हल चित्र 3.11 में सदिश vb मोटरबोट के वेग को तथा vc जल धारा के वेग को व्यक्त करते हैं । प्रश्न के अनुसार चित्र में इनकी दिशायें दर्शाई गई हैं । सदिश योग के समांतर चतुर्भुज नियम के अनुसार प्राप्त परिणामी R की दिशा चित्र में दर्शाई गई है । कोज्या-नियम का उपयोग करके हम R का परिमाण निकाल सकते हैं । 

R की दिशा ज्ञात करने के लिए हम ‘ज्या-नियम’ का उपयोग करते हैं--

या,

 

3.7 किसी समतल में गति

इस खण्ड में हम सदिशो का उपयोग कर दो या तीन विमाओं में  का वर्णन करेंगे ।

3.7.1 स्थिति सदिश तथा विस्थापन

किसी समतल में स्थित कण P का x-y निर्देशतंत्र के मूल बिंदु के सापेक्ष स्थिति सदिश r [चित्र (3.12)] को निम्नलिखित समीकरण से व्यक्त करते है :

r = x i^ + y j^

यहाँ x तथा y अक्षों x-तथा y- के अनुदिश r के घटक हैं । इन्हें हम कण के निर्देशांक भी कह सकते हैं ।

मान लीजिए कि चित्र (3.12b) के अनुसार कोई कण मोटी रेखा से व्यक्त वक्र के अनुदिश चलता है । किसी क्षण t पर इसकी स्थिति P है तथा दूसरे अन्य क्षण t' पर इसकी स्थिति P' है । कण के विस्थापन को हम निम्नलिखित प्रकार से लिखेंगे,

∆r = r' – r           (3.25)

इसकी दिशा P से P' की ओर है ।

समीकरण (3.25) को हम सदिशों के घटक के रूप में निम्नांकित प्रकार से व्यक्त करेंगे,

∆r

यहाँ ∆x = x ′ – x, ∆y = y′ – y (3.26)

वेग

वस्तुके विस्थापन और संगत समय अंतराल के अनुपात को हम औसत वेग ()कहते हैं, अत:(3.27)

अथवा,

क्योंकि, इसलिए चित्र (3.12) के अनुसार औसत वेग की दिशा वही होगी, जो ∆r की है ।

, 

गतिमान वस्तु का वेग (तात्क्षणिक वेग) अति सूक्ष्म समयान्तराल (∆t→0 की सीमा में) विस्थापन ∆r का समय अन्तराल ∆t से अनुपात है । इसे हम v से व्यक्त करेंगे, अतः

(3.28)

चित्रों 3.13(a) से लेकर 3.13(d) की सहायता से इस सीमान्त प्रक्रम को आसानी से समझा जा सकता है । इन चित्रों में मोटी रेखा उस पथ को दर्शाती है जिस पर कोई वस्तु क्षण t पर बिंदु P से चलना प्रारम्भ करती है । वस्तु की स्थिति ∆t₁, ∆t₂, ∆t₃, समयों के उपरांत क्रमशः P₁, P₂, P₃, से व्यक्त होती है । इन समयों में कण का विस्थापन क्रमशः ∆r₁, ∆r₂, ∆r₃, है । चित्रों  (a), (b) तथा (c) में क्रमशः घटते हुए ∆t के मानों अर्थात् ∆t₁, ∆t₂, ∆t₃, (∆t₁> ∆t₂> ∆t₃) के लिए कण के औसत वेग  की दिशा को दिखाया गया है । जैसे ही ∆t →0 तो ∆r→0 एवं ∆r पथ की स्पर्श रेखा के अनुदिश हो जाता है (चित्र 3.13d)। इस प्रकार पथ के किसी बिंदु पर वेग उस बिंदु पर खींची गई स्पर्श रेखा द्वारा व्यक्त होता है जिसकी दिशा वस्तु की गति के अनुदिश होती है।

सुविधा के लिए v को हम प्रायः घटक के रूप में निम्नलिखित प्रकार से व्यक्त करते हैं :

v = dr / dt

(3.29)

(3.29)

या, .(3.30a)

अतः यदि समय के फलन के रूप मे हमें निर्देशांक x और y ज्ञात हैं तो हम उपरोक्त समीकरणों का उपयोग vx और vy निकालने में कर सकते है I

सदिश v का परिमाण निम्नलिखित होगा,

यहाँ (3.30b)

तथा इसकी दिशा कोण θ द्वारा निम्न प्रकार से व्यक्त होगी:

(3.30c)

x व y के पदों में a_x तथा a_yको हम निम्न प्रकार से व्यक्त करते है:

a_x = d/dt ( dx / dt ) = d²x / dt² ,

a_y = d / dt ( dy / dt ) = d²y / dt²

चित्र 3.14 में बिन्दु P पर किसी वेग सदिश v के लिए v_x, v_y तथा कोण θ को दर्शाया गया है ।

चित्र 3.14 वेग v के घटक v_x, v_y तथा कोण θ जो x-अक्ष से बनाता है । चित्र में v_x = v cos θ, v_y = v sin θ

त्वरण

x-y समतल में गतिमान वस्तु का औसत त्वरण (a) उसके वेग में परिवर्तन तथा संगत समय अंतराल ∆t के अनुपात के बराबर होता है :

(3.31a)

(3.31b)

त्वरण (तात्क्षणिक त्वरण) औसत त्वरण के सीमान्त मान के बराबर होता है जब समय अंतराल शून्य हो जाता है:

(3.32a)

क्योंकि ∆v =∆v_x +∆v_y, इसलिए

अथवा a = a_x +a_y (3.32b)

जहाँ(3.32c)

वेग की भाँति यहाँ भी वस्तु के पथ को प्रदर्शित करने वाले किसी आलेख में त्वरण की परिभाषा के लिए हम ग्राफी विधि से सीमान्त प्रक्रम को समझ सकते हैं । इसे चित्रों (3.15a) से (3.15d) तक में समझाया गया है । किसी क्षण t पर कण की स्थिति बिंदु P द्वारा दर्शाई गई है । ∆t1, ∆t2, ∆t3, (∆t1>∆t2>∆t3) समय के बाद कण की स्थिति क्रमशः बिंदुओं P1, P2, P3 द्वारा व्यक्त की गई है । चित्रों (3.15) a, b और c में इन सभी बिंदुओं P, P1, P2, P3 पर वेग सदिशों को भी दिखाया गया है । प्रत्येक ∆t के लिए सदिश योग के त्रिभुज नियम का उपयोग करके ∆v का मान निकालते हैं । परिभाषा के अनुसार औसत त्वरण की दिशा वही है जो ∆v की होती है । हम देखते हैं कि जैसे-जैसे ∆t का मान घटता जाता है वैसे-वैसे ∆v की दिशा भी बदलती जाती है और इसके परिणामस्वरूप त्वरण की भी दिशा बदलती है । अंततः ∆t →0 सीमा में [चित्र 3.15 (d)] औसत त्वरण, तात्क्षणिक त्वरण के बराबर हो जाता है और इसकी दिशा चित्र में दर्शाए अनुसार होती है ।

चित्र 3.15 तीन समय अंतरालों (a) ∆t1, (b) ∆t2, (c) ∆t3, (∆t1>∆t2>∆t3) के लिए औसत त्वरण (d) ∆t→0 सीमा के अंतर्गत औसत त्वरण वस्तु के त्वरण के बराबर होता है ।

हल v(t) = dr / dt = d / dt (3.0 ti^ + 2.0 t²j ^+ 5.0k^)

= 3.0 i^ + 4.0 tj^

a(t) - dv / dt = 4.0j

a = 4.0 m s–2 y- दिशा में

t = 1.0 s पर v = 3.0i^ + 4.0j^

इसका परिमाण =

इसकी दिशा 

3.8 किसी समतल में एकसमान त्वरण से गति

मान लीजिए कि कोई वस्तु एक समतल x-y में एक समान त्वरण a से गति कर रही है अर्थात् a का मान नियत है । किसी समय अंतराल में औसत त्वरण इस स्थिर त्वरण  के मान के बराबर होगा = a । अब मान लीजिए किसी क्षण t = 0 पर वस्तु का वेग v₀ तथा दूसरे अन्य क्षण t पर उसका वेग v है ।

तब परिभाषा के अनुसार

अथवा v = v₀ + a t (3.33a)

उपर्युक्त समीकरण को सदिशों के घटक के रूप में निम्नलिखित प्रकार से व्यक्त करते हैं-

v_x = v_0x+a_xt

v_y = v_0y + a_yt (4.33b)

अब हम देखेंगे कि समय के साथ स्थिति सदिश r किस प्रकार बदलता है । यहाँ एकविमीय गति के लिए बताई गई विधि का उपयोग करेंगे । मान लीजिए कि t = 0 तथा t = t क्षणों पर कण के स्थिति के सदिश क्रमशः r₀ तथा r हैं तथा इन क्षणों पर कण के वेग v₀ तथा v हैं । तब समय अंतराल t – 0 = t में कण का औसत वेग (v_o + v)/2 तथा विस्थापन r – r₀ होगा । क्योंकि विस्थापन औसत तथा समय अंतराल का गुणनफल होता है,
अर्थात्

= v₀ +at2

अतएव  (3.34a)

यह बात आसानी से सत्यापित की जा सकती है कि समीकरण (3.34a)का अवकलन dr / dt समीकरण (3.33a) है तथा साथ ही t = 0 क्षण पर r = r₀ की शर्त को भी पूरी करता है । समीकरण (3.34a) को घटकों के रूप में निम्नलिखित प्रकार से व्यक्त कर सकते हैं:

x = x0 + vox t + ax t2

y = y0 + voy t + ay t2 (3.34b)

समीकरण (3.34b) की सीधी व्याख्या यह है कि x व y दिशाओं में गतियाँ एक दूसरे पर निर्भर नहीं करती हैं । अर्थात्, किसी समतल (दो विमा) में गति को दो अलग-अलग समकालिक एकविमीय एकसमान त्वरित गतियों के रूप मेें समझ सकते हैं जो परस्पर लंबवत् दिशाओं के अनुदिश हों। यह महत्वपूर्ण परिणाम है जो दो विमाओं में वस्तु की गति के विश्लेषण में उपयोगी होता है । यहाँ परिणाम त्रिविमीय गति के लिए भी है । बहुत-सी भौतिक स्थितियों में दो लंबवत् दिशाओं का चुनाव सुविधाजनक होता है जैसा कि हम प्रक्षेप्य गति के लिए खण्ड (3.10) में देखेंगे ।

उदाहरण 3.5 t = 0 क्षण पर कोई कण मूल बिंदु से 5.0i^ m/s के वेग से चलना शुरू करता है । x - y समतल में उस पर एक एेसा बल लगता है जो उसमें एकसमान त्वरण (3.0i^ + 2.0j^) m/s2 उत्पन्न करता है । (a) जिस क्षण पर कण का x निर्देशांक 84 m हो उस क्षण उसका y निर्देशांक कितना होगा ? (b) इस क्षण कण की चाल क्या होगी?

हल समीकरण (3.34 a) से r₀= 0 पर प्रश्नानुसार कण की स्थिति निम्नांकित समीकरण से व्यक्त होगी,

r(t) = v₀ t + a t²

= 5.0i t + (3.0i + 2.0$j)t2

= (5.0t + 1.5t2)$i + 1.0t2$j

अतएव, x(t) = 5.0 t + 1.5 t²

y(t) = 1.0 t²

जब x(t) = 84 m तब t = ?

∴ 84 = 5.0 t + 1.5 t²

हल करने पर

t = 6.0 s पर y = 1.0(6)² = 36.0 m

t = 6 s के लिए, v = 23.0$i + 12.0$j

अतः कण की चाल, °

3.9 प्रक्षेप्य गति

इससे पहले खण्ड में हमने जो विचार विकसित किए हैं, उदाहरणस्वरूप उनका उपयोग हम प्रक्षेप्य की गति के अध्ययन के लिए करेंगे । जब कोई वस्तु उछालने के बाद उड़ान में हो या प्रक्षेपित की गई हो तो उसे प्रक्षेप्य कहते हैं । एेसा प्रक्षेप्य फुटबॉल, क्रिकेट की बॉल, बेस-बॉल या अन्य कोई भी वस्तु हो सकती है । किसी प्रक्षेप्य की गति को दो अलग-अलग समकालिक गतियों के घटक के परिणाम के रूप में लिया जा सकता है । इनमें से एक घटक बिना किसी त्वरण के क्षैतिज दिशा में होता है तथा दूसरा गुरुत्वीय बल के कारण एकसमान त्वरण से ऊर्ध्वाधर दिशा में होता है ।

सर्वप्रथम गैलीलियो ने अपने लेख डायलॉग आन दि ग्रेट वर्ल्ड सिस्टम्स (1632) में प्रक्षेप्य गति के क्षैतिज एवं ऊर्ध्वाधर घटकों की स्वतंत्र प्रकृति का उल्लेख किया था ।

इस अध्ययन में हम यह मानेंगे कि प्रक्षेप्य की गति पर वायु का प्रतिरोध नगण्य प्रभाव डालता है । माना कि प्रक्षेप्य को एेसी दिशा की ओर v₀ वेग से फेंका गया है जो x- अक्ष से  (चित्र 3.16 के अनुसार) θ₀ कोण बनाता है ।

फेंकी गई वस्तु को प्रक्षेपित करने के बाद उस पर गुरुत्व के कारण लगने वाले त्वरण की दिशा नीचे की ओर होती है:

a = –gj^

अर्थात् a_x = 0, तथा a_y = –g (3.35)

चित्र 3.16 v₀ वेग से θ₀ कोण पर प्रक्षेपित किसी वस्तु की गति ।

प्रारंम्भिक वेग v₀ के घटक निम्न प्रकार होंगे:

v_ox = v₀ cos θ₀

v_oy = v₀ sin θ₀ (3.36)

यदि चित्र 3.16 के अनुसार वस्तु की प्रारंभिक स्थिति निर्देश तंत्र के मूल बिंदु पर हो, तो

x₀ = 0, y₀ = 0

इस प्रकार समीकरण (3.34b) को निम्न प्रकार से लिखेंगे:

x = v_ox t = (v₀cos θ₀)t

तथा, y = (v₀sin θ₀) t –1 / 2g t² (3.37)

समीकरण (3.33b) का उपयोग करके किसी समय t के लिए वेग के घटकों को नीचे लिखे गए समीकरणों से व्यक्त करेंगे:

v_x = v_ox = v₀ cos θ₀

v_y = v₀ sin θ₀ – g t (3.38)

समीकरण (3.37) से हमें किसी क्षण t पर प्रारंभिक वेग v₀ तथा प्रक्षेप्य कोण θ₀ के पदों में प्रक्षेप्य के निर्देशांक x- और y- प्राप्त हो जाएँगे । इस बात पर ध्यान दीजिए कि x व y दिशाओं के परस्पर लंबवत् होने के चुनाव से प्रक्षेप्य गति के विश्लेषण में पर्याप्त सरलता हो गई है । वेग के दो घटकों में से एक x- घटक गति की पूरी अवधि में स्थिर रहता है जबकि दूसरा y- घटक इस प्रकार परिवर्तित होता है मानो प्रक्षेप्य स्वतंत्रतापूर्वक नीचे गिर रहा हो । चित्र 3.17 में विभिन्न क्षणों के लिए इसे आलेखी विधि से दर्शाया गया है । ध्यान दीजिए कि अधिकतम ऊँचाई वाले बिंदु के लिए v_y = 0 तथा

 θ = tan^-1vy/vx = 0

प्रक्षेपक के पथ का समीकरण

प्रक्षेप्य द्वारा चले गए पथ की आकृति क्या होती है ? इसके लिए हमें पथ का समीकरण निकालना होगा । समीकरण (4.38) में दिए गए x व y व्यंजकों से t को विलुप्त करने से निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है:(3.39)

यह प्रक्षेप्य के पथ का समीकरण है और इसे चित्र 3.17 में दिखाया गया है । क्योंकि g, θ₀ तथा v₀ अचर हैं, समीकरण (3.39) को निम्न प्रकार से व्यक्त कर सकते हैं:

y = ax + bx²

इसमेें a तथा b नियतांक हैं । यह एक परवलय का समीकरण है, अर्थात् प्रक्षेप्य का पथ परवलयिक होता है ।

चित्र 3.17 प्रक्षेप्य का पथ परवलयाकार होता है ।

अधिकतम ऊँचाई का समय

प्रक्षेप्य अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने के लिए कितना समय लेता है? मान लीजिए कि यह समय tm है । क्योंकि इस बिंदु पर v_y = 0 इसलिए समीकरण (3.38) से हम t_m का माननिकाल सकते हैं:

v_y = v₀ sin θ₀ – gt_m = 0

अथवा t_m = v_o sinθ_o /g      (3.40a)

प्रक्षेप्य की उड़ान की अवधि में लगा कुल समय Tf हम समीकरण (3.38) में y = 0 रखकर निकाल लेते हैं । इसलिए,

T_f = 2 (v_o sin θ_o )/g (3.40b)

Tf को प्रक्षेप्य का उड्डयन काल कहते हैं । यह ध्यान देने की बात है कि T_f = 2t_m । पथ की सममिति से हम एेसे ही परिणाम की आशा करते हैं ।

प्रक्षेप्य की अधिकतम ऊँचाई

समीकरण (3.37) में t = t_m रखकर प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई h_m की गणना की जा सकती है ।

या      (4.42)   (3.41)

प्रक्षेप्य का क्षैतिज परास

प्रारंभिक स्थिति (x = y = 0) से चलकर उस स्थिति तक जब y = 0 हो प्रक्षेप्य द्वारा चली गई दूरी को क्षैतिज परास, R, कहते हैं। क्षैतिज परास उड्डयन काल Tf में चली गई दूरी है । इसलिए, परास R होगा:

R = (v₀cos θ₀)(T_f)

=(v_o cos θ_o) (2 v_o sin θ_o)/g

अथवा (3.42)

समीकरण (3.42) से स्पष्ट है कि किसी प्रक्षेप्य के वेग v₀ लिए R अधिकतम तब होगा जब θ₀ = 450 क्योंकि sin 900 = 1 (जो sin 2θ₀ का अधिकतम मान है) । इस प्रकार अधिकतम क्षैतिज परास होगा(3.42a)

उदाहरण 3.6 : गैलीलियो ने अपनी पुस्तक "टू न्यू साइंसेज़" में कहा है कि "उन उन्नयनो के लिए जिनके मान 45॰ से बराबर मात्रा द्वारा अधिक या कम हैं, क्षैतिज परास बराबर होते हैं" । इस कथन को सिद्ध कीजिए ।

हल यदि कोई प्रक्षेप्य θ₀ कोण पर प्रांरभिक वेग v₀ से फेंका जाए, तो उसका परास।होगा

अब कोणों (450 + α) तथा (450 - α) के लिए 2θ0 का मान क्रमशः (900 + 2α) तथा (900 - 2α) होगा । sin(900 + 2α) तथा sin(9002α) दोनों का मान समान अर्थात् cos 2α होता है । अतः उन उन्नयनों के लिए जिनके मान 450 से बराबर मात्रा द्वारा कम या अधिक हैं, क्षैतिज परास बराबर होते हैं । °

उदाहरण 3.7 : एक पैदल यात्री किसी खड़ी चट्टान के कोने पर खड़ा है । चट्टान जमीन से 490 m ऊंची है । वह एक पत्थर को क्षैतिज दिशा में 15 m s–1 की आरंभिक चाल से फेंकता है । वायु के प्रतिरोध को नगण्य मानते हुए यह ज्ञात कीजिए कि पत्थर को जमीन तक पहुँचने में कितना समय लगा तथा जमीन से टकराते समय उसकी चाल कितनी थी? (g = 9.8 m s–2)।

हल हम खड़ी चट्टान के कोने को x- तथा y- अक्ष का मूल बिंदु तथा पत्थर फेंके जाने के समय को t = 0 मानेंगे । x- अक्ष की धनात्मक दिशा आरंभिक वेग के अनुदिश तथा y-अक्ष की धनात्मक दिशा ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर चुनते हैं । जैसा कि हम पहले कह चुके हैं कि गति के x- व y- घटक एक दूसरे पर निर्भर नहीं करते, इसलिए

x(t) = x₀ + v_ox t

y(t) = y₀ + v_oy t + (1/2) a_y t²

यहाँ x_o = y_o = 0, v_oy = 0, a_y = –g = –9.8 m s^-2

vox = 15 m s^-1.

पत्थर उस समय जमीन से टकराता है जब y(t) = – 490 m

∴ – 490 m = – (1/2) (9.8)t²

अर्थात् t = 10 s

वेग घटक vx = vox तथा vy = voy– g t होंगे ।

अतः, जब पत्थर जमीन से टकराता है, तब

v_ox = 15 m s^–1

v_oy = 0 – 9.8 × 10 = –98 m s^–1

इसलिए पत्थर की चाल होगी । °

उदाहरण 3.8 : क्षैतिज से ऊपर की ओर 30॰ का कोण बनाते हुए एक क्रिकेट गेंद 28 m s–1 की चाल से फेंकी जाती है । (a) अधिकतम ऊँचाई की गणना कीजिए,  (b) उसी स्तर पर वापस पहुँचने में लगे समय की गणना कीजिए, तथा (c) फेंकने वाले बिंदु से उस बिंदु की दूरी जहाँ गेंद उसी स्तर पर पहुँची है, की गणना कीजिए ।

हल (a) अधिकतम ऊँचाई

hm = (v₀sin θ₀)² / 2g = (28 sin 30⁰)² / 2(9.8) m

= 10.0m होगी ।

(b) उसी धरातल पर वापस आने में लगा समय

T_f = (2 v_o sin θ_o )/g = (2 × 28 × sin 30° )/9.8

 = 28/9.8 s = 2.9 s होगा ।

(c) फेंकने वाले बिंदु से उस बिंदु की दूरी जहाँ गेंद उसी स्तर पर पहुँचती हैः 

होगी।

3.10 एकसमान वृत्तीय गति

जब कोई वस्तु एकसमान चाल से एक वृत्ताकार पथ पर चलती है, तो वस्तु की गति को एकसमान वृत्तीय गति कहते हैं । शब्द "एकसमान" उस चाल के संदर्भ में प्रयुक्त हुआ है जो वस्तु की गति की अवधि में एकसमान (नियत) रहती है । माना कि चित्र 3.18 के अनुसार कोई वस्तु एकसमान चाल v से R त्रिज्या वाले वृत्त के अनुदिश गतिमान है । क्योंकि वस्तु के वेग की दिशा में निरन्तर परिवर्तन हो रहा है, अतः उसमें त्वरण उत्पन्न हो रहा है। हमें त्वरण का परिमाण तथा उसकी दिशा ज्ञात करनी है ।

माना r व r' तथा v व v' कण की स्थिति तथा गति सदिश हैं जब वह गति के दौरान क्रमशः बिंदुओं P व P' पर है (चित्र 3.18a) । परिभाषा के अनुसार, किसी बिंदु पर कण का वेग उस बिंदु पर स्पर्श रेखा के अनुदिश गति की दिशा में होता है । चित्र 3.18 (a1) में वेग सदिशों v व v' को दिखाया गया है। चित्र 3.18(a2) में सदिश योग के त्रिभुज नियम का उपयोग करके ∆v निकाल लेते हैं । क्योंकि पथ वृत्तीय है, इसलिए चित्र में, ज्यामिति से स्पष्ट है कि v, r के तथा v', r' के लंबवत् हैं । इसलिए, ∆v, ∆r के लंबवत् होगा । पुनः क्योंकि औसत त्वरण ∆v ( = ∆v / ∆t ) के अनुदिश है, इसलिए भी ∆r के लंबवत् होगा । अब यदि हम ∆v को उस रेखा पर रखें जो r व r' के बीच के कोण को द्विभाजित करती है तो हम देखेंगे कि इसकी दिशा वृत्त के केंद्र की ओर होगी । इन्हीे राशियों को चित्र 3.18(b) में छोटे समय अंतराल के लिए दिखाया गया है । , अतः की दिशा पुनः केंद्र की ओर होगी । चित्र (3.18c) में ∆t→0 है, इसलिए औसत त्वरण, तात्क्षणिक त्वरण के बराबर हो जाता है । इसकी दिशा केंद्र की ओर होती है* । इस प्रकार, यह निष्कर्ष निकलता है कि एकसमान वृत्तीय गति के लिए वस्तु के त्वरण की दिशा वृत्त के केंद्र की ओर होती है । अब हम इस त्वरण का परिमाण निकालेंगे।

परिभाषा के अनुसार, a का परिमाण निम्नलिखित सूत्र से व्यक्त होता है,

मान लीजिए r व r' के बीच का कोण ∆θ है । क्योंकि वेग सदिश v व v' सदैव स्थिति सदिशों के लंबवत् होते हैं, इसलिए उनके बीच का कोण भी ∆θ होगा । अतएव स्थिति सदिशों द्वारा निर्मित त्रिभुज (∆CPP') तथा वेग सदिशों v, v' व ∆v द्वारा निर्मित त्रिभुज (∆GHI) समरूप हैं (चित्र 4.19a) । इस प्रकार एक त्रिभुज के आधार की लंबाई व किनारे की भुजा की लंबाई का अनुपात दूसरे त्रिभुज की तदनुरूप लंबाइयों के अनुपात के बराबर होगा, अर्थात्

चित्र 3.18 किसी वस्तु की एकसमान वृत्तीय गति के लिए वेग तथा त्वरण । चित्र (a) से (c) तक ∆t घटता जाता है । ( चित्र c में शून्य हो जाता है) वृत्ताकार पथ के प्रत्येक बिंदु पर त्वरण वृत्त के केंद्र की ओर होता है ।

 या 

इसलिए,

यदि ∆t छोटा है, तो ∆θ भी छोटा होगा । एेसी स्थिति में चाप PP' को लगभग |∆r| के बराबर ले सकते हैं ।

अर्थात्, |∆r| ≅ v ∆t

या अथवा

इस प्रकार, अभिकेंद्र त्वरण ac का मान निम्नलिखित होगा,

a_c = ( V / R ) V = V² / R (3.43)

इस प्रकार किसी R त्रिज्या वाले वृत्तीय पथ के अनुदिश v चाल से गतिमान वस्तु के त्वरण का परिमाण v2/R होता है जिसकी दिशा सदैव वृत्त के केंद्र की ओर होती है । इसी कारण इस प्रकार के त्वरण को अभिकेंद्र त्वरण कहते हैं (यह पद न्यूटन ने सुझाया था) । अभिकेंद्र त्वरण से संबंधित संपूर्ण विश्लेषणात्मक लेख सर्वप्रथम 1673 में एक डच वैज्ञानिक क्रिस्चियान हाइगेन्स (1629-1695) ने प्रकाशित करवाया था, किन्तु संभवतया न्यूटन को भी कुछ वर्षों पूर्व ही इसका ज्ञान हो चुका था । अभिकेंद्र को अंग्रेजी में सेंट्रीपीटल कहते हैं जो एक ग्रीक शब्द है जिसका अभिप्राय केंद्र-अभिमुख (केंद्र की ओर) है । क्योंकि v तथा R दोनों अचर हैं इसलिए अभिकेंद्र त्वरण का परिमाण भी अचर होता है। परंतु दिशा बदलती रहती है और सदैव केंद्र की ओर होती है। इस प्रकार निष्कर्ष निकलता है कि अभिकेंद्र त्वरण एकसमान सदिश नहीं होता है ।

किसी वस्तु के एकसमान वृत्तीय गति के वेग तथा त्वरण को हम एक दूसरे प्रकार से भी समझ सकते हैं । चित्र 4.19 में दिखाए गए अनुसार ∆t (=t'–t) समय अंतराल में जब कण P से P' पर पहुँच जाता है तो रेखा CP कोण ∆θ से घूम जाती है । ∆θ को हम कोणीय दूरी कहते हैं । कोणीय वेग ω (ग्रीक अक्षर ‘ओमेगा’) को हम कोणीय दूरी के समय परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित करते हैं । इस प्रकार,

(3.44)

अब यदि ∆t समय में कण द्वारा चली दूरी को ∆s से व्यक्त करें (अर्थात् PP'=∆s) तो,

किंतु ∆s = R∆θ, इसलिए

अतः v = ωR (3.45)

अभिकेंद्र त्वरण को हम कोणीय चाल के रूप में भी व्यक्त कर सकते हैं । अर्थात्

वृत्त का एक चक्कर लगाने में वस्तु को जो समय लगता है उसे हम आवर्तकाल T कहते हैं । एक सेकंड में वस्तु जितने चक्कर लगाती है, उसे हम वस्तु की आवृत्ति ν कहते हैं । परंतु इतने समय में वस्तु द्वारा चली गई दूरी s = 2πR होती है, इसलिए

v = 2πR/T = 2πRν (3.47)

इस प्रकार ω, v तथा a_c को हम आवृति ν के पद में व्यक्त कर सकते हैं, अर्थात्

ω = 2πν

v = 2πνR

a_c = 4π²ν²R (3.48)

उदाहरण 3.9 : कोई कीड़ा एक वृत्तीय खाँचे में जिसकी त्रिज्या 12cm है, फँस गया है । वह खाँचे के अनुदिश स्थिर चाल से चलता है और 100 सेकंड में 7 चक्कर लगा लेता है। (a) कीड़े की कोणीय चाल व रैखिक चाल कितनी होगी? (b) क्या त्वरण सदिश एक अचर सदिश है। इसका परिणाम कितना होगा?

हल यह एकसमान वृत्तीय गति का एक उदाहरण है । यहाँ R = 12 cm है । कोणीय चाल ω का मान

ω = 2π/T = 2π × 7/100 = 0.44 rad/s

है तथा रैखिक चाल v का मान

v = ω R = 0.44 × 12 cm = 5.3 cm s^–1

होगा । वृत्त के हर बिंदु पर वेग v की दिशा उस बिंदु पर स्पर्श रेखा के अनुदिश होगी तथा त्वरण की दिशा वृत्त के केंद्र की ओर होगी । क्योंकि यह दिशा लगातार बदलती रहती है, इसलिए त्वरण एक अचर सदिश नहीं है । परंतु त्वरण का परिमाण अचर है, जिसका मान

a = ω² R = (0.44 s^–1)² (12 cm) = 2.3 cm s^–2 होगा।