If x = a sin θ + b cos θ and y = a cos θ – b sin θ, prove that x2 + y2 = a2 + b2.
Given: a sin θ + b cos θ = x …….(1)
a cos θ – b sin θ = y …….(2)
Square equation (1) and (2) on both sides:
a2 sin2 θ + b2 cos2 θ + 2ab cos θ sin θ = x2 …….(3)
a2 cos2 θ + b2 sin2 θ – 2ab cos θ sin θ = y2 ……..(4)
Add equation (3) and (4):
[a2 sin2 θ + b2 cos2 θ + 2ab cos θ sin θ] + [a2 cos2 θ + b2 sin2 θ – 2ab cos θ sin θ] = x2 + y2
⇒ a2 (sin2 θ + cos2 θ) + b2 (cos2 θ + sin2 θ) = x2 +y2
⇒ a2 +b2 = x2 + y2
Hence, proved.