vè;k; 9

vody lehdj.k

(Differential Equations)


He who seeks for methods without having a definite problem in mind seeks for the most part in vain – D. Hilbert

9.1 Hkwfedk (Introduction)

d{kk XI ,oa bl iqLrd osQ vè;k; 5 esa geus ppkZ dh Fkh] fd ,d Lora=k pj osQ lkis{k fdlh iQyu f dk vodyt oSQls Kkr fd;k tkrk gS vFkkZr~ fdlh iQyu f dh ifjHkkf"kr izkar osQ izR;sd x osQ fy,] f(x) oSQls Kkr fd;k tkrk gSA blosQ vfrfjDr lekdy xf.kr osQ vè;k; esa geus ppkZ dh Fkh] fd ;fn fdlh iQyu f dk vodyt iQyu g gS rks iQyu f oSQls Kkr fd;k tk,A bldks fuEu :i esa lw=kc¼ fd;k tk ldrk gS%

autho

Henri Poincare (1854-1912 )

fdlh fn, gq, iQyu g osQ fy, iQyu f Kkr dhft, rkfd

tgk¡ y = f (x)   .... (1)

lehdj.k (1) osQ :i okys lehdj.k dks vody lehdj.k dgrs gSaA bldh vkSipkfjd ifjHkk"kk ckn esa nh tk,xhA

vody lehdj.kksa dk mi;ksx eq[; :i ls HkkSfrdh] jlk;u foKku] tho foKku] ekuo foKku] HkwfoKku] vFkZ'kkL=k vkfn fofHkUu {ks=kksa esa fd;k tkrk gSA vr% lHkh vR;k/qfud oSKkfud vUos"k.kksa osQ fy, vody lehdj.kksa osQ xgu vè;;u dh vR;ar vko';drk gSA bl vè;k; esa] ge vody lehdj.k dh oqQN vk/kjHkwr ladYiukvksa] vody lehdj.k osQ O;kid ,oa fof'k"V gy] vody lehdj.k dk fuekZ.k] izFke dksfV ,oa izFke ?kkr osQ vody lehdj.k dks gy djus dh oqQN fof/;k¡ vkSj fofHkUu {ks=kksa esa vody lehdj.kksa osQ oqQN mi;ksxksa osQ ckjs esa vè;;u djsaxsA

9.2 vk/kjHkwr ladYiuk,¡ (Basic Concepts)

ge igys ls gh fuEufyf[kr izdkj osQ lehdj.kksa ls ifjfpr gSa

x2 – 3x + 3 = 0 ... (1)

sin x + cos x = 0 ... (2)

x + y = 7 ... (3)

vkb, fuEufyf[kr lehdj.k ij fopkj djsa

= 0 ... (4)

ge ikrs gSa fd lehdj.kksa (1)] (2) ,oa (3) esa osQoy Lora=k vkSj@vFkok vkfJr pj (,d ;k vf/d) 'kkfey gSa tc fd lehdj.k (4) esa pj osQ lkFk&lkFk Lora=k pj (x) osQ lkis{k vkfJr pj (y) dk vodyt Hkh 'kkfey gSA bl izdkj dk lehdj.k vody lehdj.k dgykrk gSA

lkekU;r% ,d ,slk lehdj.k] ftlesa Lora=k pj (pjksa) osQ lkis{k vkfJr pj osQ vodyt lfEefyr gksa] vody lehdj.k dgykrk gSA

,d ,slk vody lehdj.k] ftlesa osQoy ,d Lora=k pj osQ lkis{k] vkfJr pj osQ vodyt lfEefyr gksa] lkekU; vody lehdj.k dgykrk gSA mnkgj.kr;k

eq1= 0 ... (5)

,d lkekU; vody lehdj.k gSA

fu%lUnsg ,sls Hkh vody lehdj.k gksrs gSa ftuesa ,d ls vf/d Lora=k pjksa osQ lkis{k vodyt 'kkfey gksrs gSa] bl izdkj osQ vody lehdj.k vkaf'kd vody lehdj.k dgykrs gSaA ysfdu bl Lrj ij ge vius vki dks osQoy lkekU; vody lehdj.kksa osQ vè;;u rd lhfer j[ksaxsA blls vkxs ge lkekU; vody lehdj.k osQ fy, vody lehdj.k 'kCn dk gh mi;ksx djsaxsA


fVIi.kh

1. ge vodytksa osQ fy, fuEufyf[kr laosQrksa osQ mi;ksx dks ojh;rk nsaxs

2. mPp dksfV okys vodytksa osQ fy,] brus vf/d MS'kksa (dashes) dks mPp izR;; osQ :i esa iz;qDr djuk vlqfo/ktud gksxk blfy, nosa dksfV okys vodyt osQ fy, ge laosQr yn dk mi;ksx djsaxsA



9.2.1 vody lehdj.k dh dksfV (Order of a differential equation)

fdlh vody lehdj.k dh dksfV ml vody lehdj.k eas lfEefyr Lora=k pj osQ lkis{k vkfJr pj osQ mPpre dksfV osQ vodyt dh dksfV }kjk ifjHkkf"kr gksrh gSA

fuEufyf[kr vody lehdj.kksa ij fopkj dhft,%

... (6)

... (7)

 eq5   ...(8)

lehdj.k (6)] (7) ,oa (8) esa Øe'k% izFke] f}rh; ,oa r`rh; dksfV osQ mPpre vodyt mifLFkr gSa blfy, bu lehdj.kksa dh dksfV Øe'k% 1] 2 ,oa 3 gSA

9.2.2 vody lehdj.k dh ?kkr (Degree of a differential equation)

fdlh vody lehdj.k dh ?kkr dk vè;;u djus osQ fy, eq[; ¯cnq ;g gS fd og vody lehdj.k] vodytksa y, y, y″′ bR;kfn esa cgqin lehdj.k gksuk pkfg,A fuEufyf[kr lehdj.kksa ij fopkj dhft,%

... (9)

... (10)

  eq2   ... (11)

ge izsf{kr djrs gSa fd lehdj.k (9) y″′, y ,oaa y esa cgqin lehdj.k gSA lehdj.k (10) yesa cgqin lehdj.k gS (;|fi ;g y esa cgqin ugha gS) bl izdkj osQ vody lehdj.kksa dh ?kkr dks ifjHkkf"kr fd;k tk ldrk gSA ijarq lehdj.k (11) y esa cgqin lehdj.k ugha gS vkSj bl izdkj osQ vody lehdj.k dh ?kkr dks ifjHkkf"kr ugha fd;k tk ldrk gSA

;fn ,d vody lehdj.k vodytksa dk cgqin lehdj.k gS rks ml vody lehdj.k dh ?kkr ls gekjk rkRi;Z gS ml vody lehdj.k esa mifLFkr mPpre dksfV osQ vodyt dh mPpre ?kkr (/ukRed iw.kk±d)

mijksDr ifjHkk"kk osQ lanHkZ esa ge izsf{kr dj ldrs gSa fd lehdj.kksa (6)] (7)] (8) ,oa (9) esa ls izR;sd dh ?kkr 1 gS] lehdj.k (10) dh ?kkr 2 gS tc fd vody lehdj.k (11) dh ?kkr ifjHkkf"kr ugha gSA

fVIi.kh fdlh vody lehdj.k dh dksfV ,oa ?kkr (;fn ifjHkkf"kr gks) ges'kk
/ukRed iw.kk±d gksrs gSaA

mnkgj.k 1 fuEufyf[kr vody lehdj.kksa esa ls izR;sd dh dksfV ,oa ?kkr (;fn ifjHkkf"kr gks) Kkr dhft,%

(i) (ii)

(iii)

gy

(i) bl vody lehdj.k esa mifLFkr mPpre dksfV vodyt gSA blfy, bldh dksfV 1 gSA ;g y esa cgqin lehdj.k gS ,oa dh vf/dre ?kkrkad 1 gS] blfy, bl vody lehdj.k dh ?kkr 1 gSA

(ii) bl vody lehdj.k esa mifLFkr mPpre dksfV vodyt gS A blfy, bldh dksfV 2 gSA ;g vody lehdj.k ,oa esa cgqin lehdj.k gS vkSj dh vf/dre ?kkrkad 1 gS] blfy, bl vody lehdj.k dh ?kkr 1 gSA

(iii) bl vody lehdj.k esa mifLFkr mPpre dksfV vodyt gSA blfy, bldh dksfV 3 gSA bl lehdj.k dk ck;k¡ i{k vodytksa esa cgqin ugha gS blfy, bldh ?kkr ifjHkkf"kr ugha gSA

iz'ukoyh 9-1

1 ls 10 rd osQ iz'uksa esa izR;sd vody lehdj.k dh dksfV ,oa ?kkr (;fn ifjHkkf"kr gks) Kkr dhft,A

1. 2. y + 5y = 0 3.

4. 5.

6. + (y)3 + (y)4 + y5 = 0 7. + 2y + y = 0

8. y + y = ex 9. y + (y)2 + 2y = 0 10. y + 2y + sin y = 0

11. vody lehdj.k

dh ?kkr gS%

(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) ifjHkkf"kr ugha gS

12. vody lehdj.k dh dksfV gS%

(A) 2 (B) 1 (C) 0 (D) ifjHkkf"kr ugha gS

9.3. vody lehdj.k dk O;kid ,oa fof'k"V gy (General and Particular Solutions of a Differential Equation)

fiNyh d{kkvksa esa geus fuEufyf[kr izdkj osQ lehdj.kksa dks gy fd;k gS%

x2 + 1 = 0 ... (1)

sin2 x – cos x = 0 ... (2)

lehdj.kksa (1) rFkk (2) dk gy ,d ,slh okLrfod vFkok lfEeJ la[;k gS tks fn, gq, lehdj.k dks larq"V djrh gS vFkkZr~ tc bl la[;k dks lehdj.k esa vKkr x osQ LFkku ij izfrLFkkfir dj fn;k tkrk gS rks nk;k¡ i{k vkSj ck;k¡ i{k vkil esa cjkcj gks tkrs gaSA

vc vody lehdj.k = 0 ... (3)

ij fopkj djrs gSaA

izFke nks lehdj.kksa osQ foijhr bl vody lehdj.k dk gy ,d ,slk iQyu φ gS tks bl lehdj.k dks larq"V djsxk vFkkZr~ tc bl iQyu φ dks vody lehdj.k esa vKkr y (vkfJr pj) osQ LFkku ij izfrLFkkfir dj fn;k tkrk gS rks ck;k¡ i{k vkSj nk;k¡ i{k cjkcj gks tkrs gSaA

y = φ (x) vody lehdj.k dk gy oØ (lekdyu oØ) dgykrk gSA fuEufyf[kr iQyu ij fopkj dhft,

y = φ (x) = a sin (x + b) ... (4)

tgk¡ a, b R. ;fn bl iQyu vkSj blosQ vodytksa dks lehdj.k (3) esa izfrLFkkfir dj fn;k tk, rks ck;k¡ i{k vkSj nk;k¡ i{k cjkcj gks tkrs gSaA blfy, ;g iQyu vody lehdj.k (3) dk gy gSA

eku yhft, fd a vkSj b dks oqQN fof'k"V eku a = 2 ,oa ns fn, tkrs gSa rks gesa fuEufyf[kr iQyu izkIr gksrk gS%

y = φ1(x) = ... (5)

;fn bl iQyu vkSj blosQ vodytksa dks lehdj.k (3) esa izfrLFkkfir dj fn;k tk, rks iqu% ck;k¡ i{k vkSj nk;k¡ i{k cjkcj gks tkrs gaSA blfy, φ1 Hkh lehdj.k (3) dk ,d gy gSA

iQyu φ esa nks LosPN vpj (izkpy) a, b lfEefyr gSa rFkk ;g iQyu fn, gq, vody lehdj.k dk O;kid gy dgykrk gSA tcfd iQyu φ1 esa dksbZ Hkh LosPN vpj lfEefyr ugha gS ysfdu izkpyksa a rFkk b osQ fof'k"V eku mifLFkr gSa vkSj blfy, bldks vody lehdj.k dk fof'k"V gy dgk tkrk gSA

,slk gy] ftlesa LosPN vpj mifLFkr gks vody lehdj.k dk O;kid gy dgykrk gSA

,slk gy] tks LosPN vpjkas ls eqDr gS vFkkZr~ O;kid gy esa LosPN vpjksa dks fof'k"V eku nsus ij izkIr gy] vody lehdj.k dk fof'k"V gy dgykrk gSA

mnkgj.k 2 lR;kfir dhft, fd iQyu y = e3x, vody lehdj.k dk ,d gy gSA

gy fn;k gqvk iQyu y = e3x gSA blosQ nksuksa i{kksa dk x osQ lkis{k vodyu djus ij ge izkIr djrs gS%

= 3e–3x ... (1)

vc lehdj.k (1) dk x osQ lkis{k iqu% vodyu djus ij ge ns[krs gSa fd

= 9e–3x

vkSj y dk eku] fn, x, vody lehdj.k esa izfrLFkkfir djus ij ij ge ikrs gSa fd ck;k¡ i{k = 9 e3x + (–3e–3x) – 6.e–3x = 9 e–3x 9 e–3x = 0 = nk;k¡ i{k

blfy, fn;k gqvk iQyu fn, gq, vody lehdj.k dk ,d gy gSA

mnkgkj.k 3 lR;kfir dhft, fd iQyu y = a cos x + b sin x, ftlesa a, b R, vody lehdj.k dk gy gSA

gy fn;k gqvk iQyu gS

y = a cos x + b sin x ... (1)

lehdj.k (1) osQ nksuksa i{kksa dk x, osQ lkis{k mÙkjksÙkj vodyu djus ij ge ns[krs gaS%

= sin x + cos x

= – cos xsin x

,oa y dk eku fn, gq, vody lehdj.k esa izfrLFkkfir djus ij izkIr djrs gSa%

ck;k¡ i{k = (– a cos xb sin x) + (a cos x + b sin x) = 0 = nk;k¡ i{k

blfy, fn;k gqvk iQyu] fn, gq, vody lehdj.k dk gy gSA

iz'ukoyh 9-2

1 ls 10 rd izR;sd iz'u esa lR;kfir dhft, fd fn;k gqvk iQyu (Li"V vFkok vLi"V) laxr vody lehdj.k dk gy gS%

1. y = ex + 1 : yy = 0

2. y = x2 + 2x + C : y – 2x – 2 = 0

3. y = cos x + C : y + sin x = 0

4. y = : y =

5. y = Ax : xy = y (x 0)

6. y = x sin x : xy = y + x (x 0 vkSj x > y vFkok x < – y)

7. xy = log y + C : y = (xy 1)

8. y – cos y = x : (y sin y + cos y + x) y = y

9. x + y = tan–1y : y2 y + y2 + 1 = 0

10. y = x (– a, a) : x + y = 0 (y 0)

11. pkj dksfV okys fdlh vody lehdj.k osQ O;kid gy esa mifLFkr LosPN vpjksa dh la[;k gS%

(A) 0 (B) 2 (C) 3 (D) 4

12. rhu dksfV okys fdlh vody lehdj.k osQ fof'k"V gy esa mifLFkr LosPN vpjksa dh la[;k gS%

(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0

9.4. fn, gq, O;kid gy okys vody lehdj.k dk fuekZ.k (Formation of a Differential Equation whose Solution is Given)

ge tkurs gSa fd lehdj.k

x2 + y2 + 2x – 4y + 4 = 0 ... (1)

,d ,sls o`r dks fu:fir djrk gS ftldk osaQnz (&1] 2) gS vkSj f=kT;k 1 bdkbZ gSA

lehdj.k (1) dk x, osQ lkis{k vodyu djus ij izkIr djrs gSa

, (y 2) ... (2)

;g ,d vody lehdj.k gSA vki ckn esa ns[ksaxs fd (vuqHkkx 9-5-1 dk mnkgj.k 9 nsf[k,) fd ;g lehdj.k o`Ùkksa osQ ,d oqQy dks fu:fir djrk gS vkSj ml oqQy dk ,d lnL; lehdj.k (1) esa fn;k gqvk o`r gSA vkb, fuEufyf[kr lehdj.k ij fopkj djsa%

x2 + y2 = r2 ... (3)

r, dks fofHkUu eku nsus ij gesa oqQy osQ fHkUu lnL; izkIr gksrs gSa mnkgj.kr% x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 4, x2 + y2 = 9 bR;kfn (vko`Qfr 9-1 nsf[k,)A bl izdkj lehdj.k (3) ,d ,sls laosaQnzh o`Ùkksa osQ oqQy dks fu:fir djrk gS ftudk osaQnz ewy ¯cnq gS vkSj ftudh f=kT;k,¡ fHkUu gSaA

vko`Qfr 9-1

gekjh #fp bl oqQy osQ izR;sd lnL; }kjk larq"V fd, tkus okyk vody lehdj.k Kkr djus esa gSaA ;g lehdj.k r ls eqDr gksuk pkfg, D;ksafd oqQy osQ fofHkUu lnL;ksa osQ fy, r dk eku fHkUu gSA lehdj.k (3) dk x osQ lkis{k vodyu djus ij ;g lehdj.k izkIr fd;k tkrk gSA vFkkZr~

2x + 2y 0 vFkok x + y 0 ... (4)

;g vody lehdj.k] lehdj.k (3) }kjk fu:fir losaQnzh o`Ùkksa osQ oqQy dks fu:fir djrk gSA

vkb, fiQj ls fuEufyf[kr lehdj.k ij fopkj djsa%

y = mx + c ... (5)

izkpyksa m rFkk c, osQ fofHkUu ekuksa ls gesa oqQy osQ fofHkUu lnL; izkIr gksrs gSa mnkgj.kr;k

y = x (m = 1, c = 0)

y = x (m = , c = 0)

y = x + 1 (m = 1, c = 1)

y = – x (m = – 1, c = 0)

y = – x – 1 (m = – 1, c = – 1)

bR;kfn (vko`Qfr 9-2 nsf[k,)A

bl izdkj lehdj.k (5) ljy js[kkvksa osQ oqQy dks fu:fir djrk gS ftlesa m, c izkpy gSA

vc gekjh #fp bl oqQy osQ izR;sd lnL; }kjk larq"V fd, tkus okyk vody lehdj.k Kkr djus esa gSA blosQ vfrfjDr og lehdj.k m rFkk c ls eqDr gksuk pkfg, D;ksafd oqQy osQ fofHkUu lnL;ksa osQ fy, m rFkk c dk eku fHkUu gSA ;g vody lehdj.k] lehdj.k (5) dk x osQ lkis{k Øekuqlkj nks ckj vodyu djus ij izkIr gksrk gS vFkkZr~

rFkk ... (6)

lehdj.k (6)] lehdj.k (5) }kjk fn, gq, ljy js[kkvksa osQ oqQy dks fu:fir djrk gSA

fVIi.kh lehdj.k (3) rFkk (5) Øe'k% lehdj.k (4) ,oa (6) osQ O;kid gy gSaA

vko`Qfr 9-2

9.4.1 fn, gq, oØkas osQ oqQy dks fu:fir djus okys vody lehdj.k osQ fuekZ.k dh izfØ;k (Procedure to form a Differential Equation that will represent a given Family of curves)

(a) ;fn fn, gq, oØksa dk oqQy F1 osQoy ,d izkpy ij fuHkZj djrk gS rks bls fuEufyf[kr :i okys lehdj.k }kjk fu:fir fd;k tkrk gS%

F1 (x, y, a) = 0 ... (1)

mnkgj.kr%] ijoy;ksa y2 = ax dk oqQy f(x, y, a) : y2 = ax osQ :i okys lehdj.k }kjk fu:fir fd;k tk ldrk gSA

lehdj.k (1) dk x osQ lkis{k vodyu djus ij gesa y, y, x, ,oa a dks lfEefyr djus okyk ,d lehdj.k fuEufyf[kr :i esa izkIr gksrk gS%

g (x, y, y, a) = 0 ... (2)

lehdj.k (1) rFkk (2) ls a dks foyqIr djus ij gesa vko';d vody lehdj.k fuEufyf[kr :i esa izkIr gksrk gS%

F (x, y, y) = 0 ... (3)

(b) ;fn fn, gq, oØksa dk oqQy F2 izkpyksa a, rFkk b ij fuHkZj djrk gS rks bls fuEufyf[kr :i okys lehdj.k }kjk fu:fir fd;k tkrk gS%

F2 (x, y, a, b) = 0 ... (4)

lehdj.k (4) dk x osQ lkis{k vodyu djus ij gesa y′, x, y, a, b dks lfEefyr djus okyk ,d lehdj.k fuEufyf[kr :i esa izkIr gksrk gS%

g (x, y, y, a, b) = 0 ... (5)

ijarq nks lehdj.kksa dh lgk;rk ls nks izkpyksa dks foyqIr djuk lEHko ugha gS blfy, gesa ,d rhljs lehdj.k dh vko';drk gSA ;g lehdj.k] lehdj.k (5) dk x osQ lkis{k vodyu djus ij fuEufyf[kr :i esa izkIr fd;k tkrk gS%

h (x, y, y, y, a, b) = 0 ... (6)

lehdj.k (4)] (5) ,oa (6) ls a rFkk b dks foyqIr djus ij gesa vko';d vody lehdj.k fuEufyf[kr :i esa izkIr gksrk gS%

F (x, y, y, y) = 0 ... (7)

fVIi.kh fdlh oØ oqQy dks fu:fir djus okys vody lehdj.k dh dksfV mruh gh gksrh gS ftrus ml oØ oqQy osQ laxr lehdj.k esa LosPN vpj gksrs gSaA

mnkgj.k 4 oØksa osQ oqQy y = mx dks fu:fir djus okys vody lehdj.k dks Kkr dhft, tcfd m ,d LosPN vpj gSA

gy fn;k gqvk gS fd

y = mx ... (1)

lehdj.k (1) osQ nksuks i{kksa dk x osQ lkis{k vodyu djus ij ge izkIr djrs gSaA

m dk eku lehdj.k (1) esa izfrLFkkfir djus ij gesa vFkok izkIr gksrk gSA ;g izkpy m ls eqDr gS vkSj blfy, ;g vHkh"V vody lehdj.k gSA

mnkgj.k 5 oØksa osQ oqQy y = a sin (x + b), ftlesa a, b LosPN vpj gSa] dks fu:fir djus okys vody lehdj.k dks Kkr dhft,A

gy fn;k gqvk gS fd y = a sin (x + b) ... (1)

lehdj.k (1) osQ nksuksa i{kksa dk x osQ lkis{k mÙkjksÙkj vodyu djus ij ge izkIr djrs gS%

... (2)

... (3)

lehdj.k (1)] (2) rFkk (3) ls a rFkk b dks foyqIr djus ij ge izkIr djrs gSaA

... (4)

lehdj.k (4) LosPN vpjksa a rFkk b ls eqDr gS vkSj blfy, ;g vHkh"V vody lehdj.k gSA

mnkgj.k 6 ,sls nh?kZo`Ùkksa osQ oqQy dks fu:fir djus okyk vody lehdj.k Kkr dhft, ftudh ukfHk;k¡ x-v{k ij gSa rFkk ftudk osaQnz ewy ¯cnq gSA

vko`Qfr 9-3

gy ge tkurs gSa fd dfFkr nh?kZo`Ùkksa osQ oqQy dk lehdj.k fuEufyf[kr izdkj dk gksrk gS (vko`Qfr 9-3 nsf[k,)

... (1)

lehdj.k (1) dk x osQ lkis{k vodyu djus ij gesa izkIr gksrk gSA

vFkok ... (2)

lehdj.k (2) osQ nksuksa i{kksa dk x osQ lkis{k vodyu djus ij gesa izkIr gksrk gS%

vFkok ... (3)

lehdj.k (3) vHkh"V vody lehdj.k gSA

mnkgj.k 7 x&v{k dks ewy ¯cnq ij Li'kZ djus okys o`Ùkksa osQ oqQy dk vody lehdj.k Kkr dhft,A

gy eku yhft,] x&v{k dks ewy ¯cnq ij Li'kZ djus okys o`Ùkksa osQ oqQy dks C ls fufnZ"V fd;k tkrk gSA (0, a) ml oqQy osQ fdlh lnL; osQ osaQnz ¯cnq osQ funsZ'kkad gSa (vko`Qfr 9-4 nsf[k,)A blfy, oqQy C dk lehdj.k gS%

eq777

vko`Qfr 9-4

ftlesa a ,d LosPN vpj gSA lehdj.k (1) osQ nksuksa i{kksa dk x osQ lkis{k vodyu djus ij izkIr djrs gSa%

vFkok

vFkok ... (2)

lehdj.k (2) ls a dk eku lehdj.k (1) esa j[kus ij izkIr djrs gSa%

eq501

vFkok

vFkok

;g fn, gq, o`Ùkksa osQ oqQy dk vHkh"V vody lehdj.k gSA

mnkgj.k 8 ,sls ijoy;ksa osQ oqQy dks fu:fir djus okyk vody lehdj.k Kkr dhft, ftudk 'kh"kZ ewy ¯cnq ij gS rFkk ftudk v{k /ukRed x-v{k dh fn'kk esa gSA

gy eku yhft, fd mijksDr pfpZr ijoy;ksa osQ oqQy dks P ls fufnZ"V fd;k tkrk gS vkSj ml oqQy osQ fdlh lnL; dh ukfHk (a, 0) ij gS ftlesa a ,d /ukRed LosPN vpj gS (vko`Qfr 9-5 nsf[k,)A blfy, oqQy P dk lehdj.k gS%

y2 = 4ax ... (1)

lehdj.k (1) osQ nksuksa i{kksa dk x osQ lkis{k vodyu djus ij ge ikrs gSa%

... (2)

lehdj.k (2) ls 4a dk eku lehdj.k (1) esa j[kus ij ge ikrs gSa%

seq6

vFkok ... (3)

lehdj.k (3) fn, gq, ijoy;ksa osQ oqQy dk vody lehdj.k gSA

vko`Qfr 9-5

iz'ukoyh 9-3

1 ls 5 rd izR;sd iz'u esa] LosPN vpjksa a rFkk b dks foyqIr djrs gq, fn, gq, oØksa osQ oqQy dks fu:fir djus okyk vody lehdj.k Kkr dhft,A

1. 2. y2 = a (b2x2) 3. y = a e3x + b e– 2x

4. y = e2x (a + bx) 5. y = ex (a cos x + b sin x)

6. y-v{k dks ewy ¯cnq ij Li'kZ djus okys o`Ùkksa osQ oqQy dk vody lehdj.k Kkr dhft,A

7. ,sls ijoy;ksa osQ oqQy dk vody lehdj.k fufeZr dhft, ftudk 'kh"kZ ewy ¯cnq ij gS vkSj ftudk v{k /ukRed y-v{k dh fn'kk esa gSA

8. ,sls nh?kZo`Ùkksa osQ oqQy dk vody lehdj.k Kkr dhft, ftudh ukfHk;k¡ y-v{k ij gSa rFkk ftudk osaQnz ewy ¯cnq gSA

9. ,sls vfrijoy;ksa osQ oqQy dk vody lehdj.k Kkr dhft, ftudh ukfHk;k¡ x-v{k ij gSa rFkk ftudk osaQnz ewy ¯cnq gSA

10. ,sls o`Ùkksa osQ oqQy dk vody lehdj.k Kkr dhft, ftudk osaQnz y-v{k ij gS vkSj ftudh f=kT;k 3 bdkbZ gSA

11. fuEufyf[kr vody lehdj.kksa esa ls fdl lehdj.k dk O;kid gy y = c1 ex + c2 ex gS\

(A) (B) (C) (D)

12. fuEufyf[kr lehdj.kksa esa ls fdl lehdj.k dk ,d fof'k"V gy y = x gS\

(A) (B)

(C) (D)

9.5. izFke dksfV ,oa izFke ?kkr osQ vody lehdj.kksa dks gy djus dh fof/;k¡ (Methods of Solving First order, First Degree Differential Equations)

bl ifjPNsn esa ge izFke dksfV ,oa izFke ?kkr osQ vody lehdj.kksa dks gy djus dh rhu
fof/;ksa dh ppkZ djsaxsA

9.5.1 i`FkDdj.kh; pj okys vody lehdj.k (Differential equations with variables separable)

izFke dksfV ,oa izFke ?kkr dk vody lehdj.k fuEufyf[kr :i dk gksrk gS%

... (1)

;fn F (x, y) dks xq.kuiQy g (x), h(y) osQ :i esa vfHkO;Dr fd;k tk ldrk gS tgk¡ g(x), x dk iQyu gS vkSj h(y), y dk ,d iQyu gS rks lehdj.k (1) i`FkDdj.kh; pj okyk lehdj.k dgykrk gSA ,slk gksus ij lehdj.k (1) dks fuEufyf[kr :i esa fy[kk tk ldrk gS%

= h (y) . g (x) ... (2)

;fn h (y) 0, rks pjksa dks i`Fko~Q djrs gq, lehdj.k (2) dks

dy = g (x) dx ... (3)

osQ :i esa fy[kk tk ldrk gSA lehdj.k (3) osQ nksuksa i{kksa dk lekdyu djus ij ge izkIr djrs gSa%

 eq3   ... (4)

bl izdkj lehdj.k (4)] fn, gq, vody lehdj.k dk gy fuEufyf[kr :i esa iznku djrk gS%

H(y) = G(x) + C ... (5)

;gk¡ H (y) ,oa G (x) Øe'k% ,oa g (x) osQ izfrvodyt gSa vkSj C LosPN vpj gSA

mnkgj.k 9 vody lehdj.k , (y 2) dk O;kid gy Kkr dhft,A

gy fn;k x;k gS fd

(y 2) ... (1)

lehdj.k (1) esa pjksa dks i`Fko~Q djus ij ge izkIr djrs gSa%

(2 – y) dy = (x + 1) dx ... (2)

lehdj.k (2) osQ nksuksa i{kksa dk lekdyu djus ij ge izkIr djrs gSa%

vFkok

vFkok x2 + y2 + 2x – 4y + 2 C1 = 0

vFkok x2 + y2 + 2x – 4y + C = 0 ... (3)

tgk¡ C = 2C1

lehdj.k (3) vody lehdj.k (1) dk O;kid gy gSA

mnkgj.k 10 vody lehdj.k dk O;kid gy Kkr dhft,A

gy pw¡fd 1 + y2 0, blfy, pjksa dks i`Fko~Q djrs gq, fn;k gqvk vody lehdj.k fuEufyf[kr :i esa fy[kk tk ldrk gS%

... (1)

lehdj.k (1) osQ nksuksa i{kksa dk lekdyu djrs gq, ge ikrs gSa%

vFkok tan–1 y = tan–1x + C

;g lehdj.k (1) dk O;kid gy gSA

mnkgj.k 11 vody lehdj.k dk fof'k"V gy Kkr dhft,] ;fn y = 1 tc
x
= 0 gks

gy ;fn y 0, fn;k gqvk vody lehdj.k fuEufyf[kr :i esa fy[kk tk ldrk gS%

... (1)

lehdj.k (1) osQ nksuksa i{kksa dk lekdyu djus ij ge ikrs gSa%

vFkok = – 2x2 + C

vFkok ... (2)

lehdj.k (2) esa y = 1 vkSj x = 0 izfrLFkkfir djus ij gesa C = – 1 izkIr gksrk gSA

C dk eku lehdj.k (2) esa izfrLFkkfir djus ij fn, gq, vody lehdj.k dk fof'k"V gy izkIr gksrk gSA

mnkgj.k 12 ¯cnq (1] 1) ls xqtjus okys ,d ,sls oØ dk lehdj.k dhft, ftldk vody lehdj.k x *dy = (2x2 + 1) *dx (x 0) gSA

gy fn, gq, vody lehdj.k dks fuEufyf[kr :i es vfHkO;Dr fd;k tk ldrk gS%

vFkok ... (1)

lehdj.k (1) osQ nksuksa i{kksa dk lekdyu djus ij ge izkIr djrs gSa%

eq4

vFkok ... (2)

lehdj.k (2) fn, gq, vody lehdj.k osQ gy oØksa osQ oqQy dks fu:fir djrk gS ijarq ge bl oqQy osQ ,d ,sls fof'k"V lnL; dk lehdj.k Kkr djuk pkgrs gSa tks ¯cnq (1] 1) ls xqtjrk gksA

* yScuht }kjk iznÙk laosQr vR;ar yphyk gS] rFkk cgqr lh x.kuk ,oa vkSipkfjd :ikarj.kksa esa iz;qDr gksrk gS] tgk¡ ge dx vkSj dy dks lk/kj.k la[;kvksa dh rjg O;ogkj esa ykrs gSaA dx vkSj dy dks i`Fko~Q&i`Fko~Q lÙkk ekudj ge cgqr lh x.kukvksa dh lqLi"kV O;k[;k dj ldrs gSaA lanHkZ% Introduction to calculus and Analysis, volume-I page 172, By Richard Courant, Fritz John Spinger — Verlog New York.


blfy, lehdj.k (2) esa x = 1, y = 1 izfrLFkkfir djus ij gesa C = 0 izkIr gksrk gSA C dk eku lehdj.k (2) esa izfrLFkkfir djus ij gesa vHkh"V oØ dk lehdj.k y = x2 + logosQ :i esa izkIr gksrk gSA


mnkgj.k 13 ¯cnq (–2, 3), ls xqtjus okys ,sls oØ dk lehdj.k Kkr dhft, ftlosQ fdlh ¯cnq (x, y) ij Li'kZ js[kk dh izo.krk gSA

gy ge tkurs gSa fd fdlh oØ dh Li'kZ js[kk dh izo.krk osQ cjkcj gksrh gSA blfy,

... (1)

pjksa dks i`Fko~Q djrs gq, lehdj.k (1) dks fuEufyf[kr :i esa fy[kk tk ldrk gS%

y2 dy = 2x dx ... (2)

lehdj.k (2) osQ nksuksa i{kksa dk lekdyu djus ij ge izkIr djrs gSa%

vFkok ... (3)

lehdj.k (3) esa x = –2, y = 3 izfrLFkkfir djus ij gesa C = 5 izkIr gksrk gSA

C dk eku lehdj.k (3) esa izfrLFkkfir djus ij gesa vHkh"V oØ dk lehdj.k vFkok

osQ :i esa izkIr gksrk gSA

mnkgj.k 14 fdlh cSad esa ewy/u dh o`f¼ 5% okf"kZd dh nj ls gksrh gSA fdrus o"kks± esa Rs 1000 dh jkf'k nqxquh gks tk,xh\

gy eku yhft, fdlh le; t ij ewy/u P gSA nh gqbZ leL;k osQ vuqlkj

eq7

vFkok ... (1)

lehdj.k (1) esa pjksa dks i`Fko~Q djus ij] ge izkIr djrs gSa%

... (2)

lehdj.k (2) osQ nksuksa i{kksa dk lekdyu djus ij ge izkIr djrs gSa%

log P =

vFkok

vFkok (tgk¡ ) ... (3)

vc P = 1000, tc t = 0

P vkSj t dk eku lehdj.k (3) esa j[kus ij ge C = 1000 izkIr djrs gSaA

blfy, lehdj.k (3) ls ge izkIr djrs gSa%

P = 1000

eku yhft, t o"kks± esa ewy/u nqxquk gks tkrk gS] rc

2000 = 1000 t = 20 loge2

iz'ukoyh 9-4

1 ls 10 rd osQ iz'uksa esa] izR;sd vody lehdj.k dk O;kid gy Kkr dhft,A

1. 2.

3. 4. sec2 x tan y dx + sec2 y tan x dy = 0

5. (ex + ex) dy – (exex) dx = 0   6.

7. y log y dxx dy = 0 8. 9. 10. ex tan y dx + (1 – ex) sec2 y dy = 0

11 ls 14 rd osQ iz'uksa esa] izR;sd vody lehdj.k osQ fy, fn, gq, izfrca/ dks larq"V djus okyk fof'k"V gy Kkr dhft,A

11. = 2x2 + x; y = 1 ;fn x = 0

12. ; y = 0 ;fn x = 2

13. (a R); y = 1 ;fn x = 0

14. ; y = 2 ;fn x = 0

15. ¯cnq (0] 0) ls xqtjus okys ,d ,sls oØ dk lehdj.k Kkr dhft, ftldk vody lehdj.k y = ex sin x gSA

16. vody lehdj.k osQ fy, ¯cnq (1] &1) ls xqtjus okyk oØ Kkr dhft,A

17. ¯cnq (0, –2) ls xqtjus okys ,d ,sls oØ dk lehdj.k Kkr dhft, ftlosQ fdlh ¯cnq
(x, y) ij Li'kZ js[kk dh izo.krk vkSj ml ¯cnq osQ y funsZ'kkad dk xq.kuiQy ml ¯cnq osQ x funsZ'kkad osQ cjkcj gSA

18. ,d oØ osQ fdlh ¯cnq (x, y) ij Li'kZ js[kk dh izo.krk] Li'kZ ¯cnq dks] ¯cnq (– 4, –3). ls feykus okys js[kk[kaM dh izo.krk dh nqxquh gSA ;fn ;g oØ ¯cnq (–2, 1) ls xq”kjrk gks rks bl oØ dk lehdj.k Kkr dhft,A

19. ,d xksykdkj xqCckjs dk vk;ru] ftls gok Hkjdj iqQyk;k tk jgk gS] fLFkj xfr ls cny jgk gS ;fn vkjaHk esa bl xqCckjs dh f=kT;k 3 bZdkbZ gS vkSj 3 lsosaQM ckn 6 bZdkbZ gS] rks t lsosaQM ckn ml xqCckjs dh f=kT;k Kkr dhft,A

20. fdlh cSad esa ewy/u dh o`f¼ r% okf"kZd dh nj ls gksrh gSA ;fn 100 #i;s 10 o"kks± esa nqxqus gks tkrs gSa] rks r dk eku Kkr dhft,A (loge2 = 0.6931).

21. fdlh cSad esa ewy/u dh o`f¼ 5% okf"kZd dh nj ls gksrh gSA bl cSad esa Rs 1000 tek djk, tkrs gSaA Kkr dhft, fd 10 o"kZ ckn ;g jkf'k fdruh gks tk,xh\ (e0.5 = 1.648)

22. fdlh thok.kq lewg esa thok.kqvksa dh la[;k 1] 00]000 gSA 2 ?kaVks esa budh la[;k esa 10% dh o`f¼ gksrh gSA fdrus ?kaVksa esa thok.kqvksa dh la[;k 2]00]000 gks tk,xh] ;fn thok.kqvksa osQ o`f¼ dh nj muosQ mifLFkr la[;k osQ lekuqikrh gSA

23. vody lehdj.k dk O;kid gy gS%

(A) ex + ey = C (B) ex + ey = C

(C) ex + ey = C (D) ex + ey = C

9.5.2 le?kkrh; vody lehdj.k (Homogenous differential equations)

x ,oa y osQ fuEufyf[kr iQyuksa ij fopkj dhft,

F1 (x, y) = y2 + 2xy, F2 (x, y) = 2x – 3y,

F3 (x, y) = , F4 (x, y) = sin x + cos y

;fn mijksDr iQyuksa esa x vkSj y dks fdlh 'kwU;srj vpj λ osQ fy, Øe'k% λx ,oa λy ls izfrLFkkfir dj fn;k tk, rks ge izkIr djrs gSa%

F1 (λx, λy) = λ2 (y2 + 2xy) = λ2 F1 (x, y)

F2 (λx, λy) = λ (2x – 3y) = λ F2 (x, y)

F3 (λx, λy) = = λ0 F3 (x, y)

F4 (λx, λy) = sin λx + cos λy λn F4 (x, y), fdlh Hkh is osQ fy,

;gk¡ ge izsf{kr djrs gSa fd iQyuksa F1, F2, F3 dks F(λx, λy) = λn F (x, y) osQ :i esa fy[kk tk ldrk gS ijarq iQyu F4 dks bl :i esa ugha fy[kk tk ldrk gSA blls ge fuEufyf[kr ifjHkk"kk izkIr djrs gSaA

iQyu F(x, y), n ?kkr okyk le?kkrh; iQyu dgykrk gSA ;fn fdlh 'kwU;srj vpj λ osQ fy, F (λx, λy) = λn F(x, y)

ge uksV djrs gSa fd mijksDr mnkgj.kksa esa F1, F2, F3 Øe'k% 2, 1, 0 ?kkr okys le?kkrh; iQyu gSa tcfd F4 le?kkrh; iQyu ugha gSA

ge ;g Hkh izsf{kr djrs gSa fd

vFkok ,

vFkok ,

eq8

, n N osQ fdlh Hkh eku osQ fy,

vFkok F4 (x, y) , n N

blfy, ,d iQyu F (x, y), n ?kkr okyk le?kkrh; iQyu dgykrk gS ;fn

eq9

= F (x, y) osQ :i okyk vody lehdj.k le?kkrh; dgykrk gS ;fn F (x, y) 'kwU; ?kkr okyk le?kkrh; iQyu gSA

... (1)

osQ :i okys le?kkrh; vody lehdj.k dks gy djus osQ fy, ge = v vFkkZr~

y = v x ... (2)

izfrLFkkfir djrs gSa

lehdj.k (2) dk x osQ lkis{k vodyu djus ij ge izkIr djrs gSa%

... (3)

lehdj.k (3) ls dk eku lehdj.k (1) esa izfrLFkkfir djus ij ge izkIr djrs gSa%

vFkkZr~ ... (4)

lehdj.k (4) esa pjksa dks i`Fko~Q djus ij ge izkIr djrs gSa%

... (5)

lehdj.k (5) osQ nksuksa i{kksa dk lekdyu djus ij gesa izkIr gksrk gS%

... (6)

;fn v dks ls izfrLFkkfir dj fn;k tk, rks lehdj.k (6)] vody lehdj.k (1) dk O;kid gy iznku djrk gSA

fVIi.kh ;fn le?kkrh; vody lehdj.k osQ :i esa gSA tgk¡
F (
x, y) 'kwU; ?kkr okyk le?kkrh; iQyu gS rks ge vFkkZr] x = vy izfrLFkkfir djrs gSa vkSj fiQj mijksDr ppkZ osQ vuqlkjeq10 osQ :i esa fy[kdj O;kid gy Kkr djus osQ fy, vkxs c<+rs gSaA

mnkgj.k 15 n'kkZb, fd vody lehdj.k (xy) = x + 2y le?kkrh; gS vkSj bldk gy Kkr dhft,A

gy fn, x, vody lehdj.k dks fuEufyf[kr :i esa vfHkO;Dr fd;k tk ldrk gS%

... (1)

eku yhft, F (x, y) =

vc

blfy, F(x, y) 'kwU; ?kkr okyk le?kkrh; iQyu gSA

vr% fn;k gqvk vody lehdj.k ,d le?kkrh; vody lehdj.k gSA

fodYir%

... (2)

lehdj.k (2) dk nk;k¡ i{k eq11 osQ :i esa gS blfy, ;g 'kwU; ?kkr okyk ,d le?kkrh; iQyu gSA blfy, lehdj.k (1) ,d le?kkrh; vody lehdj.k gSA

bldks gy djus osQ fy, ge izfrLFkkiu djrs gS%a

y = vx ... (3)

lehdj.k (3) dk x osQ lkis{k vodyu djus ij ge izkIr djrs gSa%

... (4)

lehdj.k (1) esa y ,oa dk eku izfrLFkkfir djus ij ge izkIr djrs gSa%

vFkkZr~

vFkkZr~

vFkkZr~ ... (5)

lehdj.k (5) osQ nksuksa i{kksa dk lekdyu djus ij ge izkIr djrs gSa%

vFkok

vFkok

vFkok

vFkok

vFkok

vFkok

v dks , ls izfrLFkkfir djus ij ge izkIr djrs gSa%

vFkok

vFkok

vFkok

vFkok

;g vody lehdj.k (1) dk O;kid gy gSA

mnkgj.k 16 n'kkZb, fd vody lehdj.k le?kkrh; gS vkSj bldk gy Kkr dhft,A

gy fn;k gqvk vody lehdj.k fuEufyf[kr :i esa fy[kk tk ldrk gS%

eq12 ... (1)

;gk¡ osQ :i dk vody lehdj.k gSA

;gk¡ F (x, y) = gSA

x dks λx ls ,oa y dks λy ls izfrLFkkfir djus ij ge izkIr djrs gSa%

F (λx, λy) =

F (x, y) 'kwU; ?kkr okyk le?kkrh; iQyu gS] blfy, fn;k gqvk vody lehdj.k ,d le?kkrh; vody lehdj.k gSA bldks gy djus osQ fy, ge izfrLFkkiu djrs gSa%

y = vx ... (2)

lehdj.k (2) dk x osQ lkis{k vodyu djus ij ge izkIr djrs gSa%

... (3)

lehdj.k (1) esa y ,oa dk eku izfrLFkkfir djus ij ge izkIr djrs gSa%

vFkok

vFkok

vFkok

blfy,

vFkok sin v = log + log

vFkok sin v = log

v dks izfrLFkkfir djus ij ge izkIr djrs gSaA

;g vody lehdj.k (1) dk O;kid gy gSA

mnkgj.k 17 n'kkZb, fd vody lehdj.k le?kkrh; gS vkSj ;fn] x = 0 tc y = 1 fn;k gqvk gks rks bl lehdj.k dk fof'k"V gy Kkr dhft,A

gy fn;k gqvk vody lehdj.k fuEufyf[kr :i esa fy[kk tk ldrk gS%

... (1)

eku yhft, F(x, y) rc F(λx, λy

vr% F (x, y) 'kwU; ?kkr okyk le?kkrh; iQyu gSA

blfy,] fn;k gqvk vody lehdj.k ,d le?kkrh; vody lehdj.k gSA

bldk gy Kkr djus osQ fy,] ge x = vy izfrLFkkiu djrs gSaA

lehdj.k (2) dk y osQ lkis{k vodyu djus ij ge izkIr djrs gSa%

lehdj.k (1) esa dk eku izfrLFkkfir djus ij ge izkIr djrs gSa%

vFkok

vFkok

vFkok

vFkok

vFkok 2 ev = – log |y| + C

v dks ls izfrLFkkfir djus ij ge izkIr djrs gSa%

2 + log |y| = C ... (3)

lehdj.k (3) esa] x = 0 ,oa y = 1 izfrLFkkfir djus ij ge izkIr djrs gSa%

2 e0 + log |1| = C C = 2

C dk eku lehdj.k (3) esa izfrLFkkfir djus ij ge izkIr djrs gSa%

2 + log |y| = 2

;g fn, gq, vody lehdj.k dk ,d fof'k"V gy gSA

mnkgj.k 18 n'kkZb, fd oØksa dk oqQy] ftuosQ fdlh ¯cnq (x, y) ij Li'kZ js[kk dh izo.krk gS] x2 y2 = cx }kjk iznÙk gSA

gy ge tkurs gSa fd ,d oØ osQ fdlh ¯cnq ij Li'kZ js[kk dh izo.krk osQ cjkcj gksrh gSA

blfy, ;k ... (1)

Li"Vr% lehdj.k (1) le?kkrh; vody lehdj.k gSA

bldks gy djus osQ fy, ge y = vx izfrLFkkiu djrs gaSA

y = vx oQk x osQ lkis{k vodyu djus ij ge ikrs gSa%

;k

vr% ;k ;k

blfy,

vFkok

vFkok

vFkok (v2 – 1) x = ± C1

v dks ls izfrLFkkfir djus ij ge izkIr djrs gSa%

vFkok (y2x2) = ± C1 x ;k x2y2 = Cx

iz'ukoyh 9-5

1 ls 10 rd osQ izR;sd iz'u esa n'kkZb, fd fn;k gqvk vody lehdj.k le?kkrh; gS vkSj buesa ls izR;sd dks gy dhft,%

1. (x2 + xy) dy = (x2 + y2) dx 2.

3. (xy) dy – (x + y) dx = 0 4. (x2y2) dx + 2xy dy = 0

5. 6. x dyy dx =

7.

8. 9.

10.

11 ls 15 rd osQ iz'uksa esa izR;sd vody lehdj.k osQ fy, fn, gq, izfrca/ dks larq"V djus okyk fof'k"V gy Kkr dhft,A

11. (x + y) dy + (xy) dx = 0; y = 1 ;fn x = 1

12. x2 dy + (xy + y2) dx = 0; y = 1 ;fn x = 1

13. ;fn x = 1

14. ; y = 0 ;fn x = 1

15. ; y = 2 ;fn x = 1

16. osQ :i okys le?kkrh; vody lehdj.k dks gy djus osQ fy, fuEufyf[kr esa ls dkSu lk izfrLFkkiu fd;k tkrk gS%

(A) y = vx (B) v = yx (C) x = vy (D) x = v

17. fuEufyf[kr esa ls dkSu lk le?kkrh; vody lehdj.k gS\

(A) (4x + 6y + 5) dy – (3y + 2x + 4) dx = 0

(B) (xy) dx – (x3 + y3) dy = 0

(C) (x3 + 2y2) dx + 2xy dy = 0

(D) y2 dx + (x2xyy2) dy = 0

9.5.3 jSf[kd vody lehdj.k (Linear differential equations)

,

osQ :i okyk vody lehdj.k] ftlesa P ,oa Q vpj vFkok osQoy x osQ iQyu gSa] izFke dksfV dk jSf[kd vody lehdj.k dgykrk gSA izFke dksfV osQ jSf[kd vody lehdj.k osQ oqQN mnkgj.k bl izdkj gSa%

izFke dksfV osQ jSf[kd vody lehdj.k dk nwljk :i lsosaQM gS] ftlesa P1 vkSj Q1 vpj vFkok osQoy y osQ iQyu gSaA bl izdkj osQ vody lehdj.k osQ oqQN mnkgj.k fuEufyf[kr gSa%

izFke dksfV osQ jSf[kd vody lehdj.k

... (1)

dks gy djus osQ fy, lehdj.k osQ nksuksa i{kksa dks x osQ iQyu g (x) ls xq.kk djus ij ge izkIr djrs gSa%

g (x) + P.g (x) y = Q.g (x) ... (2)

g (x) dk p;u bl izdkj dhft, rkfd lehdj.k dk ck;k¡ i{k y . g (x) dk vodyt cu tk,%

vFkkZr~ g (x) + P.g (x) y = [y.g (x)]

vFkok g (x) + P.g (x) y = g (x) + y g(x)

P.g (x) = g(x)

vFkok

nksuksa i{kksa dk x osQ lkis{k lekdyu djus ij ge izkIr djrs gSa%

vFkok

vFkok g (x) =

lehdj.k (1) dks g(x) = epdx ls xq.kk djus ij ml lehdj.k dk ck;k¡ i{k x rFkk y osQ fdlh iQyu dk vodyt cu tkrk gSA ;g iQyu g(x) = epdx fn, gq, vody lehdj.k dk lekdyu xq.kd (I.F.) dgykrk gSA

lehdj.k (2) esa g(x) dk eku izfrLFkkfir djus ij ge izkIr djrs gSa%

vFkok

nksuksa i{kksa dk x, osQ lkis{k lekdyu djus ij ge izkIr djrs gSa%

eq13

vFkok

;g vody lehdj.k dk O;kid gy gSA

izFke dksfV osQ jSf[kd vody lehdj.k dks gy djus osQ fy, lfEefyr pj.k%

(i) fn, gq, vody lehdj.k dks osQ :i esa fyf[k, ftlesa P, Q vpj vFkok osQoy x osQ iQyu gSaA

(ii) lekdyu xq.kd (I.F.) = Kkr dhft,A

(iii) fn, gq, vody lehdj.k dk gy fuEufyf[kr :i esa fyf[k,%

y . (I.F.) =

;fn izFke dksfV dk jSf[kd vody lehdj.k osQ :i esa gS ftlesa P1 vkSj Q1 vpj vFkok osQoy y osQ iQyu gSa] rc I.F. = vkSj

x . (I.F.) = vody lehdj.k dk gy gSA

mnkgj.k 19 vody lehdj.k dk O;kid gy Kkr dhft,A

gy fn;k gqvk vody lehdj.k

gS, tgk¡ P = –1 vkSj Q = cos x

blfy,

lehdj.k osQ nksuksa i{kksa dks I.F. ls xq.kk djus ij ge izkIr djrs gSa%

vFkok

nksuksa i{kksa dk x osQ lkis{k lekdyu djus ij ge izkIr djrs gSa%

... (1)

eku yhft, fd I =

=

=

=

=

vFkok I = – ex cos x + sin x ex – I

vFkok 2I = (sin x – cos x) ex

vFkok I =

lehdj.k (1) esa I dk eku izfrLFkkfir djus ij ge izkIr djrs gSa%

vFkok

;g fn, gq, vody lehdj.k dk O;kid gy gSA

mnkgj.k 20 vody lehdj.k dk O;kid gy Kkr dhft,A

gy fn;k gqvk vody lehdj.k gS%

... (1)

lehdj.k (1) osQ nksuksa i{kksa dks x ls Hkkx nsus ij ge izkIr djrs gSa%

;g] , osQ :i dk jSf[kd vody lehdj.k gSA ;gk¡ ,oa Q = x gSA

blfy, I.F. = = e2 log x =

blfy, fn, gq, lehdj.k dk gy gS%

y . x2 = =

vFkok

;g fn, gq, vody lehdj.k dk O;kid gy gSA

mnkgj.k 21 vody lehdj.k y dx – (x + 2y2) dy = 0 dk O;kid gy Kkr dhft,A

gy fn;k gqvk vody lehdj.k fuEufyf[kr :i esa fy[kk tk ldrk gS%

;g] , osQ :i okyk jSf[kd vody lehdj.k gSA ;gk¡ ,oa
Q
1 = 2y gSA blfy,

vr% fn, gq, vody lehdj.k dk gy gS%

vFkok

vFkok

vFkok x = 2y2 + Cy

;g fn, gq, vody lehdj.k dk O;kid gy gSA

mnkgj.k 22 vody lehdj.k

= 2x + x2 cot x (x 0)

dk fof'k"V gy Kkr dhft,] fn;k gqvk gS fd y = 0 ;fn

gy fn;k gqvk vody lehdj.k , osQ :i dk jSf[kd vody lehdj.k gSA ;gk¡ P = cot x vkSj Q = 2x + x2 cot x gSA blfy,

eq14

vr% vody lehdj.k dk gy gS%

y . sin x = (2x + x2 cot x) sin x dx + C

vFkok y sin x = ∫2x sin x dx + x2 cos x dx + C

vFkok y sin x =

vFkok

vFkok y sin x = x2 sin x + C ... (1)

lehdj.k (1) esa y = 0 ,oa izfrLFkkfir djus ij ge izkIr djrs gSa%

eq15

vFkok

lehdj.k (1) esa C dk eku izfrLFkkfir djus ij ge izkIr djrs gSa%

vFkok

;g fn, gq, vody lehdj.k dk fof'k"V gy gSA

mnkgj.k 23 fcUnq (0] 1) ls xqtjus okys ,d oØ dk lehdj.k Kkr dhft,] ;fn bl oØ osQ fdlh ¯cnq (x, y) ij Li'kZ js[kk dh izo.krk] ml ¯cnq osQ x funsZ'kkad (Hkqt) rFkk x funsZ'kkad vkSj y funsZ'kkad (dksfV) osQ xq.kuiQy osQ ;ksx osQ cjkcj gSA

gy ge tkurs gSa fd oØ dh Li'kZ js[kk dh izo.krk osQ cjkcj gksrh gSA blfy,

vFkok ... (1)

lehdj.k (1)] osQ :i dk jSf[kd vody lehdj.k gSA ;gk¡ P = – x ,oa
Q =
x gSA blfy,

vr% fn, gq, lehdj.k dk gy gS%

... (2)

eku yhft,

eku yhft, , rcx dx = dt ;k x dx = – dt

blfy,

lehdj.k (2) esa I dk eku izfrLFkkfir djus ij] ge ikrs gSa%

vFkok ... (3)

lehdj.k (3) oØksa osQ oqQy dk lehdj.k gS ijarq ge bl oqQy osQ ,sls lnL; dk lehdj.k Kkr djuk pkgrs gSa tks ¯cnq (0]1) ls xqtjrk gksA lehdj.k (3) esa x = 0 ,oa y = 1 izfrLFkkfir djus ij ge ikrs gSa%

1 = – 1 + C . eo vFkok C = 2

lehdj.k (3) esa C dk eku izfrLFkkfir djus ij ge izkIr djrs gSa%

;g oØ dk vHkh"V lehdj.k gSA

iz'ukoyh 9-6

1 ls 12 rd osQ iz'uksa esa] izR;sd vody lehdj.k dk O;kid gy Kkr dhft,%

1. 2. 3.

4. 5.

6. 7.

8. (1 + x2) dy + 2xy dx = cot x dx (x 0)

9. 10.

11. y dx + (x y2) dy = 0 12. .

13 ls 15 rd osQ iz'uksa esa izR;sd vody lehdj.k osQ fy, fn, gq, izfrca/ dks larq"V djus okyk fof'k"V gy Kkr dhft,%

13.

14.

15.

16. ewy ¯cnq ls xq”kjus okys ,d oØ dk lehdj.k Kkr dhft, ;fn bl oØ osQ fdlh ¯cnq (x, y) ij Li'kZ js[kk dh izo.krk ml ¯cnq osQ funsZ'kkadksa osQ ;ksx osQ cjkcj gSA

17. ¯cnq (0] 2) ls xqtjus okys oØ dk lehdj.k Kkr dhft, ;fn bl oØ osQ fdlh ¯cnq osQ funsZ'kkadksa dk ;ksx ml ¯cnq ij [khaph xbZ Li'kZ js[kk dh izo.krk osQ ifjek.k ls 5
vf/d gSA

18. vody lehdj.k dk lekdyu xq.kd gS%

(A) ex (B) ey (C) (D) x

19. vody lehdj.k = dk lekdyu xq.kd gS%

(A) (B) (C) (D)

fofo/ mnkgj.k

mnkgj.k 24 lR;kfir dhft, fd iQyu y = c1 eax cos bx + c2 eax sin bx, tgk¡ c1, c2 LosPN vpj gS] vody lehdj.k

dk gy gSA

gy fn;k gqvk iQyu gS%

... (1)

lehdj.k (1) osQ nksuksa i{kksa dk x osQ lkis{k vodyu djus ij ge ikrs gSa fd

vFkok ... (2)

lehdj.k (2) osQ nksuksa i{kksa dk x, osQ lkis{k vodyu djus ij ge ikrs gSa fd

+

=

fn, x, vody lehdj.k esa ,oa y dk eku izfrLFkkfir djus ij ge ikrs gSa%

ck;k¡ i{k

= = eax × 0 = 0 = nk;k¡ i{k

blfy, fn;k gqvk iQyu fn, gq, vody lehdj.k dk gy gSA

mnkgj.k 25 f}rh; prqFkk±'k esa ,sls o`Ùkksa osQ oqQy dk vody lehdj.k Kkr dhft, tks funsZ'kkad v{kksa dk Li'kZ djrs gSaA

gy eku yhft,] funsZ'kkad v{kksa dks Li'kZ djus okyk vkSj f}rh; prqFkk±'k esa cuk o`Ùkksa dk oqQy C }kjk fufnZ"V fd;k tkrk gSA bl oqQy osQ fdlh lnL; osQ osaQnz ¯cnq osQ funs±'kkad (–a, a) gSa (vko`Qfr 9-6 nsf[k,)A

oqQy C dks fu:fir djus okyk lehdj.k gS%

(x + a)2 + (ya)2 = a2 ... (1)

vFkok x2 + y2 + 2ax – 2ay + a2 = 0 ... (2)

lehdj.k (2) dk x osQ lkis{k vodyu djus ij ge ikrs gaS%

vFkok

vFkok

lehdj.k (1) esa a dk eku izfrLFkkfir djus ij ge ikrs gSa%

vFkok

vFkok (x + y)2 + [x + y]2 = [x + y y]2

vFkok (x + y)2 [ + 1] = [x + y y]2

tks fn, gq, o`Ùkksa osQ oqQy dks fu:fir djus okyk vody lehdj.k gSA

mnkgj.k 26 vody lehdj.k dk fof'k"V gy Kkr dhft,A fn;k gqvk gS fd y = 0 ;fn x = 0

gy fn;k gqvk vody lehdj.k fuEufyf[kr :i esa fy[kk tk ldrk gS%

vFkok ... (1)

pjksa dks i`Fko~Q djus ij ge ikrs gSa]

blfy,

vFkok

vFkok 4 e3x + 3 e– 4y + 12 C = 0 ... (2)

lehdj.k (2) esa x = 0 ,oa y = 0 izfrLFkkfir djus ij ge ikrs gSa%

4 + 3 + 12 C = 0 vFkok C =

lehdj.k (2) esa C dk eku izfrLFkkfir djus ij ge]

4 e3x + 3 e– 4y – 7 = 0, izkIr djrs gSa

;g fn, gq, vody lehdj.k dk ,d fof'k"V gy gSA

vko`Qfr 9-6

mnkgj.k 27 vody lehdj.k

(x dy y dx) y sin = (y dx + x dy) x cos dks gy dhft,A

gy fn;k gqvk vody lehdj.k fuEufyf[kr :i esa fy[kk tk ldrk gSA

vFkok

nk;sa i{k ij va'k ,oa gj nksuksa dks x2 ls Hkkx nsus ij ge ikrs gSa%

... (1)

Li"Vr% lehdj.k (1)] osQ :i dk le?kkrh; vody lehdj.k gS] blfy, bl lehdj.k dks gy djus osQ fy, ge

y = vx ... (2)

izfrLFkkfir djrs gSaA

vFkok

vFkok [lehdj.k (1) vkSj (2) dk iz;ksx djus ij]

vFkok

vFkok

blfy,

vFkok

vFkok

vFkok

vFkok ... (3)

lehdj.k (3) esa v dks ls izfrLFkkfir djus ij ge ikrs gSa fd

] tgk¡ C = ± C1

vFkok

;g fn, gq, vody lehdj.k dk O;kid gy gSA

mnkgj.k 28 vody lehdj.k

(tan–1y x) dy = (1 + y2) dx dk gy Kkr dhft,A

gy fn;k gqvk vody lehdj.k fuEufyf[kr :i esa fy[kk tk ldrk gS%

... (1)

lehdj.k (1)] x = Q1, osQ :i dk jSf[kd vody lehdj.k gSA ;gk¡

,oa gSA blfy,

blfy, fn, gq, vody lehdj.k dk gy gS%

... (2)

eku yhft,

tan–1 y = t izfrLFkkfir djus ij ge ikrs gSa fd

vr% I = , I = t et 1 . et et, I = t etet = et (t – 1)

vFkok I = (tan–1y –1)

lehdj.k (2) esa I dk eku izfrLFkkfir djus ij ge

ikrs gSa

vFkok x =

;g fn, gq, vody lehdj.k dk O;kid gy gSA

vè;k; 9 ij fofo/ iz'ukoyh

1. fuEufyf[kr vody lehdj.kksa esa ls izR;sd dh dksfV ,oa ?kkr (;fn ifjHkkf"kr gks) Kkr dhft,A

(i) (ii)

(iii)

2. fuEufyf[kr iz'uksa esa izR;sd osQ fy, lR;kfir dhft, fd fn;k gqvk iQyu (vLi"V vFkok Li"V) laxr vody lehdj.k dk gy gSA

(i) xy = a ex + b ex + x2 :

(ii) y = ex (a cos x + b sin x) :

(iii) y = x sin 3x :

(iv) x2 = 2y2 log y :

3. (xa)2 + 2y2 = a2, }kjk fu:fir oØksa osQ oqQy dk vody lehdj.k fufeZr dhft, tgk¡ a ,d LosPN vpj gSA

4. fl¼ dhft, fd x2y2 = c (x2 + y2)2 tgk¡ c ,d izkpy gS] vody lehdj.k
(
x3 – 3x y2) dx = (y3 – 3x2y) dy dk O;kid gy gSA

5. izFke prqFkk±'k esa ,sls o`Ùkksa osQ oqQy dk vody lehdj.k Kkr dhft, tks funsZa'kakd v{kksa dks Li'kZ djrs gSaA

6. vody lehdj.k ] tcfd x 1 dk O;kid gy Kkr dhft,A

7. n'kkZb, fd vody lehdj.k dk O;kid gy

(x + y + 1) = A (1 – xy – 2xy) gS] ftlesa A ,d izkpy gSA

8. ¯cnq ls xqtjus okys ,d ,sls oØ dk lehdj.k Kkr dhft, ftldk vody lehdj.k sin x cos y dx + cos x sin y dy = 0 gSA

9. vody lehdj.k (1 + e2x) dy + (1 + y2) ex dx = 0 dk ,d fof'k"V gy Kkr dhft,] fn;k gqvk gS fd y = 1 ;fn x = 0.

10. vody lehdj.k dk gy Kkr dhft,A

11. vody lehdj.k (xy) (dx + dy) = dx dy dk ,d fof'k"V gy Kkr dhft,] fn;k gqvk gS fd y = –1, ;fn x = 0 (laosQr: xy = t j[ksa)A

12. vody lehdj.k dk gy Kkr dhft,A

13. vody lehdj.k = 4x cosec x (x 0) dk ,d fof'k"V gy Kkr dhft,] fn;k gqvk gS fd y = 0 ;fn .

14. vody lehdj.k (x + 1) = 2 ey – 1 dk ,d fof'k"V gy Kkr dhft,] fn;k gqvk gS fd y = 0 ;fn x = 0.

15. fdlh xk¡o dh tula[;k dh o`f¼ dh nj fdlh Hkh le; ml xk¡o osQ fuokfl;ksa dh la[;k osQ lekuqikrh gSA ;fn lu~ 1999 esa xk¡o dh tula[;k 20]000 Fkh vkSj lu~ 2004 esa 25]000 Fkh] rks Kkr dhft, fd lu~ 2009 esa xk¡o dh tula[;k D;k gksxh\

16. vody lehdj.k dk O;kid gy gS%

(A) xy = C (B) x = Cy2 (C) y = Cx (D) y = Cx2

17. osQ :i okys vody lehdj.k dk O;kid gy gS%

(A)

(B)

(C)

(D)

18. vody lehdj.k ex dy + (y ex + 2x) dx = 0 dk O;kid gy gS%

(A) x ey + x2 = C (B) x ey + y2 = C (C) y ex + x2 = C (D) y ey + x2 = C

lkjka'k

,d ,slk lehdj.k ftlesa Lora=k pj (pjksa) osQ lkis{k vkfJr pj osQ vodyt (vodytksa) lfEefyr gksa] vody lehdj.k dgykrk gSA

fdlh vody lehdj.k esa lfEefyr mPpre vodyt dh dksfV] ml vody lehdj.k dh dksfV dgykrh gSA

;fn dksbZ vody lehdj.k vodytksa esa cgqin lehdj.k gSa rks ml vody lehdj.k dh ?kkr ifjHkkf"kr gksrh gSA

fdlh vody lehdj.k dh ?kkr (;fn ifjHkkf"kr gks) ml vody lehdj.k esa lfEefyr mPpre dksfV vodyt dh mPpre ?kkr (osQoy /ukRed iw.kk±d) gksrh gSA

,d fn, gq, vody lehdj.k dks larq"V djus okyk iQyu ml vody lehdj.k dk gy dgykrk gSA ,d ,slk gy ftlesa mrus gh LosPN vpj gksa] ftruh ml vody lehdj.k dh dksfV gS] O;kid gy dgykrk gS vkSj LosPN vpjksa ls eqDr gy fof'k"V gy dgykrk gSA

fdlh fn, gq, iQyu ls vody lehdj.k cukus osQ fy, ge ml iQyu dk mÙkjksÙkj mruh gh ckj vodyu djrs gSa ftrus ml iQyu esa LosPN vpj gksrs gSa vkSj rc LosPN vpjksa dks foyqIr djrs gSaA

pj i`FkDdj.kh; fof/ ,sls lehdj.k dks gy djus osQ fy, mi;ksx dh tkrh gS ftlesa pjksa dks iwjh rjg ls i`Fko~Q~ fd;k tk ldrk gS vFkkZr~ y okys in dy osQ lkFk jgus pkfg, vkSj x okys in dx osQ lkFk jgus pkfg,A

,d ,slk vody lehdj.k] ftldks osQ :i esa vfHkO;Dr fd;k tk ldrk gS] tgk¡ f (x, y) ,oa g(x, y) 'kwU; ?kkr okys le?kkrh; iQyu gSa] le?kkrh; vody lehdj.k dgykrk gSA


, osQ :i okyk vody lehdj.k] ftlesa P rFkk Q vpj vFkok osQoy x osQ iQyu gSa] izFke dksfV jSf[kd vody lehdj.k dgykrk gSA




,sfrgkfld i`"BHkwfe

vody lehdj.k foKku dh izeq[k Hkk"kkvksa esa ls ,d gSA jkspd rF; ;g gS fd vody lehdj.kksa dk vfLrRo uoacj 11] 1675 Gottfried Wilthelm Freiherr Leibnitz (1646-1716) us loZizFke loZlfedk], dks fyf[kr :i esa izLrqr fd;k rFkk muls nksuksa izrhdksa vkSj dy ls ifjfpr djk;kA oLrqr% Leibnitz ,slh oØ dks Kkr djus dh leL;k esa eXu Fks ftldh Li'kZ js[kk fufnZ"V gksa] bl leL;k us lu~ 1691 esa mUgsa ^pjksa osQ i`FkDdj.kh; fof/* osQ vUos"k.k dk ekxZn'kZu djk;kA ,d o"kZ i'pkr~ mUgksaus ^izFke dksfV osQ le?kkrh; lehdj.kksa osQ gy djus dh fof/* dk lw=khdj.k fd;kA os vkxs c<+s vkSj vYi le; esa mUgksaus ^izFke dksfV osQ jSf[kd vody lehdj.kksa dks gy djus dh fof/* dk vUos"k.k fd;kA fdruk vk'p;Ztud gS fd mi;qZDr lHkh fof/;ksa dh [kkst vosQys ,d O;fDr }kjk vody lehdj.kksa osQ tUe osQ iPphl o"kks± osQ vYikof/ osQ varxZr laiUu gqbZA

izkjaHk esa osQoy lehdj.kksa osQ ^gy* djus dh izfof/ dks vody lehdj.kksa osQ ^lekdyu* osQ :i esa fufnZ'V fd;k x;k FkkA ;g 'kCn lu~ 1690 esa izFker% James Bernoulli, (1654&1705) }kjk izpyu esa yk;k x;kA 'kCn ^gy* dk loZizFke iz;ksx Joseph Louis Lagrange (1736&1813)] }kjk lu~ 1774 esa fd;k x;kA ;g ?kVuk vody lehdj.kksa osQ tUe ls yxHkx 100 o"kks± ckn ?kfVr gqbZA ;s Jules Henri Poincare (1854&1912)] Fks] ftUgksaus 'kCn ^gy* osQ iz;ksx osQ fy, vdkV~; roZQ izLrqr fd;k] iQyr% vk/qfud 'kCnkoyh esa 'kCn gy dks viuk mfpr LFkku izkIr gqvkA ^pjksa osQ i`FDdj.kh; fof/ dk ukedj.k John Bernoulli (1667&1748)] James Bernoulli osQ vuqt }kjk fd;k x;kA ebZ 20] 1715 dks Leibnitz dks fy[ks vius i=k esa] mUgksus fuEufyf[kr vody lehdj.k osQ gy dh [kkst fd,

x2 y = 2y

osQ gy rhu izdkj dh oØksa uker% ijoy;] vfrijoy; vkSj ?kuh; oØksa osQ ,d lewg dk ekxZn'kZu djkrs gSaA ;g n'kkZrk gS fd ,sls ljy fn[kkbZ iM+us okys vody lehdj.kksa osQ gy oSQls ukuk :i /kj.k djrs gSaA 20oha 'krkCnh osQ mrjk/Z esa ^vody lehdj.kksa osQ xq.kkRed fo'ys"k.k* 'kh"kZd osQ varxZr vody lehdj.kksa osQ gyksa dh tfVy izo`Qfr osQ vkfo"dkj gsrq è;ku vkdf"kZr fd;k x;kA vktdy blus yxHkx lHkh vfo"dkjksa gsrq vR;ar izfof/ osQ :i esa izeq[k LFkku izkIr dj fy;k gSA