LHS is

sin 5x = sin(3x+2x)

But we know,

sin(x+y) = sin x cos y+cos x sin y…..(i)

⇒ sin 5x = sin 3x cos 2x+cos 3x sin 2x

⇒ sin 5x = sin (2x+x) cos 2x+cos (2x+x) sin 2x……..(ii)

And

cos (x+y) = cos(x)cos(y) – sin(x)sin(y)……(iii)

Now substituting equation (i) and (iii) in equation (ii), we get

⇒ sin 5x = (sin 2x cos x+cos 2x sin x )(cos 2x)+( cos 2x cos x – sin 2x sin x) (sin 2x)……..(iv)

Now sin 2x = 2sin x cos x………(v)

And cos 2x = cos²x –sin²x………(vi)

Substituting equation (v) and (vi) in equation (iv), we get

⇒ sin 5x =[(2 sin x cos x)cos x+(cos²x–sin²x)sin x]( cos²x–sin²x)+[( cos²x–sin²x)cos x – (2 sin x cos x) sin x)]( 2 sin x cos x)

⇒ sin 5x =[2 sin x cos² x+sin xcos²x–sin³x]( cos²x–sin²x)+[cos³x–sin²xcos x – 2 sin² x cos x]( 2 sin x cos x)

⇒ sin 5x =cos²x[3 sin x cos² x –sin³x]–sin²x[3 sin x cos² x–sin³x]+2 sin x cos⁴x–2 sin³ x cos² x – 4 sin³ x cos² x

⇒ sin 5x = 3 sin x cos⁴ x –sin³xcos²x– 3 sin³ x cos² x–sin⁵x +2 sin x cos⁴x–2 sin³ x cos² x – 4 sin³ x cos² x

⇒ sin 5x = 5 sin x cos⁴ x –10sin³xcos²x +sin⁵x

Hence LHS = RHS

[Hence proved]