If (cos θ + sin θ) = √2sin θ, prove that (sin θ – cos θ) = √2cos θ.
Given: cos θ + sin θ = √2sin θ
Consider (sin θ + cos θ)2 + (sin θ – cos θ)2 = sin2 θ + cos2 θ + 2sin θ cos θ + sin2 θ + cos2 θ –
2 sin θ cos θ
⇒ (sin θ + cos θ)2 + (sin θ – cos θ)2 = 2sin2 θ + 2 cos2 θ
⇒ (sin θ + cos θ)2 + (sin θ – cos θ)2 = 2(sin2 θ + cos2 θ)
⇒ (sin θ + cos θ)2 + (sin θ – cos θ)2 = 2
⇒ (√2sin θ)2 + (sin θ – cos θ)2 = 2
⇒ (sin θ – cos θ)2 = 2 – 2sin2 θ
⇒ (sin θ – cos θ)2 = 2(1 – sin2 θ)
⇒ (sin θ – cos θ)2 = 2(cos2 θ)
⇒ (sin θ – cos θ) = ± √cos θ
Hence, proved.