9.1 व्यंजक क्या है?

पिछली कक्षाओं में हम बीजीय व्यंजकों (अथवा केवल व्यंजकों) के बारे में जानकारी प्राप्त कर चुके हैं। x + 3, 2y – 5, 3x2, 4xy + 7 इत्यादि व्यंजकों के उदाहरण हैं।

आप और अधिक व्यंजक बना सकते हैं। जैसा कि आप जानते हैं व्यंजकों का निर्माण चरों एवं अचरों की सहायता से होता है। व्यंजक 2y – 5 को चर y एवं अचरों 2 तथा 5 से बनाया गया है। व्यंजक 4xy + 7 को चरों x तथा y एवं अचरों 4 तथा 7 से बनाया गया है।

हम जानते हैं कि व्यंजक 2y – 5 में y का मान कुछ भी हो सकता है। यह 2, 5, –3, 0, , इत्यादि हो सकता है। वास्तव में y के असंख्य विभिन्न मान हो सकते हैं। व्यंजक के चर का मान बदलने पर व्यंजक का मान बदल जाता है। इस प्रकार y को विभिन्न मान देने पर 2y – 5 का मान बदलता जाता है। जब y = 2, 2y – 5 = 2 (2) – 5 = – 1, जब y = 0, 2y – 5 = 2 × 0 – 5 = – 5 इत्यादि। y के कुछ अन्य दिए हुए मानों के लिए व्यंजक 2y – 5 के मान ज्ञात कीजिए।

संख्या रेखा और व्यंजक

व्यंजक x + 5 की चर्चा करते हैं। आइए, मान लेते हैं कि संख्या रेखा पर चर x की स्थिति X है।

X, संख्या रेखा पर कहीं भी हो सकता है परंतु यह निश्चित है कि x + 5 का मान, x के दाईं तरफ़ 5 इकाई की दूरी पर बिंदु P से निरूपित किया जाएगा। इसी प्रकार, x – 4 का मान X के बाईं तरफ़ 4 इकाई की दूरी पर होगा। 4x एवं 4x + 5 की स्थिति के बारे में क्या कहा जा सकता है?

4x की स्थिति बिंदु C पर होगी। मूल बिंदु से C की दूरी X की दूरी से चार गुना होगी।
4x + 5 की स्थिति D, C के दाईं तरफ़ 5 इकाई की दूरी पर होगी।

9.2 पद, गुणनखंड एवं गुणांक

व्यंजक 4x + 5 को लीजिए। यह व्यंजक 4x एवं 5 दो पदों से बना हुआ है। पदों को जोड़कर व्यंजक बनाया जाता है। पद स्वयं भी गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में बनाए जा सकते हैं। पद 4x अपने गुणनखंडों 4 एवं x का गुणनफल है। पद 5 केवल एक गुणनखंड 5 से बना हुआ है।

व्यंजक 7xy – 5x के दो पद 7xy एवं 5x हैं। पद 7xy गुणनखंडों 7, x एवं y का गुणनफल है। किसी पद का संख्यात्मक गुणनखंड उसका संख्यात्मक गुणांक (Numerical Coefficient) या गुणांक कहलाता है। पद 7xy का गुणांक 7 है और पद – 5x का गुणांक – 5 है।

जिस व्यंजक में केवल एक पद होता है उसे एकपदी कहते हैं। दो पदों वाला व्यंजक द्विपद कहलाता है। तीन पदों वाले व्यंजक को त्रिपद कहते हैं और इसी प्रकार अन्य। व्यापकत: एक अथवा अधिक पदों वाला व्यंजक जिसके गुणांक शून्येतर हों और जिसके चरों की घात ऋणेतर पूर्णांक हों, बहुपद कहलाता है। बहुपद के पदों की संख्या एक अथवा एक से अधिक कुछ भी हो सकती है।

एकपद के उदाहरण : 4x2, 3xy, –7z, 5xy2, 10y, – 9, 82mnp इत्यादि।

द्विपद के उदाहरण : a + b, 4l + 5m, a + 4, 5 – 3xy, z2 – 4y2 इत्यादि।

त्रिपद के उदाहरण : a + b + c, 2x + 3y – 5, x2y – xy2 + y2 इत्यादि।

बहुपद के उदाहरण : a + b + c + d, 3xy, 7xyz – 10, 2x + 3y + 7z इत्यादि।

9.4 समान एवं असमान पद

निम्नलिखित व्यंजकों को देखिए:

7x, 14x, –13x, 5x2, 7y, 7xy, –9y2, –9x2, –5yx

इनमें समान पद इस प्रकार है:

(i) 7x, 14x, एवं –13x (ii) 5x2 एवं –9x2

(iii) 7xy एवं –5yx

7x एवं 7y समान पद क्यों नहीं हैं?

7x एवं 7xy समान पद क्यों नहीं हैं?

7x एवं 5x2 समान पद क्यों नहीं हैं?

पिछली कक्षाओं में हमने यह भी सीखा है कि बीजीय व्यंजकों को कैसे जोड़ा और घटाया जाता है, उदाहरणार्थ 7x2 – 4x + 5 एवं 9x – 10, को जोड़ने के लिए हम इस प्रकार करते हैं:

7x2 – 4x + 5

+ 9x – 10

__________

7x2 + 5x – 5

विचार कीजिए कि हम योगफल कैसे ज्ञात करते हैं। जोड़े जाने वाले प्रत्येक व्यंजक को हम विभिन्न पंक्तियों में लिखते हैं। एेसा करते समय हम समान पदों को एक दूसरे के ऊपर-नीचे लिखते हैं और, जैसा ऊपर दर्शाया गया है, हम उन समान पदों को जोड़ते हैं। अत: 5 + (–10) = 5 –10 = –5 इसी प्रकार, – 4x + 9x = (– 4 + 9)x = 5x. आइए कुछ और उदाहरण हल करते हैं।

उदाहरण 1 : 7xy + 5yz – 3zx, 4yz + 9zx – 4y , –3xz + 5x – 2xy का योग ज्ञात कीजिए।

हल : समान पदों को एक दूसरे के ऊपर-नीचे रखकर तीन व्यंजकों को विभिन्न पंक्तियों में लिखते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

7xy + 5yz – 3zx

+ 4yz + 9zx – 4y

+ –2xy – 3zx + 5x (ध्यान दीजिए xz और zx एक समान हैं )

_________________

5xy + 9yz + 3zx + 5x – 4y

इस प्रकार व्यंजकों का योग 5xy + 9yz + 3zx + 5x – 4y है। ध्यान दीजिए दूसरे व्यंजक के पद – 4y और तीसरे व्यंजक के पद 5x को योगफल में वैसे ही लिखा गया है जैसे वे हैं क्योंकि दूसरे व्यंजकों में उनका कोई समान पद नहीं है।

उदाहरण 2 : 7x2 – 4xy + 8y2 + 5x – 3y में से 5x2 – 4y2 + 6y – 3 को घटाइए।

हल :

7x2 – 4xy + 8y2 + 5x – 3y

(–) (+) (–) (+)

2x2 – 4xy + 12y2 + 5x – 9y + 3

प्रश्नावली 9.1

1. निम्नलिखित व्यंजकों में से प्रत्येक के पदों एवं गुणांकों को पहचानिए:

(i) 5xyz2 – 3zy (ii) 1 + x + x2 (iii) 4x2y2 – 4x2y2z2 + z2

(iv) 3 – pq + qr – rp (v) (vi) 0.3a – 0.6ab + 0.5b

2. निम्नलिखित बहुपदों को एकपदी, द्विपद एवं त्रिपद के रूप में वर्गीकृत कीजिए। कौन-सा बहुपद इन तीन श्रेणियों में से किसी में भी नहीं है?

x + y, 1000, x + x2 + x3 + x4, 7 + y + 5x, 2y – 3y2, 2y – 3y2 + 4y3, 5x – 4y + 3xy, 4z – 15z2, ab + bc + cd + da, pqr, p2q + pq2, 2p + 2q

3. निम्नलिखित का योग ज्ञात कीजिए:

(i) ab – bc, bc – ca, ca – ab (ii) a – b + ab, b – c + bc, c – a + ac

(iii) 2p2q2 – 3pq + 4, 5 + 7pq – 3p2q2 (iv) l2 + m2, m2 + n2, n2 + l2,

2lm + 2mn + 2nl

4. (a) 12a – 9ab + 5b – 3 में से 4a – 7ab + 3b + 12 को घटाइए।

(b) 5xy – 2yz – 2zx + 10xyz में से 3xy + 5yz – 7zx को घटाइए।

(c) 18 – 3p – 11q + 5pq – 2pq2 + 5p2q में से 4p2q – 3pq + 5pq2 – 8p + 7q – 10 को घटाइए।

9.6 बीजीय व्यंजकों का गुणन

(i) बिंदुओं के निम्नलिखित प्रतिरूप को देखिए:

 

(iii) क्या आप आयतन के बारे में सोच सकते हैं? (एक आयताकार बक्से का आयतन उसकी लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई के गुणनफल से प्राप्त होता है।)

(iv) सरिता कहती है कि जब हम वस्तुएँ खरीदते हैं तो हमें गुणा करना पड़ता है। उदाहरणार्थ यदि प्रति दर्जन केलाें का मूल्य p रुपये है और स्कूल पिकनिक के लिए z दर्जन केलों की आवश्यकता है, तो हमें (p × z) रुपयों का भुगतान करना पड़ेगा।

मान लीजिए, प्रति दर्जन केलों का मूल्य 2 रुपये कम होता और पिकनिक के लिए 4 दर्जन कम केलों की आवश्यकता होती तो, प्रति दर्जन केलों का मूल्य (p–2) रुपये होता और (z – 4) दर्जन केलों की आवश्यकता होती। इसलिए, हमें (p – 2) × (z – 4) रुपयों का भुगतान करना पड़ता है।

उपर्युक्त सभी उदाहरणों में हमने दो अथवा अधिक राशियों का गुणन किया है। यदि राशियाँ बीजीय व्यंजकों के रूप में दी हुई हैं और हमें उनका गुणनफल ज्ञात करना है तो इसका अर्थ यह हुआ कि हमें यह जानना चाहिए कि यह गुणनफल कैसे प्राप्त किया जाए। आइए, इसे क्रमानुसार करते हैं। सबसे पहले हम दो एकपदियों का गुणन करते हैं।

9.7 एकपदी को एकपदी से गुणा करना

9.7.1 दो एकपदियों को गुणा करना

हम प्रारंभ करते हैं

4 × x = x + x + x + x = 4x से जो पहले सीख चुके हैं।

इसी प्रकार, 4 × (3x) = 3x + 3x + 3x + 3x = 12x

अब निम्नलिखित गुणनफलों पर विचार कीजिए:

(i) x × 3y = x × 3 × y = 3 × x × y = 3xy

(ii) 5x × 3y = 5 × x × 3 × y = 5 × 3 × x × y = 15xy

(iii) 5x × (–3y) = 5 × x × (–3) × y

= 5 × (–3) × x × y = –15xy

(iv) 5x × 4x2 = (5 × 4) × (x × x2)

= 20 × x3 = 20x3

(v) 5x × (– 4xyz) = (5 × – 4) × (x × xyz)

= –20 × (x × x × yz) = –20x2yz

9.7.2 तीन अथवा अधिक एकपदियों को गुणा करना

निम्नलिखित उदाहरणों पर विचार कीजिए:

(i) 2x × 5y × 7z = (2x × 5y) × 7z = 10xy × 7z = 70xyz

(ii) 4xy × 5x2y2 × 6x3y3 = (4xy × 5x2y2) × 6x3y3 = 20x3y3 × 6x3y3 = 120x3y3 × x3y3

= 120 (x3 × x3) × (y3 × y3) = 120x6 × y6 = 120x6y6

यह स्पष्ट है कि हम सर्वप्रथम पहले दो एकपदियों को गुणा करते हैं और इस प्रकार गुणनफल के रूप में प्राप्त एकपदी को तीसरे एकपदी से गुणा करते हैं। बहुसंख्य एकपदियों को गुणा करने के लिए इस विधि का विस्तार किया जा सकता है।

उदाहरण 3 : एक आयत के, जिसकी लंबाई और चौड़ाई दी हुई है, क्षेत्रफल की सारणी को
पूरा कीजिए:

हल : 

उदाहरण 4 : निम्नलिखित सारणी में तीन आयताकार बक्सों की लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई दी हुई हैं। प्रत्येक का आयतन ज्ञात कीजिए:

हल : आयतन = लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई

अत: (i) आयतन = (2ax) × (3by) × (5cz)

= 2 × 3 × 5 × (ax) × (by) × (cz) = 30abcxyz

(ii) आयतन = m2n × n2p × p2m

= (m2 × m) × (n × n2) × (p × p2) = m3n3p3

(iii) आयतन = 2q × 4q2 × 8q3

= 2 × 4 × 8 × q × q2 × q3 = 64q6

प्रश्नावली 9.2

(i) 4, 7p (ii) – 4p, 7p (iii) – 4p, 7pq (iv) 4p3, – 3p

(v) 4p, 0

2. निम्नलिखित एकपदी युग्मों के रूप में लंबाई एवं चौड़ाई रखने वाले आयतों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

(p, q); (10m, 5n); (20x2, 5y2); (4x, 3x2); (3mn, 4np)

3. गुणनफलों की सारणी को पूरा कीजिए:

4. एेसे घना आकार बक्सों का आयतन ज्ञात कीजिए जिनकी लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमश: निम्नलिखित हैं:

(i) 5a, 3a2, 7a4 (ii) 2p, 4q, 8r (iii) xy, 2x2y, 2xy2 (iv) a, 2b, 3c

5. निम्नलिखित का गुणनफल ज्ञात कीजिए:

(i) xy, yz, zx (ii) a, – a2, a3 (iii) 2, 4y, 8y2, 16y3

(iv) a, 2b, 3c, 6abc (v) m, – mn, mnp

9.8 एकपदी को बहुपद से गुणा करना

9.8.1 एकपदी को द्विपद से गुणा करना

आइए, एकपदी 3x को द्विपद 5y + 2 से गुणा करते हैं, अर्थात्, 3x × (5y + 2) ज्ञात करते हैं।

स्मरण कीजिए कि 3x और (5y + 2) संख्याओं को निरूपित करते हैं। इसलिए विवरण के नियम का उपयोग करते हुए, 3x × (5y + 2) = (3x × 5y) + (3x × 2) = 15xy + 6x

और 5xy × (y2 + 3) = (5xy × y2) + (5xy × 3) = 5xy3 + 15xy.

द्विपद एवं एकपदी के गुणनफल के बारे में आपका क्या विचार है? उदाहरणार्थ (5y + 2) × 3x = ?

हम 7 × 3 = 3 × 7; अथवा व्यापक रूप से a × b = b × a के रूप में क्रमविनिमेय नियम का उपयोग कर सकते हैं।

इसी प्रकार (5y + 2) × 3x = 3x × (5y + 2) = 15xy + 6x है।

9.8.2 एकपदी को त्रिपद से गुणा करना

3p × (4p2 + 5p + 7) लीजिए। पहले की तरह हम वितरण नियम का उपयोग कर सकते हैं।

3p × (4p2 + 5p + 7) = (3p × 4p2) + (3p × 5p) + (3p × 7)

त्रिपद के प्रत्येक पद को एकपदी से गुणा कीजिए और गुणनफल को जोड़ दीजिए।

प्रयास कीजिए

प्रयास कीजिए

उदाहरण 5 : व्यंजकों को सरल कीजिए और निर्देशानुसार मान ज्ञात कीजिए:

हल :

(i) x (x – 3) + 2 = x2 – 3x + 2

x = 1 के लिए, x2 – 3x + 2 = (1)2 – 3 (1) + 2

= 1 – 3 + 2 = 3 – 3 = 0

(ii) 3y(2y – 7) – 3 (y – 4) – 63 = 6y2 – 21y – 3y + 12 – 63

= 6y2 – 24y – 51

y = –2 के लिए, 6y2 – 24y – 51 = 6 (–2)2 – 24(–2) – 51

= 6 × 4 + 24 × 2 – 51

= 24 + 48 – 51 = 72 – 51 = 21

उदाहरण 6 : जोड़िए:

(i) 5m (3 – m) एवं 6m2 – 13m (ii) 4y (3y2 + 5y – 7) एवं 2 (y3 – 4y2 + 5)

हल :

(i) प्रथम व्यंजक 5m (3 – m) = (5m × 3) – (5m × m) = 15m – 5m2

अब द्वितीय व्यंजक जोड़ने पर 15m – 5m2 + 6m2 – 13m = m2 + 2m

(ii) प्रथम व्यंजक = 4y (3y2 + 5y – 7) = (4y × 3y2) + (4y × 5y) + (4y × (–7))

= 12y3 + 20y2 – 28y

द्वितीय व्यंजक = 2 (y3 – 4y2 + 5) = 2y3 + 2 × (– 4y2) + 2 × 5

= 2y3 – 8y2 + 10

दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर

12y3 + 20y2 – 28y

+ 2y3 – 8y2 + 10

________________

14y3 + 12y2 – 28y + 10

उदाहरण 7 : 2pq (p + q) में से 3pq (p – q) को घटाइए।

हल : हम प्राप्त करते हैं 3pq (p – q) = 3p2q – 3pq2 और

2pq (p + q) = 2p2q + 2pq2

घटाने पर

 2p2q + 2pq2

3p2q – 3pq2

–    +

__________

– p2q + 5pq2

प्रश्नावली 9.3

1. निम्नलिखित युग्मों में प्रत्येक के व्यंजकों का गुणन कीजिए:

(i) 4p, q + r (ii) ab, a – b (iii) a + b, 7a2b2 (iv) a2 – 9, 4a

(v) pq + qr + rp, 0

2. सारणी पूरा कीजिए :

  

3. गुणनफल ज्ञात कीजिए:

(i) (a²) × (2a22) × (4a26) (ii) 

(iii) (iv) x × x2 × x3 × x4

4. (a) 3x (4x – 5) + 3 को सरल कीजिए और (i) x = 3 एवं (ii) x = के लिए इसका मान ज्ञात कीजिए।

(b) a (a2 + a + 1) + 5 को सरल कीजिए और (i) a = 0, (ii) a = 1 एवं (iii) a = – 1

के लिए इसका मान ज्ञात कीजिए।

5. (a) p ( p – q), q ( q – r) एवं r ( r – p) को जोड़िए।

(b) 2x (z – x – y) एवं 2y (z – y – x) को जोड़िए।

(c) 4l ( 10n – 3m + 2 l ) में से 3l (l – 4m + 5n) को घटाइए।

(d) 4c ( – a + b + c ) में से 3a (a + b + c ) – 2 b (a – b + c) को घटाइए।

9.9 बहुपद को बहुपद से गुणा करना

9.9.1 द्विपद को द्विपद से गुणा करना

आइए, एक द्विपद (2a + 3b) को दूसरे द्विपद (3a + 4b) से गुणा करते हैं। जैसा कि हमने पहले किया है, वैसे ही गुणन के वितरण नियम का अनुसरण करते हुए हम इसे भी क्रम से करते हैं;

(3a + 4b) × (2a + 3b) = 3a × (2a + 3b) + 4b × (2a + 3b)

= (3a × 2a) + (3a × 3b) + (4b × 2a) + (4b × 3b)

= 6a2 + 9ab + 8ba + 12b2

= 6a2 + 17ab + 12b2 (क्योंकि ba = ab है।)

2 × 2 = 4 पद उपस्थित होने चाहिए परंतु इनमें से दो पद समान हैं जिनको एक साथ इकट्ठा कर दिया है और इस प्रकार हमें 3 पद प्राप्त होते हैं।

बहुपद को बहुपद से गुणा करते समय हमें समान पदों को ढूँढ़ लेना चाहिए और उन्हें मिला लेना चाहिए।

उदाहरण 8 : गुणा कीजिए:

(i) (x – 4) एवं (2x + 3) को (ii) (x – y) एवं (3x + 5y) को

हल :

(i) (x – 4) × (2x + 3) = x × (2x + 3) – 4 × (2x + 3)

= (x × 2x) + (x × 3) – (4 × 2x) – (4 × 3) = 2x2 + 3x – 8x – 12

= 2x2 – 5x – 12 (समान पदों को जोड़ने पर)

(ii) (x – y) × (3x + 5y) = x × (3x + 5y) – y × (3x + 5y)

= (x × 3x) + (x × 5y) – (y × 3x) – ( y × 5y)

= 3x2 + 5xy – 3yx – 5y2 = 3x2 + 2xy – 5y2

उदाहरण 9 : गुणा कीजिए:

(i) (a + 7) और (b – 5) को (ii) (a2 + 2b2) और (5a – 3b) को

हल :

(i) (a + 7) × (b – 5) = a × (b – 5) + 7 × (b – 5)

= ab – 5a + 7b – 35

नोट कीजिए कि इस गुणन में कोई भी समान पद नहीं हैं।

(ii) (a2 + 2b2) × (5a – 3b) = a2 (5a – 3b) + 2b2 × (5a – 3b)

= 5a3 – 3a2b + 10ab2 – 6b3

9.9.2 द्विपद को त्रिपद से गुणा करना

इस गुणन में हमें त्रिपद के प्रत्येक पद को द्विपद के प्रत्येक पद से गुणा करना पड़ेगा। इस प्रकार हमें 3 × 2 = 6 पद प्राप्त होंगे, यदि एक पद को एक पद से गुणा करने पर समान पद बनते हैं, तो प्राप्त पदों की संख्या घटकर पाँच या उससे भी कम हो सकती है।

× = a × (a2 + 3a + 5) + 7 × (a2 + 3a + 5) वितरण नियम के उपयोग से

= a3 + 3a2 + 5a + 7a2 + 21a + 35

= a3 + (3a2 + 7a2) + (5a + 21a) + 35

= a3 + 10a2 + 26a + 35 (अंतिम परिणाम में केवल 4 पद ही क्यों हैं?)

उदाहरण 10 : सरल कीजिए: (a + b) (2a – 3b + c) – (2a – 3b) c

हल : हम प्राप्त करते हैं:

(a + b) (2a – 3b + c) = a (2a – 3b + c) + b (2a – 3b + c)

= 2a2 – 3ab + ac + 2ab – 3b2 + bc

= 2a2 – ab – 3b2 + bc + ac

(ध्यान दीजिए –3ab एवं 2ab समान पद हैं।)

और (2a – 3b) c = 2ac – 3bc है।

इसलिए, (a + b) (2a – 3b + c) – (2a – 3b) c = 2a2 – ab – 3b2 + bc + ac – (2ac – 3bc)

= 2a2 – ab – 3b2 + bc + ac – 2ac + 3bc

= 2a2 – ab – 3b2 + (bc + 3bc) + (ac – 2ac)

= 2a2 – 3b2 – ab + 4bc – ac

प्रश्नावली 9.4

(i) (2x + 5) और (4x – 3) (ii) (y – 8) और (3y – 4)

(iii) (2.5l – 0.5m) और (2.5l + 0.5m) (iv) (a + 3b) और (x + 5)

(v) (2pq + 3q2) और (3pq – 2q2)

(vi) 

2. गुणनफल ज्ञात कीजिए:

(i) (5 – 2x) (3 + x) (ii) (x + 7y) (7x – y)

(iii) (a2 + b) (a + b2) (iv) (p2 – q2) (2p + q)

3. सरल कीजिए:

(i) (x2 – 5) (x + 5) + 25 (ii) (a2 + 5) (b3 + 3) + 5

(iii) (t + s2) (t2 – s)

(iv) (a + b) (c – d) + (a – b) (c + d) + 2 (ac + bd)

(v) (x + y)(2x + y) + (x + 2y)(x – y) (vi) (x + y)(x2 – xy + y2)

(vii) (1.5x – 4y)(1.5x + 4y + 3) – 4.5x + 12y

(viii) (a + b + c)(a + b – c)

9.10 सर्वसमिका क्या है?

समिका (a + 1) (a +2) = a2 + 3a + 2 को लीजिए। a के किसी मान a = 10 के लिए हम इस समिका के दोनों पक्षों का मान ज्ञात करेंगे।

a = 10 के लिए बायाँ पक्ष LHS = (a + 1) (a + 2) = (10 + 1) (10 + 2) = 11 × 12 = 132

दायाँ पक्ष RHS = a2 + 3a + 2 = 102 + 3 × 10 + 2 = 100 + 30 + 2 = 132

अत: a = 10 के लिए समिका के दोनों पक्षों के मान समान हैं।

आइए अब a = –5 लेते हैं।

LHS = (a + 1) (a + 2) = (–5 + 1) (–5 + 2) = (– 4) × (–3) = 12

RHS = a2 + 3a + 2 = (–5)2 + 3 (–5) + 2

= 25 – 15 + 2 = 10 + 2 = 12

अत: a = –5 के लिए, भी LHS = RHS है।

इस प्रकार, हम प्राप्त करते हैं कि a के किसी भी मान के लिए, इस समिका का LHS = RHS है। एेसी समिका जो चर के सभी मानों के लिए सत्य होती है, सर्वसमिका कहलाती है। इस प्रकार (a + 1) (a + 2) = a2 + 3a + 2 एक सर्वसमिका है।

एक समीकरण अपने चर के केवल कुछ निश्चित मानों के लिए ही सत्य होता है, यह चर के सभी मानों के लिए सत्य नहीं होता है। उदाहरणार्थ समीकरण a2 + 3a + 2 = 132 की चर्चा कीजिए। यह समीकरण a = 10 के लिए सत्य है जैसा कि हम उपर्युक्त पंक्तियों में देख चुके हैं। परंतु a = –5 अथवा a = 0 इत्यादि के लिए यह सत्य नहीं है।

दर्शाइए कि a2 + 3a + 2 = 132, a = –5 एवं a = 0 के लिए सत्य नहीं है।

9.11 मानक सर्वसमिकाएँ

अब हम एेसी तीन सर्वसमिकाओं के बारे में अध्ययन करेंगे जो बहुत उपयोगी हैं। एक द्विपद को दूसरे द्विपद से गुणा करते हुए इन सर्वसमिकाओं को प्राप्त किया जाता है।

सर्वप्रथम हम गुणनफल (a + b) (a + b) अथवा (a + b)2 के बारे में चर्चा करते हैं।

(a + b)2 = (a + b) (a + b)

= a(a + b) + b (a + b)

= a2 + ab + ba + b2

= a2 + 2ab + b2 (क्योंकि ab = ba)

अत:

स्पष्टत: यह एक सर्वसमिका है क्योंकि वास्तविक गुणन द्वारा LHS से RHS प्राप्त किया गया है। आप सत्यापित कर सकते हैं कि a तथा b के किसी भी मान के लिए, सर्वसमिका के दोनों पक्षों के मान समान हैं।

• इसके पश्चात् हम गुणनफल (a – b) (a – b) अथवा (a – b)2 के बारे में चर्चा करते हैं।

(a – b)2 = (a – b) (a – b) = a (a – b) – b (a – b)

= a2 – ab – ba + b2 = a2 – 2ab + b2

अथवा

• अंतत: (a + b) (a – b) पर विचार करते हैं।

हमें प्राप्त है: (a + b) (a – b) = a (a – b) + b (a – b)

= a2 – ab + ba – b2 = a2 – b2 (क्योंकि ab = ba)

अथवा

सर्वसमिका (I), (II) और (III) मानक सर्वसमिकाएँ कहलाती हैं।

• अब हम एक और अधिक उपयोगी सर्वसमिका का अध्ययन करते हैं।

(x + a) (x + b) = x (x + b) + a (x + b)

= x2 + bx + ax + ab

अथवा

हम देख सकते हैं कि सर्वसमिका (IV) अन्य तीनों सर्वसमिकाओं का व्यापक रूप है।

अब हम देखेंगे कि सर्वसमिकाओं का उपयोग द्विपद व्यंजकों के गुणन और संख्याओं के गुणन के लिए भी साधारण वैकल्पिक विधि प्रदान करता है।

उदाहरण 11 : सर्वसमिका (I) का उपयोग करते हुए (i) (2x + 3y)² (ii) 103²

ज्ञात कीजिए।

हल :

(i) (2x + 3y)2 = (2x)2 + 2(2x) (3y) + (3y)2 [सर्वसमिका (I) के उपयोग से]

= 4x2 + 12xy + 9y2

हम (2x + 3y)2 का मान सीधे ज्ञात कर सकते हैं:

(2x + 3y)2 = (2x + 3y) (2x + 3y)

= (2x) (2x) + (2x) (3y) + (3y) (2x) + (3y) (3y)

= 4x2 + 6xy + 6 yx + 9y2 (क्योंकि xy = yx)

= 4x2 + 12xy + 9y2 (क्योंकि xy = yx)

सर्वसमिका (I) के उपयोग से हम (2x + 3y) का वर्ग करने की वैकल्पिक विधि प्राप्त करते हैं। क्या आपने ध्यान दिया कि उपर्युक्त सीधी विधि की तुलना में सर्वसमिका विधि के चरणों की संख्या कम है? आप इस विधि की सरलता तब अधिक महसूस करेंगे जब आप (2x + 3y) की तुलना में अधिक जटिल द्विपद व्यंजकों का वर्ग करने का प्रयत्न करेंगे।

(ii) (103)2 = (100 + 3)2

= 1002 + 2 × 100 × 3 + 32

= 10000 + 600 + 9 = 10609

हम 103 को 103 से सीधे भी गुणा करके वांछित उत्तर प्राप्त कर सकते हैं। क्या आपने ध्यान दिया कि 103 का सीधी विधि से वर्ग करने की तुलना में सर्वसमिका (I) ने हमें सरल विधि प्रदान की है? 1013 का वर्ग करने का प्रयत्न कीजिए। आप इस स्थिति में भी सीधे गुणन विधि की तुलना में सर्वसमिकाओं के उपयोग की विधि को अधिक सरल पाएँगे।

उदाहरण 12 : सर्वसमिका (II) के उपयोग से (i) (4p – 3q)2 (ii) (4.9)2 ज्ञात कीजिए।

हल :

(i) (4p – 3q)2 = (4p)2 – 2 (4p) (3q) + (3q)2 [सर्वसमिका (II) के उपयोग से]

= 16p2 – 24pq + 9q2

क्या आप सहमत हैं कि (4p – 3q)2 का वर्ग करने के लिए सीधी विधि की तुलना में सर्वसमिकाओं की विधि ज़्यादा उबाने वाली है?

(ii) (4.9)2 = (5.0 – 0.1)2 = (5.0)2 – 2 (5.0) (0.1) + (0.1)2

= 25.00 – 1.00 + 0.01 = 24.01

क्या 4.9 का वर्ग करना, सीधी गुणन विधि की तुलना में सर्वसमिका (II) की सहायता से सरल नहीं है?

उदाहरण 13 : सर्वसमिका (III) का उपयोग करते हुए,

(i) (ii) 9832 – 172 (iii) 194 × 206 ज्ञात कीजिए।

हल :

(i)

=

(ii) 9832 – 172 = (983 + 17) (983 – 17)

[यहाँ a = 983, b = 17, a2 – b2 = (a + b) (a – b)]

इसलिए, 9832 – 172 = 1000 × 966 = 966000

(iii) 194 × 206 = (200 – 6) × (200 + 6) = 2002 – 62

= 40000 – 36 = 39964

उदाहरण 14 : निम्नलिखित को ज्ञात करने के लिए, (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab सर्वसमिका का उपयोग कीजिए।

(i) 501 × 502 (ii) 95 × 103

हल :

(i) 501 × 502 = (500 + 1) × (500 + 2) = 5002 + (1 + 2) × 500 + 1 × 2

= 250000 + 1500 + 2 = 251502

(ii) 95 × 103 = (100 – 5) × (100 + 3) = 1002 + (–5 + 3) 100 + (–5) × 3

= 10000 – 200 – 15 = 9785

प्रश्नावली 9.5

1. निम्नलिखित गुणनफलों में से प्रत्येक को प्राप्त करने के लिए उचित सर्वसमिका का उपयोग कीजिए:

(i) (x + 3) (x + 3) (ii) (2y + 5) (2y + 5) (iii) (2a – 7) (2a – 7)

(iv) (3a – ) (3a – ) (v) (1.1m – 0.4) (1.1m + 0.4)

(vi) (a2 + b2) (– a2 + b2) (vii) (6x – 7) (6x + 7) (viii) (– a + c) (– a + c)

(ix)  (x) (7a – 9b) (7a – 9b)

2. निम्नलिखित गुणनफलों को ज्ञात करने के लिए, सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x2 +
(a + b) x + ab का उपयोग कीजिए:

(i) (x + 3) (x + 7) (ii) (4x + 5) (4x + 1)

(iii) (4x – 5) (4x – 1) (iv) (4x + 5) (4x – 1)

(v) (2x + 5y) (2x + 3y) (vi) (2a2 + 9) (2a2 + 5)

(vii) (xyz – 4) (xyz – 2)

3. सर्वसमिका का उपयोग करते हए निम्नलिखित वर्गों को ज्ञात कीजिए:

(i) (b – 7)2 (ii) (xy + 3z)2 (iii) (6x2 – 5y)2

(iv) (v) (0.4p – 0.5q)2 (vi) (2xy + 5y)2

4. सरल कीजिए:

(i) (a2 – b2)2 (ii) (2x + 5)2 – (2x – 5)2

(iii) (7m – 8n)2 + (7m + 8n)2 (iv) (4m + 5n)2 + (5m + 4n)2

(v) (2.5p – 1.5q)2 – (1.5p – 2.5q)2

(vi) (ab + bc)2 – 2ab2c (vii) (m2 – n2m)2 + 2m3n2

5. दर्शाइए कि:

(i) (3x + 7)2 – 84x = (3x – 7)2 (ii) (9p – 5q)2 + 180pq = (9p + 5q)2

(iii) + 2mn =

(iv) (4pq + 3q)2 – (4pq – 3q)2 = 48pq2

(v) (a – b) (a + b) + (b – c) (b + c) + (c – a) (c + a) = 0

6. सर्वसमिकाओं के उपयोग से निम्नलिखित मान ज्ञात कीजिए:

(i) 712 (ii) 992 (iii) 1022 (iv) 9982

(v) 5.22 (vi) 297 × 303 (vii) 78 × 82 (viii) 8.92

(ix) 10.5 × 9.5

7. a2 – b2 = (a + b) (a – b) का उपयोग करते हुए, निम्नलिखित मान ज्ञात कीजिए:

(i) 512 – 492 (ii) (1.02)2 – (0.98)2 (iii) 1532 – 1472

(iv) 12.12 – 7.92

8. (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab का उपयोग करते हुए निम्नलिखित मान
ज्ञात कीजिए:

(i) 103 × 104 (ii) 5.1 × 5.2 (iii) 103 × 98 (iv) 9.7 × 9.8