If x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ and z = r cos θ, then
Given: x = r sin θ cos ϕ
Squaring both sides, we get
x2 = r2 sin2 θ cos2ϕ ……….(i)
and y = r sin θ sin ϕ
⇒ y2 = r2 sin2 θ sin2ϕ ……….(ii)
z = r cos θ
⇒ z2 = r2 cos2 θ ……….(iii)
Adding (i), (ii) and (iii), we get
x2 + y2 + z2 = r2 sin2 θ cos2ϕ + r2 sin2 θ sin2ϕ + r2 cos2 θ
= r2 (sin2 θ cos2ϕ + sin2 θ sin2ϕ + cos2 θ)
= r2 [sin2 θ (cos2ϕ + sin2ϕ) + cos2 θ]
= r2 [sin2 θ + cos2 θ] [∵ sin2ϕ + cos2ϕ = 1]
= r2 [∵ sin2 θ + cos2 θ = 1]