If a cos θ + b sin θ = m and a sin θ – b cos θ = n, prove that (m2+ n2) = (a2 + b2).
Given: a cos θ + b sin θ = m …….(1)
a sin θ – b cos θ = n …….(2)
Square equation (1) and (2) on both sides:
a2 cos2 θ + b2 sin2 θ + 2ab cos θ sin θ = m2 …….(3)
a2 sin2 θ + b2 cos2 θ – 2ab cos θ sin θ = n2 ……..(4)
Add equation (3) and (4):
[a2 cos2 θ + b2 sin2 θ + 2ab cos θ sin θ] + [a2 sin2 θ + b2 cos2 θ – 2ab cos θ sin θ] = m2 +n2
⇒ a2 (cos2 θ + sin2 θ) + b2 (cos2 θ + sin2 θ) = m2 +n2
⇒ a2 + b2 = m2 + n2
Hence, proved.