The mathematical experience of the student is incomplete if he never had the opportunity to solve a problem invented by himself. — G POLYA

12.1 Hkwfedk (Introduction)

fiNyh कक्षाओं esa ge jSf[kd lehdj.kksa vkSj fnu izfr fnu dh leL;kvksa esa muosQ vuqiz;ksx ij fopkj&foe'kZ dj pqosQ gSaA d{kk XI esa geus nks pj jkf'k;ksa okys jSf[kd vlfedkvksa vkSj jSf[kd vlfedkvksa osQ fudk;ksa osQ vkys[kh; fu:i.k ls gy fudkyus osQ fo"k; esa vè;;u dj pqosQ gSaA xf.kr esa dbZ vuqiz;ksxksa esa [email protected] osQ fudk; lfEefyr gSaA bl vè;k; esa ge jSf[kd [email protected] osQ fudk;ksa dk uhps nh xbZ oqQN okLrfod thou dh leL;kvksa dks gy djus esa mi;ksx djsaxsA

,d iQuhZpj O;kikjh nks oLrqvksa tSls es”k vkSj oqQ£l;ksa dk O;olk; djrk gSA fuos'k osQ fy, mlosQ ikl Rs 50]000 vkSj j[kus osQ fy, osQoy 60 oLrqvksasa osQ fy, LFkku gSA ,d es”k ij Rs 2500 vkSj ,d oqQlhZ ij Rs 500 dh ykxr vkrh gSA og vuqeku yxkrk gS fd ,d es”k dks cspdj og Rs 250 vkSj ,d oqQlhZ dks cspus ls Rs 75 dk ykHk dek ldrk gSA eku yhft, fd og lHkh oLrqvksasa dks csp ldrk gS ftudks fd og [kjhnrk gS rc og tkuuk pkgrk gS fd fdruh es”kksa ,oa oqQflZ;ksa dks [kjhnuk pkfg, rkfd miyC/ fuos'k jkf'k ij mldk ldy ykHk vf/dre gksA

bl izdkj dh leL;kvksa ftuesa lkekU; izdkj dh leL;kvksa esa ykHk dk vf/drehdj.k vkSj ykxr dk U;wurehdj.k [kkstus dk iz;kl fd;k tkrk gS] b"Vredkjh leL;k,¡ dgykrh gSaA vr% b"Vredkjh leL;k esa vf/dre ykHk] U;wure ykxr ;k lalk/uksa dk U;wure mi;ksx lfEefyr gSA

jSf[kd izksxzkeu leL;k,¡ ,d fo'ks"k ysfdu ,d egÙoiw.kZ izdkj dh b"Vredkjh leL;k gS vkSj mijksDr mfYyf[kr b"Vredkjh leL;k Hkh ,d jSf[kd izksxzkeu leL;k gSA m|ksx] okf.kT;] izca/u foKku vkfn esa foLr`r lqlaxrrk osQ dkj.k jSf[kd izksxzkeu leL;k,¡ vR;f/d egÙo dh gSaA

bl vè;k; esa] ge oqQN jSf[kd izksxzkeu leL;k,¡ vkSj mudk vkys[kh fof/ }kjk gy fudkyus dk vè;;u djsaxsA ;|fi bl izdkj leL;kvksa dk gy fudkyus osQ fy, vU; fof/;k¡ Hkh gSaA

12.2 jSf[kd izksxzkeu leL;k vkSj mldk xf.krh; lw=khdj.k (Linear Programming Problem and its Mathematical Formulation)

ge viuk fopkj foe'kZ mijksDr mnkgj.k osQ lkFk izkjaHk djrs gSa tks fd nks pj jkf'k;ksa okyh leL;k osQ xf.krh; lw=khdj.k vFkok xf.krh; izfr:i dk ekxZn'kZu djsxkA bl mnkgj.k esa geus è;kuiwoZd ns[kk fd

(i) O;kikjh viuh /u jkf'k dks es”kksa ;k oqQflZ;ksa ;k nksuksa osQ la;kstuksa esa fuos'k dj ldrk gSA blosQ vfrfjDr og fuos'k osQ fofHkUu ;kstukRed fof/;ksa ls fofHkUu ykHk dek losQxkA

(ii) oqQN vf/d egÙoiw.kZ fLFkfr;k¡ ;k O;ojks/ksa dk Hkh lekos'k gS tSls mldk fuos'k vf/dre Rs 50]000 rd lhfer gS rFkk mlosQ ikl vf/dre 60 oLrqvksasa dks j[kus osQ fy, LFkku miyC/ gSA

eku yhft, fd og dksbZ oqQlhZ ugha [kjhnrk osQoy es”kksa osQ [kjhnus dk fu'p; djrk gS] blfy, og 50,000 ÷ 2500, ;k 20 es”kksa dks [kjhn ldrk gSA bl fLFkfr esa mldk ldy ykHk
Rs (250 × 20) ;k Rs 5000 gksxkA

eku yhft, fd og dksbZ es”k u [kjhndj osQoy oqQ£l;k¡ gh [kjhnus dk p;u djrk gSA rc og viuh miyC/ Rs 50]000 dh jkf'k esa 50,000 ÷ 500, vFkkZr~ 100 oqQ£l;k¡ gh [kjhn ldrk gSA ijarq og osQoy 60 uxksa dks gh j[k ldrk gSA vr% og 60 oqQ£l;k¡ ek=k [kjhnus osQ fy, ckè; gksxkA ftlls mls ldy ykHk Rs 60 × 75 vFkkZr~ Rs 4500 gh gksxkA

,slh vkSj Hkh cgqr lkjh laHkkouk,¡ gSaA mnkgj.k osQ fy, og 10 es”kksa vkSj 50 oqQ£l;k¡ [kjhnus dk p;u dj ldrk gS] D;ksafd mlosQ ikl 60 oLrqvksasa dks j[kus dk LFkku miyC/ gSA bl fLFkfr esa mldk ldy ykHk Rs (10 × 250 + 50 × 75), vFkkZr~ Rs 6250 bR;kfnA

vr% ge Kkr djrs gSa fd iQuhZpj O;kikjh fofHkUu p;u fof/;ksa osQ }kjk viuh /u jkf'k dk fuos'k dj ldrk gS vkSj fofHkUu fuos'k ;kstukvksa dks viukdj fofHkUu ykHk dek losQxkA

vc leL;k ;g gS fd mls viuh /u jkf'k dks vf/dre ykHk izkIr djus osQ fy, fdl izdkj fuos'k djuk pkfg,\ bl iz'u dk mÙkj nsus osQ fy, gesa leL;k dk xf.krh; lw=khdj.k djus dk iz;kl djuk pkfg,A

12.2.1 leL;k dk xf.krh; lw=khdj.k (Mathematical Formulation of the Problem)

eku yhft, fd es”kksa dh la[;k x vkSj oqQflZ;ksa dh la[;k y gS ftUgsa iQuhZpj O;kikjh [kjhnrk gSA Li"Vr% x vkSj y ½.ksrj gSa] vFkkZr~

D;kasfd es”kksa vkSj oqQflZ;ksa dh la[;k ½.kkRed ugha gks ldrh gSA

O;kikjh (O;olk;h) ij vf/dre /u jkf'k (;gk¡ ;g Rs 50]000 gS) dk fuos'k djus dk O;ojks/ gS vkSj O;olk;h osQ ikl osQoy vf/dre oLrqvksasa (;gk¡ ;g 60 gS) dks j[kus osQ fy, LFkku dk Hkh O;ojks/ gSA

xf.krh; :i esa O;Dr djus ij

2500x + 500y ≤ 50,000 (fuos'k O;ojks/ )

;k  5x + y ≤ 100 ... (3)

vkSj  x + y ≤ 60 (laxzg.k O;ojks/) ... (4)

O;olk;h bl izdkj ls fuos'k djuk pkgrk gS mldk ykHk Z (ekuk) vf/dre gks vkSj ftls x vkSj y osQ iQyu osQ :i esa fuEufyf[kr izdkj ls O;Dr fd;k tk ldrk gS%

Z = 250x + 75y (mís'kh; iQyu dgykrk gS)

iznÙk leL;k dk vc xf.krh; :i esa ifjofrZr gks tkrh gS%

Z = 250x + 75y dk vf/drehdj.k dhft,

tgk¡ O;ojks/ fuEufyf[kr gS

5x + y ≤ 100

x + y ≤ 60

x ≥ 0, y ≥ 0

blfy, gesa jSf[kd iQyu Z dk vf/drehdj.k djuk gS tcfd ½.ksrj pjksa okyh jSf[kd vlfedkvksa osQ :i oqQN fo'ks"k fLFkfr;ksa osQ O;ojks/ O;Dr fd, x, gSaA oqQN vU; leL;k,¡ Hkh gSa ftuesa jSf[kd iQyu dk U;wurehdj.k fd;k tkrk gS tcfd ½.ksrj pj okyh jSf[kd vlfedkvksa osQ :i esa oqQN fo'ks"k fLFkfr;ksa osQ O;ojks/ O;Dr fd, tkrs gSA ,slh leL;kvksa dks jSf[kd izksxzkeu leL;k dgrs gSaA

vr% ,d jSf[kd izksxzkeu leL;k og leL;k gS tks fd x vkSj y tSls oqQN vusd pjksa osQ ,d jSf[kd iQyu Z (tks fd mís'; iQyu dgykrk gS) dk b"Vre lqlaxr@vuqowQyre lqlaxr eku (vf/dre ;k U;wure eku) Kkr djus ls lacaf/r gSA izfrca/ ;g gS fd pj ½.ksrj iw.kk±d gSa vkSj ;s jSf[kd vlfedkvkas osQ leqPp; jSf[kd O;ojks/ksa dks larq"V djrs gSaA jSf[kd in ls rkRi;Z gS fd leL;k esa lHkh xf.krh; laca/ jSf[kd gSa tcfd izksxzkeu ls rkRi;Z gS fd fo'ks"k izksxzke ;k fo'ks"k fØ;k ;kstuk Kkr djukA

vkxs c<+us ls iwoZ ge vc oqQN inksa (ftudk iz;ksx Åij gks pqdk gS) dks vkSipkfjd :i ls ifjHkkf"kr djsaxs ftudk fd iz;ksx ge jSf[kd izksxzke leL;kvksa esa djsaxs%

mís'; iQyu jSf[kd iQyu Z = ax + by, tcfd a, b vpj gS ftudk vf/drehdj.k ;k U;wurehdj.k gksuk gS ,d jSf[kd mís'; iQyu dgykrk gSA

mijksDr mnkgj.k esa Z = 250x + 75y ,d jSf[kd mís'; iQyu gSA pj x vkSj y fu.kkZ;d pj dgykrs gSaA

O;ojks/ ,d jSf[kd izksxzkeu leL;k osQ pjksa ij jSf[kd vlfedkvksa ;k lehdj.k ;k izfrca/ O;ojks/ dgykrs gSaA izfrca/ x ≥ 0, y ≥ 0 ½.ksrj O;ojks/ dgykrs gSaA mijksDr mnkgj.k esa (1) ls (4) rd vlfedkvksa dk leqPp; O;ojks/ dgykrs gSaA

b"Vre lqlaxr leL;k,¡ fuf'pr O;ojks/ksa osQ v/hu vlfedkvksa osQ leqPp; }kjk fu/kZfjr leL;k tks pjksa (;Fkk nks pj x vkSj y ) esa jSf[kd iQyu dks vf/dre ;k U;wure djs] b"Vre lqlaxr leL;k dgykrh gSA jSf[kd izksxzkeu leL;k,¡ ,d fof'k"V izdkj dh b"Vre lqlaxr leL;k gSA lqlaxr leL;k O;kikjh }kjk es”kksa rFkk oqQflZ;ksa dh [kjhn esa iz;qDr ,d b"Vre lqlaxr leL;k rFkk jSf[kd izksxzkeu dh leL;k dk ,d mnkgj.k gSA

vc ge foospuk djsaxs fd ,d jSf[kd izksxzkeu leL;k dks fdl izdkj gy fd;k tkrk gSA bl vè;k; esa ge osQoy vkys[kh; fof/ ls gh lacaf/r jgsaxsA

12.2.2 jSf[kd izksxzkeu leL;kvksa dks gy djus dh vkys[kh; fof/ (Graphical Method of Solving Linear Programming Problems)

d{kk XI, esa ge lh[k pqosQ gS fd fdl izdkj nks pjksa x vkSj y ls lacaf/r jSf[kd vlehdj.k fudk;ksa dk vkjs[k [khaprs gSa rFkk vkjs[kh; fof/ }kjk gy Kkr djrs gSaA vc gesa vuqPNsn 12-2 esa foospu dh gqbZ es”kksa vkSj oqQflZ;ksa esa fuos'k dh leL;k dk mYys[k djsaxsA vc ge bl leL;k dks vkjs[k }kjk gy djsaxsA vc gesa jSf[kd vlehdj.kksa osQ :i iznÙk O;ojks/ksa dk vkjs[k [khapsa%

5x + y ≤ 100 ... (1)

x + y ≤ 60 ... (2)

x ≥ 0 ... (3)

y ≥ 0 ... (4)

bl fudk; dk vkjs[k (Nk;kafdr {ks=k) esa vlehdj.kksa (1) ls (4) rd osQ }kjk fu;r lHkh v/Zryksa osQ mHk;fu"B ¯cnqvksa ls fufeZr gSaA bl {ks=k esa izR;sd ¯cnq O;kikjh (O;olk;h) dks es”kksa vkSj oqQflZ;ksa esa fuos'k djus osQ fy, lqlaxr fodYi izLrqr djrk gSA blfy, ;g {ks=k leL;k dk lqlaxr {ks=k dgykrk gS (vko`Qfr 12-1)A bl {ks=k dk izR;sd ¯cnq leL;k dk lqlaxr gy dgykrk gSA

vr% ge fuEu dks ifjHkkf"kr djrs gSa%

lqlaxr {ks=k iznÙk leL;k osQ fy, ,d jSf[kd izksxzkeu leL;k osQ ½.ksrj O;ojks/ x, y ≥ 0 lfgr lHkh O;ojks/ksa }kjk fu;r mHk;fu"B {ks=k lqlaxr {ks=k (;k gy {ks=k) dgykrk gS vko`Qfr 12-1 esa {ks=k OABC (Nk;kafdr) leL;k osQ fy, lqlaxr {ks=k gSA lqlaxr {ks=k osQ vfrfjDr tks {ks=k gS mlss vlqlaxr {ks=k dgrs gSaA

lqlaxr gy lewg lqlaxr {ks=k osQ var% Hkkx rFkk lhek osQ lHkh ¯cnq O;ojks/ksa osQ lqlaxr gy dgykrs gSaA vko`Qfr 12-1 esa lqlaxr {ks=k OABC osQ var% Hkkx rFkk lhek osQ lHkh ¯cnq leL;k osQ lqlaxr gy iznf'kZr dgrs gSaA mnkgj.k osQ fy, ¯cnq (10] 50) leL;k dk ,d lqlaxr gy gS vkSj blh izdkj ¯cnq (0] 60)] (20] 0) bR;kfn Hkh gy gSaA

lqlaxr gy osQ ckgj dk dksbZ Hkh ¯cnq vlqlaxr gy dgykrk gSa mnkgj.k osQ fy, ¯cnq
(25] 40) leL;k dk vlqlaxr gy gSA

b"Vre@vuqowQyre (lqlaxr) gy% lqlaxr {ks=k esa dksbZ ¯cnq tks mís'; iQyu dk b"Vre eku (vf/dre ;k U;wure) ns] ,d b"Vre gy dgykrk gSA

vc ge ns[krs gSa fd lqlaxr {ks=k OABC esa izR;sd ¯cnq (1) ls (4) rd esa iznÙk lHkh O;ojks/ksa dks larq"V djrk gS vkSj ,sls vuar ¯cnq gSaA ;g Li"V ugha gS fd ge mís'; iQyu
Z = 250x + 75y osQ vf/dre eku okys ¯cnq dks fdl izdkj Kkr djus dk iz;kl djsaA bl fLFkfr dks gy djus osQ fy, ge fuEu izes;ksa dk mi;ksx djsaxs tks fd jSf[kd izksxzkeu leL;kvksa dks gy djus esa ewy fl¼kar (vk/kjHkwr) gSA bu izes;ksa dh miifr bl iqLrd osQ fo"k;&oLrq ls ckgj gSA

izes; 1 ekuk fd ,d jSf[kd izksxzkeu leL;k osQ fy, R lqlaxr {ks=k* (mÙky cgqHkqt) gS vkSj ekuk fd Z = ax + by mís'; iQyu gSA tc Z dk ,d b"Vre eku (vf/dre ;k U;wure) gks tgk¡ O;ojks/kas ls lacaf/r pj x vkSj y jSf[kd vlehdj.kksa }kjk O;Dr gks rc ;g b"Vre eku lqlaxr {ks=k osQ dksus ('kh"kZ) ij vofLFkr gksus pkfg,A

izes; 2 ekuk fd ,d jSf[kd izksxzkeu leL;k osQ fy, R lqlaxr {ks=k gS rFkk Z = ax + by mís'; iQyu gSA ;fn R ifjc¼ {ks=k gks rc mís'; iQyu Z, R esa nksuksa vf/dre vkSj U;wure eku j[krk gS vkSj buesa ls izR;sd R osQ dksuh; (corner) ¯cnq ('kh"kZ) ij fLFkr gksrk gSA

fVIi.kh ;fn R vifjc¼ gS rc mís'; iQyu dk vf/dre ;k U;wure eku dk vfLrRo ugha Hkh gks ldrk gSA fiQj Hkh ;fn ;g fo|eku gS rks R osQ dksuh; ¯cnq ij gksuk pkfg,] (izes; 1 osQ vuqlkj)

mijksDr mnkgj.k esa ifjc¼ (lqlaxr) {ks=k osQ dksuh; ¯cnq O, A, B vkSj C gSa vkSj ¯cnqvksa osQ funsZ'kkad Kkr djuk ljy gS ;Fkk (0, 0), (20, 0), (10, 50) vkSj (0, 60) Øe'k% dksuh; ¯cnq gSaA vc gesa bu ¯cnqvksa ij, Z dk eku Kkr djuk gSA

og bl izdkj gS%

ge fujh{k.k djrs gSa fd O;olk;h dks fuos'k ;kstuk (10] 50) vFkkZr~ 10 es”kksa vkSj 50 oqQflZ;ksa osQ [kjhnus esa vf/dre ykHk gksxkA

bl fof/ esa fuEu inksa dk lekfo"V gSa%

1. jSf[kd izksxzkeu leL;k dk lqlaxr {ks=k Kkr dhft, vkSj mlosQ dksuh; ¯cnqvksa ('kh"kZ) dks ;k rks fujh{k.k ls vFkok nks js[kkvksa osQ izfrPNsn ¯cnq dks nks js[kkvksa dh lehdj.kksa dks gy djosQ ml ¯cnq dks Kkr dhft,A

2. mís'; iQyu Z = ax + by dk eku izR;sd dksuh; ¯cnq ij Kkr dhft,A ekuk fd M vkSj m, Øe'k% bu ¯cnqvksa ij vf/dre rFkk U;wure eku iznf'kZr djrs gSaA

3. (i) tc lqlaxr {ks=k ifjc¼ gS] M vkSj m, Z osQ vf/dre vkSj U;wure eku gaSA

(ii) ,slh fLFkfr esa tc lqlaxr {ks=k vifjc¼ gks rks ge fuEufyf[kr fof/ dk mi;ksx djrs gSaA

4. (a) M dks Z dk vf/dre eku ysrs gSa ;fn ax + by > M }kjk izkIr v/Z&ry dk dksbZ ¯cnq lqlaxr {ks=k esa u iM+s vU;Fkk Z dksbZ vf/dre eku ugha gSA

(b) blh izdkj, m, dks Z dk U;wure eku ysrs gaS ;fn ax + by < m }kjk izkIr [kqys v/Zry vkSj lqlaxr {ks=k esa dksbZ ¯cnq mHk;fu"B ugha gSA vU;Fkk Z dk dksbZ U;wure eku ugha gSA

ge vc oqQN mnkgj.kksa osQ }kjk dksuh; fof/ osQ inksa dks Li"V djsaxs%

mnkgj.k 1 vkys[k }kjk fuEu jSf[kd izksxzkeu leL;k dks gy dhft,%

fuEu O;ojks/ksa osQ varxZr

x + y ≤ 50 ... (1)

3x + y ≤ 90 ... (2)

x ≥ 0, y ≥ 0 ... (3)

Z4x + y dk vf/dre eku Kkr dhft,%

dksuh; ¯cnqvksa O, A, B vkSj C osQ funsZ'kkad Øe'k% (0, 0), (30, 0), (20, 30) vkSj (0, 50) gSaA

vc izR;sd dksuh; ¯cnq ij Z dk eku Kkr djrs gSaA

vr% ¯cnq (30] 0) ij Z dk vf/dre eku 120 gSA

mnkgj.k 2 vkys[kh; fof/ }kjk fuEu jSf[kd izksxzkeu leL;k dks gy dhft,A

fuEu O;ojks/ksa osQ varxZr

x + 2y ≥ 10 ... (1)

3x + 4y ≤ 24 ... (2)

x ≥ 0, y ≥ 0 ... (3)

Z = 200 x + 500 y dk U;wure eku Kkr dhft,

gy vko`Qfr 12-3 esa Nk;kafdr {ks=k] (1) ls (3) osQ O;ojks/ksa osQ fudk; }kjk fu/kZfjr lqlaxr {ks=k ABC gS tks ifjc¼ gSA dksuh; ¯cnqvksa A, B vkSj C osQ funsZ'kkad Øe'k% (0, 5), (4, 3) vkSj (0, 6) gSaA ge bu ¯cnqvksa ij Z = 200x + 500y dk eku Kkr djrs gSa

vr% ¯cnq (4] 3) ij Z dk U;wure eku Rs 2300 izkIr gksrk gSA

mnkgj.k 3 vkys[kh; fof/ ls fuEu leL;k dks gy dhft,%

fuEu O;ojks/ksa osQ varxZr

x + 3y ≤ 60 ... (1)

x + y ≥ 10 ... (2)

x ≤ y ... (3)

x ≥ 0, y ≥ 0 ... (4)

Z = 3x =+ 9y dk U;wure vkSj vf/dre eku Kkr dhft,A

gy lcls igys ge (1) ls (4) rd dh jSf[kd vlfedkvksa osQ fudk; osQ lqlaxr {ks=k dk vkys[k [khaprs gSaA lqlaxr {ks=k ABCD dks vko`Qfr 12-4 esa fn[kk;k x;k gSA {ks=k ifjc¼ gSA dksuh; ¯cnqvksa A, B, C vkSj D osQ funsZ'kkad Øe'k% (0, 10), (5, 5), (15, 15) vkSj (0 20) gSaA vc ge Z osQ U;wure vkSj vf/dre eku Kkr djus osQ fy, dksuh; ¯cnq fof/ dk mi;ksx djrs gSaA

lkj.kh ls ge lqlaxr {ks=k ¯cnq B (5] 5) ij Z dk U;wure eku 60 izkIr djrs gSaA

Z dk vf/dre eku lqlaxr {ks=k osQ nks dksuh; ¯cnqvksa izR;sd C (15, 15) vkSj D (0, 20) ij 120 izkIr gksrk gSA

fVIi.kh fujh{k.k dhft, fd mijksDr mnkgj.k esa] leL;k dksuh; ¯cnqvksa C vkSj D, ij leku b"Vre gy j[krh gS] vFkkZr~ nksuksa ¯cnq ogh vf/dre eku 180 mRiUu djrs gSaA ,slh fLFkfr;ksa esa nks dksuh; ¯cnqvksa dks feykus okys js[kk[kaM CD ij izR;sd ¯cnq rFkk C vkSj D Hkh ,d gh vf/dre eku nsrs gSaA ogh ml fLFkfr esa Hkh lR; gS ;fn nks ¯cnq ogh U;wure eku mRiUu djrs gSaA

mnkgj.k 4 vkys[kh; fof/ }kjk mís'; iQyu Z = –50x + 20y dk U;wure eku fuEufyf[kr O;ojks/ksa osQ varxZr Kkr dhft,%

gy lcls igys ge (1) ls (4) rd osQ vlehdj.k fudk; }kjk lqlaxr {ks=k dk vkys[k [khaprs gSA vko`Qfr 12-5 esa lqlaxr {ks=k (Nk;kafdr) fn[kk;k x;k gSA fujh{k.k dhft, fd lqlaxr {ks=k vifjc¼ gSA

vc ge dksuh; ¯cnqvksa ij Z dk eku Hkh Kkr djsaxs%

2x – y ≥ – 5 ... (1)

3x + y ≥ 3 ... (2)

2x – 3y ≤ 12 ... (3)

x ≥ 0, y ≥ 0 ... (4)

bl lkj.kh ls ge Kkr djrs gSa fd dksuh; ¯cnq (6] 0) ij Z dk lcls de eku &300 gSA D;k ge dg ldrs gSa fd Z dk U;wure eku &300 gS\ è;ku nhft, fd ;fn {ks=k ifjc¼ gksrk rks ;g Z dk lcls de eku (izes; 2 ls) gksrkA ysfdu ge ;gk¡ ns[krs gSa fd lqlaxr {ks=k vifjc¼ gSA blfy, &300] Z dk U;wure eku gks Hkh ldrk gS vkSj ugha HkhA bl leL;k dk fu"d"kZ Kkr djus osQ fy, ge fuEufyf[kr vlehdj.k dk vkys[k [khaprs gSa%

– 50x + 20y < – 300

vFkkZr~ – 5x + 2y < – 30

vkSj tk¡p dhft, fd vkys[k }kjk izkIr [kqys v/Zry o lqlaxr {ks=k esa mHk;fu"B ¯cnq gSa ;k ugha gSA ;fn blesa mHk;fu"B ¯cnq gSa] rc Z dk U;wure eku &300 ugha gksxkA vU;Fkk] Z dk U;wure eku&300 gksxkA

tSlk fd vko`Qfr 12-5 esa fn[kk;k x;k gSA blfy,] Z = –50 x + 20 y, dk iznÙk O;ojks/ksa osQ ifjizs{; eas U;wure eku ugha gSA

mijksDr mnkgj.k es D;k vki tk¡p dj ldrs gSa fd Z = – 50 x + 20 y, (0] 5) ij
vf/dre eku 100 j[krk gS\ blosQ fy,] tk¡p dhft, fd D;k – 50 x + 20 y > 100 dk vkjs[k lqlaxr {ks=k osQ lkFk mHk;fu"B ¯cnq j[krk gSA

mnkgj.k 5 fuEufyf[kr O;ojks/ksa osQ varxZr] Z = 3x + 2y dk U;wurehdj.k dhft,%

x + y ≥ 8 ... (1)

3x + 5y ≤ 15 ... (2)

x ≥ 0, y ≥ 0 ... (3)

gy vlfedkvksa (1) ls (3) dk vkys[k [khafp, (vko`Qfr 12-6)A D;k dksbZ lqlaxr {ks=k gS\ ;g ,slk D;ksa gS\

vko`Qfr 12-6 ls vki Kkr dj ldrs gS fd ,slk dksbZ ¯cnq ugha gS tks lHkh O;ojks/ksa dks ,d lkFk larq"V dj losQA vr%] leL;k dk lqlaxr gy ugha gSA

fVIi.kh mnkgj.kksa ls ftudk foospu ge vc rd dj pqosQ gSa ftlosQ vk/kj ij ge oqQN jSf[kd izksxzkeu leL;kvksa dh lkekU; fo'ks"krkvksa dk mYys[k djrs gSaA

(1) lqlaxr {ks=k lnSo mÙky cgqHkqt gksrk gSA

(2) mís'; iQyu dk vf/dre (;k U;wure) gy lqlaxr {ks=k osQ 'kh"kZ ij (dksus ij) fLFkr gksrk gSA ;fn mís'; iQyu osQ nks dksuh; ¯cnq ('kh"kZ) ,d gh vf/dre (;k U;wure) eku iznku djrs gaS rks bu ¯cnqvksa osQ feykus okyh js[kk[kaM dk izR;sd ¯cnq Hkh leku vf/dre (;k U;wure) eku nsxkA

iz'ukoyh 12-1

xzki+Qh; fof/ ls fuEu jSf[kd izksxzkeu leL;kvksa dks gy dhft,%

1. fuEu vojks/ksa osQ varxZr Z = 3x + 4y dk vf/drehdj.k dhft,%

x + y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0

2. fuEu vojks/ksa osQ varxZr Z = – 3x + 4 y dk U;wurehdj.k dhft,%

x + 2y ≤ 8, 3x + 2y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0

3. fuEu vojks/ksa osQ varxZr Z = 5x + 3y dk vf/drehdj.k dhft,%

3 x + 5y ≤ 15, 5x + 2y ≤ 10, x ≥ 0, y ≥ 0

4. fuEu vojks/ksa osQ varxZr Z = 3x + 5y dk U;wurehdj.k dhft,_

x + 3y ≥ 3, x + y ≥ 2, x, y ≥ 0

5. fuEu vojks/ksa osQ varxZr Z = 3x + 2y dk U;wurehdj.k dhft,%

x + 2y ≤ 10, 3x + y ≤ 15, x, y ≥ 0

6. fuEu vojks/ksa osQ varxZr Z = x + 2y dk U;wurehdj.k dhft,%

2x + y ≥ 3, x + 2y ≥ 6, x, y ≥ 0

fn[kkb, fd Z dk U;wure eku nks ¯cnqvksa ls vf/d ¯cnqvksa ij ?kfVr gksrk gSA

7. fuEu vojks/ksa osQ varxZr Z = 5x + 10 y dk U;wurehdj.k rFkk vf/drehdj.k dhft,% x + 2y ≤ 120, x + y ≥ 60, x – 2y ≥ 0, x, y ≥ 0

8. fuEu vojks/ksa osQ varxZr Z = x + 2y dk U;wurehdj.k rFkk vf/drehdj.k dhft,%

x + 2y ≥ 100, 2x – y ≤ 0, 2x + y ≤ 200; x, y ≥ 0

9. fuEu vojks/ksa osQ varxZr Z = – x + 2y dk vf/drehdj.k dhft,%

x ≥ 3, x + y ≥ 5, x + 2y ≥ 6, y ≥ 0

10. fuEu vojks/ksa osQ varxZr Z = x + y dk vf/drehdj.k dhft,%

x – y ≤ –1, –x + y ≤ 0, x, y ≥ 0