If a cos θ − b sin θ = c, then a sin θ + b cos θ =
Given: a cos θ – b sin θ = c
To find: a sin θ + b cos θ
Consider a cos θ – b sin θ = c
Squaring both sides, we get
(a cos θ – b sin θ)2 = c2
∵ (a – b)2 = a2 + b2 – 2ab
∴ a cos θ – b sin θ = c
⇒ a2 cos2 θ + b2 sin2 θ – 2ab sinθ cos θ = c2 ……(i)
Now, ∵ sin2 θ + cos2 θ = 1
∴ sin2 θ = 1 – cos2 θ and cos2 θ = 1 – sin2 θ
⇒ From (i), we have
⇒ a2 (1 – sin2 θ) + b2 (1 – cos2 θ) – 2ab sin θ cos θ = c2
⇒ a2 – a2 sin2 θ + b2 – b2 cos2 θ – 2ab sin θ cos θ = c2
⇒ a2 + b2 – (a2 sin2 θ + b2 cos2 θ + 2ab sin θ cos θ) = c2
⇒ – (a2 sin2 θ + b2 cos2 θ + 2ab sin θ cos θ) = c2 – a2 – b2
⇒ a2 sin2 θ + b2 cos2 θ + 2ab sin θ cos θ = a2 + b2 – c2
⇒ (a sin θ)2 + (b cos θ)2 + 2 (a sin θ) (b cos θ) = a2 + b2 – c2
⇒ (a sin θ + b cos θ)2 = a2 + b2 – c2
⇒ 