Given,

cos θ + sin θ = √2 cos θ …[1]

Squaring both side,

(cos θ + sin θ)² = 2 cos²θ

⇒ cos²θ + sin²θ + 2cosθsinθ = 2cos²θ

⇒ 2cosθsinθ = 2cos²θ - cos²θ - sin²θ

⇒ 2cosθsinθ = cos²θ - sin²θ

⇒ 2cosθsinθ = (cosθ - sinθ)(cosθ + sinθ)

⇒ 2cosθsinθ = (cosθ - sinθ)( √2 cosθ) [From [1]]

Hence, Proved.