2(sin6θ + cos6θ) − 3(sin4θ + cos4θ) is equal to
To find: 2(sin6 θ + cos6 θ) – 3(sin4 θ + cos4 θ)
First, we consider
sin6 θ + cos6 θ = (sin2 θ)3 + (cos2 θ)3
Now, as (a + b)3 = a3 + b3 + 3a2b + 3ab2
⇒ a3 + b3 = (a + b)3 – 3a2b – 3ab2
⇒ sin6 θ + cos6 θ
= (sin2 θ)3 + (cos2 θ)3
= (sin2 θ + cos2 θ)3 – 3 (sin2 θ)2 cos2 θ – 3 sin2 θ (cos2 θ)2
= 1 – 3 sin4 θ cos2 θ – 3 sin2 θ cos4 θ [∵ sin2 θ + cos2 θ = 1]
= 1 – 3 sin2 θ cos2 θ (sin2 θ + cos2 θ)
= 1 – 3 sin2 θ cos2 θ [∵ sin2 θ + cos2 θ = 1] ………(i)
Next, we consider
sin4 θ + cos4 θ = (sin2 θ)2 + (cos2 θ)2
Now, as (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
⇒ a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab
⇒sin4 θ + cos4 θ
= (sin2 θ)2 + (cos2 θ)2
= (sin2 θ + cos2 θ)2 – 2 sin2 θ cos2 θ
= 1 – 2 sin2 θ cos2 θ [∵ sin2 θ + cos2 θ = 1] ………(ii)
Now, using (i) and (ii), we have
2(sin6 θ + cos6 θ) – 3(sin4 θ + cos4 θ)
= 2(1 – 3 sin2 θ cos2 θ) – 3(1 – 2 sin2 θ cos2 θ)
= 2 – 6 sin2 θ cos2 θ – 3 + 6 sin2 θ cos2 θ
= 2 – 3 = – 1