He who seeks for methods without having a definite problem in mind seeks for the most part in vain – D. Hilbert 

9.1 Hkwfedk (Introduction)

d{kk XI ,oa bl iqLrd osQ vè;k; 5 esa geus ppkZ dh Fkh] fd ,d Lora=k pj osQ lkis{k fdlh iQyu f dk vodyt oSQls Kkr fd;k tkrk gS vFkkZr~ fdlh iQyu f dh ifjHkkf"kr izkar osQ izR;sd x osQ fy,] f′(x) oSQls Kkr fd;k tkrk gSA blosQ vfrfjDr lekdy xf.kr osQ vè;k; esa geus ppkZ dh Fkh] fd ;fn fdlh iQyu f dk vodyt iQyu g gS rks iQyu f oSQls Kkr fd;k tk,A bldks fuEu :i esa lw=kc¼ fd;k tk ldrk gS%

fdlh fn, gq, iQyu g osQ fy, iQyu f Kkr dhft, rkfd

tgk¡ y = f (x)   .... (1)

lehdj.k (1) osQ :i okys lehdj.k dks vody lehdj.k dgrs gSaA bldh vkSipkfjd ifjHkk"kk ckn esa nh tk,xhA

vody lehdj.kksa dk mi;ksx eq[; :i ls HkkSfrdh] jlk;u foKku] tho foKku] ekuo foKku] HkwfoKku] vFkZ'kkL=k vkfn fofHkUu {ks=kksa esa fd;k tkrk gSA vr% lHkh vR;k/qfud oSKkfud vUos"k.kksa osQ fy, vody lehdj.kksa osQ xgu vè;;u dh vR;ar vko';drk gSA bl vè;k; esa] ge vody lehdj.k dh oqQN vk/kjHkwr ladYiukvksa] vody lehdj.k osQ O;kid ,oa fof'k"V gy] vody lehdj.k dk fuekZ.k] izFke dksfV ,oa izFke ?kkr osQ vody lehdj.k dks gy djus dh oqQN fof/;k¡ vkSj fofHkUu {ks=kksa esa vody lehdj.kksa osQ oqQN mi;ksxksa osQ ckjs esa vè;;u djsaxsA

9.2 vk/kjHkwr ladYiuk,¡ (Basic Concepts)

ge igys ls gh fuEufyf[kr izdkj osQ lehdj.kksa ls ifjfpr gSa

x2 – 3x + 3 = 0 ... (1)

sin x + cos x = 0 ... (2)

x + y = 7 ... (3)

vkb, fuEufyf[kr lehdj.k ij fopkj djsa

= 0 ... (4)

ge ikrs gSa fd lehdj.kksa (1)] (2) ,oa (3) esa osQoy Lora=k vkSj@vFkok vkfJr pj (,d ;k vf/d) 'kkfey gSa tc fd lehdj.k (4) esa pj osQ lkFk&lkFk Lora=k pj (x) osQ lkis{k vkfJr pj (y) dk vodyt Hkh 'kkfey gSA bl izdkj dk lehdj.k vody lehdj.k dgykrk gSA

lkekU;r% ,d ,slk lehdj.k] ftlesa Lora=k pj (pjksa) osQ lkis{k vkfJr pj osQ vodyt lfEefyr gksa] vody lehdj.k dgykrk gSA

,d ,slk vody lehdj.k] ftlesa osQoy ,d Lora=k pj osQ lkis{k] vkfJr pj osQ vodyt lfEefyr gksa] lkekU; vody lehdj.k dgykrk gSA mnkgj.kr;k

= 0 ... (5)

,d lkekU; vody lehdj.k gSA

fu%lUnsg ,sls Hkh vody lehdj.k gksrs gSa ftuesa ,d ls vf/d Lora=k pjksa osQ lkis{k vodyt 'kkfey gksrs gSa] bl izdkj osQ vody lehdj.k vkaf'kd vody lehdj.k dgykrs gSaA ysfdu bl Lrj ij ge vius vki dks osQoy lkekU; vody lehdj.kksa osQ vè;;u rd lhfer j[ksaxsA blls vkxs ge lkekU; vody lehdj.k osQ fy, vody lehdj.k 'kCn dk gh mi;ksx djsaxsA

9.2.1 vody lehdj.k dh dksfV (Order of a differential equation)

fdlh vody lehdj.k dh dksfV ml vody lehdj.k eas lfEefyr Lora=k pj osQ lkis{k vkfJr pj osQ mPpre dksfV osQ vodyt dh dksfV }kjk ifjHkkf"kr gksrh gSA

fuEufyf[kr vody lehdj.kksa ij fopkj dhft,%

... (6)

... (7)

    ...(8)

lehdj.k (6)] (7) ,oa (8) esa Øe'k% izFke] f}rh; ,oa r`rh; dksfV osQ mPpre vodyt mifLFkr gSa blfy, bu lehdj.kksa dh dksfV Øe'k% 1] 2 ,oa 3 gSA

9.2.2 vody lehdj.k dh ?kkr (Degree of a differential equation)

fdlh vody lehdj.k dh ?kkr dk vè;;u djus osQ fy, eq[; ¯cnq ;g gS fd og vody lehdj.k] vodytksa y′, y″, y″′ bR;kfn esa cgqin lehdj.k gksuk pkfg,A fuEufyf[kr lehdj.kksa ij fopkj dhft,%

... (9)

... (10)

     ... (11)

ge izsf{kr djrs gSa fd lehdj.k (9) y″′, y″ ,oaa y′ esa cgqin lehdj.k gSA lehdj.k (10) y′ esa cgqin lehdj.k gS (;|fi ;g y esa cgqin ugha gS) bl izdkj osQ vody lehdj.kksa dh ?kkr dks ifjHkkf"kr fd;k tk ldrk gSA ijarq lehdj.k (11) y′ esa cgqin lehdj.k ugha gS vkSj bl izdkj osQ vody lehdj.k dh ?kkr dks ifjHkkf"kr ugha fd;k tk ldrk gSA

;fn ,d vody lehdj.k vodytksa dk cgqin lehdj.k gS rks ml vody lehdj.k dh ?kkr ls gekjk rkRi;Z gS ml vody lehdj.k esa mifLFkr mPpre dksfV osQ vodyt dh mPpre ?kkr (/ukRed iw.kk±d)

mijksDr ifjHkk"kk osQ lanHkZ esa ge izsf{kr dj ldrs gSa fd lehdj.kksa (6)] (7)] (8) ,oa (9) esa ls izR;sd dh ?kkr 1 gS] lehdj.k (10) dh ?kkr 2 gS tc fd vody lehdj.k (11) dh ?kkr ifjHkkf"kr ugha gSA

mnkgj.k 1 fuEufyf[kr vody lehdj.kksa esa ls izR;sd dh dksfV ,oa ?kkr (;fn ifjHkkf"kr gks) Kkr dhft,%

(i) (ii)

(iii)

gy

(i) bl vody lehdj.k esa mifLFkr mPpre dksfV vodyt gSA blfy, bldh dksfV 1 gSA ;g y′ esa cgqin lehdj.k gS ,oa dh vf/dre ?kkrkad 1 gS] blfy, bl vody lehdj.k dh ?kkr 1 gSA

(ii) bl vody lehdj.k esa mifLFkr mPpre dksfV vodyt gS A blfy, bldh dksfV 2 gSA ;g vody lehdj.k ,oa esa cgqin lehdj.k gS vkSj dh vf/dre ?kkrkad 1 gS] blfy, bl vody lehdj.k dh ?kkr 1 gSA

(iii) bl vody lehdj.k esa mifLFkr mPpre dksfV vodyt gSA blfy, bldh dksfV 3 gSA bl lehdj.k dk ck;k¡ i{k vodytksa esa cgqin ugha gS blfy, bldh ?kkr ifjHkkf"kr ugha gSA

iz'ukoyh 9-1

1 ls 10 rd osQ iz'uksa esa izR;sd vody lehdj.k dh dksfV ,oa ?kkr (;fn ifjHkkf"kr gks) Kkr dhft,A

1. 2. y′ + 5y = 0 3.

4. 5.

6. + (y″)3 + (y′)4 + y5 = 0 7. + 2y″ + y′ = 0

8. y′ + y = ex 9. y″ + (y′)2 + 2y = 0 10. y″ + 2y′ + sin y = 0

11. vody lehdj.k

dh ?kkr gS%

(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) ifjHkkf"kr ugha gS

12. vody lehdj.k dh dksfV gS%

(A) 2 (B) 1 (C) 0 (D) ifjHkkf"kr ugha gS

9.3. vody lehdj.k dk O;kid ,oa fof'k"V gy (General and Particular Solutions of a Differential Equation)

fiNyh d{kkvksa esa geus fuEufyf[kr izdkj osQ lehdj.kksa dks gy fd;k gS%

x2 + 1 = 0 ... (1)

sin2 x – cos x = 0 ... (2)

lehdj.kksa (1) rFkk (2) dk gy ,d ,slh okLrfod vFkok lfEeJ la[;k gS tks fn, gq, lehdj.k dks larq"V djrh gS vFkkZr~ tc bl la[;k dks lehdj.k esa vKkr x osQ LFkku ij izfrLFkkfir dj fn;k tkrk gS rks nk;k¡ i{k vkSj ck;k¡ i{k vkil esa cjkcj gks tkrs gaSA

vc vody lehdj.k = 0 ... (3)

ij fopkj djrs gSaA

izFke nks lehdj.kksa osQ foijhr bl vody lehdj.k dk gy ,d ,slk iQyu φ gS tks bl lehdj.k dks larq"V djsxk vFkkZr~ tc bl iQyu φ dks vody lehdj.k esa vKkr y (vkfJr pj) osQ LFkku ij izfrLFkkfir dj fn;k tkrk gS rks ck;k¡ i{k vkSj nk;k¡ i{k cjkcj gks tkrs gSaA

oØ y = φ (x) vody lehdj.k dk gy oØ (lekdyu oØ) dgykrk gSA fuEufyf[kr iQyu ij fopkj dhft,

y = φ (x) = a sin (x + b) ... (4)

tgk¡ a, b ∈ R. ;fn bl iQyu vkSj blosQ vodytksa dks lehdj.k (3) esa izfrLFkkfir dj fn;k tk, rks ck;k¡ i{k vkSj nk;k¡ i{k cjkcj gks tkrs gSaA blfy, ;g iQyu vody lehdj.k (3) dk gy gSA

eku yhft, fd a vkSj b dks oqQN fof'k"V eku a = 2 ,oa ns fn, tkrs gSa rks gesa fuEufyf[kr iQyu izkIr gksrk gS%

y = φ1(x) = ... (5)

;fn bl iQyu vkSj blosQ vodytksa dks lehdj.k (3) esa izfrLFkkfir dj fn;k tk, rks iqu% ck;k¡ i{k vkSj nk;k¡ i{k cjkcj gks tkrs gaSA blfy, φ1 Hkh lehdj.k (3) dk ,d gy gSA

iQyu φ esa nks LosPN vpj (izkpy) a, b lfEefyr gSa rFkk ;g iQyu fn, gq, vody lehdj.k dk O;kid gy dgykrk gSA tcfd iQyu φ1 esa dksbZ Hkh LosPN vpj lfEefyr ugha gS ysfdu izkpyksa a rFkk b osQ fof'k"V eku mifLFkr gSa vkSj blfy, bldks vody lehdj.k dk fof'k"V gy dgk tkrk gSA

,slk gy] ftlesa LosPN vpj mifLFkr gks vody lehdj.k dk O;kid gy dgykrk gSA

,slk gy] tks LosPN vpjkas ls eqDr gS vFkkZr~ O;kid gy esa LosPN vpjksa dks fof'k"V eku nsus ij izkIr gy] vody lehdj.k dk fof'k"V gy dgykrk gSA

mnkgj.k 2 lR;kfir dhft, fd iQyu y = e–3x, vody lehdj.k dk ,d gy gSA

gy fn;k gqvk iQyu y = e–3x gSA blosQ nksuksa i{kksa dk x osQ lkis{k vodyu djus ij ge izkIr djrs gS%

= 3e–3x ... (1)

vc lehdj.k (1) dk x osQ lkis{k iqu% vodyu djus ij ge ns[krs gSa fd

= 9e–3x

vkSj y dk eku] fn, x, vody lehdj.k esa izfrLFkkfir djus ij ij ge ikrs gSa fd ck;k¡ i{k = 9 e–3x + (–3e–3x) – 6.e–3x = 9 e–3x – 9 e–3x = 0 = nk;k¡ i{k

blfy, fn;k gqvk iQyu fn, gq, vody lehdj.k dk ,d gy gSA

mnkgkj.k 3 lR;kfir dhft, fd iQyu y = a cos x + b sin x, ftlesa a, b ∈ R, vody lehdj.k dk gy gSA

gy fn;k gqvk iQyu gS

y = a cos x + b sin x ... (1)

lehdj.k (1) osQ nksuksa i{kksa dk x, osQ lkis{k mÙkjksÙkj vodyu djus ij ge ns[krs gaS%

= –a sin x + b cos x

= – a cos x – b sin x

,oa y dk eku fn, gq, vody lehdj.k esa izfrLFkkfir djus ij izkIr djrs gSa%

ck;k¡ i{k = (– a cos x – b sin x) + (a cos x + b sin x) = 0 = nk;k¡ i{k

blfy, fn;k gqvk iQyu] fn, gq, vody lehdj.k dk gy gSA

iz'ukoyh 9-2

1 ls 10 rd izR;sd iz'u esa lR;kfir dhft, fd fn;k gqvk iQyu (Li"V vFkok vLi"V) laxr vody lehdj.k dk gy gS%

1. y = ex + 1 : y″ – y′ = 0

2. y = x2 + 2x + C : y′ – 2x – 2 = 0

3. y = cos x + C : y′ + sin x = 0

4. y = : y′ =

5. y = Ax : xy′ = y (x ≠ 0)

6. y = x sin x : xy′ = y + x (x ≠ 0 vkSj x > y vFkok x < – y)

7. xy = log y + C : y′ = (xy ≠ 1)

8. y – cos y = x : (y sin y + cos y + x) y′ = y

9. x + y = tan–1y : y2 y′ + y2 + 1 = 0

10. y = x ∈ (– a, a) : x + y = 0 (y ≠ 0)

11. pkj dksfV okys fdlh vody lehdj.k osQ O;kid gy esa mifLFkr LosPN vpjksa dh la[;k gS%

(A) 0 (B) 2 (C) 3 (D) 4

12. rhu dksfV okys fdlh vody lehdj.k osQ fof'k"V gy esa mifLFkr LosPN vpjksa dh la[;k gS%

(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0

9.4. fn, gq, O;kid gy okys vody lehdj.k dk fuekZ.k (Formation of a Differential Equation whose Solution is Given)

ge tkurs gSa fd lehdj.k

x2 + y2 + 2x – 4y + 4 = 0 ... (1)

,d ,sls o`r dks fu:fir djrk gS ftldk osaQnz (&1] 2) gS vkSj f=kT;k 1 bdkbZ gSA

lehdj.k (1) dk x, osQ lkis{k vodyu djus ij izkIr djrs gSa

, (y ≠ 2) ... (2)

;g ,d vody lehdj.k gSA vki ckn esa ns[ksaxs fd (vuqHkkx 9-5-1 dk mnkgj.k 9 nsf[k,) fd ;g lehdj.k o`Ùkksa osQ ,d oqQy dks fu:fir djrk gS vkSj ml oqQy dk ,d lnL; lehdj.k (1) esa fn;k gqvk o`r gSA vkb, fuEufyf[kr lehdj.k ij fopkj djsa%

x2 + y2 = r2 ... (3)

r, dks fofHkUu eku nsus ij gesa oqQy osQ fHkUu lnL; izkIr gksrs gSa mnkgj.kr% x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 4, x2 + y2 = 9 bR;kfn (vko`Qfr 9-1 nsf[k,)A bl izdkj lehdj.k (3) ,d ,sls laosaQnzh o`Ùkksa osQ oqQy dks fu:fir djrk gS ftudk osaQnz ewy ¯cnq gS vkSj ftudh f=kT;k,¡ fHkUu gSaA

gekjh #fp bl oqQy osQ izR;sd lnL; }kjk larq"V fd, tkus okyk vody lehdj.k Kkr djus esa gSaA ;g lehdj.k r ls eqDr gksuk pkfg, D;ksafd oqQy osQ fofHkUu lnL;ksa osQ fy, r dk eku fHkUu gSA lehdj.k (3) dk x osQ lkis{k vodyu djus ij ;g lehdj.k izkIr fd;k tkrk gSA vFkkZr~

2x + 2y 0 vFkok x + y 0 ... (4)

;g vody lehdj.k] lehdj.k (3) }kjk fu:fir losaQnzh o`Ùkksa osQ oqQy dks fu:fir djrk gSA

vkb, fiQj ls fuEufyf[kr lehdj.k ij fopkj djsa%

y = mx + c ... (5)

izkpyksa m rFkk c, osQ fofHkUu ekuksa ls gesa oqQy osQ fofHkUu lnL; izkIr gksrs gSa mnkgj.kr;k

bR;kfn (vko`Qfr 9-2 nsf[k,)A

bl izdkj lehdj.k (5) ljy js[kkvksa osQ oqQy dks fu:fir djrk gS ftlesa m, c izkpy gSA

vc gekjh #fp bl oqQy osQ izR;sd lnL; }kjk larq"V fd, tkus okyk vody lehdj.k Kkr djus esa gSA blosQ vfrfjDr og lehdj.k m rFkk c ls eqDr gksuk pkfg, D;ksafd oqQy osQ fofHkUu lnL;ksa osQ fy, m rFkk c dk eku fHkUu gSA ;g vody lehdj.k] lehdj.k (5) dk x osQ lkis{k Øekuqlkj nks ckj vodyu djus ij izkIr gksrk gS vFkkZr~

rFkk ... (6)

lehdj.k (6)] lehdj.k (5) }kjk fn, gq, ljy js[kkvksa osQ oqQy dks fu:fir djrk gSA

fVIi.kh lehdj.k (3) rFkk (5) Øe'k% lehdj.k (4) ,oa (6) osQ O;kid gy gSaA

9.4.1 fn, gq, oØkas osQ oqQy dks fu:fir djus okys vody lehdj.k osQ fuekZ.k dh izfØ;k (Procedure to form a Differential Equation that will represent a given Family of curves)

(a) ;fn fn, gq, oØksa dk oqQy F1 osQoy ,d izkpy ij fuHkZj djrk gS rks bls fuEufyf[kr :i okys lehdj.k }kjk fu:fir fd;k tkrk gS%

F1 (x, y, a) = 0 ... (1)

mnkgj.kr%] ijoy;ksa y2 = ax dk oqQy f(x, y, a) : y2 = ax osQ :i okys lehdj.k }kjk fu:fir fd;k tk ldrk gSA

lehdj.k (1) dk x osQ lkis{k vodyu djus ij gesa y′, y, x, ,oa a dks lfEefyr djus okyk ,d lehdj.k fuEufyf[kr :i esa izkIr gksrk gS%

g (x, y, y′, a) = 0 ... (2)

lehdj.k (1) rFkk (2) ls a dks foyqIr djus ij gesa vko';d vody lehdj.k fuEufyf[kr :i esa izkIr gksrk gS%

F (x, y, y′) = 0 ... (3)

(b) ;fn fn, gq, oØksa dk oqQy F2 izkpyksa a, rFkk b ij fuHkZj djrk gS rks bls fuEufyf[kr :i okys lehdj.k }kjk fu:fir fd;k tkrk gS%

F2 (x, y, a, b) = 0 ... (4)

lehdj.k (4) dk x osQ lkis{k vodyu djus ij gesa y′, x, y, a, b dks lfEefyr djus okyk ,d lehdj.k fuEufyf[kr :i esa izkIr gksrk gS%

g (x, y, y′, a, b) = 0 ... (5)

ijarq nks lehdj.kksa dh lgk;rk ls nks izkpyksa dks foyqIr djuk lEHko ugha gS blfy, gesa ,d rhljs lehdj.k dh vko';drk gSA ;g lehdj.k] lehdj.k (5) dk x osQ lkis{k vodyu djus ij fuEufyf[kr :i esa izkIr fd;k tkrk gS%

h (x, y, y′, y″, a, b) = 0 ... (6)

lehdj.k (4)] (5) ,oa (6) ls a rFkk b dks foyqIr djus ij gesa vko';d vody lehdj.k fuEufyf[kr :i esa izkIr gksrk gS%

F (x, y, y′, y″) = 0 ... (7)

mnkgj.k 4 oØksa osQ oqQy y = mx dks fu:fir djus okys vody lehdj.k dks Kkr dhft, tcfd m ,d LosPN vpj gSA

gy fn;k gqvk gS fd

y = mx ... (1)

lehdj.k (1) osQ nksuks i{kksa dk x osQ lkis{k vodyu djus ij ge izkIr djrs gSaA

m dk eku lehdj.k (1) esa izfrLFkkfir djus ij gesa vFkok izkIr gksrk gSA ;g izkpy m ls eqDr gS vkSj blfy, ;g vHkh"V vody lehdj.k gSA

mnkgj.k 5 oØksa osQ oqQy y = a sin (x + b), ftlesa a, b LosPN vpj gSa] dks fu:fir djus okys vody lehdj.k dks Kkr dhft,A

gy fn;k gqvk gS fd y = a sin (x + b) ... (1)

lehdj.k (1) osQ nksuksa i{kksa dk x osQ lkis{k mÙkjksÙkj vodyu djus ij ge izkIr djrs gS%

... (2)

... (3)

lehdj.k (1)] (2) rFkk (3) ls a rFkk b dks foyqIr djus ij ge izkIr djrs gSaA

... (4)

lehdj.k (4) LosPN vpjksa a rFkk b ls eqDr gS vkSj blfy, ;g vHkh"V vody lehdj.k gSA

mnkgj.k 6 ,sls nh?kZo`Ùkksa osQ oqQy dks fu:fir djus okyk vody lehdj.k Kkr dhft, ftudh ukfHk;k¡ x-v{k ij gSa rFkk ftudk osaQnz ewy ¯cnq gSA

gy ge tkurs gSa fd dfFkr nh?kZo`Ùkksa osQ oqQy dk lehdj.k fuEufyf[kr izdkj dk gksrk gS (vko`Qfr 9-3 nsf[k,)

... (1)

lehdj.k (1) dk x osQ lkis{k vodyu djus ij gesa izkIr gksrk gSA

vFkok ... (2)

lehdj.k (2) osQ nksuksa i{kksa dk x osQ lkis{k vodyu djus ij gesa izkIr gksrk gS%

vFkok ... (3)

lehdj.k (3) vHkh"V vody lehdj.k gSA

mnkgj.k 7 x&v{k dks ewy ¯cnq ij Li'kZ djus okys o`Ùkksa osQ oqQy dk vody lehdj.k Kkr dhft,A

gy eku yhft,] x&v{k dks ewy ¯cnq ij Li'kZ djus okys o`Ùkksa osQ oqQy dks C ls fufnZ"V fd;k tkrk gSA (0, a) ml oqQy osQ fdlh lnL; osQ osaQnz ¯cnq osQ funsZ'kkad gSa (vko`Qfr 9-4 nsf[k,)A blfy, oqQy C dk lehdj.k gS%

ftlesa a ,d LosPN vpj gSA lehdj.k (1) osQ nksuksa i{kksa dk x osQ lkis{k vodyu djus ij izkIr djrs gSa%

vFkok

vFkok ... (2)

lehdj.k (2) ls a dk eku lehdj.k (1) esa j[kus ij izkIr djrs gSa%

vFkok

vFkok

;g fn, gq, o`Ùkksa osQ oqQy dk vHkh"V vody lehdj.k gSA

mnkgj.k 8 ,sls ijoy;ksa osQ oqQy dks fu:fir djus okyk vody lehdj.k Kkr dhft, ftudk 'kh"kZ ewy ¯cnq ij gS rFkk ftudk v{k /ukRed x-v{k dh fn'kk esa gSA

gy eku yhft, fd mijksDr pfpZr ijoy;ksa osQ oqQy dks P ls fufnZ"V fd;k tkrk gS vkSj ml oqQy osQ fdlh lnL; dh ukfHk (a, 0) ij gS ftlesa a ,d /ukRed LosPN vpj gS (vko`Qfr 9-5 nsf[k,)A blfy, oqQy P dk lehdj.k gS%

y2 = 4ax ... (1)

lehdj.k (1) osQ nksuksa i{kksa dk x osQ lkis{k vodyu djus ij ge ikrs gSa%

... (2)

lehdj.k (2) ls 4a dk eku lehdj.k (1) esa j[kus ij ge ikrs gSa%

s

vFkok ... (3)

lehdj.k (3) fn, gq, ijoy;ksa osQ oqQy dk vody lehdj.k gSA

iz'ukoyh 9-3

1 ls 5 rd izR;sd iz'u esa] LosPN vpjksa a rFkk b dks foyqIr djrs gq, fn, gq, oØksa osQ oqQy dks fu:fir djus okyk vody lehdj.k Kkr dhft,A

1. 2. y2 = a (b2 – x2) 3. y = a e3x + b e– 2x

4. y = e2x (a + bx) 5. y = ex (a cos x + b sin x)

6. y-v{k dks ewy ¯cnq ij Li'kZ djus okys o`Ùkksa osQ oqQy dk vody lehdj.k Kkr dhft,A

7. ,sls ijoy;ksa osQ oqQy dk vody lehdj.k fufeZr dhft, ftudk 'kh"kZ ewy ¯cnq ij gS vkSj ftudk v{k /ukRed y-v{k dh fn'kk esa gSA

8. ,sls nh?kZo`Ùkksa osQ oqQy dk vody lehdj.k Kkr dhft, ftudh ukfHk;k¡ y-v{k ij gSa rFkk ftudk osaQnz ewy ¯cnq gSA

9. ,sls vfrijoy;ksa osQ oqQy dk vody lehdj.k Kkr dhft, ftudh ukfHk;k¡ x-v{k ij gSa rFkk ftudk osaQnz ewy ¯cnq gSA

10. ,sls o`Ùkksa osQ oqQy dk vody lehdj.k Kkr dhft, ftudk osaQnz y-v{k ij gS vkSj ftudh f=kT;k 3 bdkbZ gSA

11. fuEufyf[kr vody lehdj.kksa esa ls fdl lehdj.k dk O;kid gy y = c1 ex + c2 e–x gS\

(A) (B) (C) (D)

12. fuEufyf[kr lehdj.kksa esa ls fdl lehdj.k dk ,d fof'k"V gy y = x gS\

(A) (B)

(C) (D)

9.5. izFke dksfV ,oa izFke ?kkr osQ vody lehdj.kksa dks gy djus dh fof/;k¡ (Methods of Solving First order, First Degree Differential Equations)

bl ifjPNsn esa ge izFke dksfV ,oa izFke ?kkr osQ vody lehdj.kksa dks gy djus dh rhu
fof/;ksa dh ppkZ djsaxsA

9.5.1 i`FkDdj.kh; pj okys vody lehdj.k (Differential equations with variables separable)

izFke dksfV ,oa izFke ?kkr dk vody lehdj.k fuEufyf[kr :i dk gksrk gS%

... (1)

;fn F (x, y) dks xq.kuiQy g (x), h(y) osQ :i esa vfHkO;Dr fd;k tk ldrk gS tgk¡ g(x), x dk iQyu gS vkSj h(y), y dk ,d iQyu gS rks lehdj.k (1) i`FkDdj.kh; pj okyk lehdj.k dgykrk gSA ,slk gksus ij lehdj.k (1) dks fuEufyf[kr :i esa fy[kk tk ldrk gS%

= h (y) . g (x) ... (2)

;fn h (y) ≠ 0, rks pjksa dks i`Fko~Q djrs gq, lehdj.k (2) dks

dy = g (x) dx ... (3)

osQ :i esa fy[kk tk ldrk gSA lehdj.k (3) osQ nksuksa i{kksa dk lekdyu djus ij ge izkIr djrs gSa%

    ... (4)

bl izdkj lehdj.k (4)] fn, gq, vody lehdj.k dk gy fuEufyf[kr :i esa iznku djrk gS%

H(y) = G(x) + C ... (5)

;gk¡ H (y) ,oa G (x) Øe'k% ,oa g (x) osQ izfrvodyt gSa vkSj C LosPN vpj gSA

mnkgj.k 9 vody lehdj.k , (y ≠ 2) dk O;kid gy Kkr dhft,A

gy fn;k x;k gS fd

(y ≠ 2) ... (1)

lehdj.k (1) esa pjksa dks i`Fko~Q djus ij ge izkIr djrs gSa%

(2 – y) dy = (x + 1) dx ... (2)

lehdj.k (2) osQ nksuksa i{kksa dk lekdyu djus ij ge izkIr djrs gSa%

vFkok

vFkok x2 + y2 + 2x – 4y + 2 C1 = 0

vFkok x2 + y2 + 2x – 4y + C = 0 ... (3)

tgk¡ C = 2C1

lehdj.k (3) vody lehdj.k (1) dk O;kid gy gSA

mnkgj.k 10 vody lehdj.k dk O;kid gy Kkr dhft,A

gy pw¡fd 1 + y2 ≠ 0, blfy, pjksa dks i`Fko~Q djrs gq, fn;k gqvk vody lehdj.k fuEufyf[kr :i esa fy[kk tk ldrk gS%

... (1)

lehdj.k (1) osQ nksuksa i{kksa dk lekdyu djrs gq, ge ikrs gSa%

vFkok tan–1 y = tan–1x + C

;g lehdj.k (1) dk O;kid gy gSA

mnkgj.k 11 vody lehdj.k dk fof'k"V gy Kkr dhft,] ;fn y = 1 tc
x = 0 gks

gy ;fn y ≠ 0, fn;k gqvk vody lehdj.k fuEufyf[kr :i esa fy[kk tk ldrk gS%

... (1)

lehdj.k (1) osQ nksuksa i{kksa dk lekdyu djus ij ge ikrs gSa%

vFkok = – 2x2 + C

vFkok ... (2)

lehdj.k (2) esa y = 1 vkSj x = 0 izfrLFkkfir djus ij gesa C = – 1 izkIr gksrk gSA

C dk eku lehdj.k (2) esa izfrLFkkfir djus ij fn, gq, vody lehdj.k dk fof'k"V gy izkIr gksrk gSA

mnkgj.k 12 ¯cnq (1] 1) ls xqtjus okys ,d ,sls oØ dk lehdj.k dhft, ftldk vody lehdj.k x *dy = (2x2 + 1) *dx (x ≠ 0) gSA

gy fn, gq, vody lehdj.k dks fuEufyf[kr :i es vfHkO;Dr fd;k tk ldrk gS%

vFkok ... (1)

lehdj.k (1) osQ nksuksa i{kksa dk lekdyu djus ij ge izkIr djrs gSa%

vFkok ... (2)

lehdj.k (2) fn, gq, vody lehdj.k osQ gy oØksa osQ oqQy dks fu:fir djrk gS ijarq ge bl oqQy osQ ,d ,sls fof'k"V lnL; dk lehdj.k Kkr djuk pkgrs gSa tks ¯cnq (1] 1) ls xqtjrk gksA

* yScuht }kjk iznÙk laosQr vR;ar yphyk gS] rFkk cgqr lh x.kuk ,oa vkSipkfjd :ikarj.kksa esa iz;qDr gksrk gS] tgk¡ ge dx vkSj dy dks lk/kj.k la[;kvksa dh rjg O;ogkj esa ykrs gSaA dx vkSj dy dks i`Fko~Q&i`Fko~Q lÙkk ekudj ge cgqr lh x.kukvksa dh lqLi"kV O;k[;k dj ldrs gSaA lanHkZ% Introduction to calculus and Analysis, volume-I page 172, By Richard Courant, Fritz John Spinger — Verlog New York.

blfy, lehdj.k (2) esa x = 1, y = 1 izfrLFkkfir djus ij gesa C = 0 izkIr gksrk gSA C dk eku lehdj.k (2) esa izfrLFkkfir djus ij gesa vHkh"V oØ dk lehdj.k y = x2 + logosQ :i esa izkIr gksrk gSA

mnkgj.k 13 ¯cnq (–2, 3), ls xqtjus okys ,sls oØ dk lehdj.k Kkr dhft, ftlosQ fdlh ¯cnq (x, y) ij Li'kZ js[kk dh izo.krk gSA

gy ge tkurs gSa fd fdlh oØ dh Li'kZ js[kk dh izo.krk osQ cjkcj gksrh gSA blfy,

... (1)

pjksa dks i`Fko~Q djrs gq, lehdj.k (1) dks fuEufyf[kr :i esa fy[kk tk ldrk gS%

y2 dy = 2x dx ... (2)

lehdj.k (2) osQ nksuksa i{kksa dk lekdyu djus ij ge izkIr djrs gSa%

vFkok ... (3)

lehdj.k (3) esa x = –2, y = 3 izfrLFkkfir djus ij gesa C = 5 izkIr gksrk gSA

C dk eku lehdj.k (3) esa izfrLFkkfir djus ij gesa vHkh"V oØ dk lehdj.k vFkok

osQ :i esa izkIr gksrk gSA

mnkgj.k 14 fdlh cSad esa ewy/u dh o`f¼ 5% okf"kZd dh nj ls gksrh gSA fdrus o"kks± esa Rs 1000 dh jkf'k nqxquh gks tk,xh\

gy eku yhft, fdlh le; t ij ewy/u P gSA nh gqbZ leL;k osQ vuqlkj

vFkok ... (1)

lehdj.k (1) esa pjksa dks i`Fko~Q djus ij] ge izkIr djrs gSa%

... (2)

lehdj.k (2) osQ nksuksa i{kksa dk lekdyu djus ij ge izkIr djrs gSa%

log P =

vFkok

vFkok (tgk¡ ) ... (3)

vc P = 1000, tc t = 0

P vkSj t dk eku lehdj.k (3) esa j[kus ij ge C = 1000 izkIr djrs gSaA

blfy, lehdj.k (3) ls ge izkIr djrs gSa%

P = 1000

eku yhft, t o"kks± esa ewy/u nqxquk gks tkrk gS] rc

2000 = 1000 ⇒ t = 20 loge2

iz'ukoyh 9-4

1 ls 10 rd osQ iz'uksa esa] izR;sd vody lehdj.k dk O;kid gy Kkr dhft,A

1. 2.

3. 4. sec2 x tan y dx + sec2 y tan x dy = 0

5. (ex + e–x) dy – (ex – e–x) dx = 0   6.

7. y log y dx – x dy = 0 8. 9. 10. ex tan y dx + (1 – ex) sec2 y dy = 0

11 ls 14 rd osQ iz'uksa esa] izR;sd vody lehdj.k osQ fy, fn, gq, izfrca/ dks larq"V djus okyk fof'k"V gy Kkr dhft,A

11. = 2x2 + x; y = 1 ;fn x = 0

12. ; y = 0 ;fn x = 2

13. (a ∈ R); y = 1 ;fn x = 0

14. ; y = 2 ;fn x = 0

15. ¯cnq (0] 0) ls xqtjus okys ,d ,sls oØ dk lehdj.k Kkr dhft, ftldk vody lehdj.k y′ = ex sin x gSA

16. vody lehdj.k osQ fy, ¯cnq (1] &1) ls xqtjus okyk oØ Kkr dhft,A

17. ¯cnq (0, –2) ls xqtjus okys ,d ,sls oØ dk lehdj.k Kkr dhft, ftlosQ fdlh ¯cnq
(x, y) ij Li'kZ js[kk dh izo.krk vkSj ml ¯cnq osQ y funsZ'kkad dk xq.kuiQy ml ¯cnq osQ x funsZ'kkad osQ cjkcj gSA

18. ,d oØ osQ fdlh ¯cnq (x, y) ij Li'kZ js[kk dh izo.krk] Li'kZ ¯cnq dks] ¯cnq (– 4, –3). ls feykus okys js[kk[kaM dh izo.krk dh nqxquh gSA ;fn ;g oØ ¯cnq (–2, 1) ls xq”kjrk gks rks bl oØ dk lehdj.k Kkr dhft,A

19. ,d xksykdkj xqCckjs dk vk;ru] ftls gok Hkjdj iqQyk;k tk jgk gS] fLFkj xfr ls cny jgk gS ;fn vkjaHk esa bl xqCckjs dh f=kT;k 3 bZdkbZ gS vkSj 3 lsosaQM ckn 6 bZdkbZ gS] rks t lsosaQM ckn ml xqCckjs dh f=kT;k Kkr dhft,A

20. fdlh cSad esa ewy/u dh o`f¼ r% okf"kZd dh nj ls gksrh gSA ;fn 100 #i;s 10 o"kks± esa nqxqus gks tkrs gSa] rks r dk eku Kkr dhft,A (loge2 = 0.6931).

21. fdlh cSad esa ewy/u dh o`f¼ 5% okf"kZd dh nj ls gksrh gSA bl cSad esa Rs 1000 tek djk, tkrs gSaA Kkr dhft, fd 10 o"kZ ckn ;g jkf'k fdruh gks tk,xh\ (e0.5 = 1.648)

22. fdlh thok.kq lewg esa thok.kqvksa dh la[;k 1] 00]000 gSA 2 ?kaVks esa budh la[;k esa 10% dh o`f¼ gksrh gSA fdrus ?kaVksa esa thok.kqvksa dh la[;k 2]00]000 gks tk,xh] ;fn thok.kqvksa osQ o`f¼ dh nj muosQ mifLFkr la[;k osQ lekuqikrh gSA

23. vody lehdj.k dk O;kid gy gS%

(A) ex + e–y = C (B) ex + ey = C

(C) e–x + ey = C (D) e–x + e–y = C

9.5.2 le?kkrh; vody lehdj.k (Homogenous differential equations)

x ,oa y osQ fuEufyf[kr iQyuksa ij fopkj dhft,

F1 (x, y) = y2 + 2xy, F2 (x, y) = 2x – 3y,

F3 (x, y) = , F4 (x, y) = sin x + cos y

;fn mijksDr iQyuksa esa x vkSj y dks fdlh 'kwU;srj vpj λ osQ fy, Øe'k% λx ,oa λy ls izfrLFkkfir dj fn;k tk, rks ge izkIr djrs gSa%

F1 (λx, λy) = λ2 (y2 + 2xy) = λ2 F1 (x, y)

F2 (λx, λy) = λ (2x – 3y) = λ F2 (x, y)

F3 (λx, λy) = = λ0 F3 (x, y)

F4 (λx, λy) = sin λx + cos λy ≠ λn F4 (x, y), fdlh Hkh is osQ fy,

;gk¡ ge izsf{kr djrs gSa fd iQyuksa F1, F2, F3 dks F(λx, λy) = λn F (x, y) osQ :i esa fy[kk tk ldrk gS ijarq iQyu F4 dks bl :i esa ugha fy[kk tk ldrk gSA blls ge fuEufyf[kr ifjHkk"kk izkIr djrs gSaA

iQyu F(x, y), n ?kkr okyk le?kkrh; iQyu dgykrk gSA ;fn fdlh 'kwU;srj vpj λ osQ fy, F (λx, λy) = λn F(x, y)

ge uksV djrs gSa fd mijksDr mnkgj.kksa esa F1, F2, F3 Øe'k% 2, 1, 0 ?kkr okys le?kkrh; iQyu gSa tcfd F4 le?kkrh; iQyu ugha gSA

ge ;g Hkh izsf{kr djrs gSa fd

vFkok ,

vFkok ,

, n N osQ fdlh Hkh eku osQ fy,

vFkok F4 (x, y) ≠ , n ∈ N

blfy, ,d iQyu F (x, y), n ?kkr okyk le?kkrh; iQyu dgykrk gS ;fn

= F (x, y) osQ :i okyk vody lehdj.k le?kkrh; dgykrk gS ;fn F (x, y) 'kwU; ?kkr okyk le?kkrh; iQyu gSA

... (1)

osQ :i okys le?kkrh; vody lehdj.k dks gy djus osQ fy, ge = v vFkkZr~

y = v x ... (2)

izfrLFkkfir djrs gSa

lehdj.k (2) dk x osQ lkis{k vodyu djus ij ge izkIr djrs gSa%

... (3)

lehdj.k (3) ls dk eku lehdj.k (1) esa izfrLFkkfir djus ij ge izkIr djrs gSa%

vFkkZr~ ... (4)

lehdj.k (4) esa pjksa dks i`Fko~Q djus ij ge izkIr djrs gSa%

... (5)

lehdj.k (5) osQ nksuksa i{kksa dk lekdyu djus ij gesa izkIr gksrk gS%

... (6)

;fn v dks ls izfrLFkkfir dj fn;k tk, rks lehdj.k (6)] vody lehdj.k (1) dk O;kid gy iznku djrk gSA

mnkgj.k 15 n'kkZb, fd vody lehdj.k (x – y) = x + 2y le?kkrh; gS vkSj bldk gy Kkr dhft,A

gy fn, x, vody lehdj.k dks fuEufyf[kr :i esa vfHkO;Dr fd;k tk ldrk gS%

... (1)

eku yhft, F (x, y) =

vc

blfy, F(x, y) 'kwU; ?kkr okyk le?kkrh; iQyu gSA

vr% fn;k gqvk vody lehdj.k ,d le?kkrh; vody lehdj.k gSA

fodYir%

... (2)

lehdj.k (2) dk nk;k¡ i{k  osQ :i esa gS blfy, ;g 'kwU; ?kkr okyk ,d le?kkrh; iQyu gSA blfy, lehdj.k (1) ,d le?kkrh; vody lehdj.k gSA

bldks gy djus osQ fy, ge izfrLFkkiu djrs gS%a

y = vx ... (3)

lehdj.k (3) dk x osQ lkis{k vodyu djus ij ge izkIr djrs gSa%

... (4)

lehdj.k (1) esa y ,oa dk eku izfrLFkkfir djus ij ge izkIr djrs gSa%

vFkkZr~

vFkkZr~

vFkkZr~ ... (5)

lehdj.k (5) osQ nksuksa i{kksa dk lekdyu djus ij ge izkIr djrs gSa%

vFkok

vFkok

vFkok

vFkok

vFkok

vFkok

v dks , ls izfrLFkkfir djus ij ge izkIr djrs gSa%

vFkok

vFkok

vFkok

vFkok

;g vody lehdj.k (1) dk O;kid gy gSA

mnkgj.k 16 n'kkZb, fd vody lehdj.k le?kkrh; gS vkSj bldk gy Kkr dhft,A

gy fn;k gqvk vody lehdj.k fuEufyf[kr :i esa fy[kk tk ldrk gS%

 ... (1)

;gk¡ osQ :i dk vody lehdj.k gSA

;gk¡ F (x, y) = gSA

x dks λx ls ,oa y dks λy ls izfrLFkkfir djus ij ge izkIr djrs gSa%

F (λx, λy) =

F (x, y) 'kwU; ?kkr okyk le?kkrh; iQyu gS] blfy, fn;k gqvk vody lehdj.k ,d le?kkrh; vody lehdj.k gSA bldks gy djus osQ fy, ge izfrLFkkiu djrs gSa%

y = vx ... (2)

lehdj.k (2) dk x osQ lkis{k vodyu djus ij ge izkIr djrs gSa%

... (3)

lehdj.k (1) esa y ,oa dk eku izfrLFkkfir djus ij ge izkIr djrs gSa%

vFkok

vFkok

vFkok

blfy,

vFkok sin v = log + log

vFkok sin v = log

v dks izfrLFkkfir djus ij ge izkIr djrs gSaA

;g vody lehdj.k (1) dk O;kid gy gSA

mnkgj.k 17 n'kkZb, fd vody lehdj.k le?kkrh; gS vkSj ;fn] x = 0 tc y = 1 fn;k gqvk gks rks bl lehdj.k dk fof'k"V gy Kkr dhft,A

gy fn;k gqvk vody lehdj.k fuEufyf[kr :i esa fy[kk tk ldrk gS%

... (1)

eku yhft, F(x, y) rc F(λx, λy) 

vr% F (x, y) 'kwU; ?kkr okyk le?kkrh; iQyu gSA

blfy,] fn;k gqvk vody lehdj.k ,d le?kkrh; vody lehdj.k gSA

bldk gy Kkr djus osQ fy,] ge x = vy izfrLFkkiu djrs gSaA

lehdj.k (2) dk y osQ lkis{k vodyu djus ij ge izkIr djrs gSa%

lehdj.k (1) esa dk eku izfrLFkkfir djus ij ge izkIr djrs gSa%

vFkok

vFkok

vFkok

vFkok

vFkok 2 ev = – log |y| + C

v dks ls izfrLFkkfir djus ij ge izkIr djrs gSa%

2 + log |y| = C ... (3)

lehdj.k (3) esa] x = 0 ,oa y = 1 izfrLFkkfir djus ij ge izkIr djrs gSa%

2 e0 + log |1| = C ⇒ C = 2

C dk eku lehdj.k (3) esa izfrLFkkfir djus ij ge izkIr djrs gSa%

2 + log |y| = 2

;g fn, gq, vody lehdj.k dk ,d fof'k"V gy gSA

mnkgj.k 18 n'kkZb, fd oØksa dk oqQy] ftuosQ fdlh ¯cnq (x, y) ij Li'kZ js[kk dh izo.krk gS] x2 – y2 = cx }kjk iznÙk gSA

gy ge tkurs gSa fd ,d oØ osQ fdlh ¯cnq ij Li'kZ js[kk dh izo.krk osQ cjkcj gksrh gSA

blfy, ;k ... (1)

Li"Vr% lehdj.k (1) le?kkrh; vody lehdj.k gSA

bldks gy djus osQ fy, ge y = vx izfrLFkkiu djrs gaSA

y = vx oQk x osQ lkis{k vodyu djus ij ge ikrs gSa%

;k

vr% ;k ;k

blfy,

vFkok

vFkok

vFkok (v2 – 1) x = ± C1

v dks ls izfrLFkkfir djus ij ge izkIr djrs gSa%

vFkok (y2 – x2) = ± C1 x ;k x2 – y2 = Cx

iz'ukoyh 9-5

1 ls 10 rd osQ izR;sd iz'u esa n'kkZb, fd fn;k gqvk vody lehdj.k le?kkrh; gS vkSj buesa ls izR;sd dks gy dhft,%

1. (x2 + xy) dy = (x2 + y2) dx 2.

3. (x – y) dy – (x + y) dx = 0 4. (x2 – y2) dx + 2xy dy = 0

5. 6. x dy – y dx =

7.

8. 9.

10.

11 ls 15 rd osQ iz'uksa esa izR;sd vody lehdj.k osQ fy, fn, gq, izfrca/ dks larq"V djus okyk fof'k"V gy Kkr dhft,A

11. (x + y) dy + (x – y) dx = 0; y = 1 ;fn x = 1

12. x2 dy + (xy + y2) dx = 0; y = 1 ;fn x = 1

13. ;fn x = 1

14. ; y = 0 ;fn x = 1

15. ; y = 2 ;fn x = 1

16. osQ :i okys le?kkrh; vody lehdj.k dks gy djus osQ fy, fuEufyf[kr esa ls dkSu lk izfrLFkkiu fd;k tkrk gS%

(A) y = vx (B) v = yx (C) x = vy (D) x = v

17. fuEufyf[kr esa ls dkSu lk le?kkrh; vody lehdj.k gS\

(A) (4x + 6y + 5) dy – (3y + 2x + 4) dx = 0

(B) (xy) dx – (x3 + y3) dy = 0

(C) (x3 + 2y2) dx + 2xy dy = 0

(D) y2 dx + (x2 – xy – y2) dy = 0

9.5.3 jSf[kd vody lehdj.k (Linear differential equations)

,

osQ :i okyk vody lehdj.k] ftlesa P ,oa Q vpj vFkok osQoy x osQ iQyu gSa] izFke dksfV dk jSf[kd vody lehdj.k dgykrk gSA izFke dksfV osQ jSf[kd vody lehdj.k osQ oqQN mnkgj.k bl izdkj gSa%

izFke dksfV osQ jSf[kd vody lehdj.k dk nwljk :i lsosaQM gS] ftlesa P1 vkSj Q1 vpj vFkok osQoy y osQ iQyu gSaA bl izdkj osQ vody lehdj.k osQ oqQN mnkgj.k fuEufyf[kr gSa%

izFke dksfV osQ jSf[kd vody lehdj.k

... (1)

dks gy djus osQ fy, lehdj.k osQ nksuksa i{kksa dks x osQ iQyu g (x) ls xq.kk djus ij ge izkIr djrs gSa%

g (x) + P.g (x) y = Q.g (x) ... (2)

g (x) dk p;u bl izdkj dhft, rkfd lehdj.k dk ck;k¡ i{k y . g (x) dk vodyt cu tk,%

vFkkZr~ g (x) + P.g (x) y = [y.g (x)]

vFkok g (x) + P.g (x) y = g (x) + y g′(x)

⇒ P.g (x) = g′(x)

vFkok

nksuksa i{kksa dk x osQ lkis{k lekdyu djus ij ge izkIr djrs gSa%

vFkok

vFkok g (x) =

lehdj.k (1) dks g(x) = e∫pdx ls xq.kk djus ij ml lehdj.k dk ck;k¡ i{k x rFkk y osQ fdlh iQyu dk vodyt cu tkrk gSA ;g iQyu g(x) = e∫pdx fn, gq, vody lehdj.k dk lekdyu xq.kd (I.F.) dgykrk gSA

lehdj.k (2) esa g(x) dk eku izfrLFkkfir djus ij ge izkIr djrs gSa%

vFkok

nksuksa i{kksa dk x, osQ lkis{k lekdyu djus ij ge izkIr djrs gSa%

vFkok

;g vody lehdj.k dk O;kid gy gSA

izFke dksfV osQ jSf[kd vody lehdj.k dks gy djus osQ fy, lfEefyr pj.k%

(i) fn, gq, vody lehdj.k dks osQ :i esa fyf[k, ftlesa P, Q vpj vFkok osQoy x osQ iQyu gSaA

(ii) lekdyu xq.kd (I.F.) = Kkr dhft,A

(iii) fn, gq, vody lehdj.k dk gy fuEufyf[kr :i esa fyf[k,%

y . (I.F.) =

;fn izFke dksfV dk jSf[kd vody lehdj.k osQ :i esa gS ftlesa P1 vkSj Q1 vpj vFkok osQoy y osQ iQyu gSa] rc I.F. = vkSj

x . (I.F.) = vody lehdj.k dk gy gSA

mnkgj.k 19 vody lehdj.k dk O;kid gy Kkr dhft,A

gy fn;k gqvk vody lehdj.k

gS, tgk¡ P = –1 vkSj Q = cos x

blfy,

lehdj.k osQ nksuksa i{kksa dks I.F. ls xq.kk djus ij ge izkIr djrs gSa%

vFkok

nksuksa i{kksa dk x osQ lkis{k lekdyu djus ij ge izkIr djrs gSa%

... (1)

eku yhft, fd I =

=

=

=

=

vFkok I = – e–x cos x + sin x e–x – I

vFkok 2I = (sin x – cos x) e–x

vFkok I =

lehdj.k (1) esa I dk eku izfrLFkkfir djus ij ge izkIr djrs gSa%

vFkok

;g fn, gq, vody lehdj.k dk O;kid gy gSA

mnkgj.k 20 vody lehdj.k dk O;kid gy Kkr dhft,A

gy fn;k gqvk vody lehdj.k gS%

... (1)

lehdj.k (1) osQ nksuksa i{kksa dks x ls Hkkx nsus ij ge izkIr djrs gSa%

;g] , osQ :i dk jSf[kd vody lehdj.k gSA ;gk¡ ,oa Q = x gSA

blfy, I.F. = = e2 log x =

blfy, fn, gq, lehdj.k dk gy gS%

y . x2 = =

vFkok

;g fn, gq, vody lehdj.k dk O;kid gy gSA

mnkgj.k 21 vody lehdj.k y dx – (x + 2y2) dy = 0 dk O;kid gy Kkr dhft,A

gy fn;k gqvk vody lehdj.k fuEufyf[kr :i esa fy[kk tk ldrk gS%

;g] , osQ :i okyk jSf[kd vody lehdj.k gSA ;gk¡ ,oa
Q1 = 2y gSA blfy,

vr% fn, gq, vody lehdj.k dk gy gS%

vFkok

vFkok

vFkok x = 2y2 + Cy

;g fn, gq, vody lehdj.k dk O;kid gy gSA

mnkgj.k 22 vody lehdj.k

= 2x + x2 cot x (x ≠ 0)

dk fof'k"V gy Kkr dhft,] fn;k gqvk gS fd y = 0 ;fn

gy fn;k gqvk vody lehdj.k , osQ :i dk jSf[kd vody lehdj.k gSA ;gk¡ P = cot x vkSj Q = 2x + x2 cot x gSA blfy,

vr% vody lehdj.k dk gy gS%

y . sin x = ∫(2x + x2 cot x) sin x dx + C

vFkok y sin x = ∫2x sin x dx + ∫x2 cos x dx + C

vFkok y sin x =

vFkok

vFkok y sin x = x2 sin x + C ... (1)

lehdj.k (1) esa y = 0 ,oa izfrLFkkfir djus ij ge izkIr djrs gSa%

vFkok

lehdj.k (1) esa C dk eku izfrLFkkfir djus ij ge izkIr djrs gSa%

vFkok

;g fn, gq, vody lehdj.k dk fof'k"V gy gSA

mnkgj.k 23 fcUnq (0] 1) ls xqtjus okys ,d oØ dk lehdj.k Kkr dhft,] ;fn bl oØ osQ fdlh ¯cnq (x, y) ij Li'kZ js[kk dh izo.krk] ml ¯cnq osQ x funsZ'kkad (Hkqt) rFkk x funsZ'kkad vkSj y funsZ'kkad (dksfV) osQ xq.kuiQy osQ ;ksx osQ cjkcj gSA

gy ge tkurs gSa fd oØ dh Li'kZ js[kk dh izo.krk osQ cjkcj gksrh gSA blfy,

vFkok ... (1)

lehdj.k (1)] osQ :i dk jSf[kd vody lehdj.k gSA ;gk¡ P = – x ,oa
Q = x gSA blfy,

vr% fn, gq, lehdj.k dk gy gS%

... (2)

eku yhft,

eku yhft, , rc – x dx = dt ;k x dx = – dt

blfy,

lehdj.k (2) esa I dk eku izfrLFkkfir djus ij] ge ikrs gSa%

vFkok ... (3)

lehdj.k (3) oØksa osQ oqQy dk lehdj.k gS ijarq ge bl oqQy osQ ,sls lnL; dk lehdj.k Kkr djuk pkgrs gSa tks ¯cnq (0]1) ls xqtjrk gksA lehdj.k (3) esa x = 0 ,oa y = 1 izfrLFkkfir djus ij ge ikrs gSa%

1 = – 1 + C . eo vFkok C = 2

lehdj.k (3) esa C dk eku izfrLFkkfir djus ij ge izkIr djrs gSa%

;g oØ dk vHkh"V lehdj.k gSA

iz'ukoyh 9-6

1 ls 12 rd osQ iz'uksa esa] izR;sd vody lehdj.k dk O;kid gy Kkr dhft,%

1. 2. 3.

4. 5.

6. 7.

8. (1 + x2) dy + 2xy dx = cot x dx (x ≠ 0)

9. 10.

11. y dx + (x – y2) dy = 0 12. .

13 ls 15 rd osQ iz'uksa esa izR;sd vody lehdj.k osQ fy, fn, gq, izfrca/ dks larq"V djus okyk fof'k"V gy Kkr dhft,%

13.

14.

15.

16. ewy ¯cnq ls xq”kjus okys ,d oØ dk lehdj.k Kkr dhft, ;fn bl oØ osQ fdlh ¯cnq (x, y) ij Li'kZ js[kk dh izo.krk ml ¯cnq osQ funsZ'kkadksa osQ ;ksx osQ cjkcj gSA

17. ¯cnq (0] 2) ls xqtjus okys oØ dk lehdj.k Kkr dhft, ;fn bl oØ osQ fdlh ¯cnq osQ funsZ'kkadksa dk ;ksx ml ¯cnq ij [khaph xbZ Li'kZ js[kk dh izo.krk osQ ifjek.k ls 5
vf/d gSA

18. vody lehdj.k dk lekdyu xq.kd gS%

(A) e–x (B) e–y (C) (D) x

19. vody lehdj.k = dk lekdyu xq.kd gS%

(A) (B) (C) (D)

fofo/ mnkgj.k

mnkgj.k 24 lR;kfir dhft, fd iQyu y = c1 eax cos bx + c2 eax sin bx, tgk¡ c1, c2 LosPN vpj gS] vody lehdj.k

dk gy gSA

gy fn;k gqvk iQyu gS%

... (1)

lehdj.k (1) osQ nksuksa i{kksa dk x osQ lkis{k vodyu djus ij ge ikrs gSa fd

vFkok ... (2)

lehdj.k (2) osQ nksuksa i{kksa dk x, osQ lkis{k vodyu djus ij ge ikrs gSa fd

+

=

fn, x, vody lehdj.k esa ,oa y dk eku izfrLFkkfir djus ij ge ikrs gSa%

ck;k¡ i{k

= = eax × 0 = 0 = nk;k¡ i{k

blfy, fn;k gqvk iQyu fn, gq, vody lehdj.k dk gy gSA

mnkgj.k 25 f}rh; prqFkk±'k esa ,sls o`Ùkksa osQ oqQy dk vody lehdj.k Kkr dhft, tks funsZ'kkad v{kksa dk Li'kZ djrs gSaA

gy eku yhft,] funsZ'kkad v{kksa dks Li'kZ djus okyk vkSj f}rh; prqFkk±'k esa cuk o`Ùkksa dk oqQy C }kjk fufnZ"V fd;k tkrk gSA bl oqQy osQ fdlh lnL; osQ osaQnz ¯cnq osQ funs±'kkad (–a, a) gSa (vko`Qfr 9-6 nsf[k,)A

oqQy C dks fu:fir djus okyk lehdj.k gS%

(x + a)2 + (y – a)2 = a2 ... (1)

vFkok x2 + y2 + 2ax – 2ay + a2 = 0 ... (2)

lehdj.k (2) dk x osQ lkis{k vodyu djus ij ge ikrs gaS%

vFkok

vFkok

lehdj.k (1) esa a dk eku izfrLFkkfir djus ij ge ikrs gSa%

vFkok

vFkok (x + y)2 + [x + y]2 = [x + y y′]2

vFkok (x + y)2 [ + 1] = [x + y y′]2

tks fn, gq, o`Ùkksa osQ oqQy dks fu:fir djus okyk vody lehdj.k gSA

mnkgj.k 26 vody lehdj.k dk fof'k"V gy Kkr dhft,A fn;k gqvk gS fd y = 0 ;fn x = 0

gy fn;k gqvk vody lehdj.k fuEufyf[kr :i esa fy[kk tk ldrk gS%

vFkok ... (1)

pjksa dks i`Fko~Q djus ij ge ikrs gSa]

blfy,

vFkok

vFkok 4 e3x + 3 e– 4y + 12 C = 0 ... (2)

lehdj.k (2) esa x = 0 ,oa y = 0 izfrLFkkfir djus ij ge ikrs gSa%

4 + 3 + 12 C = 0 vFkok C =

lehdj.k (2) esa C dk eku izfrLFkkfir djus ij ge]

4 e3x + 3 e– 4y – 7 = 0, izkIr djrs gSa

;g fn, gq, vody lehdj.k dk ,d fof'k"V gy gSA

mnkgj.k 27 vody lehdj.k

(x dy – y dx) y sin = (y dx + x dy) x cos dks gy dhft,A

gy fn;k gqvk vody lehdj.k fuEufyf[kr :i esa fy[kk tk ldrk gSA

vFkok

nk;sa i{k ij va'k ,oa gj nksuksa dks x2 ls Hkkx nsus ij ge ikrs gSa%

... (1)

Li"Vr% lehdj.k (1)] osQ :i dk le?kkrh; vody lehdj.k gS] blfy, bl lehdj.k dks gy djus osQ fy, ge

y = vx ... (2)

izfrLFkkfir djrs gSaA

vFkok

vFkok [lehdj.k (1) vkSj (2) dk iz;ksx djus ij]

vFkok

vFkok

blfy,

vFkok

vFkok

vFkok

vFkok ... (3)

lehdj.k (3) esa v dks ls izfrLFkkfir djus ij ge ikrs gSa fd

] tgk¡ C = ± C1

vFkok

;g fn, gq, vody lehdj.k dk O;kid gy gSA

mnkgj.k 28 vody lehdj.k

(tan–1y – x) dy = (1 + y2) dx dk gy Kkr dhft,A

gy fn;k gqvk vody lehdj.k fuEufyf[kr :i esa fy[kk tk ldrk gS%

... (1)

lehdj.k (1)] x = Q1, osQ :i dk jSf[kd vody lehdj.k gSA ;gk¡

,oa gSA blfy,

blfy, fn, gq, vody lehdj.k dk gy gS%

... (2)

eku yhft,

tan–1 y = t izfrLFkkfir djus ij ge ikrs gSa fd

vr% I = , I = t et – ∫1 . et et, I = t et – et = et (t – 1)

vFkok I = (tan–1y –1)

lehdj.k (2) esa I dk eku izfrLFkkfir djus ij ge

ikrs gSa

vFkok x =

;g fn, gq, vody lehdj.k dk O;kid gy gSA

vè;k; 9 ij fofo/ iz'ukoyh

1. fuEufyf[kr vody lehdj.kksa esa ls izR;sd dh dksfV ,oa ?kkr (;fn ifjHkkf"kr gks) Kkr dhft,A

(i) (ii)

(iii)

2. fuEufyf[kr iz'uksa esa izR;sd osQ fy, lR;kfir dhft, fd fn;k gqvk iQyu (vLi"V vFkok Li"V) laxr vody lehdj.k dk gy gSA

(i) xy = a ex + b e–x + x2 :

(ii) y = ex (a cos x + b sin x) :

(iii) y = x sin 3x :

(iv) x2 = 2y2 log y :

3. (x – a)2 + 2y2 = a2, }kjk fu:fir oØksa osQ oqQy dk vody lehdj.k fufeZr dhft, tgk¡ a ,d LosPN vpj gSA

4. fl¼ dhft, fd x2 – y2 = c (x2 + y2)2 tgk¡ c ,d izkpy gS] vody lehdj.k
(x3 – 3x y2) dx = (y3 – 3x2y) dy dk O;kid gy gSA

5. izFke prqFkk±'k esa ,sls o`Ùkksa osQ oqQy dk vody lehdj.k Kkr dhft, tks funsZa'kakd v{kksa dks Li'kZ djrs gSaA

6. vody lehdj.k ] tcfd x ≠1 dk O;kid gy Kkr dhft,A

7. n'kkZb, fd vody lehdj.k dk O;kid gy

(x + y + 1) = A (1 – x – y – 2xy) gS] ftlesa A ,d izkpy gSA

8. ¯cnq ls xqtjus okys ,d ,sls oØ dk lehdj.k Kkr dhft, ftldk vody lehdj.k sin x cos y dx + cos x sin y dy = 0 gSA

9. vody lehdj.k (1 + e2x) dy + (1 + y2) ex dx = 0 dk ,d fof'k"V gy Kkr dhft,] fn;k gqvk gS fd y = 1 ;fn x = 0.

10. vody lehdj.k dk gy Kkr dhft,A

11. vody lehdj.k (x – y) (dx + dy) = dx – dy dk ,d fof'k"V gy Kkr dhft,] fn;k gqvk gS fd y = –1, ;fn x = 0 (laosQr: x – y = t j[ksa)A

12. vody lehdj.k dk gy Kkr dhft,A

13. vody lehdj.k = 4x cosec x (x ≠ 0) dk ,d fof'k"V gy Kkr dhft,] fn;k gqvk gS fd y = 0 ;fn .

14. vody lehdj.k (x + 1) = 2 e–y – 1 dk ,d fof'k"V gy Kkr dhft,] fn;k gqvk gS fd y = 0 ;fn x = 0.

15. fdlh xk¡o dh tula[;k dh o`f¼ dh nj fdlh Hkh le; ml xk¡o osQ fuokfl;ksa dh la[;k osQ lekuqikrh gSA ;fn lu~ 1999 esa xk¡o dh tula[;k 20]000 Fkh vkSj lu~ 2004 esa 25]000 Fkh] rks Kkr dhft, fd lu~ 2009 esa xk¡o dh tula[;k D;k gksxh\

16. vody lehdj.k dk O;kid gy gS%

(A) xy = C (B) x = Cy2 (C) y = Cx (D) y = Cx2

17. osQ :i okys vody lehdj.k dk O;kid gy gS%

(A)

(B)

(C)

(D)

18. vody lehdj.k ex dy + (y ex + 2x) dx = 0 dk O;kid gy gS%

(A) x ey + x2 = C (B) x ey + y2 = C (C) y ex + x2 = C (D) y ey + x2 = C