Prove each of the following identities:
sin6 θ + cos6 θ = 1 – 3 sin2 θ cos2 θ
Consider L.H.S. = sin6 θ + cos6 θ
= (sin2 θ)3 + (cos2 θ)3
= (sin2 θ + cos2 θ)( sin4 θ + cos4 θ – sin2 θ cos2 θ)
[Using a3 + b3 = (a + b)(a2 + b2 – ab)]
= ( sin4 θ + cos4 θ – sin2 θ cos2 θ)
(∵sin2 θ + cos2 θ = 1)
= [{(sin2 θ + cos2 θ)2 – 2 sin2 θ cos2 θ) – sin2 θ cos2 θ]
(∵(a2 + b2 ) = (a + b)2 – 2ab) )
= [1 – 2 sin2 θ cos2 θ – sin2 θ cos2 θ]
= 1 – 3 sin2 θ cos2 θ
= R.H.S.
Hence, proved.