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0757CH02.tif

अध्याय 2


भिन्न एवं दशमलव


2.1 भूमिका

आपने पिछली कक्षाओं में भिन्न एवं दशमलव के बारे में अध्ययन किया है। भिन्नों के अध्ययन में हम उचित भिन्न, विषम भिन्न, मिश्रित भिन्न और भिन्नों के योग एवं व्यवकलन के बारे में चर्चा कर चुके हैं। हमने, भिन्नों की तुलना, तुल्य भिन्न, भिन्नों को संख्या रेखा पर निरूपित करना और भिन्नों को क्रमबद्ध करना, के बारे में भी अध्ययन किया है।

दशमलवों के अध्ययन में हम, उनकी तुलना, संख्या रेखा पर उनका निरूपण और उनका योग एवं व्यवकलन, के बारे में चर्चा कर चुके हैं।

अब हम भिन्नों एवं दशमलवों के गुणन एवं भाग के बारे में अध्ययन करेंगे।


2.2 भिन्नों के बारे में आपने कितनी अच्छी तरह अध्ययन किया है?

उचित भिन्न वह भिन्न होती है जो संपूर्ण के एक भाग को निरूपित करती है। क्या 2838.pngएक उचित भिन्न है? इसके अंश अथवा हर में कौन बड़ा है?

विषम भिन्न, संपूर्ण एवं उचित भिन्न का संयोजन होता है। क्या 2845.pngएक विषम भिन्न है? यहाँ अंश अथवा हर में कौन बड़ा है?

उदाहरण 1

  2862.png के पाँच तुल्य भिन्न लिखिए।

हल

2872.png के तुल्य भिन्नों में से एक 2878.png है।

शेष चार तुल्य भिन्न आप स्वयं ज्ञात कीजिए।

उदाहरण 2

रमेश ने एक प्रश्नावली का 2886.pngभाग हल किया जबकि सीमा ने उस प्रश्नावली का 2895.png भाग हल किया। ज्ञात कीजिए कि दोनों में से किसने कम भाग हल किया।

हल

यह ज्ञात करने के लिए कि किसने प्रश्नावली का कम भाग हल किया, आइए 2902.png और 2906.png की तुलना करते हैं।

इनको समान भिन्नों मे परिवर्तित करने पर हम पाते हैं :

2910.png , 2917.png Page2.tif

क्योंकि 10 < 28 , इसलिए 2926.png.

अतः 2933.png .

रमेश ने सीमा की तुलना में कम भाग हल किया।


उदाहरण 3

समीरा ने 2941.png kg सेब और 2946.png kg संतरे खरीदे। समीराद्वारा खरीदे गए फलों का कुल भार कितना है?

हल

फलों का कुल भार 2957.png kg Page2i.tif   

= 2962.png kg 2967.png kg

= 2973.png kg 2978.png kg है।



उदाहरण 4  

सुमन प्रतिदिन 2983.png घंटे पढ़ती है। वह अपने इस समय में से 2992.png घंटे विज्ञान और गणित में लगा देती है। दूसरे विषयों के लिए वह कितना समय लगाती है?

हल

सुमन के अध्ययन का कुल समय = 3000.png घंटे = 3005.png घंटे

सुमन द्वारा विज्ञान एवं गणित में लगाया समय = 3012.png = 3016.png घंटे

अतः उसके द्वारा दूसरे विषयों में लगाया गया समय = 3023.png घंटे

= 3031.pngघंटे

= 3037.pngघंटे = 3042.png घंटे = 3052.png घंटे


प्रश्नावली 2.1


1. हल कीजिएः

(i) 3059.png (ii) 3066.png (iii) 3077.png (iv) 3088.png 

(v) 3097.png (vi) 3105.png (vii) 3112.png 


2. निम्नलिखित को अवरोही क्रम में रखिए :

(i) 3120.png (ii) 3131.png .

3. एक ‘‘जादुई वर्ग’’ में प्रत्येक पंक्ति, प्रत्येक स्तंभ एवं प्रत्येक विकर्ण की संख्याओं का योग समान होता है। क्या यह एक जादुई वर्ग है?

3142.png 3152.png 3159.png(प्रथम पंक्ति के अनुदिश 6678.png).

11

4. एक आयताकार कागज़ की लंबाई 3166.png cm और चौड़ाई 3175.png cm है। कागज़ का परिमाप ज्ञात कीजिए।

5. दी हुई आकृति में, (i) ∆ ABE (ii) आयत BCDE, का परिमाप ज्ञात कीजिए। किसका परिमाप ज़्यादा है?

6. सलील एक तस्वीर को किसी फ्रेम (चौखट) में जड़ना चाहता है। तस्वीर 3187.png cm चौड़ी है। चौखट में उचित रूप से जड़ने के लिए तस्वीर की चौड़ाई 3199.png cm से ज़्यादा नहीं हो सकती। तस्वीर की कितनी काट-छाँट की जानी चाहिए।

7. रीतू ने एक सेब का 3210.png भाग खाया और शेष सेब उसके भाई सोमू ने खाया। सेब का कितना भाग सोमू ने खाया? किसका हिस्स ज़्यादा था? कितना ज़्यादा था?

8. माइकल ने एक तस्वीर में रंग भरने का कार्य 3218.png घंटे में समाप्त किया। वैभव ने उसी तस्वीर में रंग भरने का कार्य 3225.png घंटे में समाप्त किया। किसने ज़्यादा समय कार्य किया? यह समय कितना ज़्यादा था?


2.3 भिन्नों का गुणन

आप जानते हैं कि एक आयत का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात किया जाता है। यह लंबाई × चौड़ाई के बराबर होता है। यदि किसी आयत की लंबाई एवं चौड़ाई क्रमशः 7 cm और 4 cm है तो इसका क्षेत्रफल क्या होगा? इसका क्षेत्रफल 7 × 4 = 28 cm2 होगा।

यदि आयत की लंबाई एवं चौड़ाई क्रमशः 3234.png cm एवं 3245.png cm है तो इसका क्षेत्रफल क्या होगा? आप कहेंगे कि यह 3257.png × 3261.png = 3265.png × 3277.png cm2 है। संख्याएँ 3289.png और 3294.png भिन्न हैं। दिए हुए आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए यह ज्ञात करना आवश्यक है कि भिन्नों को गुणा कैसे किया जाए। हम अब इसे सीखेंगे।


=

2.3.1 एक भिन्न का पूर्ण संख्या से गुणन

बाईं तरफ़ (आकृति 2.1) में दी हुई तस्वीर को देखिए। प्रत्येक छायांकित (shaded) भाग वृत्त का 3300.png भाग है। दो छायांकित भाग मिलकर वृत्त के कितने भाग को निरूपित करेंगे? ये 3305.png = 3310.png को निरूपित करेंगे।

दो छायांकित भागों को संयोजित करने पर हम आकृति 2.2 को प्राप्त करते हैं। आकृति 2.2 का छायांकित भाग वृत्त के किस भाग को निरूपित करेगा? यह वृत्त के 3317.png भाग को निरूपित करता है।

1631.png

आकृति 2.1


इस प्रकार हम कह सकते हैं कि आकृति 2.1 के छायांकित टुकड़े मिलकर, आकृति 2.2 के छायांकित भाग के समान हैं अर्थात् हमें आकृति 2.3 प्राप्त होती है।
1608.png
आकृति 2.3

अथवा 3326.png = 3330.png

क्या अब आप बता सकते हैं कि आकृति 2.4 किसे निरूपित करेगी?



1622.png
आकृति 2.4


और आकृति 2.5 किसे निरूपित करेगी?

1681.png
आकृति 2.5

आइए अब हम 3334.png ज्ञात करते हैं।

3344.png 

हम यह भी पाते हैं, 3354.png

इसलिए 3364.png

इसी प्रकार 3377.png

क्या आप बता सकते हैं 3390.png

अभी तक हमने जितनी भिन्नों की चर्चा की है अर्थात् 3402.png और 3410.png वे सभी उचित भिन्न हैं।

विषम भिन्नों के लिए भी हमारे पास हैः

3420.png = 3427.png = 3434.png 

3442.png = ? 3452.png = ?

प्रयास कीजिए :

अतः किसी पूर्ण संख्या को किसी उचित अथवा विषम भिन्न से गुणा करने के लिए हम पूर्ण संख्या को भिन्न के अंश के साथ गुणा करते हैं और भिन्न के हर को अपरिवर्तित य समान रखा जाता है।

प्रयास कीजिए

1. ज्ञात कीजिएः (a) 3459.png (b) 3467.png (c) 3477.png (d) 3487.png

यदि गुणनफल एक विषम भिन्न है तो इसे मिश्रित भिन्न के रूप में व्यक्त कीजिए।

2. 3496.png को सचित्र निरूपित कीजिए।

प्रयास कीजिए

ज्ञात कीजिए (i) 6686.png

(ii) 6694.png 

किसी मिश्रित भिन्न को एक पूर्ण संख्या से गुणा करने के लिए सर्वप्रथम मिश्रित भिन्न को विषम भिन्न में परिवर्तित कीजिए और तब गुणा कीजिए।

इसीलिए 3507.png = 3514.png = 3521.png = 3528.png

इसी प्रकार, 3536.png = 3546.png = ?

1720.png

आकृति 2.6

भिन्न, प्रचालक ‘का’ के रूप में

आकृति 2.6 को देखिए। दो वर्ग पूरी तरह से समरूप हैं।

प्रत्येक छायांकित टुकड़ा 1 के 3554.png को निरूपित करता है।

इसलिए दोनों छायांकित टुकड़े मिलकर 2 के 3559.png को निरूपित करते हैं।

2 छायांकित 3569.png भागों को संयोजित कीजिए। यह 1 को निरूपित करता है।

इस प्रकार हम कहते हैं कि 2 का 3575.png एक भाग है। हम इसे 3582.png × 2 = 1 के रूप में भी प्राप्त कर सकते हैं।

अतः 2 का 3587.png = 3593.png × 2 = 1

आकृति 2.7 के समरूप वर्गों को देखिए

प्रत्येक छायांकित टुकड़ा एक के 3597.png भाग को निरूपित करता है।

इसलिए तीन छायांकित टुकड़े मिलकर 3 के 3602.png भाग को निरूपित करते हैं।प्रयास कीजिए

1781.png

आकृति 2.7

तीन छायांकित भागों को संयोजित कीजिए।

यह 13606.png अर्थात् 3611.png को निरूपित करता है।

इसलिए 3 का 3622.png, 3628.png है। और 3632.png × 3 = 3636.png

अतः 3 का 3642.png = 3648.png × 3 = 3653.png


इस प्रकार हम देखते हैं कि ‘का’ गुणन को निरूपित करता है।

फरीदा के पास 20 कँचे हैं। रेशमा के पास फरीदा के कँचों का 3658.png है। रेशमा के पास कितने कँचे हैं? जैसा कि हम जानते हैं, ‘का’ गुणन को दर्शाता हैं। इसलिए रेशमा के पास 3665.png = 4 कँचे हैं।

इसी प्रकार हम पाते हैं कि 16 का 3674.png, 3681.png = 3689.png = 8 है।


प्रयास कीजिए :Exercise5R.tif

क्या आप बता सकते हैं कि (i) 10 का 3698.png (ii) 16 का 3702.png (iii) 25 का 3709.png, क्या है?


उदाहरण 5

40 विद्यार्थियों की एक कक्षा में कुल विद्यार्थियों की संख्या का 3719.png अंग्रेज़ी पढ़ना पसंद करते है, कुल संख्या का 3730.png गणित पढ़ना पसंद करते हैं और शेष विद्यार्थी विज्ञान पढ़ना पसंद करते हैं।

(i) कितने विद्यार्थी अंग्रेज़ी पढ़ना पसंद करते हैं?

(ii) कितने विद्यार्थी गणित पढ़ना पसंद करते हैं?

(iii) कुल विद्यार्थियों की संख्या का कितना भाग (fraction) विज्ञान पढ़ना पसंद करता है?

हल

कक्षा के कुल विद्यार्थियों की संख्या = 40.

(i) इनमें से कुल संख्या का 3735.png अंग्रेज़ी पढ़ना पसंद करते हैं।

अतः अंग्रेज़ी पढ़ना पसंद करने वाले विद्यार्थियों की संख्या 40 का 3740.png = 3751.png = 8 है।

(ii) स्वयं प्रयास कीजिए।

(iii) अंग्रेज़ी एवं गणित पसंद करने वाले विद्यार्थियों की संख्या = 8 + 16 = 24 है। अतः विज्ञान पसंद करने वाले विद्यार्थियों की संख्या = 40 – 24 = 16 है।

अतः वांछित भिन्न 3759.png है।


प्रश्नावली 2.2

1. (a) से (d) तक के रेखाचित्रों में निम्नलिखित को कौन दर्शाता है :

(i) 3764.png (ii) 3771.png (iii) 3778.png (iv) 3788.png 

(a) 3795.png (b) 3805.png 

(c) 3817.png (d) 3829.png 

2. (a) से (c) तक कुछ चित्र दिए हुए हैं। बताइए उनमें से कौन निम्नलिखित को दर्शाता है ः

(i) 3842.png (ii) 3851.png (iii) 3859.png

1853.png

1863.png

1872.png

3. गुणा करके न्यूनतम रूप में लिखिए और मिश्रित भिन्न में व्यक्त कीजिए :

(i) 3870.png (ii) 3877.png (iii) 3884.png (iv) 3894.png (v) 3901.png 

(vi) 3908.png (vii) 3918.png (viii) 3928.png (ix) 3937.png (x) 3946.png 

4. छायांकित कीजिए :

(i) बक्सा (a) के वृत्तों का 3953.png भाग (ii) बक्सा (b) के त्रिभुजों का3957.png भाग

(iii) बक्सा (c) के वर्गों का 3964.png भाग



12


5. ज्ञात कीजिए :Pic%2001.tif

(a) (i) 24 का 3968.png (ii) 46 का 3974.png (b) (i) 18 का 3978.png (ii) 27 का 3983.png

(c) (i) 16 का 3988.png (ii) 36 का 3996.png (d) (i) 20 का 4001.png (ii) 35 का 4010.png

6. गुणा कीजिए और मिश्रित भिन्न के रूप में व्यक्त कीजिए ः

(a) 4015.png (b) 4027.png (c) 4035.png

(d) 4044.png (e) 4051.png (f) 4061.png

7. ज्ञात कीजिए :

(a) (i) 4070.png का 4079.png (ii) 4084.png का 4092.png (b) (i) 4097.png का 4105.png (ii) 4112.png का 4119.png


8. विद्या और प्रताप पिकनिक पर गए। उनकी माँ ने उन्हें 5 लीटर पानी वाली एक बोतल दी। विद्या ने कुल पानी का 4124.png उपयोग किया। शेष पानी प्रताप ने पिया।

(i) विद्या ने कितना पानी पिया?

(ii) पानी की कुल मात्रा का कितना भिन्न (fraction) प्रताप ने पिया?



2.3.2 भिन्न का भिन्न से गुणन

फरीदा के पास 9 cm लंबी एक रिबन की पट्टी थी। उसने इस पट्टी को चार समान भागों में काटा। उसने यह किस प्रकार किया? उसने पट्टी को दो बार मोड़ा। प्रत्येक भाग कुल लंबाई के किस भिन्न को निरूपित करेगा। प्रत्येक भाग, पट्टी का 4129.png होगा। उसने इनमें से एक भाग लिया और इस भाग को एक बार मोड़ते हुए इसे दो बराबर भागों में बाँट दिया। इन दो टुकड़ों में से एक टुकड़ा क्या निरूपित करेगा? यह 4141.png का 4145.png अर्थात् 4149.png × 4154.png को निरूपित करेगा।

आइए देखते हैं कि दो भिन्नों का गुणनफल जैसे 4159.png × 4164.png को कैसे ज्ञात किया जाए।

इसे ज्ञात करने के लिए आइए सर्वप्रथम हम 4169.png × 4173.png जैसा गुणनफल ज्ञात करना सीखते हैं।

13

(a) किसी संपूर्ण भाग का 4180.png हम कैसे ज्ञात करते हैं? हम संपूर्ण को तीन समान भागों में बाँटते है। तीनों में से प्रत्येक भाग संपूर्ण के 4184.png भाग को निरूपित करता है। इन तीनों में से एक हिस्सा लीजिए और इसे छायांकित कर दीजिए जैसा कि आकृति 2.8 में दर्शाया गया है।

(b) आप इस छायांकित भाग का 4189.png भाग कैसे ज्ञात करोगे? इस छायांकित एक तिहाई (4195.png) भाग को 2 समान भागों में बाँटिए। इन दोनों में से प्रत्येक भाग 4199.png के 4203.png को निरूपित करता है अर्थात् 4208.png × 4214.png को निरूपित करता है (आकृति 2.9)।

इन दो भागों में से एक को बाहर निकाल लीजिए और इसे ‘A’ नाम दे दीजिए।
‘A’ 4219.png × 4224.png को निरूपित करता है।

(c) ‘A’ संपूर्ण का कितना भाग है? यह जानने के लिए शेष 4229.png भागों में से प्रत्येक को 2 समान भागों में बाँटिए। अब आपके पास एेसे कितने समान भाग हैं? एेसे 6 समान भाग हैं। ‘A’ इनमें से एक भाग है।

अतः ‘A’ संपूर्ण का 4234.png भाग है। इस प्रकार 4243.png × 4247.png = 4253.png

हमने यह कैसे निर्णय लिया कि ‘A’ संपूर्ण का 4257.png भाग है? संपूर्ण को 2 × 3 = 6 भागों में बाँटा गया और 1 भाग इसमें से बाहर निकाला गया।

अतः 4261.png × 4266.png = 4271.png = 4276.png

अथवा 4284.png × 4288.png = 4293.png

4297.png×4302.png का मान भी इसी प्रकार ज्ञात किया जा सकता है। संपूर्ण को 2 समान भागों में बाँटिए और तब इनमें से किसी एक भाग को 3 समान भागों में बाँटिए। इनमें से एक भाग को लीजिए। यह 4309.png × 4314.png अर्थात् 4318.png भाग को निरूपित करेगा।

इसलिए जैसा कि पहले चर्चा की जा चुकी है 4323.png× 4328.png = 4333.png = 4338.png

अतः 4346.png × 4350.png = 4354.png× 4358.png= 4364.png

4368.png×4372.png और 4378.png × 4385.png; 4390.png× 4397.png और 4401.png× 4405.png ज्ञात कीजिए और जाँच कीजिए कि क्या आप

4409.png×4415.png = 4423.png × 4429.png; 4435.png× 4440.png = 4445.png× 4451.png पाते हैं?



प्रयास कीजिए

निम्नलिखित बक्सों को भरिए :

(i) 4456.png × 4460.png = 4468.png = 4476.png (ii) 4478.png× 4482.png = 4489.png = 4491.png

(iii) 4493.png × 4498.png = 4502.png = 4504.png (iv) 4506.png × 4511.png = 4516.png = 4518.png 


उदाहरण 6

सुशांत एक घंटे में किसी पुस्तक का 4520.png भाग पढ़ता है। वह 4531.png घंटों में पुस्तक का कितना भाग पढ़ेगा?

हल 

सुशांत द्वारा 1 घंटे में पुस्तक का पढ़ा हुआ भाग = 4539.png.

इसलिए 4544.png घंटे में उसके द्वारा पुस्तक का पढ़ा हुआ भाग = 4548.png× 4553.png

4558.png 

आइए अब हम 4570.png×4574.png ज्ञात करते हैं। हम जानते हैं कि 4581.png = 4586.png× 5 .

इसलिए, 4591.png× 4596.png = 4602.png× 4606.png× 5 = 4610.png

साथ ही, 4615.png = 4623.png। अतः 4630.png× 4637.png = 4641.png = 4645.png.

Page2.tif

इसे नीचे खींची गई आकृतियों में भी दर्शाया गया है। पाँच समान आकारों (आकृति 2.10) में से प्रत्येक पाँच सर्वांगसम वृत्तों के भाग हैं। इस प्रकार का एक आकार लीजिए। इस आकार को प्राप्त करने के लिए सर्वप्रथम हम वृत्त को 3 समान भागों में बाँटते हैं। आगे भी इन तीन भागों में से प्रत्येक को 2 समान भागों में बाँटते हैं। इसका एक भाग वह आकार है जिसकी हमने चर्चा की है। यह क्या निरूपित करेगा? यह 4650.png × 4656.png = 4661.png को निरूपित करेगा। इस प्रकार के भाग मिलाकर कुल 5 × 4666.png = 4670.png होंगे।


2092.pngआकृति 2.10

इसी प्रकार, 4675.png × 4685.png = 4689.png= 4698.png.

इस प्रकार हम 4705.png× 4709.png को 4719.png × 4724.png = 4730.png = 4739.png के रूप में ज्ञात कर सकते हैं।



2115.png

ज्ञात कीजिएः 6720.png× 6727.png ; 6731.png×


प्रयास कीजिए

ज्ञात कीजिएः 6738.png× 6742.png; 6749.png× 6759.png

इस प्रकार हम पाते हैं कि हम दो भिन्नों का गुणन के रूप में करते हैं।

गुणनफल का मान

आपने देखा है कि दो पूर्ण संख्याओं का गुणनफल उन दोनों संख्याओं में से प्रत्येक से बड़ा होता है। उदाहरणार्थ 3 × 4 = 12 और 12 > 4, 12 > 3.

जब हम दो भिन्नों को गुणा करते हैं तो गुणनफल के मान को दिए गए भिन्नाें से तुलना कीजिए?

आइए सर्वप्रथम हम दो उचित भिन्नों के गुणनफल की चर्चा करते हैं। हम पाते हैं,

14

आप पाते हैं कि जब दो उचित भिन्नों को गुणा किया जाता है तो गुणनफल दोनों भिन्नों से कम होता है। अर्थात् दो उचित भिन्नों के गुणनफल का मान दोनों भिन्नों में से प्रत्येक से छोटा होता है। पाँच और उदाहरण बनाकर इसकी जाँच कीजिए।

आइए अब हम दो विषम भिन्नों को गुणा करते हैं।

15

हम पाते हैं कि दो विषम भिन्नों का गुणनफल उनमें से प्रत्येक भिन्न से बड़ा है। अथवा दो विषम भिन्नों के गुणनफल का मान उनमें से प्रत्येक भिन्न से अधिक है।

एेसे पाँच और उदाहरणों को बनाइए और उपर्युक्त कथन को सत्यापित कीजिए।

आइए अब हम एक उचित और एक विषम भिन्न को गुणा करते हैं।

मान लीजिए 4853.png और 4863.png को।

हम पाते हैं ः 4874.png. यहाँ, 4884.png और 4894.png

प्राप्त गुणनफल, गुणन में उपयोग किए गए विषम भिन्न से कम है और उचित भिन्न से ज़्यादा है।

4912.png× 4921.png, 4928.png × 4936.png के लिए भी गुणनफल की जाँच कीजिए।


प्रश्नावली 2.3

1. ज्ञात कीजिए :

(i) (a) 4941.png का 4946.png (b) 4951.png का 4955.png (c) 4960.png का 4968.png

(ii) (a) 4973.png का 4984.png (b) 4988.png का 4992.png (c) 4997.png का 5006.png

2. गुणा कीजिए और न्यूनतम रूप में बदलिए (यदि संभव है) :

(i) 5011.png (ii) 5019.png (iii) 5026.png (iv) 5033.png

(v) 5042.png (vi) 5051.png (vii) 5061.png

3. निम्नलिखित भिन्नों को गुणा कीजिएः

(i) 5068.png (ii) 5076.png (iii) 5084.png (iv) 5093.png

(v) 5102.png (vi) 5110.png (vii) 5117.png

4. कौन बड़ा है :

(i) 5125.png का 5133.png अथवा 5138.png का 5149.png (ii) 5153.png का 5160.png अथवा 5165.png का 5175.png

5. सैली अपने बगीचे में चार छोटे पौधे एक पंक्ति में लगाती है। दो क्रमागत छोटे पौधों के बीच की दूरी 5180.png m है। प्रथम एवं अंतिम पौधे के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।


6. लिपिका एक पुस्तक को प्रतिदिन 5185.png घंटे पढ़ती है। वह संपूर्ण पुस्तक को 6 दिनों में पढ़ती है। उस पुस्तक को पढ़ने में उसने कुल कितने घंटे लगाए?

7. एक कार 1 लिटर पैट्रोल में 16 किमी दौड़ती है। 5194.png लिटर पैट्रोल में यह कार कुल कितनी दूरी तय करेगी?

8. (a) (i) बक्सा 5201.png , में संख्या लिखिए, ताकि 5203.png।

(ii) बक्सा 5211.png , में प्राप्त संख्या का न्यूनतम रूप _____ है।

(b) (i) बक्सा 5213.png , में संख्या लिखिए, ताकि 5215.png ।

(ii) बक्सा 5223.png , में प्राप्त संख्या का न्यूनतम रूप _____ है।




2.4 भिन्नों की भाग

जॉन के पास 6 cm लंबी कागज़ की एक पट्टी है। वह इस पट्टी को 2 cm लंबी छोटी पट्टियों में काटता है। आप जानते हैं कि वह 6 ÷ 2 =3 पट्टियाँ प्राप्त करेगा। जॉन 6 cm लंबाई वाली एक दूसरी पट्टी को 5225.png cm लंबाई वाली छोटी पट्टियों में काटता है। अब उसको कितनी छोटी पट्टियाँ प्राप्त होंगी? वह 6 ÷ 5237.png पट्टियाँ प्राप्त करेगा।

एक 5244.png cm लंबाई वाली पट्टी को 5253.png cm लंबाई वाली छोटी पट्टियों में काटा जा सकता है जिससे हमें 5260.png÷5266.png टुकड़े प्राप्त होंगे।

अतः, हमें एक पूर्ण संख्या को किसी भिन्न से अथवा एक भिन्न को दूसरी भिन्न से भाग देने की आवश्यकता है। आइए हम देखते हैं कि इसे कैसे करना है।


2.4.1 भिन्न से पूर्ण संख्या की भाग

आइए 1÷5271.png ज्ञात करते हैं।

हम किसी संपूर्ण को कुछ बराबर भागों में इस प्रकार बाँटते हैं ताकि प्रत्येक भाग संपूर्ण का आधा है। एेसे आधे (5277.png) भागों की संख्या 1÷5281.png होगी। आकृति 2.11 को देखिए। आपको कितने आधे भाग दिखाई देते हैं? एेसे दो आधे भाग हैं।

इसलिए 1 ÷ 5285.png = 2. साथ ही 5289.png = 1 × 2 = 2 अतः 1 ÷ 5296.png = 1 × 5302.png

इसी प्रकार, 3 ÷5314.png = 3 संपूर्णों में से प्रत्येक को समान 5318.pngभागों में बाँटने पर, 5323.pngभागों की संख्या = 12 (आकृति 2.12 से)

आकृति 2.12


2205.png2220.png2217.png


आकृति 2.11

 

 

यह भी देखिए कि 5328.png = 3 × 4 = 12. इस प्रकार, 5336.png = 12.

इसी प्रकार 3 ÷ 5341.pngऔर 5346.png ज्ञात कीजिए।


भिन्न का व्युत्क्रम

5354.png के अंश एवं हर को परस्पर बदलने पर अथवा 5358.png का प्रतिलोम करने पर संख्या 5362.png प्राप्त की जा सकती है। इसी प्रकार 5371.pngका प्रतिलेाम करने पर 5384.png प्राप्त होता है।

आइए सर्वप्रथम हम एेसी संख्याओं के प्रतिलोम के बारे में चर्चा करते हैं।

निम्नलिखित गुणनफलों को देखिए और रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए :

16

एेसे पाँच और युग्मों को गुणा कीजिए।

एेसी शून्येतर संख्याएँ जिनका परस्पर गुणनफल 1 है, एक दूसरे के व्युत्क्रम कहलाती हैं। इस प्रकार 5457.pngका व्युत्क्रम 5465.png है और 5475.png का व्युत्क्रम 5479.png है। 5485.png, 5496.png के व्युत्क्रम क्या हैे?

आप देखेंगे कि 5501.pngका प्रतिलोम करने पर इसका व्युत्क्रम प्राप्त होता है। आप इस प्रकार 5506.png प्राप्त करते हैं।



सोचिए, चर्चा कीजिए एवं लिखिए

Page7.tif

(i) क्या एक उचित भिन्न का व्युत्क्रम भी उचित भिन्न होगी?

(ii) क्या एक विषम भिन्न का व्युत्क्रम भी एक विषम भिन्न होगा?

इसलिए हम कह सकते हैं कि

1 ÷5511.png = 5516.png = 1 × (5526.png का व्युत्क्रम)

3 ÷5530.png = 5534.png = 3 × (5540.png का व्युत्क्रम)

3 ÷5544.png = ------ = ----------------------.

अतः, 2 ÷ 5548.png = 2 × (5553.pngका व्युत्क्रम) = 5558.png.

5 ÷5566.png = 5 × ------------------- = 5 × -------------

इस प्रकार किसी पूर्ण संख्या को एक भिन्न से भाग करने के लिए उस पूर्ण संख्या को उस भिन्न के व्युत्क्रम से गुणा कर दीजिए।


 

ज्ञात कीजिए : (i) 7 ÷ 5571.png (ii) 6 ÷ 5579.png (iii) 2 ÷5586.png

किसी पूर्ण संख्या को एक मिश्रित भिन्न से भाग करते समय, सर्वप्रथम मिश्रित भिन्न को विषम भिन्न में परिवर्तित कीजिए और तब इसको हल कीजिए।


प्रयास कीजिए

TryThese2L.tif

इस प्रकार 4 ÷ 5593.png = 4 ÷5601.png = ? साथ ही 5 ÷ 35610.png = 5 ÷ 5620.png = ?


17



2.4.2 पूर्ण संख्या से भिन्न की भाग

5631.png÷ 3 का मान क्या होगा?

पूर्व प्रेक्षणों के आधार पर हम पाते हैं : 5636.png÷ 3 = 5641.png = 5654.png× 5661.png = 5666.png = 5675.png

अतः, 5679.png ÷ 7 = 5683.png× 5690.png = ? 5694.png÷ 6 , 5702.png ÷ 8 के मान क्या हैं?

मिश्रित भिन्नों को पूर्ण संख्या से भाग करते समय मिश्रित भिन्न को विषम भिन्न में परिवर्तित कीजिए। अर्थात्

5707.png = 5718.png = ------ ; 5730.png = ------ = ------ 5738.png = ------ = ----

2.4.3 एक भिन्न की दूसरी भिन्न से भाग

अब हम 5745.png ÷5749.png ज्ञात कर सकते हैं।

5757.png ÷5761.png = 5767.png× (5771.png का व्युत्क्रम) = 5775.png× 5780.png = 5786.png

इसी प्रकार, 5791.png × (5796.png का व्युत्क्रम) = ? और 5801.png ÷ 5806.png = ?


प्रयास कीजिए

TryThese2L.tif

ज्ञात कीजिएः (i) 5811.png (ii) 5818.png (iii) 5826.png (iv) 5836.png



प्रश्नावली 2.4

1. ज्ञात कीजिएः

(i) 5843.png (ii) 5854.png (iii) 5862.png (iv) 5869.png 

(v) 5877.png (vi) 5885.png

2. निम्नलिखित भिन्नों में से प्रत्येक का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए। व्युत्क्रमों को उचित भिन्न, विषम भिन्न एवं पूर्ण संख्या के रूप में वर्गीकृत कीजिए।

(i) 5893.png (ii) 5898.png (iii) 5902.png (iv) 5910.png 

(v) 5914.png (vi) 5922.png (vii) 5933.png

3. ज्ञात कीजिएः

(i) 5942.png (ii) 5949.png (iii) 5958.png (iv) 5967.png 

(v) 5978.png (vi) 5986.png

4. ज्ञात कीजिएः

(i) 5993.png (ii) 6000.png (iii) 6009.png (iv) 6016.png (v) 6026.png

(vi) 6038.png (vii) 6045.png (viii) 6054.png 


2.5 दशमलव संख्याओं के बारे में आप कितनी अच्छी तरह पढ़ चुके हैं

आपने पिछली कक्षाओं में दशमलव संख्याओं के बारे में अध्ययन किया है। आइए यहाँ हम संक्षिप्त में इनका स्मरण करते हैं। निम्नलिखित सारणी को देखिए और रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए :

18


उपर्युक्त सारणी में आपने एेसी दशमलव संख्याएँ लिखी हैं जिनका प्रसारित रूप या स्थानीय मान दिया हुआ था। आप विलोम भी कर सकते हैं। अर्थात् यदि आपको संख्या दी हुई है तो आप इसका प्रसारित रूप लिख सकते हैं। उदाहरणतः

19

जॉन के पास ₹ 15.50 हैं और सलमा के पास ₹ 15.75 हैं। किसके पास अधिक धन है? इसे ज्ञात करने के लिए हमें दशमलव संख्याआें 15.50 एवं 15.75 की तुलना करने की आवश्यकता है। इसके लिए हम सर्वप्रथम दशमलव बिंदु के सबसे बाईं तरफ़ के अंक से शुरू करते हुए बाईं तरफ के अंकों की तुलना करते हैं। यहाँ बिंदु के बाईं तरफ़ के दोनों अंक 1 और 5 दोनों संख्याओं में एक जैसे हैं। इसलिए हम दशांश स्थान से शुरू करते हुए दशमलव बिंदु के दाईं तरफ़ के अंकों की तुलना करते हैं। हम पाते हैं कि 5 < 7, इस प्रकार हम कहते हैं कि 15.50 < 15.75. अतः सलमा के पास जॉन से अधिक धन है।

यदि दशांश स्थान के अंक भी एक जैसे हैं तो शतांश स्थान के अंकों की तुलना कीजिए और इसी प्रकार आगे कीजिए।

अब तुरंत 35.63 और 35.67; 20.1 और 20.01; 19.36 और 29.36 की तुलना कीजिए।

धन, लंबाई और भार की निम्न इकाई को उच्च इकाई में परिवर्तित करते समय हमें दशमलव की आवश्यकता होती है। उदाहरणतः 3 पैसे = ₹ 6108.png = ₹ 0.03,

5 g = 6121.png kg = 0.005 kg , 7 cm = 6133.png m = 0.07 m

75 पैसे = ₹ ______, 250 g = _____ kg, 85 cm = _____ m, लिखिए

हम यह भी जानते हैं कि दशमलवों को कैसे जोड़ा और घटाया जाता है। इस प्रकार 21.36 + 37.35 है


6138.png

0.19 + 2.3 का मान क्या है? 29.35 − 4.56 का अंतर है

6145.png

39.87 − 21.98 का मान बताइए।


प्रश्नावली 2.5

1. कौन बड़ा है?

(i) 0.5 अथवा 0.05 (ii) 0.7 अथवा 0.5 (iii) 7 अथवा 0.7

(iv) 1.37 अथवा 1.49 (v) 2.03 अथवा 2.30 (vi) 0.8 अथवा 0.88.

2. दशमलव का उपयोग करते हुए निम्नलिखित को रुपये के रूप में व्यक्त कीजिए :

(i) 7 पैसे (ii) 7 रुपये 7 पैसे (iii) 77 रुपये 77 पैसे

(iv) 50 पैसे (v) 235 पैसे

3. (i) 5 cm को m एवं km में व्यक्त कीजिए।

(ii) 35 mm को cm, m एवं km में व्यक्त कीजिए।

4. निम्नलिखित को kg में व्यक्त कीजिए :

(i) 200 gm (ii) 3470 gm (iii) 4 kg 8 g

5. निम्नलिखित दशमलव संख्याओं को विस्तारित रूप में लिखिए :

(i) 20.03 (ii) 2.03 (iii) 200.03 (iv) 2.034

6. निम्नलिखित दशमलव संख्याओं में 2 का स्थानीय मान लिखिए :

(i) 2.56 (ii) 21.37 (iii) 10.25 (iv) 9.42 (v) 63.352.


2464.png

7. दिनेश स्थान A से स्थान B तक गया और वहाँ से स्थान C तक गया। A से B की दूरी 7.5 km है और B से C की दूरी 12.7 km है। अयूब स्थान A से स्थान D तक गया और वहाँ से वह स्थान C को गया। A से D की दूरी 9.3 km है और D से C की दूरी 11.8 km है। किसने ज़्यादा दूरी तय की और वह दूरी कितनी अधिक थी?

8. श्यामा ने 5 kg 300 g सेब और 3 kg 250 g आम खरीदे। सरला ने 4 kg 800 g संतरे और 4 kg 150 g केले खरीदे। किसने अधिक फल खरीदे?

9. 28 km, 42.6 km से कितना कम है?


2.6 दशमलव संख्याओं का गुणन

रेशमा ने ₹ 8.50 प्रति kg की दर से 1.5 kg सब्जी खरीदी। उसे कितने धन का भुगतान करना चाहिए? निश्चित रूप से यह ₹ 8.50 × 1.50 होगा। 8.5 और 1.5 दोनों ही दशमलव संख्याएँ हैं। इस प्रकार हमें एक एेसी परिस्थिति मिलती है जहाँ हमें यह ज्ञात करने की आवश्यकता है कि दो दशमलवों को कैसे गुणा किया जाता है। आइए अब दो Page21.tif

दशमलव संख्याओं के गुणन को सीखते हैं। सर्वप्रथम हम 0.1 × 0.1 ज्ञात करते हैं।

अब 0.1 = 6155.png, इसलिए 0.1 × 0.1 = 6165.png = 6173.png = 6184.png = 0.01.

2443.png

आकृति 2.13

Pic2.tif

आइए इसका सचित्र निरूपण देखते हैं। ( आकृति 2.13)

भिन्न 6192.png, 10 समान भागों में से एक को निरूपित करती है।

चित्र में छायांकित भाग 6196.png को निरूपित करता है।

हम जानते हैं कि

6200.png का अर्थ है 6204.png का 6211.png. इसलिए इस 6216.png वें भाग को 10 बराबर भागों में बाँटिए और इनमें से एक भाग को लीजिए।

इस प्रकार हम पाते हैं (आकृति 2.14) कि

6220.png 

आकृति 2.14


6231.png वें भाग के 10 भागों में एक भाग बिंदु द्वारा चिह्नित वर्ग है। अर्थात् यह 6236.png अथवा 0.1 × 0.1 को निरूपित करता है।

क्या बिंदु वर्ग को किसी दूसरी विधि से निरूपित किया जा सकता है?

आप आकृति 2.14 में कितने छोटे वर्ग पाते हैं।

इसमें 100 छोटे वर्ग हैं। इस प्रकार बिंदु द्वारा चिह्नित वर्ग 100 में से एक को निरूपित करता है अर्थात् 0.01 को निरूपित करता है। अतः 0.1 × 0.1 = 0.01.

ध्यान दीजिए 0.1 गुणनफल में दो बार सम्मिलित है। 0.1 में दशमलव बिंदु के दाईं तरफ़ एक अंक है। 0.01 में दशमलव बिंदु के दाईं तरफ़ दो (अर्थात् 1 + 1) अंक हैं।

2514.png

आकृति 2.15

आइए अब हम 0.2 × 0.3 ज्ञात करते हैं।

हम पाते हैं, 0.2 × 0.3 = 6242.png

जैसे हमने 6250.png के लिए किया है, वैसे ही आइए हम वर्ग को 10 समान भागों में बाँटते हैं और 6255.png प्राप्त करने के लिए इनमें से 3 भागों को बाहर निकाल लेते हैं। फिर से इन 3 समान भागों में से प्रत्येक भाग को 10 समान भागों में बाँटिए और प्रत्येक में से 2 ले लीजिए। इस प्रकार हम 6266.png प्राप्त करते हैं।

बिंदु द्वारा चिह्नित वर्ग, 6270.png अर्थात् 0.2 × 0.3 को निरूपित करते हैं (आकृति 2.15 देखिए)

क्योंकि 100 में से 6 बिंदु द्वारा चिह्नित वर्ग हैं अतः ये 0.06 को भी निरूपित करते हैं।

इस प्रकार 0.2 × 0.3 = 0.06.

ध्यान दीजिए कि 2 × 3 = 6 और 0.06 में दशमलव बिंदु से दाईं तरफ़ अंकों की संख्या 2 (= 1 + 1) हैं।

जाँच कीजिए कि क्या यह 0.1 × 0.1 के लिए भी उचित है।

इन प्रेक्षणों का उपयोग करते हुए 0.2 × 0.4 ज्ञात कीजिए।

0.1 × 0.1 और 0.2 × 0.3 ज्ञात करते समय संभवतः आपने ध्यान दिया होगा कि सर्वप्रथम हमने दशमलव बिंदु की उपेक्षा करते हुए पूर्ण संख्याओं के रूप में गुणा किया था। 0.1 × 0.1 में हमने पाया, 01 × 01 अर्थात् 1 × 1 इसी प्रकार 0.2 × 0.3 में हमने पाया, 02 × 03 = 2 × 3.

तब हमने सबसे दाईं तरफ़ के अंक से शुरू करते हुए और बाईं तरफ़ चलते हुए अंकों की संख्या को गिना। तब हमने वहाँ दशमलव बिंदु रखा। गिने जाने वाले अंकों की संख्या, गुणा की जा रही दशमलव संख्याओं के दशमलव बिंदु के दाईं तरफ़ के अंकों की संख्या का योग करने पर प्राप्त होती है।

आइए अब हम 1.2 × 2.5 ज्ञात करते हैं।

12 एवं 25 को गुणा कीजिए। हम 300 अंक प्राप्त करते हैं। 1.2 और 2.5 दोनों में दशमलव बिंदु के दाईं तरफ एक अंक है। इसलिए 300 में सबसे दाईं तरफ से 1 + 1 = 2 अंक गिन लीजिए (अर्थात् दो 0) और बाईं तरफ़ चलिए। हम 3.00 अर्थात् 3 प्राप्त करते हैं

इसी प्रकार 1.5 × 1.6, 2.4 × 4.2 ज्ञात कीजिए।

2.5 और 1.25 को गुणा करते समय सर्वप्रथम आप 25 एवं 125 को गुणा करेंगे। प्राप्त गुणनफल में दशमलव रखने के लिए आप सबसे दाईं तरफ़ के अंक से शुरू करते हुए 1 + 2 = 3 (क्यों)? अंक गिनेंगे। अतः 2.5 × 1.25 = 3.125। 2.7 × 1.35 ज्ञात कीजिए।


TryThese1R.tif

1. ज्ञात कीजिएः (i) 2.7 × 4 (ii) 1.8 × 1.2 (iii) 2.3 × 4.35

2. प्रश्न 1 में प्राप्त गुणनफलों को अवरोही क्रम में क्रमबद्ध कीजिए।


उदाहरण 7

एक समबाहु त्रिभुज की भुजा 3.5 cm है। इसका परिमाप ज्ञात कीजिए।

हल

समबाहु त्रिभुज की सभी भुजाएँ समान होती हैं।

इसलिए, प्रत्येक भुजा की लंबाई = 3.5 cm। अतः परिमाप = 3 × 3.5 cm = 10.5 cm

उदाहरण 8 

एक आयत की लंबाई 7.1 cm और इसकी चौड़ाई 2.5 cm है। आयत का क्षेत्रफल क्या है?

हल

आयत की लंबाई = 7.1 cm आयत की चौड़ाई = 2.5 cm

इसलिए आयत का क्षेत्रफल = 7.1 cm × 2.5 cm = 17.75 cm2


2.6.1 दशमलव संख्याओं का 10,100 और 1000 से गुणन

रेशमा ने देखा कि 2.3 = 6274.png है जबकि 2.35 = 6281.png. अतः उसने पाया कि दशमलव बिंदु की स्थिति पर निर्भर करते हुए दशमलव संख्या को 10 अथवा 100 हर वाली भिन्न के रूप में परिवर्तित किया जा सकता है। उसने सोचा कि यदि किसी दशमलव संख्या को 10 अथवा 100 अथवा 1000 से गुणा किया जाए तो क्या होगा?



आइए देखते हैं क्या हम दशमलव संख्याओं को 10 अथवा 100 अथवा 1000 से गुणा करने का कोई प्रतिरूप (पैटर्न) प्राप्त कर सकते हैं।

नीचे दी हुई सारणी को देखिए और रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए ः

20

सारणी में गुणनफल के दशमलव बिंदु के विस्थापन को देखिए। यहाँ संख्याओं को 10,100 एवं 1000 से गुणा किया गया है। 1.76 × 10 = 17.6 में अंक वही हैं अर्थात् दोनों तरफ़ 1, 7 और 6 है। क्या आपने इसे दूसरे गुणनफलों में भी देखा है? 1.76 और 17.6 को भी देखिए। दशमलव बिंदु दाईं अथवा बाईं, किस तरफ़ विस्थापित हुआ है ध्यान दीजिए 10 में 1 के अतिरिक्त एक शून्य है।


1.76×100 = 176.0 में, 1.76 एवं 176.0 को देखिये कि किस तरफ और कितने स्थानों से दशमलव बिंदु का विस्थापन हुआ है। दशमलव बिंदु दाईं तरफ़ दो स्थानों से विस्थापित हुआ है।

ध्यान दीजिए 100 में 1 के अतिरिक्त दो शून्य है।

21

क्या आप दूसरे गुणनफलों में भी दशमलव बिंदु का इसी प्रकार का विस्थापन देखते हैं?

इस प्रकार हम कहते हैं कि जब किसी दशमलव संख्या को 10, 100 अथवा 1000 से गुणा किया जाता है तो गुणनफल के अंक वही होते हैं जो अंक दशमलव संख्या में होते हैं परंतु गुणनफल में दशमलव बिंदु दाईं तरफ उतने ही स्थानों से विस्थापित होता है जितने 1 के अतिरिक्त शून्य होते हैं। इन प्रेक्षणों के आधार पर अब हम कह सकते हैं किः

0.07 × 10 = 0.7, 0.07 × 100 = 7 और 0.07 × 1000 = 70.

क्या अब आप बता सकते हैं कि 2.97 × 10 = ? 2.97 × 100 = ? 2.97 × 1000 = ?

क्या अब आप रेशमा द्वारा भुगतान किए जाने वाली राशि अर्थात् ₹ 8.50 × 150, ज्ञात करने में उसकी सहायता कर सकते हैं?

प्रश्नावली 2.6

1. ज्ञात कीजिए :Exercise4R.tif

(i) 0.2 × 6 (ii) 8 × 4.6 (iii) 2.71 × 5

(iv) 20.1 × 4 (v) 0.05 × 7 (vi) 211.02 × 4

(vii) 2 × 0.86

2. एक आयत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी लंबाई 5.7 cm और चौड़ाई 3 cm है।

3. ज्ञात कीजिए :

(i) 1.3 × 10 (ii) 36.8 × 10 (iii) 153.7 × 10

(iv) 168.07 × 10 (v) 31.1 × 100 (vi) 156.1 × 100

(vii) 3.62 × 100 (viii) 43.07 × 100 (ix) 0.5 × 10

(x) 0.08 × 10 (xi) 0.9 × 100 (xii) 0.03 × 1000

4. एक दुपहिया वाहन एक लीटर पैट्रोल में 55.3 km की दूरी तय करता है। 10 लीटर पैट्रोल में वह कितनी दूरी तय करेगा?

5. ज्ञात कीजिए :

(i) 2.5 × 0.3 (ii) 0.1 × 51.7 (iii) 0.2 × 316.8

(iv) 1.3 × 3.1 (v) 0.5 × 0.05 (vi) 11.2 × 0.15

(vii) 1.07 × 0.02 (viii) 10.05 × 1.05

(ix) 101.01 × 0.01 (x) 100.01 × 1.1


Page26.tif


2.7 दशमलव संख्याओं की भाग

सविता अपनी कक्षा की सजावट के लिए एक डिजाईन तैयार कर रही थी। उसे 1.9 cm लंबाई वाली कुछ रंगीन कागज़ की पट्टियों की आवश्यकता थी। उसके पास 9.5 cm लंबाई वाली एक रंगीन कागज़ की पट्टी थी। इस पट्टी में से वह अभीष्ट लंबाई के कितने टुकड़े प्राप्त कर सकेगी। उसने सोचा शायद यह 6325.png होगा। क्या यह सही है?

9.5 और 1.9 दोनों ही दशमलव संख्याएँ हैं। इसलिए हमें दशमलव संख्याओं की भाग भी जानने की आवश्यकता है।


2.7.1 10, 100 और 1000 से भाग

आइए अब हम एक दशमलव संख्या की 10, 100 और 1000 से भाग ज्ञात करते हैं।

आइए हम 31.5 ÷ 10 ज्ञात करते हैं।

31.5 ÷ 10 = 6334.png = 6342.png = 3.15

इसी प्रकार 6350.png 6362.png

आइए हम यह देखते हैं कि क्या हम संख्याओं को 10, 100 अथवा 1000 से भाग करने का कोई प्रतिरूप ज्ञात कर सकते हैं। यह संख्याओं को 10, 100 अथवा 1000 से, संक्षिप्त विधि से भाग करने में हमारी सहायता कर सकता है।

22


31.5 ÷ 10 = 3.15 को लीजिए। 31.5 और 3.15 में अंक एक जैसे हैं अर्थात् 3, 1, और 5 परंतु भागफल में दशमलव बिंदु विस्थापित हो गया है। किस तरफ़ और कितने स्थानों से? दशमलव बिंदु बाईं तरफ़ एक स्थान से विस्थापित हो गया है। ध्यान दीजिए 10 में 1 के अतिरिक्त एक शून्य है।

अब 31.5 ÷ 100 = 0.315 की चर्चा करते हैं। 31.5 और 0.315 में अंक एक जैसे हैं परंतु भागफल में दशमलव बिंदु के बारे में क्या कह सकते हैं? यह बाईं तरफ दो स्थानों से विस्थापित हो गया है। ध्यान दीजिए 100 में 1 के अतिरिक्त दो शून्य हैं।

इस प्रकार हम कह सकते हैं कि किसी संख्या को 10, 100 अथवा 1000 से भाग करने पर संख्या एवं भागफल के अंक एक जैसे हैं परंतु भागफल में दशमलव बिंदु बाईं तरफ उतने ही स्थानों से विस्थापित हो जाता है जितने 1 के साथ शून्य होते हैं। इस प्रेक्षण का उपयोग करते हुए अब हम शीघ्रतापूर्वक निम्नलिखित को ज्ञात करते हैं,


2.38 ÷ 10 = 0.238

2.38 ÷ 100 = 0.0238

2.38 ÷ 1000 = 0.00238

23

2.7.2 पूर्ण संख्या से दशमलव संख्या की भाग

आइए, हम 6372.png ज्ञात करते हैं। याद कीजिए हम इसे 6.4 ÷ 2 के रूप में भी लिखते हैं।

इसलिए, जैसा कि हमने भिन्नों से सीखा हैप्रयास कीजिए

 

6.4 ÷ 2 = 6379.png ÷ 2

= 6389.png

24

अथवा, आइए सर्वप्रथम हम 64 को 2 से भाग करते है। हम 32 प्राप्त करते हैं। 6.4 में दशमलव बिंदु के दाईं तरफ एक अंक है। 32 में दशमलव इस प्रकार रखिए ताकि दशमलव के दाईं तरफ़ केवल एक ही अंक रह पाए। हम फिर से 3.2 प्राप्त करते हैं।

Pic2.tif
25


19.5 ÷ 5 ज्ञात करने के लिए पहले 195 ÷ 5 ज्ञात कीजिए। हम 39 प्राप्त करते हैं। 19.5 में दशमलव बिंदु के दाईं तरफ़ एक अंक है। 39 में दशमलव बिंदु को इस प्रकार रखिए ताकि इसके दाईं तरफ़ केवल एक अंक रह पाए। आप 3.9 प्राप्त करेंगे।

अब 12.96 ÷ 4 = 6421.png

= 6429.png 

= 6438.png 

= 6446.png= 3.24

अथवा, 1296 को 4 से भाग दीजिए। आप 324 प्राप्त करते हैं। 12.96 में दशमलव बिंदु के दाईं ओर 2 अंक हैं। 324 में इसी प्रकार दशमलव रखते हुए आप 3.24 प्राप्त करेंगे।

ध्यान दीजिए यहाँ और इससे अगले परिच्छेद में हमने केवल एेसे विभाजनों की चर्चा की है जिनमें, दशमलव को ध्यान में न रखकर, एक संख्या को दूसरी संख्या से पूरी तरह विभाजित किया जा सकेगा अर्थात् शेषफल के रूप में शून्य प्राप्त होगा। जैसा कि 19.5 ÷ 5 में, जब 195 को 5 से विभाजित किया जाता है तो शेषफल शून्य प्राप्त होता है।

यद्यपि एेसी भी स्थितियाँ हैं जिनमें कोई संख्या किसी दूसरी संख्या से पूरी तरह विभाजित नहीं की जा सकती अर्थात् हमें शेषफल के रूप में शून्य की प्राप्ति नहीं होती है। उदाहरणतः 195 ÷ 7 एेसी स्थितियों के बारे में हम अगली कक्षाओं में चर्चा करेंगे।

26


उदाहरण 9

4.2, 3.8 और 7.6 का औसत ज्ञात कीजिए।

हल

4.2, 3.8 और 7.6 का औसत

=6455.png

6463.png 5.2 होगा।Page2.tif


2.7.3 एक दशमलव संख्या का दूसरी दशमलव संख्या से भाग

आइए हम 6473.png अर्थात् 25.5 ÷ 0.5 ज्ञात करते हैं।

हम पाते हैंः 25.5 ÷ 0.5 = 6483.png = 6494.png= 51

अतः 25.5 ÷ 0.5 = 51

आप क्या देखते हैं? 6503.png के लिए हम पाते हैं कि 0.5 में दशमलव के दाईं तरफ़ एक अंक है। इसको 10 से भाग करने पर पूर्ण संख्या में परिवर्तित किया जा सकता है। इसी तरह से 25.5 को भी 10 से भाग करके एक भिन्न में परिवर्तित किया गया है।

27

अथवा हम कहते हैं कि 0.5 को 5 बनाने के लिए दशमलव बिंदु को दाईं तरफ़ एक स्थान से विस्थापित किया गया है।

Page2.tif

इसलिए 25.5 में भी दशमलव बिंदु को दाईं तरफ़ एक स्थान से विस्थापित करके 225 में परिवर्तित किया गया।

अतः 22.5 ÷ 1.5 = 6511.png = 6523.png = 15

इसी प्रकार 6534.png और 6547.png ज्ञात कीजिए।

आइए अब हम 20.55 ÷ 1.5 ज्ञात करते हैं।

उपर्युक्त चर्चा के अनुसार हम इसे 205.5 ÷ 15 के रूप में लिख सकते हैं। इससे हम 13.7 प्राप्त करते हैं।

6555.png, 6563.png ज्ञात कीजिए।

अब 6571.png की चर्चा करते हैं। हम इसे 6578.png के रूप में लिख सकते हैं (कैसे?) और हम 134.9 के रूप में भागफल प्राप्त करते हैं। आप 6585.png कैसे ज्ञात करेंगे? हम जानते हैं कि 27 को 27.00 के रूप में लिखा जा सकता है।

इसलिए 6596.png= ?

उदाहरण 10

एक सम बहुभुज की प्रत्येक भुजा की लंबाई 2.5 cm है। बहुभुज का परिमाप 12.5 cm है। इस बहुभुज की कितनी भुजाएँ हैं?

हल

सम बहुभुज का परिमाप इसकी सभी समान भुजाओं की लंबाई का योग होता है = 12.5 cm

प्रत्येक भुजा की लंबाई = 2.5 cm

अतः भुजाओं की संख्या = 6604.png = 6612.png = 5

बहुभुज की 5 भुजाएँ हैं।


उदाहरण 11

एक कार 2.2 घंटे में 89.1 km की दूरी तय करती है। कार द्वारा 1 घंटे में तय की गई औसत दूरी कितनी है?

हल

कार द्वारा तय की गई दूरी = 89.1 km

इस दूरी को तय करने में लिया गया समय = 2.2 घंटे

इसलिए कार द्वारा 1 घंटे में तय की गई दूरी = 6620.png

= 6629.png = 40.5 km


प्रश्नावली 2.7

1. ज्ञात कीजिए :

(i) 0.4 ÷ 2 (ii) 0.35 ÷ 5 (iii) 2.48 ÷ 4

(iv) 65.4 ÷ 6 (v) 651.2 ÷ 4 (vi) 14.49 ÷ 7Exercise4R.tif

(vii) 3.96 ÷ 4 (viii) 0.80 ÷ 5

2. ज्ञात कीजिए :

(i) 4.8 ÷ 10 (ii) 52.5 ÷ 10 (iii) 0.7 ÷ 10

(iv) 33.1 ÷ 10 (v) 272.23 ÷ 10 (vi) 0.56 ÷ 10

(vii) 3.97 ÷10

3. ज्ञात कीजिए :

(i) 2.7 ÷ 100 (ii) 0.3 ÷ 100 (iii) 0.78 ÷ 100

(iv) 432.6 ÷ 100 (v) 23.6 ÷100 (vi) 98.53 ÷ 100

4. ज्ञात कीजिए :

(i) 7.9 ÷ 1000 (ii) 26.3 ÷ 1000

(iii) 38.53 ÷ 1000 (iv) 128.9 ÷ 1000 (v) 0.5 ÷ 1000

5. ज्ञात कीजिए :

(i) 7 ÷ 3.5 (ii) 36 ÷ 0.2 (iii) 3.25 ÷ 0.5

(iv) 30.94 ÷ 0.7 (v) 0.5 ÷ 0.25 (vi) 7.75 ÷ 0.25

(vii) 76.5 ÷ 0.15 (viii) 37.8 ÷ 1.4 (ix) 2.73 ÷ 1.3

6. एक गाड़ी 2.4 लीटर पैट्रोल में 43.2 km की दूरी तय करती है। यह गाड़ी एक लीटर पैट्रोल में कितनी दूरी तय करेगी?

हमने क्या चर्चा की?

1. हमने पिछली कक्षा में भिन्न एवं दशमलव के बारे में, तथा उन पर योग एवं व्यवकलन की संक्रियाओं सहित अध्ययन किया है।

2. अब हमने भिन्नों एवं दशमलवों पर गुणन एवं भाग की संक्रियाओं का अध्ययन किया है।

3. हमने अध्ययन किया है कि भिन्नों को कैसे गुणा किया जाए। दो भिन्नों को गुणा करने के लिए उनके अंशों एवं हरों को पृथक्-पृथक् गुणा किया जाता है और फिर गुणनफल को 28  के रूप में लिखा जाता है।

उदाहरणार्थ 6647.png

4. भिन्न, प्रचालक ‘का’ के रूप में काम करती है।

उदाहरणतः 2 का 6652.png होता है 6657.png × 2 = 1

5. (a) दो उचित भिन्नों का गुणनफल, गुणा किए गए प्रत्येक भिन्न से कम होता है।

(b) एक उचित और एक विषम भिन्न का गुणनफल विषम भिन्न से कम होता है और उचित भिन्न से अधिक होता है।

(c) दो विषम भिन्नों का गुणनफल, गुणा किए गए दोनों भिन्नों में से प्रत्येक से बड़ा होता है।

6. एक भिन्न का व्युत्क्रम इसके अंश और हर को परस्पर बदलने से प्राप्त होता है।

7. हमने देखा है कि दो भिन्नों को कैसे भाग दिया जाता है :

(a) एक पूर्ण संख्या को किसी भिन्न से भाग करते समय हम पूर्ण संख्या को भिन्न के व्युत्क्रम से गुणा करते हैं।

उदाहरणतः 6662.png

(b) एक भिन्न को पूर्ण संख्या से भाग करने के लिए हम भिन्न को पूर्ण संख्या के व्युत्क्रम से गुणा करते हैं।

उदाहरणतः 6668.png

(c) एक भिन्न को दूसरी भिन्न से भाग करने के लिए हम पहली भिन्न को दूसरी भिन्न के व्युत्क्रम से गुणा करते हैं। इसलिए 6673.png.

8. हमने यह भी सीखा है कि दो दशमलव संख्याएँ कैसे गुणा की जाती हैं। दो दशमलव संख्याओं को गुणा करने के लिए सर्वप्रथम हम उन्हें पूर्ण संख्याओं के रूप में गुणा करते हैं। दोनों दशमलव संख्याओं में दशमलव बिंदु के दाईं तरफ़ अंकों की संख्या को गिनते हैं। गिनी हुई अंकों की संख्या का योग ज्ञात करते हैं। सबसे दाएँ स्थान से अंकों को गिनते हुए गुणनफल में दशमलव बिंदु रखा जाता है। यह गिनती पूर्व में प्राप्त योग के समान होनी चाहिए।

उदाहरणतः 0.5 × 0.7 = 0.35

9. एक दशमलव संख्या को 10, 100 अथवा 1000 से गुणा करने के लिए हम उस संख्या में दशमलव बिंदु को दाईं तरफ उतने ही स्थान से विस्थापित करते हैं जितने 1 के अतिरिक्त शून्य होते हैं।

अतः 0.53 × 10 = 5.3, 0.53 × 100 = 53, 0.53 × 1000 = 530

10. हमने देखा है कि दशमलव संख्याएँ कैसे विभाजित की जाती है।

(a) एक दशमलव संख्या को पूर्ण संख्या से भाग करने के लिए सर्वप्रथम हम उन्हें पूर्ण संख्याओं के रूप में भाग देते हैं। तब भागफल में दशमलव बिंदु को वैसे ही रखा जाता है जैसे दशमलव संख्या में।

उदाहरणतः 8.4 ÷ 4 = 2.1

ध्यान दीजिए हम यहाँ पर केवल एेसे विभाजनों की बात कर रहे हैं जिनमें शेषफल शून्य है।

(b) एक दशमलव संख्या को 10, 100 अथवा 1000 से भाग करने के लिए दशमलव संख्या में दशमलव बिंदु को बाईं तरफ़ उतने ही स्थान से विस्थापित करते हैं जितने 1 के अतिरिक्त शून्य होते हैं। इस प्रकार भागफल की प्राप्ति होती है।

इसलिए, 23.9 ÷ 10 = 2.39, 23.9 ÷ 100 = 0 .239, 23.9 ÷ 1000 = 0.0239

(c) दो दशमलव संख्याओं को भाग करते समय सर्वप्रथम हम दोनों संख्याओं में दशमलव बिंदु को दाईं तरफ़ समान स्थानों से विस्थापित करते हैं और तब भाग देते हैं। अतः 
2.4 ÷ 0.2 = 24 ÷ 2 = 12.

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