If a cos θ + b sin θ and a sin θ − b cos θ = 3, then a2 + b2 =
Given: a cos θ + b sin θ = 4
Squaring both sides, we get
(a cos θ + b sin θ)2 = 42
⇒ a2 cos2 θ + b2 sin2 θ + 2ab sin θ cos θ = 16 ………(i)
and a sin θ – b cos θ = 3
Squaring both sides, we get
(a sin θ – b cos θ)2 = 32
⇒ a2 sin2 θ + b2 cos2 θ – 2ab sin θ cos θ = 9 ………(ii)
To find: a2 + b2
Adding (i) and (ii), we get
a2 cos2 θ + b2 sin2 θ + 2ab sin θ cos θ
+ a2 sin2 θ + b2 cos2 θ – 2ab sin θ cos θ = 16 + 9
⇒ a2 (sin2 θ + cos2 θ) + b2 (sin2 θ + cos2 θ) = 25
⇒ a2 + b2 = 25 [∵ sin2 θ + cos2 θ = 1]