प्रायिकता (Probability)

"Where a mathematical reasoning can be had, it is as great a folly to  make use of any other, as to grope for a thing in the dark, when you have a candle in your hand.– John Arbuthnot "

14.1 घटना (Event)

हमने यादृच्छिक परीक्षण और उसके प्रतिदर्श समष्टि के बारे में पढ़ा है। किसी परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि उस परीक्षण से संबंधित सभी प्रश्नों के लिए सार्वत्रिक समुच्चय (Universal set) होता है।

एक सिक्के को दो बार उछालने के परीक्षण पर विचार कीजिए। संबंधित प्रतिदर्श समष्टि S = {HH, HT, TH, TT} है।

अब, मान लीजिए कि हमारी रुचि उन परिणामों में है जो तथ्यत: एक चित्त प्रकट होने के अनुकूल होते हैं। हम पाते हैं कि इस घटना के होने के अनुकूल S के अवयव केवल HT और TH हैं। यह दो अवयव एक समुच्चय E = {HT, TH} बनाते हैं।

हम जानते हैं कि समुच्चय E प्रतिदर्श समष्टि S का उपसमुच्चय है। इसी प्रकार हम पाते हैं कि विभिन्न घटनाओं और S के उपसमुच्चयों में निम्नलिखित संगतता है:

उपर्युक्त चर्चा से यह स्पष्ट है कि प्रतिदर्श समष्टि के किसी उपसमुच्चय के संगत एक घटना होती है और किसी घटना के संगत प्रतिदर्श समष्टि का एक उपसमुच्चय होता है। इसके संदर्भ में एक घटना को निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित किया जाता है:

परिभाषा प्रतिदर्श समष्टि S का कोई उपसमुच्चय एक घटना कही जाती है।

14.1.1 एक घटना का घटित होना (Occurrence of an event) 

एक पासा को फेंकने के परीक्षण पर विचार कीजिए। मान लीजिए कि घटना ‘पासा पर 4 से छोटी संख्या प्रकट होना’ को E से निरूपित किया जाता है। यदि पासा पर वास्तव में ‘1’ प्रकट होता है तो हम कह सकते हैं कि घटना E घटित हुई है। वस्तुत: यदि परिणाम 2 या 3 हैं तो हम कहते हैं कि घटना E घटित हुई है।

अत: किसी परीक्षण के प्रतिदर्श समष्टि S की घटना E घटित हुई कही जाती है यदि परीक्षण का परिणाम ω इस प्रकार है कि ω ∈ E. यदि परिणाम ω एेसा है कि ω ∉ E,तो हम कहते हैं कि घटना E घटित नहीं हुई है।

14.1.2 घटनाओं के प्रकार (Types of events) 

घटनाओं को उनके अवयवों के आधार पर विभिन्न प्रकारों में वर्गीकृत किया जा सकता है।

1. असंभव व निश्चित घटनाएँ (Impossible and Sure Events) रिक्त समुच्चय φ और प्रतिदर्श समष्टि S भी घटनाओं को व्यक्त करते हैं। वास्तव में φ को असंभव घटना और S अर्थात् पूर्ण प्रतिदर्श समष्टि को निश्चित घटना कहते हैं।

इन्हें समझने के लिए आइए पासा फेंकने के परीक्षण पर विचार करें। इस परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि S = {1,2,3,4,5,6} है।

मान लीजिए E घटना ‘पासे पर प्रकट संख्या 7 का गुणज है’ को निरूपित करता है। क्या आप घटना E के संगत उपसमुच्चय लिख सकते हैं?

स्पष्टतया परीक्षण का कोई भी परिणाम घटना E के प्रतिबंध को संतुष्ट नहीं करता है अर्थात् प्रतिदर्श समष्टि का कोई भी अवयव घटना E का घटित होने को निश्चित नहीं करता हैं। अत: हम कह सकते हैं कि केवल रिक्त समुच्चय ही घटना E के संगत समुच्चय है। दूसरे शब्दों में, हम कह सकते हैं कि पासे के ऊपरी फलक पर 7 का गुणज प्रकट होना असंभव है।

इस प्रकार घटना E = φ एक असंभव घटना है।

आइए अब हम एक अन्य घटना F ‘पासा पर प्राप्त संख्या या तो सम है या विषम’ पर विचार करें। स्पष्टतया F = {1,2,3,4,5,6,} = S.

अर्थात् सभी परिणाम घटना F के घटित होने को निश्चित करते हैं। अत: F = S एक निश्चित घटना है।

2. सरल घटना (Simple Event) यदि किसी घटना E में केवल एक ही प्रतिदर्श बिंदु हो, तो घटना E को सरल या प्रारम्भिक घटना कहते हैं। एेसा परीक्षण जिसके प्रतिदर्श समष्टि जिसमें द पृथक अवयव हों, में द सरल घटनाएँ विद्यमान होती हैं।

उदाहरण के लिए, एक सिक्का के दो उछालों वाले परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि

S={HH, HT, TH, TT} है।

यहाँ इस प्रतिदर्श समष्टि की चार सरल घटनाएँ हैं, जो निम्नलिखित हैं:

E1= {HH}, E2={HT}, E3= { TH} और E4={TT}.

3. मिश्र घटना (Compound Events) यदि किसी घटना में एक से अधिक प्रतिदर्श बिंदु होते हैं, तो उसे मिश्र घटना कहते हैं। उदाहरण के लिए एक सिक्के की तीन उछालों के परीक्षण में निम्नलिखित घटनाएँ मिश्र घटनाएँ हैं:

E: तथ्यत: एक चित्त प्रकट होना

F: न्यूनतम एक चित्त प्रकट होना

G: अधिकतम एक चित्त प्रकट होना, इत्यादि।

इन घटनाओं के संगत S के उपसमुच्चय निम्नलिखित हैं:

E={HTT,THT,TTH}

F={HTT,THT, TTH, HHT, HTH, THH, HHH}

G= {TTT, THT, HTT, TTH}

उपर्युक्त प्रत्येक उपसमुच्चय में एक से अधिक प्रतिदर्श बिंदु हैं इसलिए यह सब मिश्र
घटनाएँ हैं।

14.1.3 घटनाओं का बीजगणित (Algebra of Events) 

समुच्चयों के अध्याय में हमने दो या अधिक समुच्चयों के संयोजन के विभिन्न तरीकों के बारे में पढ़ा था अर्थात् सम्मिलन (union), सर्वनिष्ठ (intersection), अंतर (difference), समुच्चय का पूरक (Complement of a set), इत्यादि के बारे में समझा था। इसी प्रकार हम घटनाओं का संयोजन समुच्चय संकेतनों के सदृश उपयोग द्वारा कर सकते हैं।

मान लीजिए A,B,C एेसे प्रयोग से संबद्ध घटनाएँ हैं जिसकी प्रतिदर्श समष्टि S है।

1. पूरक घटना (Complementary Event) प्रत्येक घटना A के सापेक्ष एक अन्य घटना होती है जिसे घटना A की पूरक घटना कहते हैं। A′ को घटना ‘A–नहीं’ भी कहा जाता है।

उदाहरण के लिए ‘एक सिक्के की तीन उछालों’ के परीक्षण को लें। इसका प्रतिदर्श समष्टि

S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT} है।

मान लीजिए A={HTH, HHT, THH} घटना ‘केवल एक पट का प्रकट होना’ को दर्शाता है। परिणाम HTT के होने पर घटना A घटित नहीं हुई है। किंतु हम कह सकते हैं कि घटना ‘A–नहीं’ घटित हुई है। इस प्रकार, प्रत्येक परिणाम के लिए जो A में नहीं हैं हम कहते हैं कि ‘A-नहीं’ घटित हुई है। इस प्रकार घटना A के लिए पूरक घटना ‘A–नहीं’ अर्थात्

A′= {HHH, HTT, THT, TTH, TTT}

या A′= {ω : ω ∈ S और ω ∉ A} = S – A है।

2. घटना ‘A या B’ (Event A or B) स्मरण कीजिए कि दो समुच्चयों A और B का सम्मिलन
A ∪ B द्वारा निरूपित किया जाता है जिसमें वह सब अवयव सम्मिलित होते हैं जो या तो A में हैं या B में है या दोनों में हैं।

जब समुच्चय A और B किसी प्रतिदर्श समष्टि से संबंधित दो घटनाएँ हों तो ‘A ∪ B’ घटना A या B या दोनों को निरूपित करता है। घटना ‘A ∪ B’ को ‘A या B’ भी कहा जाता है।

इसलिए घटना ‘A या B’ = A ∪ B = {ω: ω∈A या ∈ B}

3. घटना 'A और B' (Event A and B) हम जानते हैं कि दो समुच्चयों का सर्वनिष्ठ
A ∩ B वह समुच्चय होता है जिसमें वे अवयव होते हैं जो A और B दोनों में उभयनिष्ठ होते हैं अर्थात् जो A और B दोनों में होते हैं।

यदि ‘A और B’ दो घटनाएँ हों तो समुच्चय A ∩ B घटना ‘A और B’ को दर्शाता है।

इस प्रकार, A ∩ B = {ω : ω ∈ A और ω ∈ B}

उदाहरण के लिए एक पासा को दो बार फेंकने के परीक्षण में मान लीजिए घटना A ‘पहली फेंक में संख्या 6 प्रकट होती है’ और घटना B ‘दो फेंकों पर प्रकट संख्याओं का योग न्यूनतम 11 होता है’ को व्यक्त करती हैं। तब

A = {(6,1), (6,2}, (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} और B = {(5,6), (6,5), (6,6)}

इसलिए A ∩ B = {(6,5), (6,6)}

नोट कीजिए कि समुच्चय A ∩ B = {(6,5), (6,6)}, घटना ‘पहली फेंक पर 6 प्रकट होता है और दोनों फेंकों पर प्रकट संख्याओं का योग न्यूनतम 11 होता है’ को व्यक्त करता है।

4. घटना ‘A किंतु B नहीं’ (Event A but not B) हम जानते हैं कि A – B उन सभी अवयवों का समुच्चय होता है जो A में तो हैं लेकिन B में नहीं हैं। इसलिए, समुच्चय 'A – B' घटना ‘A किंतु B नहीं’ को व्यक्त कर सकता है। हम जानते हैं कि A – B = A ∩ B′

उदाहरण 1 एक पासा फेंकने के परीक्षण पर विचार कीजिए। घटना ‘एक अभाज्य संख्या प्राप्त होना’ को A से और घटना ‘एक विषम संख्या प्राप्त होना’ को B से निरूपित किया गया है। निम्नलिखित घटनाओं (i) A या B (ii) A और B (iii) A किंतु B नहीं (iv) ‘A–नहीं’ को निरूपित करने वाले समुच्चय लिखिए।

हल यहाँ S = {1,2,3,4,5,6}, A = {2,3,5} और B = {1,3,5}

प्रत्यक्षत:

(i) ‘A या B’ = A ∪ B = {1,2,3,5}

(ii) ‘A और B’ = A ∩ B = {3,5}

(iii) ‘A किंतु B नहीं’ = A – B = {2}

(iv) ‘A–नहीं’ = A´ = {1,4,6}

14.1.4 परस्पर अपवर्जी घटनाएँ (Mutually exclusive events)

पासा फेंकने के परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} है। मान लीजिए घटना A ‘एक विषम संख्या का प्रकट होना’ और घटना B ‘एक सम संख्या का प्रकट होना’ को व्यक्त करते हैं।

स्पष्टतया घटना A, घटना B को अपवर्जित कर रही है तथा इसका विलोम भी सत्य है। दूसरे शब्दों में, एेसा कोई परिणाम नहीं है जो घटना A और B के एक साथ घटित होने को निश्चित करता है यहाँ

A = {1, 3, 5} और B = {2, 4, 6}

स्पष्टतया A ∩ B = φ अर्थात् A और B असंयुक्त समुच्चय हैं।

व्यापकत: दो घटनाएँ A और B परस्पर अपवर्जी घटनाएँ कही जाती हैं, यदि इनमें से किसी एक का घटित होना दूसरी के घटित होने को अपवर्जित करता है अर्थात् वे एक साथ घटित नहीं हो सकती हैं। इस दशा में समुच्चय A और B असंयुक्त होते हैं।

पुन: एक पासे को फेंकने के परीक्षण में घटना A ‘एक विषम संख्या प्रकट होना’ और घटना B ‘4 से छोटी संख्या प्रकट होना’ पर विचार कीजिए।

प्रत्यक्षत: A = {1, 3, 5} और B = {1, 2, 3}

अब 3 ∈ A तथा साथ ही 3 ∈ B

इसलिए A और B असंयुक्त नहीं है। अत: A और B परस्पर अपवर्जी घटनाएँ नहीं हैं।

टिपप्णी एक प्रतिदर्श समष्टि की सरल घटनाएँ सदैव परस्पर अपवर्जी होती हैं।

14.1.5 नि:शेष घटनाएँ (Exhaustive events)

एक पासे को फेंकने के परीक्षण पर विचार कीजिए। हम पाते हैं S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

आइए निम्नलिखित घटनाओं को परिभाषित करें:

A: ‘4 से छोटी संख्या प्रकट होना’,

B: ‘2 से बड़ी किंतु 5 से छोटी संख्या प्रकट होना’

और C:‘4 से बड़ी संख्या प्रकट होना’.

तब A = {1, 2, 3}, B = {3,4} और C = {5, 6}. हम देखते हैं कि

A ∪ B ∪ C = {1,2,3} ∪ {3,4} ∪ {5, 6} = S.

एेसी घटनाओं A, B और C को नि:शेष घटनाएँ कहते हैं। व्यापक रूप से यदि E1, E2, ..., En किसी प्रतिदर्श समष्टि S की n घटनाएँ हैं और यदि

तब E1, E2, ..., En को नि:शेष घटनाएँ कहते हैं। दूसरे शब्दों में, घटनाएँ E1, E2, ..., En नि:शेष कहलाती हैं यदि परीक्षण के करने पर इनमें से कम से कम एक घटना अवश्य ही घटित हो।

इसके अतिरिक्त यदि सभी i ≠ j के लिए Ei ∩ Ej = φ अग्रत: यदि Ei ∩ Ej = φए i ≠ j अर्थात् Ei और Ej परस्पर अपवर्जी हैं, और हो, तो घटनाएँ E1, E2, ..., En परस्पर अपवर्जी नि:शेष घटनाएँ कहलाती हैं।

आइए अब कुछ उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 2 दो पासे फेंके जाते हैं और पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग लिखा जाता है। आइए अब हम इस प्रयोग से संबंधित निम्नलिखित घटनाओं पर विचार करें:

A: ‘प्राप्त योग सम संख्या है’।

B: ‘प्राप्त योग 3 का गुणज है’।

C: ‘प्राप्त योग 4 से कम है’।

D: ‘प्राप्त योग 11 से अधिक है’।

इन घटनाओं में से कौन से युग्म परस्पर अपवर्जी हैं?

हल प्रतिदर्श समष्टि S = {(x, y): x, y = 1, 2, 3, 4, 5, 6} में 36 अवयव हैं।

तब A = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (4, 2), (4, 4),

(4, 6), (5, 1), (5, 3), (5, 5), (6, 2), (6, 4), (6, 6)}

B = {(1, 2), (2, 1), (1, 5), (5, 1), (3, 3), (2, 4), (4, 2), (3, 6), (6, 3), (4, 5), (5, 4),

(6, 6)}

C = {(1, 1), (2, 1), (1, 2)} और D = {(6, 6)}

हमें प्राप्त होता है

A ∩ B = {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1), (6, 6)} ≠ φ

इसलिए, A और B परस्पर अपवर्जी नहीं हैं।

इसी प्रकार A ∩ C ≠ φए A ∩ D ≠ φए B ∩ C ≠ φए और B ∩ D ≠ φए

इस प्रकार युग्म (A, C), (A, D), (B, C), (B, D) परस्पर अपवर्जी नहीं है।

साथ ही C ∩ D ≠ φ इसलिए, C और D परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं।

उदाहरण 3 एक सिक्के को तीन बार उछाला गया है। निम्नलिखित घटनाओं पर विचार कीजिए:

A: ‘कोई चित्त प्रकट नहीं होता है’ ,

B: ‘तथ्यत: एक चित्त प्रकट होता है’ और

C: ‘कम से कम दो चित्त प्रकट होते हैं’।

क्या यह परस्पर अपवर्जी और नि:शेष घटनाओं का समुच्चय है?

हल परिणाम का प्रतिदर्श समष्टि

S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT} है

और A = {TTT}, B = {HTT, THT, TTH}तथा C = {HHT, HTH, THH, HHH}

अब A ∪ B ∪ C = {TTT, HTT, THT, TTH, HHT, HTH, THH, HHH} = S

इसलिए, A, B और C नि:शेष घटनाएँ हैं।

साथ ही A ∩ B = φ, A ∩ C = φ और B ∩ C = φ

इसलिए, घटनाएँ युग्म के अनुसार असंयुक्त हैं अर्थात् वे परस्पर अपवर्जी हैं।

अत: A, B और C परस्पर अपवर्जी व नि:शेष घटनाओं का समुच्चय बनाते हैं।

14.2 प्रायिकता की अभिगृहीतीय दृष्टिकोण (Axiomatic Approach to Probability)

इस अध्याय के पहले अनुच्छेदों में हमने यादृच्छिक परीक्षण, प्रतिदर्श समष्टि तथा इन परीक्षणों से संबंधित घटनाओं पर विचार किया है। हम अपने दैनिक जीवन में किसी घटना के घटित होने की संभावना के लिए अनेक शब्दों का उपयोग करते हैं। प्रायिकता सिद्धांत किसी घटना के घटित होने या न होने की संभावना को एक माप देने का प्रयास है।

पिछली कक्षाओं में हमने किसी परीक्षण में कुल संभावित परिणामों की संख्या ज्ञात होने पर, किसी घटना की प्रायिकता ज्ञात करने की कुछ विधियों के बारे में पढ़ा है।

किसी घटना की प्रायिकता ज्ञात करने की एक और विधि अभिगृहीतीय दृष्टिकोण है। इस तरीका में प्रायिकताएँ निर्धारित करने के लिए अभिगृहीतियों या नियमों को बर्णित (depict) किया गया है।

मान लें कि किसी यादृच्छिक परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि S है। प्रायिकता P एक वास्तविक मानीय फलन है जिसका प्रांत S का घात समुच्चय है, और परिसर अंतराल [0,1] है जो निम्नलिखित अभिगृहीतियों को संतुष्ट करता है:

(i) किसी घटना E, के लिए, P (E) ≥ 0

(ii) P (S) = 1

(iii) यदि E और F परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं तो P(E ∪ F) = P(E) + P(F).

अभिगृहित (iii) से यह अनुसरित होता है कि P(φ) = 0. इसे सिद्ध करने के लिए हम F = φ लेते हैं और देखते हैं कि E और φ परस्पर अपवर्जी घटनाएँ है, इसलिए अभिगृहीत (iii) से हम पाते हैं कि

P (E ∪ φ) = P (E) + P ( φ ) या P(E) = P(E) + P (φ) अर्थात् P(φ) = 0

मान लीजिए कि ω1, ω2, ...,ωn प्रतिदर्श समष्टि S के परिणाम हैं अर्थात्

S = {ω1, ω2, ...,ωn}है।

प्रायिकता की अभिगृहीतीय परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि

(i) प्रत्येक ωi ∈ S के लिए 0 P (ωi) 1

(ii) P (ω1) + P (ω2) + ... + P (ωn) = 1

(iii) किसी घटना ωi के लिए P(A) = Σ P (ωi), ωi ∈ A

उदाहरण के लिए एक सिक्के को उछालने के परीक्षण में हम प्रत्येक परिणाम H और T के साथ संख्या निर्धारित कर सकते हैं

अर्थात् P(H) = और P(T) = ... (1)

स्पष्टतया यह निर्धारण दोनों प्रतिबंधों को संतुष्ट करता है अर्थात् प्रत्येक संख्या न तो शून्य से छोटी है और न ही एक से बड़ी है

और P(H) + P(T) = + = 1

इसलिए इस दशा में हम कह सकते हैं कि

H की प्रायिकता = और T की प्रायिकता = .

आइए हम P(H) = और P(T) = लेते हैं। ... (2)

क्या यह निर्धारण अभिगृहीतीय तरीका के प्रतिबंधों को संतुष्ट करता है?

हाँ, इस दशा में H की प्रायिकता = और T की प्रायिकता = है।

हम पाते हैं कि दोनाें प्रायिकता निर्धारण (1) और (2), H और T की प्रायिकताओं के लिए वैध हैं।

वास्तव में दोनों परिणामों H तथा T की प्रायिकताओं के लिए संख्याएँ क्रमश: च तथा

(1 – च) निर्धारित कर सकते हैं, जबकि 0 ≤ च ≤ 1 और P(H) + P(T) = च + (1 – च) = 1

यह प्रायिकता निर्धारण भी अभिगृहीतीय दृष्टिकोण के प्रतिबंधों को संतुष्ट करते हैं। अत: हम कह सकते हैं कि किसी परीक्षण के परिणामों के साथ प्रायिकता वितरण अनेक (या यह कहना अधिक उचित्त होगा कि अनंत) प्रकार से किया जा सकता है।

आइए अब कुछ उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 4 मान लीजिए एक प्रतिदर्श समष्टि S = {ω1, ω2, ...एω6}है। निम्नलिखित में से प्रत्येक परिणाम के लिए कौन-कौन से प्रायिकता निर्धारण वैध हैं?

परिणाम ω1 ω2 ω3 ω4 ω5 ω6

(a)

(b) 1 0 0 0 0 0

(c)

(d)

(e) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

हल (a) प्रतिबंध (i): प्रत्येक संख्या p (ωi) धनात्मक है और एक से छोटी है।

प्रतिबंध (ii): प्रायिकताओं का योग

=

इसलिए यह प्रायिकता निर्धारण वैध है।

(b) प्रतिबंध (i): प्रत्येक संख्या p(ωi) या तो 0 है या 1 है।

प्रतिबंध (ii): प्रायिकताओं का योग = 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 1

इसलिए यह निर्धारण वैध है।

(c) प्रतिबंध (i): दो प्रायिकताएँ च (ω5) और च(ω6) ऋणात्मक हैं। इसलिए यह निर्धारण वैध
नहीं है।

(d) क्याेंकि p (ω6) = > 1, इसलिए यह प्रायिकता निर्धारण वैध नहीं है।

(e) क्याेंकि प्रायिकताओं का योग = 0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4 + 0.5 + 0.6 = 2.1 है इसलिए , यह प्रायिकता निर्धारण वैध नहीं है।

14.2.1 घटना की प्रायिकता (Probability of an event) 

एक मशीन द्वारा निर्मित कलमों में से तीन का परीक्षण उन्हें अच्छा (त्रुटिरहित) और खराब (त्रुटियुक्त) में वर्गीकृत करने के लिए किया गया। मान लीजिए कि इस परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि S है। इस परीक्षण के पलस्वरूप हमें 0, 1, 2 या 3 खराब कलमें मिल सकती हैं।

इस प्रयोग के संगत प्रतिदर्श समष्टि

S = {BBB, BBG, BGB, GBB, BGG, GBG, GGB, GGG}है।

जहाँ B एक त्रुटियुक्त या खराब कलम को और G एक अच्छे या त्रुटिरहित कलम को प्रकट करता है।

मान लीजिए, कि परिणामों के लिए निम्नलिखित प्रायिकताएँ निर्धारित की गई हैं:

प्रतिदर्श बिंदु: BBB BBG BGB GBB BGG GBG GGB GGG

प्रायिकता:

मान लीजिए घटना ‘तथ्यत: एक त्रुटियुक्त कलम का निकलना’ को A से व घटना ‘न्यूनतम दो त्रुटियुक्त कलमों का निकलना’ को B से प्रकट करते हैं।

स्पष्टत : A = {BGG, GBG, GGB} और B = {BBG, BGB, GBB, BBB}

अब P(A) =

= P(BGG) + P(GBG) + P(GGB) =

और P(B) =

= P(BBG) + P(BGB) + P(GBB) + P(BBB) =

आइए एक अन्य परीक्षण ‘एक सिक्के को दो बार उछालना’ पर विचार करें।

इस परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि S = {HH, HT, TH, TT} है।

मान लीजिए कि विभिन्न परिणामों के लिए निम्नलिखित प्रायिकताएँ निर्धारित की गई हैं:

P(HH) = , P(HT) = , P(TH) = , P(TT) =

स्पष्टतया यह प्रायिकता निर्धारण अभिगृहीतीय अभिगम के प्रतिबंधों को संतुष्ट करता है। आइए अब हम घटना E ‘दोनों उछालों में एक सा ही परिणाम है’ की प्रायिकता ज्ञात करें।

यहाँ E = {HH, TT}

अब सभी ωi ∈ E के लिए P(E) = P(ωi), = P(HH) + P(TT) =

घटना F: ‘तथ्यत: दो चित्त’ के लिए, हम पाते हैं F = {HH}

और P(F) = P(HH) =

14.2.2 सम सम्भाव्य परिणामों की प्रायिकता (Probability of equally likely outcomes)

मान लीजिए कि एक परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि

S = {ω1, ω2, ..., ωn} है

मान लें कि सभी परिणाम सम संभाव्य हैं, अर्थात् प्रत्येक सरल घटना के घटित होने की संभावना समान है।

अर्थात् सभी ωi ∈ S के लिए, P(ωi) = p, जहाँ 0 ≤ p ≤ 1

क्योंकि इसलिए च + च + ... + च (द बार) = 1

या दच = 1 या च =

मान लीजिए कि प्रतिदर्श समष्टि S की कोई एक घटना E, इस प्रकार है कि n(S) = n और n(E) = m. यदि प्रत्येक परिणाम सम संभाव्य है तो यह अनुसरित होता है कि

=

14.2.3 घटना 'A या B' की प्रायिकता (Probability of the event ‘A or B’) 

आइए अब हम घटना ‘A या B’, की प्रायिकता अर्थात् P (A ∪ B) ज्ञात करें।

मान लीजिए, A = {HHT, HTH, THH} और B = {HTH, THH, HHH}, ‘एक सिक्के की तीन उछालों के परीक्षण की दो घटनाएँ हैं।

स्पष्टतया A ∪ B = {HHT, HTH, THH, HHH}

अब P (A ∪ B) = P(HHT) + P(HTH) + P(THH) + P(HHH)

यदि सभी परिणाम सम संभाव्य हों तो

P (A ∪ B)

साथ ही P(A) = P(HHT) + P(HTH) + P(THH) =

और P(B) = P(HTH) + P(THH) + P(HHH) =

इसलिए P(A) + P(B) =

यह स्पष्ट है कि P(A ∪ B) ≠ P(A) + P(B)

बिंदुओं HTH और THH, A तथा B में उभयनिष्ठ अवयव हैं। P(A) + P(B) के परिकलन में HTH और THH, (अर्थात् A ∩ B के अवयव) की प्रायिकता को दो बार सम्मिलित किया गया है। अत: P(A ∪ B) को ज्ञात करने के लिए हमें A ∩ B के प्रतिदर्श बिंदुओं की प्रायिकताओं को
P(A) + P(B) में से घटाना होगा।

अर्थात् = 

=

अत: =

व्यापकत: यदि A और B किसी परीक्षण की कोई दो घटनाएँ हैं तब किसी घटना की प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार हमें प्राप्त होता है कि

.

क्योंकि , इसलिए

P(A ∪ B)=

(क्योंकि A–B, A ∩ B और B – A परस्पर अपवर्जी हैं। ... (1)

साथ ही

=

= +

+

= [(1) के प्रयोग से]

= .

अत: .

इस सूत्र का वैकल्पिक प्रमाण निम्नलिखित प्रकार से भी दिया जा सकता है।

A ∪ B = A ∪ (B – A) जहाँ A और B – A परस्पर अपवर्जी हैं।

और B = (A ∩ B) ∪ (B – A) जहाँ A ∩ B और B – A परस्पर अपवर्जी हैं।

प्रायिकता की अभिगृहीत (iii) द्वारा, हमें प्राप्त होता है कि

P (A ∪ B) = P (A) + P (B – A) ... (2)

और P(B) = P ( A ∩ B) + P (B – A) ... (3)

(2) में से (3) घटाने पर,

P (A ∪ B) – P(B) = P(A) – P (A ∩ B)

या P(A ∪ B) = P(A) + P (B) – P (A ∩ B)

उपर्युक्त परिणाम को वेन्-आरेख (आकृति 14.1) का अवलोकन करके भी पुन: सत्यापित किया जा सकता है।

यदि A और B असंयुक्त समुच्चय हों अर्थात् ये दोनों परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हों तो (A ∩ B) = φ

इसलिए, P (A ∩ B) = P (φ) = 0

अत: परस्पर अपवर्जी घटनाओं A और B, के लिए, हम पाते हैं

P (A ∪ B) = P (A) + P (B), जो कि प्रायिकता की अभिगृहीत (iii) ही है।

14.2.4 घटना ‘A-नहीं’ की प्रायिकता (Probability of event 'not A') 

1 से 10 तक अंकित पूर्णांकों वाले दस पत्तों के डेक में से एक पत्ता निकालने के परीक्षण की घटना A = {2, 4, 6, 8} पर विचार कीजिए। स्पष्टतया प्रतिदर्श समष्टि S = {1, 2, 3, ...,10} है।

यदि सभी परिणामों 1, 2, 3,...,10 को सम संभाव्य मान लें तो प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता
होगी।

अब P(A) = P(2) + P(4) + P(6) + P(8)

=

साथ ही घटना ‘A-नहीं’ = A′ = {1, 3, 5, 7, 9, 10}

अब P(A′) = P(1) + P(3) + P(5) + P(7) + P(9) + P(10)

=

इस प्रकार P(A′) =

साथ ही हमें यह भी पता है कि A′ तथा A परस्पर अपवर्जी और नि:शेष घटनाएँ हैं। अत: A ∩ A′ = φ और A ∪ A′ = S

या P(A ∪ A′) = P(S)

अब P(A) + P(A′) = 1, अभिगृहीतों (ii) और (iii) के प्रयोग द्वारा

या P(A′) = P(A नहीं) = 1 – P(A)

आइए सम संभावित परिणामों वाले परीक्षणों के लिए कुछ उदाहरणों व प्रश्नों पर विचार करें, जब तक कि अन्यथा न कहा गया हो।

उदाहरण 5 ताश के 52 पत्तों की एक भली-भाँति फेंटी गई गड्डी में से एक पत्ता निकाला गया है। निकाले गए पत्ते की प्रायिकता ज्ञात कीजिए यदि

(i) पत्ता ईंट का है। (ii) पत्ता इक्का नहीं है।

(iii) पत्ता काले रंग का है (अर्थात् चिड़ी या हुकुम का),

(iv) पत्ता ईंट का नहीं है। (v) पत्ता काले रंग का नहीं है।

हल जब 52 पत्तों की भली-भाँति फेंटी गई गड्डी में एक पत्ता निकाला जाता है तो संभव परिणामों की संख्या 52 है।

(i) मान लीजिए घटना ‘निकाला गया पत्ता ईंट का है, को A से दर्शाया गया है।

स्पष्टतया A में अवयवों की संख्या 13 है।

इसलिए, P(A) =

अर्थात्, एक ईंट का पत्ता निकालने की प्रायिकता =

(ii) मान लीजिए कि घटना ‘निकाला गया पत्ता इक्का है’ को B से दर्शाते हैं।

इसलिए ‘निकाला गया पत्ता इक्का नहीं है’ को B′ से दर्शाया जाएगा।

अब P(B′) = 1 – P(B) =

(iii) मान लीजिए घटना ‘निकाला गया पत्ता काले रंग का है’ को C से दर्शाते हैं।

इसलिए समुच्चय C में अवयवों की संख्या = 26

अर्थात् P(C) =

इस प्रकार काले रंग का पत्ता निकालने की प्रायिकता =

(iv) हमने उपर्युक्त (i) में माना है कि घटना ‘निकाला गया पत्ता ईंट का है’ को A से दर्शाते हैं। इसलिए घटना ‘निकाला गया पत्ता ईंट का नहीं है’ को A′ या ‘A-नहीं’ से दर्शाएंगे।

अब P(A-नहीं) = 1 – P(A) =

(v) घटना ‘निकाला गया पत्ता काले रंग का नहीं है’ को C′ या ‘C-नहीं’ से दर्शाया जा सकता है।

अब हमें ज्ञात है कि P(C-नहीं) = 1 – P(C) =

इसलिए, पत्ता काले रंग का न होने की प्रायिकता =

उदाहरण 6 एक थैले में 9 डिस्क हैं जिनमें से 4 लाल रंग की, 3 नीले रंग की और 2 पीले रंग की हैं। डिस्क आकार एवं माप में समरूप हैं। थैले में से एक डिस्क यादृच्छया निकाली जाती है। प्रायकिता ज्ञात कीजिए कि निकाली गई डिस्क (i) लाल रंग की है (ii) पीले रंग की है (iii) नीले रंग की है (iv) नीले रंग की नहीं है, (v) लाल रंग की है या नीले रंग की है।

हल डिस्काें की कुल संख्या 9 है। इसलिए संभव परिणामों की कुल संख्या 9 हुई।

मान लीजिए घटनाओं A, B व C को इस प्रकार से परिभाषित किया गया है।

A: निकाली गई डिस्क लाल रंग की है।

B: निकाली गई डिस्क पीले रंग की है।

C: निकाली गई डिस्क नीले रंग की है।

(i) लाल रंग की डिस्कों की संख्या = 4 अर्थात् द (A) = 4

अत: P(A) =

(ii) पीले रंग की डिस्कों की संख्या = 2, अर्थात् n (B) = 2

इसलिए, P(B) =

(iii) नीले रंग की डिस्कों की संख्या = 3, अर्थात् n(C) = 3

इसलिए, P(C) =

(iv) स्पष्टतया घटना ‘डिस्क नीले रंग की नहीं है’ 'C-नहीं' ही है हम जानते हैं कि
P(C-नहीं) = 1 – P(C)

इसलिए P(C-नहीं) =

(v) घटना ‘लाल रंग की डिस्क या नीले रंग की डिस्क’ का समुच्चय ‘A ∪ C’ से वर्णित किया जा सकता है।

क्योंकि, A और C परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं, इसलिए

P(A या C) = P (A ∪ C) = P(A) + P(C) =

उदाहरण 7 दो विद्यार्थियों अनिल और आशिमा एक परीक्षा में प्रविष्ट हुए। अनिल के परीक्षा में उत्तीर्ण होने की प्रायिकता 0.05 है और आशिमा के परीक्षा में उत्तीर्ण होने की प्रायिकता 0.10 है। दोनों के परीक्षा में उत्तीर्ण होने की प्रायिकता 0.02 है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि

(a) अनिल और आशिमा दोनों परीक्षा में उत्तीर्ण नहीं हो पाएगें।

(b) दोनों में से कम से कम एक परीक्षा में उत्तीर्ण नहीं होगा।

(c) दोनों में से केवल एक परीक्षा में उत्तीर्ण होगा।

हल मान लीजिए E तथा F घटनाओं ‘अनिल परीक्षा उत्तीर्ण कर लेगा’ और ‘आशिमा परीक्षा उत्तीर्ण कर लेगी’ को क्रमश: दर्शाते हैं।

इसलिए P(E) = 0.05, P(F) = 0.10 और P(E ∩ F) = 0.02.

तब

(a) घटना ’दोनों परीक्षा उर्त्तीण नहीं हाेंगे’ को E' ∩ F' से दर्शाया जा सकता है।

क्योंकि E' घटना ‘E-नहीं’, अर्थात् ‘अनिल परीक्षा उत्तीर्ण नहीं करेगा’ तथा F' घटना ‘F-नहीं’, अर्थात् ‘आशिमा परीक्षा उत्तीर्ण नहीं करेगी’ दर्शाते हैं।

साथ ही E' ∩ F' = (E ∪ F)' (डी-मोरगन् नियम द्वारा)

अब P(E ∪ F) = P(E) + P(F) – P(E ∩ F)

या P(E ∪ F) = 0.05 + 0.10 – 0.02 = 0.13

इसलिए P(E' ∩ F') = P(E ∪ F)' = 1 – P(E ∪ F) = 1 – 0.13 = 0.87

(b) P(दोनों में से कम से कम एक उत्तीर्ण नहीं होगा)

= 1 – P(दोनों उत्तीर्ण होंगे)

= 1 – 0.02 = 0.98

(c) घटना ‘दोनों मे से केवल एक उत्तीर्ण होगा’ निम्नलिखित घटना के समरूप है:

‘अनिल उत्तीर्ण होगा और आशिमा उत्तीर्ण नहीं होगी’

या ‘अनिल उत्तीर्ण नहीं होगा और आशिमा उत्तीर्ण होगी’

अर्थात् E ∩ F' या E' ∩ F जहाँ E ∩ F´ और E´ ∩ F परस्पर अपवर्जी हैं।

इसलिए, P (दोनों में से केवल एक उत्तीर्ण होगा)

= P(E ∩ F' या E' ∩ F)

= P(E ∩ F') + P(E' ∩ F) = P (E) – P(E ∩ F) + P(F) – P (E ∩ F)

= 0.05 – 0.02 + 0.10 – 0.02 = 0.11

उदाहरण 8 दो पुरुषों व दो स्त्रियों के समूह में से दो व्यक्तियों की एक समिति का गठन करना है। प्रायिकता क्या है कि गठित समिति में (a) कोई पुरुष न हो? (b) एक पुरुष हो ? (c) दोनों ही पुरुष हों?

हल समूह में व्यक्तियों की कुल संख्या = 2 + 2 = 4. इन चार व्यक्तियों में से दो को 4C2 तरीके से चुना जा सकता है।

(a) समिति में कोई पुरुष न होने का अर्थ है कि समिति में दो स्त्रियाँ हैं। दो स्त्रियों में से दोनों के चुनने के 2C2 = 1तरीका है।

इसलिए P(कोई पुरुष नहीं)

(b) समिति में एक पुरुष होने का तात्पर्य है कि इसमें एक स्त्री है 2 पुरुषों में से एक पुरुष चुनने के 2C1 तरीके हैं तथा दो स्त्रियों में से एक चुनने के भी 2C1 तरीके हैं। दोनों चुनावों को एक साथ करने के 2C1 ञ् 2C1 तरीके हैं।

इसलिए P(एक पुरूष)

(c) दो पुरुषों को 2C2 तरीकों से चुना जा सकता है।

अत: P(दो पुरुष)

विविध उदाहरण

उदाहरण 9 छुट्टियों  में वीना ने चार शहरों A, B, C और D की यादृच्छया क्रम में यात्रा की। क्या प्रायिकता है कि उसने

(i) A की यात्रा B से पहले की?

(ii) A की यात्रा B से पहले और B की C से पहले की?

(iii) A की सबसे पहले और B की सबसे अंत में यात्रा की?

(iv) A की या तो सबसे पहले या दूसरे स्थान पर यात्रा की?

(v) A की यात्रा B से एकदम पहले की?

हल वीना द्वारा चार शहरों A, B, C, और D की यात्रा के विभिन्न ढंगों की संख्या 4! अर्थात् 24 है। इसलिए n (S) = 24 क्योंकि प्रयोग की प्रतिदर्श समष्टि के अवयवों की संख्या 24 है। ये सभी परिणाम सम संभाव्य माने गए हैं। इस परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि

S = {ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB

BACD, BADC, BDAC, BDCA, BCAD, BCDA

CABD, CADB, CBDA, CBAD, CDAB, CDBA

DABC, DACB, DBCA, DBAC, DCAB, DCBA} है।

(i) मान लीजिए घटना ‘वीना A की यात्रा B से पहले करती है,’ को E से दर्शाते हैं।

इसलिए E = {ABCD, CABD, DABC, ABDC, CADB, DACB

ACBD, ACDB, ADBC, CDAB, DCAB, ADCB}

इस प्रकार

(ii) मान लीजिए घटना ‘वीना ने A की यात्रा B से पहले और B की यात्रा C से पहले की’ को F से दर्शाते हैं।

यहाँ F = {ABCD, DABC, ABDC, ADBC}

इसलिए

विद्यार्थियों को सलाह दी जाती है कि (iii), (iv) व (v) की प्रायिकता स्वयं ज्ञात करें।

उदाहरण 10 जब ताश के 52 पत्तों की गड्डी से 7 पत्तों का एक समूह बनाया जाता है तो इस बात की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इसमें (i) सारे बादशाह शामिल हैं (ii) तथ्यत: 3 बादशाह हैं (iii) न्यूनतम 3 बादशाह हैं।

हल समूहों की कुल संभव संख्या = 52C7

(i) 4 बादशाहों सहित समूहों की संख्या = 4C4 × 48C3 (अन्य 3 पत्ते शेष 48 पत्तों में से चुने
जाते हैं)

अत: P (समूह में चार बादशाह) =

(ii) 3 बादशाह और 4 अन्य पत्तों वाले समूहों की संख्या = 4

इसलिए P (तथ्यत: 3 बादशाह) =

(iii) P(न्यूनतम 3 बादशाह)

= P(तथ्यत: 3 बादशाह) + P(4 बादशाह)

=

उदाहरण 11 यदि A, B, C किसी यादृच्छिक प्रयोग के संगत तीन घटनाएँ हों तो सिद्ध कीजिए कि

हल विचारिए E = B ∪ C तब

P(A ∪ B ∪ C ) = P(A ∪ E)

= ... (1)

अब P(E) = P(B ∪ C)

= ... (2)

साथ ही = [समुच्चयों के संघ पर सर्वनिष्ठ के वितरण नियम द्वारा]

अत: = –

= – ... (3)

(2) और (3) को (1) में प्रयोग करने पर

= –

P(A ∩ B) – P(A ∩ C) – P(A ∩ B ∩ C)

उदाहरण 12 एक रिले दौड़ (relay race) में पाँच टीमों A, B, C, D और E ने भाग लिया।

(a) A, B और C के क्रमश: पहला, दूसरा व तीसरा स्थान पाने की क्या प्रायिकता है?

(b) A, B और C के पहले तीन स्थानों (किसी भी क्रम) पर रहने की क्या प्रायिकता है?

(मान लीजिए कि सभी अंतिम क्रम सम संभाव्य हैं।)

हल यदि हम पहले तीन स्थानों के लिए अंतिम क्रमों के प्रतिदर्श समष्टि पर विचार करें तो पाएँगे कि इसमें , i.e., = 5 × 4 × 3 = 60 प्रतिदर्श बिंदु हैं और प्रत्येक की प्रायिकता है।

(a) A,B और C क्रमश: प्रथम, दूसरे व तीसरे स्थान पर रहते हैं। इसके लिए एक ही अंतिम क्रम है अर्थात् ABC

अत: P(A, B और C क्रमश: प्रथम, दूसरे व तीसरे स्थान पर रहते हैं) =

(b) A, B और C पहले तीन स्थानों पर हैं। इसके लिए A, B और C के लिए 3! तरीके हैं। इसलिए इस घटना के संगत 3! प्रतिदर्श बिंदु होंगे।

अत: P (A, B और C पहले तीन स्थानों पर रहते हैं)