارے پاس ایک اصول ہے، جو کہ تجربہ کے نتیجے کو ایک اکیلا حقیقی عدد دیتا ہے ۔ تجربہ کے مختلف نتائج کے ساتھ یہ اکیلا حقیقی عدد بدل بھی سکتا ہے ۔ اس لیے یہ ایک متغیر ہے۔ ساتھ ہی اس کی قدر ایک بلا منصوبہ تجربہ کے نتیجے پر مبنی ہے، اور اس لیے، یہ بلا منصوبہ متغیر کہلاتا ہے۔ ایک بلا منصوبہ متغیر عام طور سے 'X' سے ظاہر کیا جاتا ہے ۔

اگر آپ کو ایک تفاعل کی تعریف یاد ہو، تو آپ یہ محسوس کریں گے کہ بلا منصوبہ متغیر Xحقیقت میں ایک تفاعل ہے جس کا علاقہ ایک بلا منصوبہ تجربہ کے نتائج کا سیٹ ہے (یا سیمپل فضا)۔ ایک بلا منصوبہ متغیر کی کوئی بھی حقیقی قدر ہو سکتی ہے، اس لیے ، اس کا ہم ۔ علاقہ حقیقی اعداد کا سیٹ ہے۔ اس لیے، ایک بلا منصوبہ متغیر کو ذیل طریقے کی طرح بیان کیا جا سکتا ہے:

تعریف 4: ایک بلا منصوبہ متغیر ایک حقیقی قدر تفاعل ہے جس کا علاقہ ایک بلا منصوبہ تجربہ سیمپل فضا ہے۔

مثال کے طور پر ، ہم ایک تجربہ پر غور کرتے ہیں جس میں ایک سکہ لگاتار دو مرتبہ ٹاس کیا گیا ہے۔ تجربہ کی سیمپل فضا ہے

{S = {HH, HT, TH, TT 

اگر Xحاصل شدہ ہیڈ کی تعداد کو ظاہر کرتا ہے ، تب  X ایک بلا منصوبہ متغیر ہے اور ہر ایک نتیجے کے لیے  اس کی قدر ذیل کی طرح دی گئی ہے:

X(HH) = 2, X (HT) = 1, X (TH) = 1, X (TT) = 0

ایک سے زیادہ متغیر اسی سیمپل فضا پر بیان کیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طورپر ، مان لیجیے Yاوپر کی سیمپل فضا کے لیے ہیڈ اور ٹیل کے مقدار کے فرق کو تعداد کرتا ہے۔

تب Y(HH) = 2, Y (HT) = 0, Y (TH) = 0, Y (TT) = – 2

اس طرح،X اور Yیکساںسیمپل فضا پر بیان کیےگئے دو مختلف بلا منصوبہ متغیر ہیں ۔

مثال 22۔ ایک انسان ایک سکہ کو تین بار ٹاس اُچھالنے کا کھیل کھیلتا ہے ۔ ہر ایک ہیڈ کے لیے ، کھیل کھلانے والا 2روپیے دیتا ہے اور ہر ایک ٹیل کیے لیے اس آدمی کو کھیل کھلانے والے کو 1.50روپیے دینے پڑتے ہیں ۔ مان لیجیے کہ اس آدمی کے ذریعہ حاصل کی گئی یا کھوئی ہوئی رقم کو Xسے ظاہر کیاگیا ہے۔دکھائیے کہ X ایک بلا منصوبہ متغیر ہے اور اسے تجربہ کی سیمپل فضا پر ایک تفاعل کے طور پر دکھائیے۔

حل : Xایک عدد ہے جس کی قدریں ایک بلا منصوبہ تجربہ کے نتائج پر بیان کی گئی ہیں ۔ اس لیے ، X ایک بلا منصوبہ متغیر ہے۔

اب ، تجربہ کی سیمپل فضایہ ہے

{S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT 

تب X (HHH) = Rs (2 × 3) = Rs 6 

X (HHT) = X(HTH) = X(THH) = Rs (2 × 2 - 1 × 1.50) = Rs 2.50

X(HTT) = X(THT) = (TTH) = Rs (1 × 2) – (2 × 1.50) = – Re 1

اور X(TTT) = - Rs (3 × 1.50) =  - Rs 4.50  

جہاں نفی کا نشان کھلاڑی کے نقصان کوظاہر کرتا ہے۔ اس طرح ، سیمپل فضا کے ہر ایک عنصرکے لیے ، X کی ایک واحد قدر ہوتی ہے، اس لیے ،سیمپل فضا پر X ایک تفاعل ہے جس کی وسعت یہ ہے

{ - 1,  2.50,  - 4,50, 6 }  

حل : مان لیجیے کہ تھیلے میں گیندوں کوسے ظاہر کیا گیا ہے ۔ تب سیمپل فضا ہے

اس طرح ، X ایک بلا منصوبہ متغیر ہے جس کی 0، 1یا 2قدریں ہو سکتی ہیں۔

13.6.1ایک بلا منصوبہ متغیر کا احتمالی بٹاؤ (Probability distribution of a random variable) 

ہمیں تجربہ پر غور کرناچاہیے جس میں دس خاندانوں f1, f2 ,..., f10 میں سے ایک خاندان اس طرح انتخاب کیا گیا ہے کہ ہر خاندان کاانتخاب مساوی امکانی ہو۔مان لیجیے f1, f2 ,..., f10 خاندانوں میں افراد کی تعداد بالترتیب 3,4,3,2,5,4,3,6,4,5ہے۔

ہم ایک خاندان کاانتخاب کرتے ہیں اور اس میں افراد کی تعداد کو X سے ظاہر کرتے ہیں ۔ صاف طور پر، Xایک بلا منصوبہ متغیر ہے جو کہ مندرجہ ذیل کی طرح بیان کیا گیا ہے:

اس طرح ، X  کوئی بھی قدر 2، 3، 4،5یا 6لے سکتا ہے ، جو اس پر مبنی ہے کہ کون سا خاندان منتخب کیا گیا ہے ۔

اب ،  X کی قدر 2ہو گی جبکہ خاندان  f4 کاانتخاب کیا گیا ہے۔X کی قدر 3  ہو سکتی ہے جبکہ f3،f2، f1 میں سے کوئی سا بھی خاندان منتخب کیاگیا ہے۔

X = 5،  جبکہ  f5،   یا  f10  خاندان منتخب کیاگیا ہے۔

اور X = 6،  جبکہ  f8  خاندان منتخب کیا گیا ہے۔

کیوں کہ ہم نے یہ مانا ہے کہ منتخب کیے جانے کے لیے، ہر ایک خاندان مساوی امکانی ہے، خاندان  f4 کومنتخب کیے جانے کا احتمال 1/10ہے۔

اس طرح ، X کی قدر 2ہوسکتی ہے کے لیے احتمال  1/10ہے۔ ہم 1/10 =  (P (X =2   لکھتے ہیں۔

p ({ƒ1, ƒ3, ƒ7}) = 3/10

اسی طرح ، اس کا احتمال کہ  X کی قدر 3 ہو سکتی ہے  =  

ہم لکھتے ہیں

P(X= 3) = 2/10 

اسی طرح ، ہمیں حاصل ہوتا ہے

عام طور پر ، ایک بلا منصوبہ متغیر Xکا احتمالی بٹاؤمندرجہ ذیل کی طرح بیان کیا گیا ہے:

تعریف 5  ایک بلا منصوبہ متغیر  X کا احتمالی بٹاؤ اعداد کا نظام ہے

حقیقی اعداد  x1 ,x1, ... xn   ایک بلا منصوبہ متغیر  X کی ممکن قدریں ہیں اور  (pi (i = 1,2,..., n بلا منصوبہ متغیر X کا احتمال ہے ، جوکہ Xi کی قدر دیتا ہے، یعنی ، P (X = xi) = pi 

(نوٹ: اگر xi  ایک بلا منصوبہ متغیر Xکی ممکن قدریں ہیں ، تب بیان X = xi سیمپل فضا کے لیے کچھ نقاط کے لیے درست ہے۔ اس لیے ، اس کا احتمال کہ xi ،  X  قدریں لیتا ہے ہمیشہ غیر صفر ہے، یعنی ، P(X = xi) ≠0-

ساتھ ہی بلا منصوبہXکی تمام ممکن قدروں کے لیے ،سیمپل فضا کے تمام عناصر کو لے لیاگیا ہے۔ اس لیے، ایک احتمالی بٹاؤ میں تمام احتمالات کا حاصل جمع ’1‘ہونا چاہیے۔

مثال 24: ایک اچھی طرح پھینٹی گئی 52 تاشوں کی ایک گڈی میں سے دو تاش واپس رکھنے کے ساتھ کامیابی کے ساتھ کھینچے گئے ہیں۔ اکوّں کی تعداد کا احتمالی بٹاؤمعلوم کیجیے۔

حل : اکوّں کی تعداد ایک بلا منصوبہ متغیر ہے۔ مان لیجیے اسے X  سے ظاہر کیا گیا ہے۔صاف طور پر  Xکی کوئی بھی قدر 0، 1یا2ہو سکتی ہے۔ 

اب ، کیونکہ نکالے گئے پتوں کو واپس رکھا گیا ہے، اس لیے  دوبارنکالناغیر تابع تجربات بناتا ہے۔

اس لیے ، (بغیر اکّے کے اور بغیر۔ اکّے کے)P (X=0) = P 

(اِکّے کے بغیر)  X P ( اِکّے کے بغیر) P =

(اِکّے کے بغیر یا اِکّے یا اِکاّ اوراِکّے کے بغیر )P (X=1) = P 

(اِکّے کے بغیر اوراِکاّ )  X P ( اِکّا اور اِکّے کے بغیر) P =

(یکہ کے بغیر)  P ( یکہ) P +( یکہ)P   (یکہ کے بغیر) P =

2	1	0	X
1/169	24/169	144/169	(P(X

حل : مان لیجیے  Xدوہری تعداد کو ظاہر کرتا ہے۔ ممکن دوگنے ہیں 

(6,6) , (5,5),  (4,4),  (3,3),  (2,2), (1,1)

صاف طور پر ،  X  کی کوئی بھی قدر 0، 2،1 اور 3ہو سکتی ہے۔

ایک ڈبلیٹ حاصل کرنے کا احتمال   = 6/36 = 1/6  

ایک ڈبلیٹ حاصل نہ کرنے کا احتمال = 1 - 1/6 = 5/6 

اب 125/216 = 5/6 ×5/6 ×5/6 = (کوئی ڈبلیٹ نہیں ) P (X=0) = P

(ایک ڈبلیٹ اور دو غیر ڈبلیٹ)P (X=1) = P 

(دو ڈبلیٹ اور ایک غیر ڈبلیٹ )P (X=2) = P 

1/216 = 1/6 ×1/6/×1/6 = 

اس طرح ، مطلوبہ احتمالی بٹاؤ ہے

3	2	1	0	X
1/216	15/216	75/216	125/216	(P (x

تصدیق : احتمالات کا حاصل جمع 

مثال 26: مان لیجیے ایک بلا منصوبہ انتخاب کیے گئے اسکول کے دن میں X ان گھنٹوں کی تعداد کو ظاہر کرتا ہے جو آپ مطالعہ کرتے ہیں۔ احتمال  X جو کہ x  قدریں لے سکتا ہے،مندرجہ ذیل شکل رکھتا ہے، جہاں k کوئی بھی انجان مستقل ہے۔

(b) اس کا کیا احتمال ہے کہ آپ کم سے کم دوگھنٹے مطالعہ کرتے ہیں ؟ بالکل صحیح 2گھنٹے؟زیادہ سے زیادہ 2گھنٹے؟

حل : X کا احتمال بٹاؤ ہے-

4	3	2	1	0	X
k	2k	2k	k	0.1	(P (X

(a) ہم جانتے ہیں کہ

اس لیے 

0.1 + k+ 2k + 2k +k = 1

یعنی۔، k = 0.15 

= P (X ≥ 2 )      (b)

(آپ کم سے کم دو گھنٹہ مطالعہ کرتے ہیں )  P

(P (X = 2 =  (آپ بالکل دو گھنٹہ مطالعہ کرتے ہیں ) P 

 2k = 2 × 0.15 = 0.3=

 (P(X ≤ 2=  (آپ زیادہ سے زیادہ دو گھنٹہ مطالعہ کرتے ہیں ) P 

= P (X=0) + P (X=1) + P (X = 2)

= 0.1 +K +2K = 0.1 +3K = 0.1 + 3×0.15

= 0.55

13.6.2ایک بلا منصوبہ متغیر کا درمیانہ(Mean of a random variable) 

بہت سے مسئلوں، میں ا یک اکیلے عدد کے ذریعے بلا منصوبہ متغیر کے کچھ تاثرات بیان کرنے کی خواہش ہے جس کااس کی احتمالی بٹاؤ کے ذریعے حساب لگایا جا سکتا ہے۔اس طرح کے کچھ اعداد درمیانہ ، وسطانیہ اور (Mode)مق ہیں ۔ اس سیکشن میں ہم صرف درمیانہ پر بحث کریں گے۔ درمیانہ جگہ تلاش کرنے کا ایک پیمانہ ہے یا مرکزی طرف ہے، اس نظریہ میں کہ عام طورپر منصوبہ متغیر کی درمیانی یا اوسط قدر تلاش کرتا ہے۔

تعریف 6: مان لیجیے  X ایک بلا منصوبہ متغیر ہے جس کی ممکن قدریں  x1, x2, x3, ..., xn بالترتیب p1, p2, p3,..., pn احتمالات کے ساتھ واقع ہوتی ہیں ۔X کا درمیانہ ، جو کہ μسے ظاہر کیاگیاہے، عدد ہے، یعنی  درمیانہ X ، X کی تمام ممکن قدروں کا اوسط وزن ہے، ہر ایک قدر کا اپنی احتمالی سے وزن کیا گیا ہے جس کے ساتھ یہ واقع ہوتا ہے۔

ایک بلا منصوبہ متغیر   X کا درمیانہ  X کی امید(Expectation)بھی کہلاتا ہے ، جس کو (E (X سے ظاہر کیا جاتا ہے

دوسرے الفاظ میں، ایک بلا منصوبہ متغیر Xکی امید Xکی تمام ممکن قدروں کے مطابق احتمال کے حاصل ضرب کا حاصل ہوتا ہے۔

مثال 27: مان لیجیے پانسہ کے ایک جوڑے کو اچھالا گیا اور بلا منصوبہ متغیر Xان اعداد کاحاصل جمع ہے جو کہ دونوں پانسوں پر ظاہر ہوتے ہیں ۔ Xکا درمیانہ یا امید معلوم کیجیے۔

حل: تجربہ کی سیمپل فضا میں 36 بنیادی واقعات مرتب جوڑوں (xi, yi)کی شکل میں ہوتے ہیں ، جہاں xi =1,2,3,4,5,6 اور yi اور yi = 1,2,3,4,5,6 ہیں۔

بلا منصوبہ متغیر X یعنی ،دونوں سکوں پر اعداد کا حاصل جمع 11،10،9،8،7،6،5،4،3،2یا 12قدریں لے گا۔ٓؓ

P (X = 2) = P ({(1,1)}) = 1/36          اب        

P (X−3) = P({(1,2), (2,1)}) = 2/36

P (X − 4) = P ({(1,3), (2,2), (3,1)}) = 3/36

P(=5) = P ({( 1,4), (2,3), (3,2), (4,1)}) = 4/36         

P(X=6) =P ({(1,5), (2,4),(3,3), (4,2), 5,1)}) = 5/36     

P (X=7) = P ({(1,6), (2,5), (3,4), 4,3), (5,2), 6,1)}) = 6/36

P(X=8) = P({(2,6), 3,5), (4,4), 5,3), (6,2)}) = 5/36    

P (X=9) = P ({(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)}) = 4/36

P (X=10) =P ({(4,6), (5,5), (6,4)}) = 3/36

P(X=11) =P ({(5,6) , (6,5)}) = 2/36

P (X=12) =P ({(6,6)}) = 1/36

12	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	X of x1
1/36	2/36	3/37	4/36	5/36	6/36	5/36	4/36	3/36	2/36	1/36	P(x) of p1

اس لیے،

اس طرح ، دو صاف(اچھے) پانسوں کو اچھالنے پر ظاہر ہونے والے اعداد کا مجموعہ 7ہے ۔

13.6.3ایک بلا منصوبہ متغیرکاتغیر (فرق)(Variance of a random variable) 

ایک بلا منصوبہ متغیر کا درمیانہ ہمیں بلا منصوبہ متغیر کی اتار چڑھاؤ کی قدروں کی معلومات نہیں دیتا۔ حقیقت میں اگر تغیر چھوٹا ہے تب بلا منصوبہ متغیر کی قدریں درمیانہ کے نزدیک ہیں۔ ساتھ ہی بلا منصوبہ متغیر مختلف احتمالی بٹوارے کے ساتھ برابر درمیانہ رکھ سکتے ہیں، جیسا کہ X اور Y کے ذیل بٹوارے میں دکھایا گیا ہے۔

4	3	2	1	x
2/8	3/8	2/8	1/8	(P (x

6	5	4	0	1-	y
1/8	1/8	3/8	2/8	1/8	(P (y

صاف طورپر

اور

متغیر X اور Y مختلف ہیں، حالانکہ ان کے درمیان یکساں ہیں۔ ان بٹاؤں کوتصویرکے ذریعے ظاہر کرکے ان کا آسانی سے مشاہدہ کیا جا سکتا ہے۔

X کا Y سے فرق کرنے کے لیے، ہمیں وسعت کی پیمائش کی ضرورت ہے جس کے لیے بلا منصوبہ متغیر کی قدریں پھیل جاتی ہیں۔ علم شماریات(Statistics)میں، ہم نے پڑھاہے کہ تغیر بکھرے ہوئے یا پھیلے ہوئے اعداد وشمار کا ایک پیمانہ ہے۔ اسی طرح ایک بلا منصوبہ متغیرکی قدروں کا پھیلنا یا متغیری کو تغیر کے ذریعہ پایا جا سکتا ہے۔

تعریف 7مان لیجیے X ایک بلا منصوبہ متغیر ہے جس کی ممکن قدریںx1, x2,...,xn  بالترتیب احتمالات ,....,(p(xn), p(x1),p(x2 کے ساتھ واقع ہوتی ہیں۔

مان لیجیے (X,  μ= E (X کا درمیانہ ہے۔ X کا تغیر، جوکہسے ظاہر کیا گیا ہے، اس طرح بیان کیا گیا ہے

یا برابری کے طورپر

غیر منفی عدد

بلا منصوبہ متغیرX کا معیاری انحراف (Standard Deviation)کہلاتا ہے۔

ایک بلا منصوبہ متغیر کا تغیر معلوم کرنے کاایک دوسرا فارمولہ۔(Another formula to find the variance of a random variable)ہم جانتے ہیں کہ 

یا

مثال28: ایک غیر جانب دار پانسہ کو اچھالنے پر حاصل کیے گئے اعداد کا تغیر (Variance)معلوم کیجیے۔

حل: تجربہ کی سیمپل فضا{S = {1, 2, 3, 4, 5, 6ہے۔

مان لیجیے ’X‘پانسہ کو اچھالنے پر حاصل ہوئے عدد کو ظاہر کرتا ہے۔ تب X ایک بلا منصوبہ متغیر ہے جس کی 5،4،3،2،1یا 6قدریں ہو سکتی ہیں۔

ساتھ ہی

P (1) = P (2) = P(3) = P(4) = P (5) =  P (6) = 1/6

اس لیے، X کا احتمالی بٹاؤ ہے

6	5	4	3	2	1	X
1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	(P (X

اس طرح، Var (X) = E (X2) – (E(X))2

مثال 29: 52پتوں کی ایک اچھی طرح پھینٹی گئی تاش کی گڈی سے 2پتے ایک کے بعد ایک نکالے گئے (یا لگاتار بغیر دوبارہ واپس ڈالے ہوئے )۔ بادشاہوں کی تعداد کے لیے درمیانہ، تغیر اور معیاری انحراف (S .D)معلوم کیجیے۔

حل: مان لیجیے دو تاشوں کو نکالنے میں X بادشاہوں کی تعداد کو ظاہر کرتا ہے۔ Xایک بلا منصوبہ متغیر ہے جس کی 1،0یا 2قدریں ہو سکتی ہیں۔

اب   (کوئی بادشاہ نہیں )P (X=0) = P 

     (ایک بادشاہ اور ایک غیر–بادشاہ)P (X=1) = P 

اس طرح ، X کا احتمالی بٹاؤ ہے

2	1	0	X
1/221	32/221	188/221	(P (X

اب

اس لیے

مشق13.4

2	1	0	X
02	04	04	(P (X

4	3	2	1	0	X
0.3	0.1-	0.2	0.5	0.1	(P (X

1	0	1-	Y
0.2	0.1	0.6	(P (Y

1-	0	1	2	3	Z
0.05	0.1	0.4	0.2	0.3	(P (Z

3۔ مان لیجیے X ہیڈ اور ٹیل کی تعدادکے فرق کو ظاہر کرتا جو کہ ایک سکہ کو چھ بار ٹاس کرنے میں حاصل ہوئی ہیں۔ X کی ممکن قدریان کیا ہیں؟

4۔ مندرجہ ذیل کا احتمالی بٹاؤ معلوم کیجیے۔

(i) ایک سکّے کو دو باراُچھالنے میں ہیڈ کی تعداد۔

(ii) تین سکوں کو لگاتاراُچھالنے  میں ٹیل کی تعداد۔

(iii) ایک سکّے کو چار بار اُچھالنے میں ہیڈ کی تعداد۔

5۔ ایک پانسہ کو دو بارہ اُچھالنے میں احتمالی بٹاؤ کی کامیابیوں کی تعداد معلوم کیجیے جہاں کامیابی اس طرح بیان کی گئی ہے

سے بڑا عدد 

(ii) کم سے کم ایک پانسہ پر چھ کا ظاہر ہونا

6۔ 30 بلب کے ایک ڈھیر سے جس میں 6 خراب شامل ہیں، 4بلب کا ایک نمونہ واپس رکھنے کے ساتھ بلا منصوبہ نکالا گیا ہے۔ خراب بلبوں کی تعداد کا احتمالی بٹاؤ معلوم کیجیے۔

7۔ ایک سکہ جانب دار ہے اس میں ہیڈ، ٹیل کے مقابلہ میں 3بارزیادہ واقع ہوتا ہے۔ اگر سکّے کو دوبارہ اُچھالا جائے، ٹیل کی تعداد کا احتمالی بٹاؤ معلوم کیجیے۔

8۔ ایک بلا منصوبہ متغیر X ذیل احتمالی بٹاؤ رکھتا ہے:

7	6	5	4	3	2	1	0	X
7K2+K	2K2	K2	3K	2K	2K	K	0	(P (X

9۔ بلا منصوبہ متغیر X شکل کا (P (X احتمالی بٹاؤ رکھتا ہے، جہاں K کوئی عدد ہے:

  کی قدر معلوم کیجیے۔

P (X <2), P (X≤ 2), P (X ≥2)     (b)

  معلوم کیجیے۔

10۔ ایک صاف سکہ کی تین اُچھال میں ہیڈ کا درمیانہ عدد معلوم کیجیے۔

11۔ ایک کے بعد ایک دوپانسہ پھینکے گئے ہیں۔ اگر X چھکوں کی تعداد کو ظاہر کرتا ہے، X کی امید(Expectation) معلوم کیجیے۔

12۔ پہلے چھ مثبت صحیح اعداد سے دو اعداد بلا منصوبہ منتخب کیے گئے ہیں(بغیر واپس کیے ہوئے)۔ مان لیجیے X حاصل ہونے والے دو اعداد میں سے بڑے عدد کو ظاہر کرتا ہے۔(E (Xمعلوم کیجیے۔

13۔ مان لیجیے X اعداد کے حاصل جمع کو ظاہر کرتاہے جبکہ دو صاف پانسہ پھینکے گئے ہیں۔ Xکا تغیر اور معیاری انحراف (S.D) معلوم کیجیے۔

14۔ ایک جماعت میں15طلبا ہیں جن کی عمریں بالترتیب19،17،14،15،17،14، 16،20، 17،20،18، 19،16،16اور 20سال ہیں۔ ایک طلبع علم کا اس طرح انتخاب کیا  گیا تاکہ ہر ایک کے منتخب ہو جانے کے برابر امکان ہیں اور منتخب ہوئے طالب علم کی عمر X ریکارڈ کی گئی ہے۔ بلا منصوبہ متغیر X کا احتمالی منصوبہ کیا ہے؟X کا درمیانہ، تغیر اور معیاری انحراف(S.D)معلوم کیجیے۔

15۔ ایک میٹنگ میں %70ممبران کسی بھی تجویزکے حامی ہیں اور %30ممبران مخالف ہیں۔ ایک ممبر بلا منصوبہ چنا گیا ہے اور ہم X= 0لیتے ہیں اگر وہ مخالفت کرتا ہے، اور X=1اگر وہ حامی ہے۔(E (X)اور (Var (X معلوم کیجیے۔

ذیل میں سے ہر ایک کے لیے صحیح جوابات کاانتخاب کیجیے۔ 

16۔ ایک پانسہ کواچھالنے پرجس کے تین طرف ’1‘ لکھا ہوا ہے دوطرف 2، اور ایک طرف 5 لکھا ہوا ہے،سے جو اعداد حاصل ہوئے ہیں ان کا درمیانہ ہے

(A)    1            (B)    2 (C)5 (D) 8/3

17۔ مان لیجیے ایک تاشوں کی گڈی سے دو تاش بلا منصوبہ نکالے گئے ہیں۔ مان لیجیے حاصل ہوئے اکّوں کی تعداد X ہے۔ تب (E (X  کی قدر ہے

13.7.1برنولی کی جانچ (Bernoulli trials) 

بہت سے تجربات قدرتی طورپر صرف دو نتیجہ ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر ایک ٹاس کیا گیا سکہ ’ہیڈ‘ یا’ ٹیل‘ دکھاتا ہے، ایک بنائی ہوئی اشیا ’خراب ‘بھی ہو سکتی ہے اور ’صحیح‘ بھی ہو سکتی ہے، کسی سوال کا جواب ’ہاں ‘ بھی ہو سکتا ہے اور ’نہیں‘بھی، ایک انڈے میں سے بچہ ’نکلاہے‘یا ’نہیں نکلاہے‘ فیصلہ ’ہاں ‘یا ’نہیں ‘ ہو سکتا ہے۔ اس طرح کی معمولات میں، رسمی طور پر یہ کہنا کہ نتیجہ ایک ’کامیابی‘ ہے اور دوسرا’کامیابی نہیں ہے‘ یا ’فیل ہوگیا ہے۔مثال کے طور پر ، ایک سکہ کو اُچھالنے میں،اگر ہیڈ کا وقوع ہونا ایک کامیابی ہے، تب ٹیل کا وقوع ہونا نا کامیابی ہوتاہے۔

ہم ہر مرتبہ سکہ کو ٹاس کرتے ہیں یا پانسہ کو اچھالتے ہیں یا کوئی بھی دوسراتجربہ کرتے ہیں، ہم اسے ایک چانچ کہتے ہیں۔ مان لیجیے اگر ایک سکہ کو 4 بار ٹاس کیا گیا ہے،جانچ کی تعداد 4 ہے۔ جس میں ہر ایک میں دو وقوع ہیں کامیابی یا فیل ہونا کسی بھی کوشش کا نتیجہ اور دوسرے کی کوشش کے نتیجے سے مبرّہ ہوتا ہے۔ اس طرح کی ہر ایک کوشش میں  کامیابی یاغیر کامیابی کا احتمال مستقل رہتا ہے۔ اس طرح کی غیر تابع کوشش جس میں دو طرح کے نتائج کا عام طور پر حوالہ دیا گیا ہے’کامیابی‘ یا ’نا کامیابی‘ کو برنولی کی کوشش کہتے ہیں۔

تعریف 8ایک بلا منصوبہ تجربہ کی کوشش کو برنولی کی کوشش کہتے ہیں، اگر وہ مندرجہ ذیل شرائط کو مطمئن کر دیں

(ii) کوشش آزاد ہونی چاہئیں ۔

(iv) کامیابی کا احتمال ہر ایک کوشش میں یکساں رہتی ہے۔

مثال کے طور پر ، ایک پانسہ کو 50 مرتبہ اچھالنا ، 50مرتبہ برنولی کی کوشش کا ایک کیس ہے، جس میں ہر ایک کوشش کا نتیجہ کامیابی ہے (مان لیجیے ایک جفت عدد) یا غیر کامیابی (ایک طاق عدد) اور کامیابی کا احتمال (P)تمام 50بار پھینکنے کے لیے یکساں ہے۔ صاف طورپر ، پانسہ کا لگاتار اچھالنا آزاد تجربات ہیں۔ اگر ایک پانسہ صحیح ہے اورچھ اعداد ’1تا6‘اس کی چھ طرف لکھے ہوئے ہیں، تب  فیل ہونے کا احتمال

مثال30:  چھ گیندیں ایک برتن میں سے جن میں 7 لعل اور9کالی گیندیں ہیں، لگاتار نکالی گئیں۔ بتائیے کہ کیا گیندوں کو نکالنے کی کوشش برنولی کوشش ہے یا نہیں جبکہ ہر بار گیند نکالنے کے بعد

(i) واپس رکھی گئی ہے (ii) برتن میں واپس نہیں رکھی گئی ۔

حل :

(ii) جبکہ گیندوں کو بغیر واپس رکھے گئے نکالا ہے، کامیابی کا احتمال (یعنی، لال گیندکی) پہلی جانچ میں 7/16ہے، دوسری کوشش میں 6/15ہے، اگر نکالی گئی پہلی گیند لال ہے یا 7/15ہے اسی طرح نکالی گئی پہلی گیند کالی اور اسی طرح آگے۔ صاف طور پر ، کامیابی کا احتمال تمام جانچوں کے لیے یکساں نہیں ہے، اس لیے کوشش برنولی کوشش نہیں ہے۔

13.7.2دور کنی بٹاؤ(Binomial distribution) 

ایک سکّے کے اُچھالنے کے تجربہ پر غور کیجیے جس میں ہر ایک کوشش کا نتیجہ ایک کامیابی ہے( مان لیجیے ہیڈ) یا ناکامیابی (ٹیل)۔ مان لیجیے S اور F بالترتیب کا میابی اور ناکامیابی کو ہر کوشش میں ظاہر کرتے ہیں۔ مان لیجیے ہماری دلچسپی ان طریقوں کو معلوم کرنے میں ہے جس میں ہمیں چھ کوششوں میں ا یک بار کامیابی ملتی ہے۔

صاف طورپر ، وہاں چھ مختلف کیس ہیں جن کی ذیل میں فہرست بنائی گئی ہے:

SFFFFF,  FSFFFF, FFSFFF, FFFSFF, FFFFSF,  FFFFFS

اسی طرح ، دو کامیابیاں اور 4ناکامیابیاں میں   اجتماع رکھ سکتی ہے۔ ان طریقوں کی فہرست بنانا ایک لمبا کام ہے۔ اس لیے، کامیابی سے 0، 2،1،.....n اعداد کا احتمالات کا حساب لگانا ایک لمبا اور وقت برباد کرنے والا ہے۔  n  برنولی کوشش میں احتمالات کے لیے کامیابیوں کی تعداد معلوم کرنے میں لمبا حساب لگانا اور تمام ممکن کیسوں کی فہرست بنانے سے بچنے کے لیے ایک ضابطہ معلوم کیا گیا ہے۔ اس کام کے لیے ہم ایک تجربہ کو لیتے ہیں جو کہ تین برنولی کوشش سے بنا ہوا ہے اور جس کی احتمالات ہر ایک کوشش میں بالترتیب کامیابی اور غیر کامیابی کے لیے P اور  q = 1– Pہیں۔تجربہ کی سیمپل فضاکے لیے سیٹ ہے

{S = {SSS, SSF, SFS, FSS, SFF, FSF, FFS, FFF

کامیابی کی تعداد ایک بلامنصوبہ متغیر X ہے اور جو2،1،0یا 3 قدریں لے سکتا ہے۔ کامیابیوں کی تعداد کا احتمالی بٹاؤ مندرجہ ذیل کی طرح ہے:

(کوئی کامیابی نہیں) P (X = 0) = P 

(P({FFF}) = P(F) P(F) P(F =

(کیونکہ جانچیں آزاد ہیں )  q . q . q. = q3 =

(ایک کامیابی ) P (X = 1) = P 

(دوکامیابیاں) P (X = 2) = P 

اس طرح ، X کا احتمالی بٹاؤ ہے

3	2	1	0	X
p3	3qp3	3q2p	q3	(P (X

q3 + 3q2 p + 3q2 + p3

یہ نوٹ کر لیجیے کہ 2،1،0یا 3کی کامیابیوں کا احتمال بالترتیب q + p) 3) کے پھیلاؤ میں پہلا ، دوسرا، تیسرا، اور چوتھا رکن ہیں۔

ساتھ ہی، کیونکہ q + p = 1ہے، اس سے یہ حاصل ہوتا ہے کہ ان احتمالات کا حاصل جمع ، جیسا کہ امید تھی ’1‘ ہے۔

اس طرح ، n-برنولی کی کوشش کے ایک تجربہ میں ہم یہ نتیجہ نکال سکتے ہیں کہ q + p) n)کے پھیلاؤ میں، 0،1،0، n ....کی کامیابیوں کے احتمالات پہلے ، دوسرے .....(n + 1) ارکان ہیں۔اس ادعا( نتیجہ ) کو ثابت کرنے کے لیے، ہمیں n-برنولی کوشش میں x-کامیابیوں کا احتمال معلوم کرنا چاہیے۔

صاف طورپر ، xکامیابیوں (S) کے کیس میں، (n –x) ناکامیابیاں (F) ہوںگی۔

اب ، x کامیابیاں (S) اور (n – x) ناکامیابیاں  طریقوں سے حاصل کی جا سکتی ہیں۔

ان میں سے ہر ایک طریقے میں ، x کامیابیوں کے احتمالات اور (n –x) ناکامیوں کے احتمالات ہیں۔

اس طرح ،  n– برنولی کوشش میں x کامیابیوں کے احتمال

nCxpx qn-x    ہے یا  !n/x! (n-x)! px qn-x  

اس طرح ،  

= n Cxpx qn-x =, x= 0, 1,2,....., n, (q - 1-p)

   (xکامیابیاں)P 

صاف طور پر ، (کامیابیاں ) P ، یعنی  nCx px qn-x  دور کنی پھیلاؤ q+p)n) میں x+1) th) رکن ہے۔

اس طرح، ایک تجربہ میں جس میں  n–برنولی کی کوشش شامل ہے کامیابیوں کی تعداد کے احتمالی بٹوارے کو q + p) n) کے دور کنی پھیلاؤ سے حاصل کیا جا سکتا ہے۔ اس لیے ، X کامیابیوں کے بٹاؤ کی تعداد کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے

n	...	x	...	2	1	0	x
nCn pn		nCn pn-x px		nC2  pn-2  p1	nC1 pn-1 p1	nC0 qn	(P (X

مندرجہ بالا احتمالی بٹاؤ کو n اور p پیرامیٹر کے ساتھ دورکنی بٹاؤ کہا جاتا ہے، کیونکہ دی ہوئی قدروں nا ور p کے لیے ہم مکمل احتمالی بٹاؤ معلوم کر سکتے ہیں ۔

x کامیابیوں کے احتمال (P(x), P (X=x  سے بھی ظاہر کیے جاتے ہیں اور اس طرح دی گئی ہے

P (x) = nCx qn-x px, x =0, 1,....., n, (q = 1 = p)

یہ (P (x  دور کنی کوشش کا احتمالی تفاعل کہلاتا ہے

n– برنولی کوشش کے ساتھ اور ہر کوشش میں کامیابیوں کے احتمال P کی طرح ایک دور کنی بٹاؤ کو (B (n, Pسے ظاہر کیا گیا ہے۔

اب ہمیں کچھ مثالیں لینی چاہیے۔

مثال 31:اگر ایک صاف سکّے کو دس بار ٹاس کیا گیا ہے، توا حتمال معلوم کیجیے

(i) قطعی چھ ہیڈ کی

(ii) کم سے کم چھ ہیڈ کی

(iii) زیادہ سے زیادہ چھ ہیڈ کی

حل: ایک سکّے کے دہرائے گئے ٹاس برنولی کوشش ہیں۔ مان لیجیے ایک تجربہ میں 10جانچ کو X ہیڈ کی تعداد سے کو ظاہر کیاگیاہے۔

صاف طورپر ، X دور کنی بٹاؤ رکھتاہے، n=10 اور  P=1/2 کے ساتھ 

اس لیے

P (X =x) = nCx pn-x , px, x = 0, 1, 2, ......, n

یہاں n=10, p=1/2, q = 1 - p= 1/2  

اب

(ii)  p (کم سے کم چھ ہیڈ)  = (P(X≥6)

= P (X =6) + P (X=7)+P(X=8) +P(X=9)+P(X=10)

                

(iii) P (زیادہ سے زیادہ چھ ہیڈ) =P(X ≤6) 

= P(X=0) +P (X=1) +P(X=2) +P (X=3)

+ P (X=4) + P (X=5 ) +P (X=6)

= 848/1024 = 53/64

مثال 32: ایک انڈوں کے ڈھیرسے جس میں %10 خراب انڈے ہیں دس انڈے کامیابی سے واپسی کے ساتھ نکالے گئے ہیں۔ اس کی احتمالی معلوم کیجیے کہ نکالے گئے انڈوں میں کم سے کم ایک خراب انڈہ ہے۔

اس لیے q = 1-p = 9/10 

مشق13.5

1۔ ایک پانسہ کو6بار اچھالا گیا ہے۔ اگر ’’ ایک ناطق عدد حاصل کرنا‘‘ ایک کامیابی ہے، تو بتائیے کہ مندرجہ ذیل کاکیا احتمالی کیا ہے

کامیابیوں کی ؟ (ii) کم سے کم 5 کامیابیوں کی ؟

(iii) زیادہ سے زیادہ 5 کامیابیوں کی ؟

2۔ پانسہ کا ایک جوڑا 4بار اچھالا گیاہے۔ اگر دوہرے اعداد (ڈبلیٹ)ملنے کو ایک کامیابی سمجھاجائے، تو دو کامیابیوں کا احتمال معلوم کیجیے۔

3۔ اشیا کے ایک بہت بڑے ڈھیر میں %5 اشیا خراب ہیں۔ اس کا کیا احتمال ہے کہ 10نمونوں میں سے ایک سے زیادہ اشیا خراب نہ ہوں؟

4۔ 52تاشوں کی ایک چھی طرح پھینٹی گئی گڈی سے 5تاش واپس رکھنے کے ساتھ کامیابی کے ساتھ نکالے گئے ہیں۔ اس کا کیا احتمال ہے کہ 

(i) تمام پانچ پتے حکم کے ہیں ؟

(ii) صرف تین پتے حکم کے ہیں؟

(iii) کوئی بھی حکم کا نہیں ہے؟

5۔ ایک بلب جو کہ ایک فیکٹری کے ذریعے تیار کیا گیا ہے کا احتمال 0.05ہے کہ 150دن میں فیوز ہو جائے گا۔ اس کا احتمال معلوم کیجیے کہ اس طرح کے 5بلبوں میں

(i) کوئی نہیں 

(ii) ایک سے زیادہ نہیں 

(iii) ایک سے زیادہ 

(iv) کم سے کم ایک

استعمال کے 150دن بعد فیوز (Fuse)ہوجائے گا۔

6۔ ایک تھیلے میں 10گیندیں ہے اور ہر ایک پر 0تا  9ہندسہ بنا ہواہے۔ اگر تھیلے سے واپس رکھنے کے ساتھ چار گیندیں کامیابی سے نکالی گئی ہیں، اس کا کیا احتمال ہے کہ نکالی گئی گیندوں میں سے کسی پر بھی 0 کا ہندسہ نہیں بنا ہواہے؟

7۔ ایک امتحان میں، 20سوالات صحیح۔غلط طرح کے معلو م کیے گئے ہیں۔ مان لیجیے ایک طلب علم اپنے ہر سوال کا جواب معلوم کرنے کے لیے ایک اچھے سکہ کو اُچھالتا ہے۔ اگر سکہ پر ہیڈ آتا ہے، وہ جواب صحیح کادیتاہے اگر اس پر ٹیل آتا ہے، وہ جواب غلط کادیتا ہے۔ اس کا کیا احتمال ہے کہ وہ کم سے کم 12سوالوں کے صحیح جواب دے گا؟

8۔ مان لیجیے  X کا ایک دورکنی بٹاؤ ہے۔ دکھائیے کہ X = 3 سب سے زیادہ ممکن نتیجہ ہے۔

(اشارہ :(P (X = 3  تمام  میں عظیم ہے 

9۔ ایک کثیر جوابی (Multiple choice)امتحان میں ہر ایک پانچ سوالوں کے لیے تین ممکن جوابات ہیں، اس کا کیا احتمال ہے کہ ایک طالب علم صرف اندازہ سے چار یا اس سے زیادہ صحیح جواب دے گا؟

10۔ ایک آدمی 50لاٹریوں میں ایک لاٹری ٹکٹ خریدتا ہے، جن میں سے ہر ایک میں اس کا انعام جیتنے کا چانس ہے۔ اس کا کیا احتمال ہے کہ وہ انعام جیتے گا۔(a)کم سے کم ایک مرتبہ(b)صرف ایک بار(c)کم سے کم دو مرتبہ

11۔ ایک پانسہ کو 7بار اچھالنے میں بالکل دو بار5حاصل ہونے کا احتمال کیا ہے۔

12۔ ایک اکیلے پانسہ کو 6مرتبہ اچھالنے میں زیادہ سے زیادہ 2چھکے حاصل ہونے کا کیا احتمال ہے۔

13۔ یہ معلوم ہے کہ کچھ بنائی گئی اشیا میں 10فی صداشیا خراب ہیں۔ اس کا احتمال ہے کہ اس طرح کی 12اشیا کہ بلا منصوبہ نمونوں میں، 9خراب ہیں؟

ذیل ہر ایک میں، صحیح جواب کاانتخاب کیجیے۔

14۔ ایک باکس جس میں 100بلب ہیں، 10خراب ہیں۔ اس کا کیا احتمال ہے کہ 5بلبوں کے نمونے میں کوئی بھی خراب نہیں ہے۔

(A) 10-1       (B)   (½)5 (C) 9/10)5 (D)  9/10

15۔ اس کا احتمال کہ ایک طالب علم تیراک نہیں ہے1/5 تب اس کاکیا احتمال کہ 5طلبا میں سے، 4تیراک یہ ہیں۔

متفرق  مثالیں

مثال 33: جیسا کہ جدول میں دکھایا گیا ہے رنگین گیندیں چار ڈبوں میں بانٹی گئی ہیں:

		رنگ ڈبہ
نیلا	لال	سفید	کالا
6	5	4	3	ْI
2	2	2	2	II
1	3	2	1	III
5	1	3	4	IV

حل: مان لیجیے ,E3 ، E2، E1 ، A اور E4 وقوعات ہیں جیسا کہ نیچے بیان کیا گیا ہے۔

A  : ایک کالی گیند چنی گئی ہے E1  : ڈبہ Iچنا گیا ہے

E2 : ڈبہ IIچنا گیا ہے E3 : ڈبہ IIIچنا گیا ہے

E4 : ڈبہ IVچنا گیا ہے

کیونکہ ڈبہ بلا منصوبہ چنے گئے ہیں۔

اس لیے 

P (E1) = P(E2) =p (E3) = p(E4) = 1/4

ساتھ ہی

P(A|E1) = 3/18, P(A|E2) =2/8, P(AE3)=1/7 اور  P(A|E4) =4/13 

(P (E3|A   (ڈبہ IIIچنا گیاہے، دیا گیا ہے کہ نکالی گئی گیند کالی ہے ، بائیس مسئلہ سے

مثال34: دورکنی بٹاؤ  کا درمیانہ معلوم کیجیے۔

یعنی. ،X کا بٹاؤ ہے

مثال35: ایک گولی چلانے والے کا ایک نشانہ کو مارنے کا احتمال ¾ہے۔ وہ (لڑکا)(لڑکی) کم سے کم کتنی مرتبہ گولی چلائے تاکہ نشانہ کو مارنے کا احتمال کم سے کم 0.99سے ایک زیادہ ہو؟

حل : مان لیجیے گولی چلانے والا  n مرتبہ گولی چلاتا ہے۔ صاف طورپر ، n مرتبہ گولی چلانا n برنولی جانچ ہے۔ ہر ایک جانچ میں p= نشانہ کو مارنے کا احتمال  = ¾ اورq =نشانہ کو نہ مارنے کا احتمال   =

تب

اب ، دیا گیا ہے کہ،

99 .0 < (کم سے کم ایک بار نشانہ کو مارنا) P 

یعنی۔،

P (x≥ 1 ) >0.99 

اس لیے،

1-p (x= 0) > 0.99 

یا

n کی قلیل قدر جو نا مساوات(1)کو مطمئن کرتی ہے4 ہے۔

اس طرح، گولی چلانے والا کم سے کم 4 مرتبہ گولی چلائے

مثال 36: A اور B ایک پانسہ کو باری باری سے اچھالتے ہیں جب تک ایک کو ’6‘حاصل نہیں ہو جاتا اور کھیل جیت جاتے ہیں۔ ان کے جیتنے کے اپنے اپنے احتمالات معلوم کیجیے اگر A پہلے شروع کرتا ہے۔

حل: مان لیجیے S کامیابی کو ظاہر کرتا ہے (’6‘ حاصل ہونے کی)اور F ناکامی کو ظاہر کرتا ہے۔(’6‘نہ حاصل ہونے کی)۔

اس طرح،

 (Aپہلی بار اچھالنے میں جیتاہے)P 

A کو تیسری بار اچھالنے کا موقعہ ملتا ہے، جبکہ A پہلی بار اچھالنے پر اور Bدوسری بار اچھالنے پر ناکامیاب ہوجاتاہے۔

اس لیے،

= P (FFS ) = P (F) P (F) P (S) = 5/6×5/6×1/6 

  (A تیسری بار اچھالنے میں جیتنا ہے)P 

ریمارک(Remark) اگر 

|r| < I جہاں  a + ar + ar2 + ..... + arn-1 + .....,

 ہے۔ تب اس لا محدود G.P کا مجموعہ سے دیا گیا ہے (گیارھویں کلاس کی کتاب کے A. 1. 3 کے حوالے سے)

مثال 37: اگر مشین کو صحیح طور پر سیٹ کیا گیا ہے، یہ %90قابل قبول اشیا بناتی ہے۔ اگر اسے غلط طورپر سیٹ کیا گیا ہے تو یہ%40قابل قبول اشیا بناتی ہے۔ پچھلا تجربہ یہ بتاتا ہے کہ %80مشین کو صحیح سیٹ کیا جاتا رہاہے۔ اگر کچھ سیٹ کرنے کے بعد، مشین 2قابل قبول اشیا بناتی ہے، اس کا احتمال معلوم کیجیے کہ مشین کو صحیح طور پر سیٹ کیا گیا ہے۔

حل: مان لیجیے A وہ واقعہ ہے جس میں مشین 2 قابل قبول اشیا بناتی ہے۔

ساتھ ہی مان لیجیے کہ  B1صحیح سیٹ ہونے کا واقعہ ہے اور B2 غلب سیٹ ہونے کا واقعہ ہے۔

باب 13   پر مبنی متفرق مشق

1۔ A اور B دو وقوعات ہیں جب کہ  P (A) ≠ 0۔(P (B|A    معلوم کیجیے، اگر

2۔ ایک جوڑے کے دو بچے ہیں ۔

(i) اس کا احتمال معلوم کیجیے کہ دونوں لڑکے ہیں، اگر یہ پہلے ہی سے معلوم ہے کہ ایک لڑکا ہے۔

(ii) اس کا احتمال معلوم کیجیے کہ دونوں لڑکیاں ہیں، اگریہ پہلے ہی سے معلوم ہے کہ بڑا بچہ لڑکی ہے۔

3۔ یہ مان لیجیے کہ %5مردوں اور %0.25عورتوں کے بال سرمئی ہیں۔ ایک سرمئی بالوں والا انسان بلا منصوبہ چنا گیا ہے۔ اس کا کیا احتمال ہے کہ یہ انسان مرد ہے؟ یہ مان لیجیے کہ مرد اور عورتوں کی تعداد برابر ہے۔

4۔ یہ مان لیجیے کہ %90 انسان دائیں ہاتھ سے کام کرتے ہیں۔ اس کا کیا احتمال ہے کہ چنے گئے 10انسانوں میں بلا منصوبہ چنے گئے 6 انسان دائیں ہاتھ سے کام کرتے ہیں؟ 

5۔ ایک برتن میں 25 گیندیں ہیں جن میں سے 10 گیندوں پر X کا نشان بنا ہوا ہے اور باقی 15 پر Y دکا نشان بنا ہوا ہے۔ برتن میں سے ایک گیند بلا منصوبہ نکالی گئی، اس کا نشان نوٹ کرکے پھر اسے برتن میں واپس ڈال دیا گیا ہے۔ اگر اسی طرح 6 گیندیں نکالی گئی ہیں، تو اس کا احتمال معلوم کیجیے کہ 

(i) تمام پر ’X‘ کا نشان ہوگا۔

(ii) دو سے زیادہ پر ’Y‘ کا نشان ہوگا۔

(iii) کم سے کم ایک گیند پر ’Y‘ کا نشان ہوگا۔

(X' ’(iv‘ نشان اور ’Y‘ نشان والی گیندوں کی تعداد براہوگی۔

6۔ ایک رکاوٹی دوڑ میں، ایک کھلاڑی کو 10 رکاوٹیں کراس کرنی ہیں۔ اس کا 5/6 احتمال ہے کہ وہ ہر رکاوٹ کو پار کرلے گااس کا کیا احتمال ہے کہ وہ دوسے کم رکاوٹوں کو گرادے گا؟

7۔ ایک پانسہ کو بار بار اچھالا گیا ہے جب تک تین چھکے حاصل نہیں ہوگئے۔ اس کا احتمال معلوم کیجیے کہ تیسرا چھکہ پانسہ کو چھٹی مرتبہ اچھالنے میں حاصل ہوا ہے۔

8۔ اگر ایک لیپ کا سال بلا منصوبہ چنا گیا ہے۔ اس کا کیا احتمال ہے کہ اس میں 53 منگل موجود ہیں۔

9۔ ایک تجربہ جتنی بار فیل ہوتا ہے اس سے دوگنی مرتبہ کامیاب ہوتا ہے۔ اس کا کیا احتمال ہے کہ اسے اگلی چھ کوششوں میں، کم سے کم 4 مرتبہ کامیابی مل جائے گی۔

10۔ ایک غیر جانب دار سکہ کو ایک آدمی کتنی باراُچھالے تاکہ کم سے کم ایک ہیڈ حاصل کرنے کا  احتمال 90فی صد سے زیادہ ہو؟

11۔ ایک کھیل میں، ایک آدمی چھ کے لیے ایک روپیہ جیتتا ہے اور کسی دوسرے عدد کے لیے ایک روپیہ کا نقصان اٹھاتا ہے جبکہ ایک غیر جانب دار پانسہ پھینکا گیا ہے۔ آدمی یہ تہیہ کرتا ہے کہ وہ پانسہ کو تین مرتبہ اچھالے گا لیکن اسی وقت کھیل کو چھوڑ دے گا جب چھہ آجائے گا۔ اس کی جیتی ہوئی /ہار ہوئی رقم کی قدر معلوم کیجیے۔

	سنگ مر مر کا رنگ  ڈبہ
کالا	سفید	لال
3	6	1	A
2	2	6	B
1	1	8	C
4	6	0	D

13۔ مان لیجیے کہ ایک مریض کو دل کا دورا پڑنے کے امکانات %40ہیں۔یہ بھی مان لیا گیاہے کہ مراقبہ (Meditation) اور یوگاکا کورس کرنے سے دل کا دورا پڑنے کا خطرہ %30کم ہو جاتا ہے اور مختلف دواؤں کے استعمال سے یہ امکان%25کم ہو جاتا ہے۔ بیک وقت مریض دونوں ممکنات میں سے ایک کو چن سکتا ہے۔ جن کا احتمال برابر ہے۔ یہ دیا ہوا ہے کہ دونوں میں سے ایک ممکنات کا استعمال بلا منصوبہ چن کر مریض کو دل کا دورہ پڑ گیا۔ اس کا کیا احتمال ہے کہ مریض نے مراقبہ (Meditation)اور یوگا کا کورس کیا ہوگا؟

14۔ اگر دوسرے درجہ کے مقطعہ کا ہر عنصر صفر یا ایک ہے، اس کا کیا احتمال ہے کہ مقطعہ کی قدر مثبت ہے؟ (یہ مان لیجیے کہ مقطعہ کے الگ اندراج آزادی سے چنے گئے ہیں، ہر ایک قدر ½ احتمال کی مانی گئی ہے۔)

15۔ ایک الیکٹرونک اسمبلی کے مان لیجیے A اور B دو ماتحت نظام ہیں۔ پچھلی جانچ کے طریقوں سے ، مان لیا گیا ہے کہ ذیل احتمالات پہلے ہی سے معلوم ہیں۔

 0.2 = (A فیل ہو جاتاہے)P 

 0.15 = (B اکیلا فیل ہو جاتاہے)P 

0.15 = (Aاور B فیل ہو جاتے ہیں)P 

ذیل احتمالات کی قدر معلوم کیجیے۔

(A) (i اکیلا فیل ہو جاتا ہے)B)   P پہلے ہی فیل ہو چکا ہے|Aفیل ہو جاتاہے) P 

16۔ بیگ I میں 3 لال اور 4 کالی گیندیں ہیں اور بیگ II میں 4 لال اور 5 کالی گیندیں ہیں۔ ایک گیند بیگ I سے بیگII میں منتقل کی گئی ہے اور پھر ایک گیند بیگ II سے نکالی گئی ہے۔ نکالی گئی گیند لال  رنگ کی پائی گئی ہے۔ اس کا احتمالات معلوم کیجیے۔ منتقل کی گئی گیند کالی ہے۔

ذیل ہر ایک میں صحیح جوابات کا انتخاب کیجیے۔

17۔ Aاور Bدو وقوعات ہیں تاکہ P (A) ≠ 0 اورP(B | A) = 1ہے، تب 

(A)  A ⊂ B  (B) B⊂A      (C)     B=Φ (C)    A=Φ

18۔ اگر (P(A|B) > P(A ہے، تب ذیل میں کون سا صحیح ہے۔

19۔ اگر A اور B دو وقوعات ہیں تاکہ (P(A) + P(B) – P(A and B) = P(A   ہو، تب