12.1 भूमिका

हम x + 3, y – 5, 4x + 5, 10y – 5, इत्यादि जैसे सरल बीजीय व्यंजकों से परिचित हो चुके हैं । कक्षा VI में, हमने देखा था कि ये व्यंजक किस प्रकार पहेलियों और समस्याओं को एक सुव्यवस्थित प्रकार से प्रस्तुत करने में सहायक होते हैं । हम सरल समीकरणों वाले अध्याय में भी व्यंजकों के अनेक उदाहरणों को देख चुके हैं ।

बीजगणित में व्यंजकों (expressions) को एक केंद्रीय अवधारणा माना जाता है । यह अध्याय बीजीय व्यंजकों से संबद्ध होगा । जब आप इस अध्याय को पढ़ लेंगे, तो आपको ज्ञात हो जाएगा कि बीजीय व्यंजक किस प्रकार बनते हैं, इन्हें किस प्रकार संयोजित किया (मिलाया) जाता है, इनके मान हम कैसे ज्ञात कर सकते हैं तथा इनका किस प्रकार उपयोग किया जा सकता है ।

12.2 व्यंजक किस प्रकार बनते हैं ?

अब हम भली भाँति जानते हैं कि एक चर (variable) क्या होता है । हम चरों को व्यक्त करने के लिए, अक्षरों x, y, l, m, ... इत्यादि का प्रयोग करते हैं । एक चर के विभिन्न मान हो सकते हैं । इसका मान निश्चित नहीं होता है । इसके दूसरी ओर अचर (constant) का एक निश्चित मान होता है । अचरों के उदाहरण 4,100,-17, इत्यादि हैं ।

हम चरों और अचरों को संयोजित करके बीजीय व्यंजकों को बनाते हैं । इसके लिए
हम योग, व्यवकलन, गुणन और विभाजन की संक्रियाओं का प्रयोग करते हैं । हम,
4x + 5, 10y – 20 जैसे व्यंजकों को पहले ही देख चुके हैं । व्यंजक 4x + 5, ‘x’ चर के प्रयोग से बना है, जिसमें पहले चर x को अचर 4 से गुणा करके और फिर इस गुणनफल में अचर 5 जोड़ कर प्राप्त किया जाता है । इसी प्रकार, 10y – 20 पहले चर y को अचर 10 से गुणा करके और फिर इस गुणनफल में से 20 घटा कर प्राप्त किया जाता है ।

उपरोक्त व्यंजक चरों और अचरों को संयोजित करके प्राप्त किए गए थे । हम व्यंजकों को, चरों को स्वयं उन चरों से अथवा अन्य चरों से संयोजित करके भी प्राप्त कर सकते हैं ।

देखिए कि निम्नलिखित व्यंजक किस प्रकार प्राप्त किए जाते हैं ?

x2, 2y2, 3x2 – 5, xy, 4xy + 7

(i) व्यंजक x2 चर x को स्वयं x से गुणा करके प्राप्त किया जाता है ।

अर्थात् x × x = x2 है ।

जिस प्रकार 4 × 4 = 42 लिखा जाता है, उसी प्रकार हम x × x = x2. लिखते हैं । इसे सामान्यतः x का वर्ग (x squared) पढ़ा जाता है ।

[बाद में, जब आप ‘घातांक और घात’ वाले अध्याय का अध्ययन करेंगे, तब आप अनुभव करेंगे कि x2 को x के ऊपर घात 2 भी पढ़ा जा सकता है]।

इसी प्रकार, हम लिख सकते हैं ः x × x × x = x3

सामान्यतः, x3 को x का घन (x cubed) पढ़ा जाता है । बाद में, आप यह अनुभव करेंगे कि x3 को x के ऊपर घात 3 भी पढ़ा जा सकता है ।

x, x2, x3, ... में से प्रत्येक x से प्राप्त एक बीजीय व्यंजक है ।

(ii) व्यंजक 2y2 को y से इस प्रकार प्राप्त किया जाता हैः 2y2 = 2 × y × y

यहाँ, हम y को y से गुणा करके y2 प्राप्त करते हैं और फिर इस गुणनफल y2 को 2 से गुणा करते हैं ।

(iii) (3x2 – 5) में, हम पहले x2 प्राप्त करते हैं और फिर उसे 3 से गुणा करके 3x2 प्राप्त करते हैं । अंत में, 3x2 – 5 पर पहुँचने के लिए, हम 3x2 में से 5 को घटाते हैं ।

(iv) xy में, हम चर x को एक अन्य चर y से गुणा करते हैं । इस प्रकार, x × y = xy।

(v) 4xy + 7 में, हम पहले xy प्राप्त करते हैं; उसे 4 से गुणा करके 4xy प्राप्त करते हैं और फिर दिया हुआ व्यंजक प्राप्त करने के लिए, 4xy में 7 जोड़ते हैं ।

12.3 एक व्यंजक के पद

अभी तक ऊपर हमने पढ़ा है कि व्यंजक किस प्रकार बनाए जाते हैं, अब हम उसे एक सुव्यवस्थित रूप में रखेंगे । इस कार्य के लिए, हमें यह जानने की आवश्यकता है कि एक व्यंजक के पद (terms) और उनके गुणनखंड (factors) क्या होते हैं, अर्थात् उनके अर्थ क्या हैं ।

व्यंजक (4x + 5) पर विचार कीजिए । इस व्यंजक को बनाने के लिए, पहले हमने अलग से 4 और x का गुणा करके 4x बनाया था और फिर इसमें 5 जोड़ दिया था । इसी प्रकार, व्यंजक (3x2 + 7y) पर विचार कीजिए । यहाँ, हमने पहले अलग से 3, x और x का गुणा करके 3x2 बनाया था। फिर हमने अलग से 7 और y का गुणा करके 7y बनाया था । 3x2 और 7y बनाने के बाद, हमने दिया हुआ व्यंजक प्राप्त करने के लिए, इनको जोड़ दिया था ।

आप पाएँगे कि हम जितने भी व्यंजकों पर कार्य करते हैं वे सभी इसी रूप में देखे जा सकते हैं । इनके भाग होते हैं जो अलग से बनाए जाते हैं और फिर जोड़ दिए जाते हैं। व्यंजकों के इस प्रकार के भाग, जो पहले अलग से बनाए जाते हैं और फिर जोड़ दिए जाते हैं, इस व्यंजक के पद कहलाते हैं । व्यंजक 4x2 – 3xy को देखिए । हम कहते हैं कि इसके दो पद 4x2 और –3xy हैं । पद 4x2 ; 4, x और x का गुणनफल है तथा पद –3xy ; –3, x और y का गुणनफल है ।

एक पद के गुणनखंड

हमने ऊपर देखा था कि व्यंजक (4x2 – 3xy) के दो पद 4x2 और –3xy हैं । पद 4x2; 4, x और x का गुणनफल है। हम कहते हैं कि 4, x और x पद 4x2 के गुणनखंड (factors) हैं । एक पद अपने गुणनखंडों का एक गुणनफल होता है । पद –3xy, गुणनखंडों –3, x और y का एक गुणनफल है ।

हम एक व्यंजक के पदों तथा पदों के गुणनखंडों को एक सुविधाजनक और आकर्षक प्रकार से एक व्यंजक पेड़ आरेख (tree diagram) द्वारा निरूपित कर सकते हैं । व्यंजक (4x2 – 3xy) का पेड़ संलग्न आकृति में दर्शाया गया है ।

आइए व्यंजक 5xy + 10 का पेड़ आरेख खींचें । गुणनखंड एेसे लिखे जाएँ कि जिनके आगे गुणनखंड न हो सके । इस प्रकार, हम5xy को 5 × xy के रूप में नहीं लिखते हैं, क्योंकि xy के आगे और भी गुणनखंड हो सकते हैं । इसी प्रकार, यदि x3 एक पद होता, तो इसे x × x2 न लिख कर x× x × x लिखा जाए । साथ ही, याद रखिए 1 को अलग से गुणनखंड नहीं लिया जाता है ।

गुणांक

हम एक पद को उसके गुणनखंडों के एक गुणनफल के रूप में लिखना सीख चुके हैं । इनमें से एक गुणनखंड संख्यात्मक (numerical) हो सकता है तथा अन्य बीजीय (algebraic) हो सकते हैं (अर्थात्् इनमें चर होते हैं) । इस संख्यात्मक गुणनखंड को पद का संख्यात्मक गुणांक (numerical coefficient) या केवल गुणांक कहते हैं । इसे शेष पद (जो स्पष्टतः बीजीय गुणनखंडों का गुणनफल है) का गुणांक भी कहते हैं । इस प्रकार, पद 5xy में, xy का गुणांक 5 है । इसी प्रकार, पद 10xyz, में xyz का गुणांक 10 है तथा पद –7x2y2 में x2y2 का गुणांक –7 है ।

जब किसी पद का गुणांक +1 होता है, प्रायः उसे लिखते समय छोड़ दिया जाता है । उदाहरणार्थ, 1x को x लिखा जाता है, 1x2y2 को x2y2 लिखा जाता है, इत्यादि । साथ ही, गुणांक (–1) को केवल ऋण चिह्न (-) से दर्शाया जाता है । इस प्रकार, (-1)x को –x लिखा जाता है, (–1)x2y2 को –x2y2 लिखा जाता है, इत्यादि ।

कभी-कभी शब्द गुणांक का प्रयोग एक अधिक व्यापक रूप में प्रयोग किया जाता है । इस रूप में, हम कहते हैं कि पद 5xy में, xy का गुणांक 5 है, 5y का गुणांक x है तथा 5x का गुणांक y है । 10xy2 में, xy2 का गुणांक 10 है, 10y2 का गुणांक x है तथा 10x का गुणांक y2 है । इस प्रकार, इसे अधिक व्यापक रूप में, गुणांक एक संख्यात्मक गुणनखंड हो सकता है या एक बीजीय गुणनखंड हो सकता है या दो या अधिक गुणनखंडों का गुणनफल भी हो सकता है । इसे शेष गुणनखंडों के गुणनफल का गुणांक कहा जाता है ।

12.4 समान और असमान पद

जब पदों के बीजीय गुणनखंड एक जैसे ही हों, तो वे पद समान पद (like terms) कहलाते हैं। जब पदों के बीजीय गुणनखंड भिन्न-भिन्न हों, तो वे असमान पद (unlike terms) कहलाते हैं । उदाहरणार्थ व्यंजक 2xy – 3x + 5xy – 4, में पदों 2xy और 5xy को देखिए । 2xy के गुणनखंड 2, x और y है । 5xy के गुणनखंड 5, x और y हैं । इस प्रकार, इनके बीजीय (अर्थात् वे जिनमें चर हैं) गुणनखंड एक ही हैं और इसीलिए ये समान पद हैं । इसके विपरीत, पदों 2xy और –3x में भिन्न-भिन्न बीजीय गुणनखंड हैं । ये असमान पद हैं । इसी प्रकार, पद 2xy और 4 असमान पद हैं । साथ ही, –3x और 4 भी असमान पद हैं ।

12.5 एकपदी, द्विपद, त्रिपद और बहुपद

वह बीजीय व्यंजक जिसमें केवल एक पद हो, एकपदी (monomial) कहलाता है, जैसे 7xy, – 5m, 3z2, 4 इत्यादि ।

एक व्यंजक जिसमें केवल दो पद हों और वे असमान पद हों वह द्विपद (binomial) कहलाता है, उदाहरणार्थ x + y, m – 5, mn + 4m, a2 – b2 द्विपद हैं । व्यंजक 10pq एक द्विपद नहीं है यह एक एकपदी है । व्यंजक (a + b + 5) एक द्विपद नहीं है । इसमें तीन पद हैं । 

एक व्यंजक जिसमें तीन पद हों, एक त्रिपद (trinomial) कहलाता है,

उदाहरणार्थ x + y + 7, ab + a +b, 3x2 – 5x + 2, m + n + 10 त्रिपद हैं । परंतु व्यंजक ab + a + b + 5 एक त्रिपद नहीं है इसमें तीन पद न होकर चार पद हैं । व्यंजक x + y + 5x एक त्रिपद नहीं है क्योंकि पद x और 5xसमान पद हैं ।

व्यापक रूप में, एक या, अधिक पदों वाला व्यंजक एक बहुपद (Polynomial) कहलाता है । इस प्रकार, एकपदी, द्विपदी और त्रिपदी भी बहुपद हैं ।

उदाहरण 3 कारण सहित बताइए कि पदों के निम्नलिखित युग्मों में कौन-कौन से युग्म समान पदों के हैं तथा कौन-कौन से युग्म असमान पदों के हैं :

(i) 7x, 12y (ii) 15x, –21x (iii) – 4ab, 7ba (iv) 3xy, 3x

(v) 6xy2, 9x2y (vi) pq2, – 4pq2 (vii) mn2, 10mn

हल

निम्नलिखित सरल चरण आपको यह निर्णय लेने में सहायक होंगे कि दिए हुए पद समान पद हैं या असमान पद हैं :

(i) संख्यात्मक गुणांकों पर ध्यान न दीजिए । पदों के बीजीय भाग पर अपना ध्यान केंद्रित कीजिए ।

(ii) पदों में चरों की जाँच कीजिए । ये एक ही होने चाहिए ।

(iii) अब, पदों में प्रत्येक चर की घातों की जाँच कीजिए । ये एक ही होनी चाहिए ।

ध्यान दीजिए कि समान पदों के बारे मे निर्णय लेते समय, इन दो बातों से कोई प्रभाव नहीं पड़ता है : (1) पदों के संख्यात्मक गुणांक तथा (2) पदों में चरों के गुणा करने का क्रम ।

12.6 बीजीय व्यंजकों के योग और व्यवकलन

निम्नलिखित समस्याओं पर विचार कीजिए :

1. सरिता के पास कुछ कँचे हैं । अमीना के पास उससे 10 कँचे अधिक हैं । अप्पू कहता है कि उसके पास सरिता और अमीना के पास कुल जितने कँचे हैं उससे 3 अधिक कँचे हैं । आप अप्पू के कँचों की संख्या कैसे ज्ञात करेंगे ?

चूँकि यह नहीं दिया गया है कि सरिता के पास कितने कँचे है, इसलिए हम इन्हें x मान लेते हैं । अमीना के पास इनसे 10 अधिक, अर्थात् x + 10 कँचे हैं । अप्पू कहता है कि उसके पास सरिता और अमीना के कुल कँचों से 3 अधिक कँचे हैं । अतः हम सरिता और अमीना के कँचों का योग ज्ञात करते हैं और उस योग में 3 जोड़ते हैं, अर्थात् हम x, x + 10 और 3 को जोड़ते हैं।

2. रामू के पिता की वर्तमान आयु रामू की आयु की तीन गुनी है । रामू के दादाजी की आयु रामू और रामू के पिता की आयु के योग से 13 वर्ष अधिक है । आप रामू के दादाजी की आयु किस प्रकार ज्ञात करेंगे ?

चूँकि रामू की आयु दी हुई नहीं है, इसलिए आइए इसे y वर्ष मान लें । तब, उसके पिता की आयु 3y वर्ष है । रामू के दादाजी की आयु ज्ञात करने के लिए, हमें रामू की आयु (y) और उसके पिता की आयु (3y) का योग ज्ञात करके इस योग में 13 जोड़ना होगा, अर्थात् हमें y, 3y और 13 का योग ज्ञात करना पड़ेगा ।

3. एक बाग में, गुलाब और गेंदे के पौधे वर्गाकार क्यारियों में लगाए जाते हैं । जिस वर्गाकार क्यारी में गेंदे के फूल लगाए जाते हैं उसकी भुजा की लंबाई उस वर्गाकार क्यारी की भुजा की लंबाई से 3 मीटर अधिक है, जिसमें गुलाब के पौधे लगाए गए हैं । गेंदे की क्यारी गुलाब की क्यारी से क्षेत्रफल में कितनी बड़ी है ?

आइए गुलाब की क्यारी की भुजा को l मीटर मान लेते हैं । तब गेंदे की क्यारी की भुजा (l + 3) मीटर होगी । इनके क्षेत्रफल (वर्ग मीटर में) क्रमशः l2 और (l + 3)2 होंगे । इन दोनों का अंतर ही यह बताएगा कि गेंदे के पौधों वाली क्यारी गुलाबों वाली क्यारी से क्षेत्रफल में कितनी बड़ी है ।

उपरोक्त तीनों स्थितियों में, हमें बीजीय व्यंजकों को जोड़ना या घटाना पड़ा था । दैनिक जीवन में, इसी प्रकार की अनेक एेसी स्थितियाँ हमारे सम्मुख आती हैं, जहाँ हमें बीजीय व्यंजकों का प्रयोग करना पड़ता है तथा उन पर अंकगणितीय संक्रियाएँ करनी पड़ती हैं। इस अनुच्छेद में, हम यह देखेंगे कि बीजीय व्यंजकों को किस प्रकार जोड़ा और घटाया जाता है ।

कम से कम एेसी दो स्थितियों के बारे मे सोचिए जिनमें से प्रत्येक में आपको दो बीजीय व्यंजकों को बनाने की आवश्यकता पड़े और उन्हें जोड़ना या घटाना पड़े ।

समान पदों का जोड़ना और घटाना

सरलतम व्यंजक एकपदी होते हैं । इनमें केवल एक ही पद होता है । प्रारंभ करने के लिए, हम यह सीखेंगे कि समान पदों को किस प्रकार जोड़ा या घटाया जाता है ।

 आइए 3x और 4x. को जोड़ें । हम जानते हैं कि x एक संख्या है
तथा इसीलिए 3x और 4x भी संख्याएँ हैं ।.
अब, 3x + 4x = (3 × x) + (4 × x)

= (3 + 4) × x वितरण या बंटन गुण के प्रयोग से

= 7 × x = 7x

या 3x + 4x = 7x

 आइए अब आगे 8xy, 4xy और 2xy को जोड़ें ।

8xy + 4xy + 2xy = (8 × xy) + (4 × xy) + (2 × xy)

= (8 + 4 + 2) × xy

= 14 × xy = 14xy

या 8xy + 4xy + 2xy = 14 xy

 आइए 7n में से 4n को घटाएँ ।

7n – 4n = (7 × n) – (4 × n)

= (7 – 4) × n = 3 × n = 3n

या 7n – 4n = 3n

 इसी प्रकार, 11ab में से 5ab को घटाइए ।

11ab – 5ab = (11 – 5) ab = 6ab

इसी प्रकार, दो या अधिक समान पदों का योग एक समान पद होता है, जिसका संख्यात्मक गुणांक सभी समान पदों के गुणांकों के योग के बराबर होता है ।

इसी प्रकार, दो समान पदों का अंतर एक समान पद होता है, जिसका संख्यात्मक गुणांक दोनों समान पदों के संख्यात्मक गुणांकों के अंतर के बराबर होता है ।

ध्यान दीजिए कि असमान पदों को उस प्रकार जोड़ा या घटाया नहीं जा सकता, जिस प्रकार कि समान पदों को जोड़ या घटा लिया जाता है । इसके उदाहरण हम पहले ही देख चुके हैं । जब x में 5 को जोड़ा जाता है, तो हम इस परिणाम को (x + 5) लिखते हैं । ध्यान दीजिए कि (x + 5) में 5 और x दोनों ही पद पहले जैसे ही हैं । इसी प्रकार, यदि हम असमान पदों 3xy और 7 को जोड़े, तो योग 3xy + 7 है ।

यदि हम 3xy में से 7 घटाएँ, तो परिणाम 3xy – 7 है ।

व्यापक बीजीय व्यंजकों क जोड़ना और घटाना

आइए कुछ उदाहरण लें 

 3x + 11 और 7x – 5 को जोड़िए ।

वांछित योग = 3x + 11 + 7x – 5

अब, हम जानते हैं कि पद 3x और 7x समान पद हैं तथा 11 और – 5 भी समान पद हैं ।

साथ ही, 3x + 7x = 10 x और 11 + (– 5) = 6 हैं । अतः, हम उपरोक्त योग को नीचे दिए अनुसार सरल कर सकते हैंः

योग = 3x + 11 + 7x – 5

= 3x + 7x + 11 – 5 (पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर)

= 10x + 6

अतः, 3x + 11 + 7x – 5 = 10x + 6

 3x + 11 + 8z और 7x – 5 को जोड़िए ।

योग = 3x + 11 + 8z + 7x – 5

= 3x + 7x + 11 – 5 + 8z (पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर)

ध्यान दीजिए कि हमने समान पदों को एक साथ रखा है तथा अकेला असमान पद 8z उसी प्रकार रहता है ।

अतः, योग = 10x + 6 + 8z

 3a – b + 4 में से a – b को घटाइए ।

अंतर = 3a – b + 4 – (a – b)

= 3a – b + 4 – a + b

ध्यान दीजिए कि किस प्रकार हमने a – b को कोष्ठकों में रखा। तथा किस प्रकार कोष्ठकों को खोलते समय चिह्नों का ध्यान रखा है समान पदों को एक साथ रखने के लिए, पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,

अंतर = 3a – a – b + b + 4

= (3 – 1) a – (1 – 1) b + 4

अंतर = 2a + (0) b + 4 = 2a + 4

या, 3a – b + 4 – (a – b) = 2a + 4

अब, हम अभ्यास के लिए, व्यंजकों के योग और व्यवकलन पर कुछ और उदाहरण हल करेंगे ।

उदाहरण 4 समान पदों को एकत्रित करके, व्यंजक

12m2 – 9m + 5m – 4m2 – 7m + 10 को सरल कीजिए :

हल पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें प्राप्त होता हैः

12m2 – 4m2 + 5m – 9m – 7m + 10

= (12 – 4) m2 + (5 – 9 – 7) m + 10

= 8m2 + (– 4 – 7) m + 10

= 8m2 + (–11) m + 10

= 8m2 – 11m + 10

उदाहरण 5 30ab + 12b + 14a में से 24ab – 10b – 18a को घटाइए ।

हल 30ab + 12b + 14a – (24ab – 10b – 18a)

= 30ab + 12b + 14a – 24ab + 10b + 18a

= 30ab – 24ab + 12b + 10b + 14a + 18a

= 6ab + 22b + 32a

वैकल्पिक रूप से, हम व्यंजकों को एक के नीचे एक करके इस प्रकार रखते हैं कि समान पद एक ही सीध, अर्थात् स्तंभों में रहें, जैसा नीचे दर्शाया गया हैः

30ab + 12b + 14a

24ab – 10b – 18a

– + +

6ab + 22b + 32a

उदाहरण 6 2y2 + 3yz, – y2 – yz – z2 और yz + 2z2 के योग में से 3y2 – z2 और –y2 + yz + z2 के योग को घटाइए ।

हल पहले हम 2y2 + 3yz, – y2 – yz – z2 और yz + 2z2 को जोड़ते हैं ।

2y2 + 3yz

– y2 – yz – z2

+ yz + 2z2

y2 + 3yz + z2 (1)

फिर हम, 3y2 – z2 और –y2 + yz + z2 को जोड़ते हैं ।

3y2 – z2

– y2 + yz + z2

2y2 + yz (2)

अब हम योग (1) में से योग (2) को घटाते हैं ।

y2 + 3yz + z2

2y2 + yz

– –

– y2 + 2yz + z2

12.7 किसी व्यंजक का मान ज्ञात करना

हम जानते हैं कि एक बीजीय व्यंजक का मान उस व्यंजक को बनाने वाले चरों के मानों पर निर्भर करता है । एेसी अनेक स्थितियाँ हैं, जहाँ हमें व्यंजकों के मान ज्ञात करने होते हैं, जैसे कि हम यह जाँच करना चाहते हैं कि चर का एक विशेष मान एक दिए हुए समीकरण को संतुष्ट करता है या नहीं ।

जब हम ज्यामिति और प्रतिदिन की गणित के सूत्रों का प्रयोग करते हैं, तो भी हम व्यंजकों के मान ज्ञात करते हैं । उदाहरणार्थ, भुजा l वाले वर्ग का क्षेत्रफल l2 होता है । यदि l = 5 cm है, तो क्षेत्रफल 52 cm2 = 25 cm2 है । यदि भुजा = 10 cm है, तो क्षेत्रफल 102 cm2 या 100 cm2 है, इत्यादि । एेसे कुछ और उदाहरणों को हम अगले अनुच्छेद में देखेंगे ।

उदाहरण 7 निम्नलिखित व्यंजकों के मान x = 2 के लिए ज्ञात कीजिए :

(i) x + 4 (ii) 4x – 3 (iii) 19 – 5x2

(iv) 100 – 10x3

हल

(i) x + 4 में, x = 2 रखने पर, हमें x + 4 का निम्नलिखित मान प्राप्त होता हैः

x + 4 = 2 + 4 = 6

(ii) 4x – 3 में, x = 2 रखने पर, हमें प्राप्त होता हैः

4x – 3 = (4 × 2) – 3 = 8 – 3 = 5

(iii) 19 – 5x2 में, x = 2 रखने पर, हमें प्राप्त होता हैः

19 – 5x2 = 19 – (5 × 22) = 19 – (5 × 4) = 19 – 20 = – 1

(v) 100 – 10x3 में, x = 2 रखने पर, हमें प्राप्त होता है ः

100 – 10x3 ­= 100 – (10 × 23) = 100 – (10 × 8) [ध्यान दीजिए कि 23 = 8 है]

= 100 – 80 = 20

उदाहरण 8 निम्नलिखित व्यंजकों के मान ज्ञात कीजिए, जब n = – 2

(i) 5n – 2 (ii) 5n2 + 5n – 2 (iii) n3 + 5n2 + 5n – 2 है :

हल

(i) 5n – 2 में, n = –2 रखने पर, हमें प्राप्त होता हैः

5(– 2) – 2 = – 10 – 2 = – 12

(ii) 5n2 + 5n – 2 में n = –2 के लिए, 5n – 2 = –12 है,

और, 5n2 = 5 × (– 2)2 = 5 × 4 = 20 [चूँकि (– 2)2 = 4]

दोनों को मिलाने पर, हमें प्राप्त होता है ः

5n2 + 5n – 2 = 20 – 12 = 8

(iii) अब, n = – 2 के लिए

5n2 + 5n – 2 = 8 है तथा

n3 = (–2)3 = (–2) × (–2) × (–2) = – 8 है।

दोनों के मिलाने पर,

n3 + 5n2 + 5n – 2 = – 8 + 8 = 0

अब हम दो चरों के व्यंजकों, जैसे x + y, xy इत्यादि पर विचार करेंगे । दो चरों वाले एक व्यंजक का संख्यात्मक मान ज्ञात करने के लिए, हमें इसमें दोनों चरों के मान रखने की आवश्यकता होती है । उदाहरणार्थ, x = 3 और y = 5 के लिए (x + y) का मान
3 + 5 = 8 है ।

उदाहरण 9 a = 3 और b = 2 के लिए, निम्नलिखित व्यंजकों के मान ज्ञात कीजिएः

(i) a + b (ii) 7a – 4b (iii) a2 + 2ab + b2

(iv) a3 – b3

हल दिए हुए व्यंजकों में, a = 3 और b = 2 रखने पर, हमें प्राप्त होता है ः

(i) a + b = 3 + 2 = 5

(ii) 7a – 4b = 7 × 3 – 4 × 2 = 21 – 8 = 13.

(iii) a2 + 2ab + b2 = 32 + 2 × 3 × 2 + 22 = 9 + 12 + 4 = 25

(iv) a3 – b3 = 33 – 23 = 3 × 3 × 3 – 2 × 2 × 2 = 9 × 3 – 4 × 2 = 27 – 8 = 19

12.8 बीजीय व्यंजकों के प्रयोग–सूत्र और नियम

हम पहले भी देख चुके हैं कि गणित में सूत्रों (formulas) और नियम (rules) को संक्षिप्त और व्यापक रूप में, बीजीय व्यंजकों का प्रयोग करके लिखा जा सकता है । हम नीचे अनेक उदाहरण देखेंगे ः

 परिमाप सूत्र

1. एक समबाहु त्रिभुज का परिमाप = 3 × उसकी भुजा की लंबाई होता है । यदि इस समबाहु त्रिभुज की भुजा की लंबाई को l से व्यक्त करें, तो उसका परिमाप = 3l का होगा ।

2. इसी प्रकार, एक वर्ग का परिमाप = 4l होता है, जहाँ l वर्ग की भुजा की लम्बाई है ।

3. एक सम पंचभुज (regular pentagon) का परिमाप = 5l होता है, जहाँ l उसकी भुजा की लंबाई है, इत्यादि ।

 क्षेत्रफल सूत्र

1. यदि हम एक वर्ग की भुजा को l से व्यक्त करें, तो वर्ग का क्षेत्रफल = l2 होता है ।

2. यदि हम एक आयत की लंबाई और चौड़ाई को क्रमशः l और b से व्यक्त करें, तो आयत का क्षेत्रफल = l × b = lb होता है ।

3. इसी प्रकार, यदि एक त्रिभुज का आधार b और ऊचांई h है, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल = होता है ।

एक बार किसी दी हुई राशि के लिए सूत्र, अर्थात्् बीजीय व्यंजक ज्ञात हो जाए, तो उस राशि का मान वांछित प्रतिबंधों के अंतर्गत परिकलित किया जा सकता है ।

उदाहरणार्थ, लंबाई 3 cm की भुजा वाले एक दिए हुए वर्ग का परिमाप, वर्ग के परिमाप के व्यंजक, अर्थात्् 4l में l= 3 cm रखने पर प्राप्त किया जाता है ।

दिए हुए वर्ग का परिमाप = (4 × 3) cm = 12 cm

इसी प्रकार, इस वर्ग का क्षेत्रफल, वर्ग के क्षेत्रफल के व्यंजक, अर्थात्् l2 में l = 3 cm रख कर प्राप्त किया जाता है ।

दिए हुए वर्ग का क्षेत्रफल = (3)2 cm2 = 9 cm2

 संख्या प्रतिरूपों (Patterns) के लिए नियम

निम्नलिखित कथनों का अध्ययन कीजिए :

1. यदि किसी प्राकृत संख्या को n से व्यक्त किया जाए तो उसका परवर्ती (successor) (n + 1) होता है । हम इसकी जाँच किसी भी प्राकृत संख्या के लिए कर सकते हैं । उदाहरणार्थ, यदि प्राकृत संख्या 10 है, तो उसका परिवर्ती 10 + 1 = 11 है, जो सर्वविदित है (ज्ञात है) ।

2. यदि किसी प्राकृत संख्या को n से व्यक्त किया जाए, तो 2n एक सम संख्या होती है तथा (2n + 1) एक विषम संख्या होती है । आइए इसकी जाँच कोई भी प्राकृत संख्या, माना 15 लेकर करें । अब, 2n = 2 ×15 = 30 है, जो वास्तव में एक सम संख्या है तथा 2n + 1 = 2 × 15 + 1 = 30 + 1 = 31 है, जो वास्तव में एक विषम संख्या है ।

 

आगे बढ़िए और एेसी ही और पैटर्नों की खोज कीजिए ।

 कुछ और संख्या पैटर्न

आइए संख्याओं के एक अन्य पैटर्न पर विचार करें, जिसमें हमारी सहायता के लिए कोई आकृति बनी हुई नहीं है ः 3, 6, 9, 12, ..., 3n, ...

ये संख्याएँ 3 के गुणज (multiples) हैं और इन्हें 3 से प्रारंभ करते हुए आरोही क्रम में व्यवस्थित किया गया है । n वें स्थान पर आने वाले पद को 3n से व्यक्त किया गया है इसकी सहायता से, आप सरलतापूर्वक 10वें स्थान पर आने वाले पद (जो 3 × 10 = 30 है) तथा 100 वें स्थान पर आने वाले पद (जो 3 × 100 = 300 है), इत्यादि ज्ञात कर सकते हैं ।

 ज्यामिति में पैटर्न

एक चतुर्भुज के किसी शीर्ष से उसके कितने विकर्ण खींचे जा सकते हैं ? जाँच कीजिए कि इनकी संख्या एक है ।

एक पंचभुज के एक शीर्ष से उसके कितने विकर्ण खींच सकते हैं ? जाँच कीजिए कि इनकी संख्या दो है ।

एक षटभुज के एक शीर्ष से उसके कितने विकर्ण खींचे जा सकते हैं? जाँच कीजिए यह संख्या 3 है ।

n भुजा वाले किसी बहुभुज के एक शीर्ष से हम कुल (n – 3) विकर्ण खींच सकते हैं । एक सप्तभुज (7 भुजाएँ) और अष्टभुज (8 भुजाएँ) के लिए, उनकी आकृतियाँ खींच करके इसकी जाँच कीजिए । यह संख्या एक त्रिभुज (3 भुजाएँ) के लिए क्या है ? ध्यान दीजिए कि किसी बहुभुज के किसी एक शीर्ष से खींचे गए विकर्ण उसे उतने अनानिव्यापी (non-overlapping) (जो एक दूसरे को न ढकते हों) त्रिभुजों में विभाजित करते हैं जितनी विकर्णों की संख्या से अधिक 1 संख्या होती है ।