Prove that: cos 2 A + cos 2 B – 2 cosA cosB cos(A +B) = sin 2 (A +B)

Question

Philoid · Accepted Answer

LHS = cos²A + cos²B – 2 cosA cosB cos(A +B)

= cos²A + 1 – sin²B - 2 cosA cosB cos(A +B)

= 1 + cos²A – sin²B - 2 cosA cosB cos(A +B)

We know that cos²A – sin²B = cos(A +B) cos(A –B)

= 1 + cos(A +B) cos(A –B) - 2 cosA cosB cos(A +B)

= 1 + cos(A +B) [cos(A –B) – 2 cosA cosB]

We know that cos(A -B) = cosA cosB + sinA sinB.

= 1 + cos(A +B) [cosA cosB + sinA sinB – 2 cosA cosB]

= 1 + cos(A +B) [-cosA cosB + sinA sinB]

= 1 - cos(A +B) [cosA cosB - sinA sinB]

We know that cos(A +B) = cosA cosB - sinA sinB.

= 1 – cos²(A +B)

= sin²(A +B) = RHS

Hence proved.