If A is square matrix such that A2 = A, show that (I + A)3 = 7A + I.
Given that,
A2 = A
∵ (a+b)3 = a3 + b3 + 3a2b + 3ab2
As, (I + A)3 = I3 + A3 + 3I2A + 3IA2
∵ I is an identity matrix.
∴ I3 = I2 = I
∴ (I + A)3 = I + A3 + 3IA + 3IA
As, I is an identity matrix.
∴ IA = AI = A
⇒ (I + A)3 = I + A3 + 6IA
∵ A2 = A
⇒ (I + A)3 = I + A2.A + 6A
⇒ (I + A)3 = I + A.A + 6A
⇒ (I + A)3 = I + A2 + 6A
⇒ (I + A)3 = I + A + 6A = I + 7A
Hence,
(I + A)3 = I + 7A …proved